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4.1.2 多项式和整式
在代数式的学习中，多项式是由单项式进一步组合而成的重要形式，而整式则是单项式和多项式的统称。理解多项式的定义、项、次数等概念，以及整式与单项式、多项式的关系，是掌握整式运算的基础，也为后续学习分式、方程等知识提供了必要的准备。
一、多项式的定义
核心概念：
几个单项式的和叫做多项式。
例如：\(2x + 3\)（单项式\(2x\)与\(3\)的和）、\(a^2 - 2ab + b^2\)（单项式\(a^2\)、\(-2ab\)、\(b^2\)的和）、\(x^3 - 5\)（单项式\(x^3\)与\(-5\)的和）都是多项式；而\(3x\)（单个单项式）、\(\frac{x}{y}\)（分式）不是多项式。
关键词解析：
几个单项式的和：多项式是由多个单项式通过加法运算连接而成的，这里的 “和” 包含了减法运算（因为减法可以转化为加上相反数）。例如：\(3x - 2y\)可以看作是\(3x + (-2y)\)，即单项式\(3x\)与\(-2y\)的和，因此是多项式。
单项式的组合：多项式中的每个单项式都是多项式的组成部分，它们之间仅通过加法（或减法）连接，不含除法运算（除数为字母）。例如：\(x + \frac{1}{x}\)不是多项式，因为\(\frac{1}{x}\)是分式，不是单项式。
多项式与单项式的关系：
多项式是单项式的和，单项式是多项式的特殊形式（当多项式中只有一个单项式时，它就是单项式）。因此，所有的单项式都是多项式吗？不，多项式必须是 “几个” 单项式的和，单个单项式不属于多项式，二者是并列关系，共同构成整式。
二、多项式的项和常数项
多项式的项：
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。
例如：多项式\(3x^2 - 2x + 5\)中的项分别是\(3x^2\)、\(-2x\)、\(5\)；多项式\(a^3b + ab - 1\)中的项分别是\(a^3b\)、\(ab\)、\(-1\)。
项的符号：
多项式的项包括它前面的符号，正数项的 “\(+\)” 号可以省略，负数项的 “\(-\)” 号不能省略。例如：多项式\(x^2 - 3x + 2\)的项是\(x^2\)、\(-3x\)、\(2\)，而不是\(x^2\)、\(3x\)、\(2\)。
常数项：
多项式中不含字母的项叫做常数项。
例如：多项式\(2x + 7\)的常数项是\(7\)；多项式\(a^2b - 5ab + 3\)的常数项是\(3\)；多项式\(x^3 - 1\)的常数项是\(-1\)（注意常数项的符号）。
多项式的项数：
一个多项式含有几项，就叫做几项式。例如：\(3x + 2\)是二项式（含有两项）；\(a^2 - 2ab + b^2\)是三项式（含有三项）；\(x^4 - 3x^2 + x - 5\)是四项式（含有四项）。
三、多项式的次数
定义：
多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
例如：多项式\(3x^2 - 2x + 5\)中各项的次数分别是\(2\)（\(3x^2\)）、\(1\)（\(-2x\)）、\(0\)（\(5\)），次数最高的项是\(3x^2\)，次数为\(2\)，因此该多项式是二次多项式；
多项式\(a^3b + ab - 1\)中各项的次数分别是\(4\)（\(a^3b\)的次数为\(3 + 1 = 4\)）、\(2\)（\(ab\)的次数为\(1 + 1 = 2\)）、\(0\)（\(-1\)），次数最高的项是\(a^3b\)，次数为\(4\)，因此该多项式是四次多项式。
注意事项：
最高次项的确定：多项式的次数由次数最高的项决定，与其他项的次数无关。例如：多项式\(x^3 + 2x^5 - x^2\)中，\(2x^5\)的次数最高（\(5\)次），因此该多项式是五次多项式，而非三次多项式。
项的次数计算：计算项的次数时，需将该项中所有字母的指数相加。例如：项\(-3x^2y^3\)的次数是\(2 + 3 = 5\)。
多项式的命名：多项式的次数与项数结合，可以命名为 “几次几项式”。例如：\(2x^3 - 3x + 1\)是三次三项式；\(a^2b + ab^2\)是三次二项式。
四、整式的定义
核心概念：
单项式和多项式统称为整式。
例如：单项式\(3x\)、\(-5a^2b\)、\(7\)，多项式\(2x + 3\)、\(a^2 - 2ab + b^2\)都是整式；而分式（如\(\frac{1}{x}\)、\(\frac{x + y}{x - y}\)）不是整式，因为分式的分母中含有字母。
整式的分类：\(
\begin{cases}
é \\
¤ é
\end{cases}
\)
这种分类方式体现了整式的构成：单项式是基础，多项式是单项式的和，二者共同组成整式家族。
整式与代数式的关系：
整式是代数式的一部分，所有的整式都是代数式，但代数式不一定是整式。代数式包括整式和分式，其中整式又包括单项式和多项式。例如：代数式\(\frac{x}{2}\)是整式（可化为\(\frac{1}{2}x\)，是单项式）；代数式\(\frac{2}{x}\)是分式，不是整式。
五、多项式的识别与判断
判断一个代数式是否为多项式，需依据多项式的定义，满足以下条件：
代数式是由几个单项式通过加法（或减法）运算连接而成的。
代数式中不含除法运算（除数为字母），即不含有分式。
示例：判断下列代数式是否为多项式，若是，指出其项、常数项、次数和项数。
（1）\(4x^2 - 3x + 1\) （2）\(2a + b\) （3）\(x^3 + \frac{1}{x}\) （4）\(-5\) （5）\(m^2n - mn + 3\)
解：
（1）是多项式；项：\(4x^2\)、\(-3x\)、\(1\)；常数项：\(1\)；次数：\(2\)（最高次项\(4x^2\)的次数）；项数：\(3\)（三项式）；
（2）是多项式；项：\(2a\)、\(b\)；常数项：无（或说常数项为\(0\)）；次数：\(1\)；项数：\(2\)（二项式）；
（3）不是多项式，因为含有分式\(\frac{1}{x}\)；
（4）不是多项式，是单项式（单独的一个数）；
（5）是多项式；项：\(m^2n\)、\(-mn\)、\(3\)；常数项：\(3\)；次数：\(3\)（\(m^2n\)的次数为\(2 + 1 = 3\)）；项数：\(3\)（三项式）。
六、常见错误与规避方法
多项式项的符号错误：
常见错误：忽略项的符号，如将多项式\(x^2 - 2x + 3\)的项写成\(x^2\)、\(2x\)、\(3\)（正确应为\(x^2\)、\(-2x\)、\(3\)）。
规避方法：明确多项式的项包含前面的符号，拆分多项式时要连同符号一起提取。
多项式次数计算错误：
常见错误：将多项式的次数误认为是所有项的次数之和（如将\(x^2 + xy\)的次数计算为\(2 + 2 = 4\)，正确应为\(2\)）；忽略某项的次数（如将\(x^3 + y^2\)的次数计算为\(2\)，正确应为\(3\)）。
规避方法：逐一计算多项式中每一项的次数，找出次数最高的项，其次数即为多项式的次数。
整式与分式的混淆：
常见错误：将分式误认为整式（如认为\(\frac{x + 1}{2}\)是分式，实际上\(\frac{x + 1}{2} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\)是多项式，属于整式）；将整式误认为分式（如认为\(x^2\)是分式）。
规避方法：整式的分母中不含字母，分式的分母中含有字母，这是区分二者的关键。对于形如\(\frac{A}{B}\)的代数式，若\(B\)是不含字母的常数，则是整式；若\(B\)含有字母，则是分式。
多项式与单项式的区分错误：
常见错误：将单项式误认为多项式（如认为\(5x\)是多项式）；将多项式误认为单项式（如认为\(x + y\)是单项式）。
规避方法：单项式是 “积” 的形式，多项式是 “和” 的形式，根据运算类型即可区分。
七、典型例题解析
基础概念题：
指出下列多项式的项、常数项、次数和项数，并说明是几次几项式。
（1）\(3x^4 - 2x^2 + x - 7\) （2）\(-a^2b + ab^2 - 3ab + 1\)
解：
（1）项：\(3x^4\)、\(-2x^2\)、\(x\)、\(-7\)；常数项：\(-7\)；次数：\(4\)（最高次项\(3x^4\)的次数）；项数：\(4\)；是四次四项式；
（2）项：\(-a^2b\)、\(ab^2\)、\(-3ab\)、\(1\)；常数项：\(1\)；次数：\(3\)（\(-a^2b\)和\(ab^2\)的次数均为\(3\)）；项数：\(4\)；是三次四项式。
识别与分类题：
下列代数式中，哪些是整式？哪些是多项式？哪些是单项式？
① \(5x\) ② \(x^2 + y^2\) ③ \(\frac{3}{x}\) ④ \(0\) ⑤ \(-\frac{1}{2}a^2b + ab\) ⑥ \(\frac{x + 1}{3}\)
解：
整式：①②④⑤⑥（分母均不含字母）；
多项式：②⑤⑥（由多个单项式的和组成）；
单项式：①④（单个单项式）。
（注：⑥\(\frac{x + 1}{3} = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}\)，是多项式）。
开放性问题：
写出一个关于\(x\)的二次三项式，使它的常数项为\(-5\)，二次项系数为\(3\)。
解：答案不唯一，需满足含有三项，最高次项为二次，常数项为\(-5\)，二次项系数为\(3\)。例如：\(3x^2 + 2x - 5\)、\(3x^2 - x - 5\)等。
实际应用题：
一个长方形的长为\((2x + 3)\)厘米，宽为\((x - 1)\)厘米，用多项式表示该长方形的面积，并指出该多项式的次数和项数。若\(x = 3\)，求长方形的面积。
解：长方形面积 = 长 × 宽 = \((2x + 3)(x - 1)\)，展开得：\(2x x - 2x 1 + 3 x - 3 1 = 2x^2 - 2x + 3x - 3 = 2x^2 + x - 3\)；
该多项式的项为\(2x^2\)、\(x\)、\(-3\)，次数是\(2\)，项数是\(3\)（二次三项式）；
当\(x = 3\)时，面积为\(2 3^2 + 3 - 3 = 2 9 + 0 = 18\)平方厘米。
多项式和整式是代数式体系中的重要组成部分，多项式由单项式通过加法组合而成，整式则涵盖了单项式和多项式。学习时需重点掌握多项式的项、次数等概念，明确整式与分式的区别，通过实例练习熟练识别多项式和整式，并能准确分析其特征。这部分知识不仅是整式运算的基础，也是后续学习代数知识的关键，需扎实理解和掌握。
2024人教版数学七年级上册
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4.1.2多项式和整式
第四章 整式的加减
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.能叙述并理解多项式、多项式的项及其次数的概念.
2.知道什么叫整式，弄清整式与多项式、单项式的关系.
观察下列式子哪些是单项式，那些不是呢？
（1） （2） 2n-10 （3）
（4）23a2b （5） （6） x2+2x-8
知识点1
多项式
2n-10 x2+2x-8
观察下列几个式子有什么共同特点？
2n + (-10)
x2+2x+(-8)
共同特点：都是几个单项式的和
单项式
　　几个单项式的和叫做多项式.
　　每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
多项式： x2 + 2x - 8　　　
项　　
常数项　　
注意：
一个式子是多项式需具备两个条件:
①式子中含有运算符号“+” 或“-”；
②分母中不含字母.
2.多项式是由单项式组成的，但不能说多项式包含单项式，它们是两个不同的概念.
3.多项式的每一项都是单项式，每一项都包含它前面的符号.　　　
多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数．
含有三项　　
次数是2　　
次数是1　　
次数是0　　
多项式的次数是2　　
二次
三项式　　
多项式： x2 + 2x - 8
次数最高　　
注意：
1.单项式的次数与多项式的次数的区别：单项式的次数是所有字母的指数的和，多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数.
2.当一个多项式中的各项的次数都相同，即不存在哪一项的次数最高时，任取某一项的次数作为这个多项式的次数.
整式：单项式与多项式统称整式．
知识点2
整式
如果一个式子既不是单项式也不是多项式，那么它一定不是整式.　　
例2 用多项式填空，并指出它们的项和次数.　
(1)一个长方形相邻两条边的长分别头a，b，则这个长方形的周长为________.
(2) m为一个有理数，m 的立方与2的差为_______.
(3)某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放a辆，为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收b辆.第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为_________.
2a+2b
m3-2
2a-12b
项：2a，2b 次数：1
项：m3，-2 次数：3
项：2a，-12b 次数：1
(4)现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成. 如果其中正方形和等边三角形的边长都为a，等边三角形的高为b，那么这个印章的表面积为___________.
18a2+4ab
项：18a2，4ab 次数：2
1.下列说法正确的是（ ）
A. 不是单项式 B. 是单项式
C. x的系数是0 D. 是整式
D
随堂练习
2.如果一个多项式是五次多项式，那么（ ）
A.这个多项式最多有六项
B.这个多项式只能有一项的次数是五
C.这个多项式一定是五次六项式
D.这个多项式最少有二项，并且最高次项的次数
是五
D
3.下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中.
2a+1，4r2，2x2-5y+1，3， .
单项式
多项式
4r2，3
2a+1，2x2-5y+1，
【选自教材P93 练习 第1题】
4.填表：
【选自教材P93 练习 第2题】
多项式
项
次数
-5a2b, 2ab, -b4
-2h, 1
rl, 2r2
x3, -2y, x2
4
1
2
2
3
5.鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，也是
一种广泛流传的益智玩具（如图（1）），其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图（2），这个面的面积为_________.
【选自教材P93 练习 第3题】
ab-cd
（1）
（2）
6. 有一个多项式a10-a9b+a8b2-a7b3+…，按这个规律写下去：
（1）写出它的第六项、最后一项；
（2）这个多项式是几次几项式？
解：（1）-a5b5，b10；
（2）十次十一项式.
复习巩固
1.单项式-4a2b3c的系数是_____，次数是_____.
-4
6
2.写出一个系数是2，次数是3的单项式.
2xy2
（答案不唯一）
3.多项式a4-2a2b+b2的项为___________，次数是___.
a4, -2a2b, b2
4
4. 一所住宅的建筑平面图如图所示(图中长度单位：m)，分为 I，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，则这所住宅的建筑面积可以用一个多项式表示为_____________，这个多项式的次数是______.
x2+2x+18
2
I
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
2
x
4
3
2
3
x
x
综合运用
5. 今年“十一”假期期间，某公园接待的游客数比去年同期增长了5.7%.若去年同期这个公园接待了游客 x 万人，求今年“十一”假期期间这个公园比去年同期多接待的游客人数.
解：今年“十一”假期期间这个公园比去年同期多接待的游客人数为5.7%x 万.
6. 我国古代数学著作《周髀算经》中提到，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气中，在同一地点测量每个节气正午时同一根杆的日影长，发现每个节气与它后一个节气的日影长的差近似为定值.若这个定值为 d尺 (这里的尺是我国古代长度单位)，立春当日的日影长为10.5尺，求立夏当日日影长的近似值.
解：立夏当日的日影长的近似值为( 10.5-6d ) 尺.
7.世界杯排球赛的积分规则为：比赛中以3-0(胜3局负0局）或者3-1取胜的球队积3分，负队积0分；比赛中以3-2取胜的球队积2分，负队积1分.若某球队以3-1胜了a场，以3-2胜了b场，以2-3负了c场，则这支球队的积分用多项式可以表示为____________.
3a+2b+c
拓广探索
8. 设n表示任意一个整数，用含n的代数式表示：
(1)能被3整除的整数；
(2)除以3余数为1的整数.
解：(1) 3n.
(2) 3n+1.
9.鞋号表明了鞋子的大小，我国1998年发布了新鞋号标准. 新鞋号标准对应于20世纪60年代后期制定的旧鞋号标准，部分鞋号对照如下
新鞋号 220 225 230 235 … 270
旧鞋号 34 35 36 37 … a
(1)求a的值；
(2)若新鞋号为m，旧鞋号为n，写出一个把旧鞋号转换为新鞋号的公式.
解：(1) a=44.
(2) m=5n+50.
多项式定义：几个单项式的和叫做多项式.
每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
整式：单项式与多项式统称整式．
课堂小结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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