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4.1.1 单项式
单项式是代数式中最基础的形式之一，它是构成多项式的基本单元，也是学习整式运算的起点。理解单项式的定义、系数、次数等概念，能为后续学习多项式、整式的加减乘除等知识奠定坚实基础。
一、单项式的定义
核心概念：
由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或者一个字母也叫做单项式。
例如：\(3x\)（数\(3\)与字母\(x\)的积）、\(-5a^2b\)（数\(-5\)与字母\(a^2b\)的积）、\(7\)（单独的一个数）、\(y\)（单独的一个字母）都是单项式；而\(2x + 3\)（数与字母的和）、\(\frac{x}{y}\)（字母与字母的商）不是单项式。
关键词解析：
数与字母的积：单项式中只含有乘法运算（包括乘方，因为乘方是特殊的乘法），不含加法、减法、除法（除数为字母）运算。例如：\(3x^2\)是\(3 x x\)的简写，属于单项式；而\(3x + 2\)含有加法，不属于单项式。
单独的数或字母：这是单项式的特殊形式。单独的一个数（如\(0\)、\(-\frac{1}{2}\)）可以看作是这个数与字母的零次幂的积（如\(5 = 5 a^0\)，其中\(a 0\)）；单独的一个字母（如\(a\)、\(b^3\)）可以看作是\(1\)与这个字母的积（如\(a = 1 a\)）。
单项式与代数式的关系：
单项式是代数式的一种特殊形式，所有的单项式都是代数式，但代数式不一定是单项式。例如：代数式\(2x + 3y\)是多项式，不是单项式；代数式\(\frac{1}{x}\)是分式，也不是单项式。
二、单项式的系数
定义：
单项式中的数字因数叫做单项式的系数。
例如：在单项式\(3x\)中，数字因数是\(3\)，因此系数是\(3\)；在单项式\(-5a^2b\)中，数字因数是\(-5\)，因此系数是\(-5\)。
注意事项：
符号问题：系数的符号是单项式的重要组成部分，不能忽略。例如：单项式\(-2xy\)的系数是\(-2\)，而不是\(2\)。
1 或 - 1 的省略：当单项式的系数是\(1\)或\(-1\)时，“\(1\)” 通常省略不写。例如：单项式\(x^2\)的系数是\(1\)（可理解为\(1 x^2\)）；单项式\(-ab^3\)的系数是\(-1\)（可理解为\(-1 ab^3\)）。
单独的数的系数：单独的一个数作为单项式，它的系数就是这个数本身。例如：单项式\(7\)的系数是\(7\)；单项式\(-\frac{3}{4}\)的系数是\(-\frac{3}{4}\)。
含分数的系数：系数可以是分数，此时需注意分数的形式。例如：单项式\(\frac{2}{3}x^3y\)的系数是\(\frac{2}{3}\)，而不是\(2\)或\(3\)。
三、单项式的次数
定义：
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
例如：在单项式\(3x\)中，字母\(x\)的指数是\(1\)，因此次数是\(1\)；在单项式\(-5a^2b\)中，字母\(a\)的指数是\(2\)，字母\(b\)的指数是\(1\)，指数和为\(2 + 1 = 3\)，因此次数是\(3\)。
注意事项：
字母的指数：字母的指数是指字母右上角的数字，若字母没有明确标注指数，则其指数为\(1\)。例如：单项式\(xy\)中，\(x\)的指数是\(1\)，\(y\)的指数是\(1\)，次数为\(1 + 1 = 2\)；单项式\(a\)的指数是\(1\)，次数是\(1\)。
数字的指数不算：单项式的次数只与字母的指数有关，与数字的指数（即系数的乘方）无关。例如：单项式\(2^3x^2y\)中，数字\(2\)的指数\(3\)不算，次数由\(x\)的指数\(2\)和\(y\)的指数\(1\)决定，即次数为\(2 + 1 = 3\)。
单独的数的次数：单独的一个非零数作为单项式，它的次数规定为\(0\)（因为可以看作是这个数与字母的零次幂的积，而任何非零数的零次幂都是\(1\)）。例如：单项式\(5\)的次数是\(0\)；单项式\(-\frac{1}{2}\)的次数是\(0\)。
次数的表示：单项式的次数通常用数字表示，如 “一次单项式”“三次单项式” 等。例如：\(3x\)是一次单项式，\(-5a^2b\)是三次单项式。
四、单项式的识别与判断
判断一个代数式是否为单项式，需依据单项式的定义，满足以下条件：
代数式中只含有乘法运算（包括乘方），不含加法、减法、除法（除数为字母）运算。
可以是单独的一个数或者一个字母。
示例：判断下列代数式是否为单项式，若是，指出其系数和次数。
（1）\(4x^2\) （2）\(-xy^3\) （3）\(a + b\) （4）\(\frac{2}{x}\) （5）\(7\) （6）\(-\frac{1}{3}m^2n\)
解：
（1）是单项式，系数是\(4\)，次数是\(2\)（\(x\)的指数为\(2\)）；
（2）是单项式，系数是\(-1\)，次数是\(4\)（\(x\)的指数为\(1\)，\(y\)的指数为\(3\)，\(1 + 3 = 4\)）；
（3）不是单项式，因为含有加法运算；
（4）不是单项式，因为含有除法运算（除数为字母\(x\)）；
（5）是单项式，系数是\(7\)，次数是\(0\)；
（6）是单项式，系数是\(-\frac{1}{3}\)，次数是\(3\)（\(m\)的指数为\(2\)，\(n\)的指数为\(1\)，\(2 + 1 = 3\)）。
五、常见错误与规避方法
系数识别错误：
常见错误：忽略系数的符号（如将\(-3x\)的系数误认为是\(3\)）；将系数中的分数拆分开（如将\(\frac{2}{3}x\)的系数误认为是\(2\)或\(3\)）。
规避方法：牢记系数包括数字前面的符号，对于分数系数，要将整个分数看作一个整体。
次数计算错误：
常见错误：遗漏字母的指数（如将\(xy^2\)的次数计算为\(2\)，忽略\(x\)的指数\(1\)，正确次数为\(3\)）；将数字的指数计入次数（如将\(2^2x^3\)的次数计算为\(2 + 3 = 5\)，正确次数为\(3\)）。
规避方法：计算次数时，逐一列出每个字母的指数并相加，明确数字的指数不属于单项式的次数。
单项式判断错误：
常见错误：将多项式误认为单项式（如认为\(2x + 5\)是单项式）；将分式误认为单项式（如认为\(\frac{x}{2}\)是分式，实际上\(\frac{x}{2} = \frac{1}{2}x\)是单项式）。
规避方法：严格按照定义判断，多项式含有加法或减法运算，分式的分母中含有字母，而单项式只含有乘法运算（或单独的数、字母）。
六、典型例题解析
基础概念题：
指出下列单项式的系数和次数：
（1）\(-5x^2\) （2）\(\frac{3}{4}a^3b\) （3）\(y\) （4）\(-\pi r^2\)
解：
（1）系数是\(-5\)，次数是\(2\)；
（2）系数是\(\frac{3}{4}\)，次数是\(4\)（\(a\)的指数\(3\) + \(b\)的指数\(1\)）；
（3）系数是\(1\)（省略不写），次数是\(1\)；
（4）系数是\(-\pi\)（\(\pi\)是常数），次数是\(2\)。
识别与分类题：
下列代数式中，哪些是单项式？并写出单项式的系数和次数。
① \(3x + y\) ② \(-7\) ③ \(\frac{1}{2}m^2n\) ④ \(\frac{5}{x}\) ⑤ \(0\) ⑥ \(a^3\)
解：
单项式是②③⑤⑥；
②\(-7\)：系数是\(-7\)，次数是\(0\)；
③\(\frac{1}{2}m^2n\)：系数是\(\frac{1}{2}\)，次数是\(3\)；
⑤\(0\)：系数是\(0\)，次数是\(0\)（单独的零是单项式，次数为\(0\)）；
⑥\(a^3\)：系数是\(1\)，次数是\(3\)。
开放性问题：
写出一个关于\(x\)、\(y\)的五次单项式，且系数为\(-3\)。
解：答案不唯一，只要满足所有字母的指数和为\(5\)，系数为\(-3\)即可。例如：\(-3x^2y^3\)（\(2 + 3 = 5\)）、\(-3x^4y\)（\(4 + 1 = 5\)）等。
实际应用题：
一个长方体的长为\(a\)，宽为\(b\)，高为\(c\)，用单项式表示该长方体的体积，并指出其系数和次数。若\(a = 2\)，\(b = 3\)，\(c = 4\)，求该长方体的体积。
解：长方体体积 = 长 × 宽 × 高，即单项式为\(abc\)；
系数是\(1\)，次数是\(3\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)的指数均为\(1\)，\(1 + 1 + 1 = 3\)）；
当\(a = 2\)，\(b = 3\)，\(c = 4\)时，体积为\(2 3 4 = 24\)。
单项式是整式的基础，理解单项式的定义、系数和次数是学好代数式的关键。在学习过程中，要注重概念的准确性，通过大量实例练习，熟练掌握单项式的识别、系数和次数的计算方法。同时，要注意区分单项式与多项式、分式的不同，为后续学习整式的运算打下坚实的基础。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.1.1单项式
第四章 整式的加减
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.会用字母或含有字母的式子表示数和数量关系；能分析实际问题中包含的数量关系并列式表示出来.
2.能叙述并理解单项式及单项式的系数、次数的意义并能正确确定一个单项式的系数和次数.
(1)苹果原价是每千克p元，按8折优惠出售，用式子表示现价；
(2)某产品前年的产量是n件，去年的产量是前年产量的m倍，用式子表示去年的产量；
(3)边长为a的正方形的面积；
(4)圆柱体积公式（底面半径为r，高为h）；
a2
πr2h
知识点
单项式的相关概念
0.8p, mn, a2, πr2h 这些代数式有什么共同特点？
数字
字母
1×mn
数字
字母
由数或字母的积组成的代数式叫作单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式。
数或字母的积的形式包含三种：数与数的积，数与字母的积，字母与字母的积.
0.8 p m n a2 π r2 h
单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数.
1
下列单项式的系数分别是多少？
一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.
下列单项式的次数分别是多少？
1
1次
2次
2次
3次
规定非零数的次数是0
提醒：
1.单项式表示数与字母相乘时，通常把数写在前面.
2.单项式的系数是1或-1时，1通常省略不写.
例1 用单项式填空，并指出它们的系数和次数
（1）若三角形的一条边长为a，这条边上的高为h，则这个三角形的面积为__________.
（2）一个长方体包装盒的长、宽、高分别为x cm，
y cm，z cm，则这个长方体包装盒的体积为_____cm3.
（3）有理数n的相反数是________.
系数： 次数：2
xyz
系数：1 次数：3
-n
系数：-1 次数：1
（4）《北京2022年冬奥会——冰上运动》是为了纪念北京2022年冬奥会冰上运动发行的邮票．邮票1套共5枚，价格为6元，其中一种版式为一张10枚（2套)，如图所示．某中学举行冬奥会有奖问答活动，买了m张这种版式的邮票作为奖品，共花费_______元.
12m
系数：12 次数：1
（5）《中华人民共和国国旗法》规定，国旗旗面为红色长方形，其长与高之比为3∶2，有五种通用尺度（即尺寸规格).若一种尺度的国旗的长为a cm，则这种尺度的国旗旗面的面积为________cm2.
系数： 次数：2
用单项式填空，并指出它们的系数和次数:
（1） 每包书有12册，n包书有 册；
系数：12，次数：1
（2） 底边长为 a cm，高为 h cm的三角形
的面积是 cm2；
系数： ，次数：2
针对训练
（3） 棱长为 a cm的正方体的体积是 cm3 ；
系数：1，次数：3
（4）一台电视机原价 b 元，现按原价的9折出售，
这台电视机现在的售价是 元；
系数：0.9，次数：1
（5）一个长方形的长是0.9 m，宽是b m ，这个长方形的面积是 m2.
系数：0.9，次数：1.
1.填表：
单项式
系数
次数
2
2
－1.2
1
1
3
－1
2
2
【选自教材P91 练习 第1题】
课后练习
2.用单项式填空，并指出它们的系数和次数.
（1）国家速滑馆“冰丝带”采用了我国自有的二氧化碳跨临界直冷制冰系统，不仅安全，而且绿色环保.如果使用传统制冷剂，同等用量下的碳排放量是二氧化碳制冷剂的3985倍.若使用一批二氧化碳制冷剂的碳排放量为 m t，则相同用量的传统制冷剂的碳排放量为_________t.
【选自教材P91 练习 第2题】
系数：3985，次数：1
3985m
（2）某人经营一家网店，“五一”假期期间他对网店的某种商品进行促销. 若每售出一件这种商品获利 m 元，则售出 n 件这种商品共获利__________元.
（3）测量降水量的基本仪器是雨量器. 如图，一个雨量器的集雨斗是圆锥形状，其内部的底面半
径为r，高为 h，则这个集雨斗的容积为________.
r
h
系数：1，次数：2
mn
系数： ，次数：3
3. （1）若2x2ym-2a是6次单项式，试求m的值；
（2）若（m-5）x2y|m|-2a是6次单项式，试求m的值.
解：（1）因为 2 + m – 2 + 1 = 6，
所以 m = 5
（2）因为|m|– 2 = 3 且 m ≠ 5，
所以m = -5
4. 下列单项式：-x，2x2，-3x3，4x4，…
（1）根据它们的排列规律，写出第101，102
个单项式；
解：（1）-101x101，102x102.
拓展延伸
1. ［2025成都锦江区期中］在式子，，， ，
，， 中，单项式的个数是( )
C
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
返回
2. 下列说法正确的是( )
A. 单项式的系数是 ，次数是2
B. 单项式 的系数为1，次数是0
C. 是二次单项式
D. 单项式的系数为 ，次数是2
D
返回
3. 如果是关于，的五次单项式，则， 满足
的条件是( )
B
A. ， B. ，
C. ， D. ，
返回
4. 请写出一个次数为3，含
有字母和 ，系数是2的单项式：______________.
或
返回
5.若单项式与单项式的次数相同，则
___.
2
返回
单项式定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式．
单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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