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4.2.1 合并同类项
在多项式的运算中，合并同类项是化简多项式的核心方法，它能将复杂的多项式简化为更简洁的形式，为后续的整式加减、求值等运算奠定基础。掌握合并同类项的方法，需要先明确同类项的定义，再熟练运用合并法则，确保运算的准确性和高效性。
一、同类项的定义
核心概念：
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。
例如：在多项式\(3x^2 + 2x + 5x^2 - x + 7\)中，\(3x^2\)与\(5x^2\)是同类项（都含字母\(x\)，且\(x\)的指数都是\(2\)）；\(2x\)与\(-x\)是同类项（都含字母\(x\)，且\(x\)的指数都是\(1\)）；\(7\)是常数项，若多项式中还有其他常数项（如\(-3\)），则它们也是同类项。
关键词解析：
所含字母相同：同类项必须含有完全相同的字母，与字母的顺序无关。例如：\(2ab\)与\(-3ba\)是同类项（都含字母\(a\)和\(b\)）；但\(2x^2y\)与\(3xy^2\)不是同类项（虽然都含字母\(x\)和\(y\)，但字母顺序不同导致相同字母的指数不同）。
相同字母的指数相同：同类项中对应字母的指数必须一致。例如：\(5x^3\)与\(-x^3\)是同类项（\(x\)的指数都是\(3\)）；但\(4a^2\)与\(2a\)不是同类项（\(a\)的指数分别为\(2\)和\(1\)）。
常数项都是同类项：所有不含字母的项（常数项）都属于同类项，如\(5\)、\(-3\)、\(0.7\)等都是同类项。
同类项与系数无关：
同类项的判定只与字母和字母的指数有关，与系数的大小无关。例如：\(3x^2y\)与\(-5x^2y\)是同类项（系数不同但字母和指数相同）；而\(2x\)与\(3y\)不是同类项（字母不同）。
二、同类项的识别方法
判断两项是否为同类项，需同时满足以下两个条件：
两项所含的字母完全相同（字母种类和数量一致）；
相同字母的指数分别相同。
示例：判断下列各组是否为同类项：
（1）\(3a^2b\)与\(-2a^2b\) （2）\(5xy\)与\(5x\) （3）\(4x^3\)与\(3x^2\) （4）\(-7\)与\(2\)
解：
（1）是同类项（都含字母\(a\)、\(b\)，且\(a\)的指数都是\(2\)，\(b\)的指数都是\(1\)）；
（2）不是同类项（所含字母不同，前者含\(x\)、\(y\)，后者只含\(x\)）；
（3）不是同类项（相同字母\(x\)的指数不同，前者为\(3\)，后者为\(2\)）；
（4）是同类项（都是常数项）。
三、合并同类项的法则
定义：
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
法则：
合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
例如：合并同类项\(3x^2 + 5x^2\)，系数相加得\(3 + 5 = 8\)，字母和指数不变，结果为\(8x^2\)；
合并同类项\(2x - x\)，系数相加得\(2 + (-1) = 1\)，结果为\(1x\)（通常简写为\(x\)）；
合并同类项\(7 - 3\)，系数相加得\(7 + (-3) = 4\)，结果为\(4\)。
法则的本质：
合并同类项的依据是乘法分配律的逆运用，即\(ac + bc = (a + b)c\)。例如：\(3x^2 + 5x^2 = (3 + 5)x^2 = 8x^2\)，本质是将\(x^2\)看作一个整体，提取公因式后合并系数。
四、合并同类项的步骤
合并同类项需按 “找→移→合” 的步骤进行，具体如下：
找出同类项：
在多项式中，用不同的标记（如波浪线、横线）标出同类项，避免遗漏或混淆。例如：对于多项式\(4a^2 + 3b^2 + 2ab - 4a^2 - 2b^2 + ab\)，可标记为：\(4a^2\)与\(-4a^2\)是同类项，\(3b^2\)与\(-2b^2\)是同类项，\(2ab\)与\(ab\)是同类项。
移动同类项：
根据加法交换律和结合律，将同类项移到一起，移动时要连同项的符号一起移动。例如：上例可整理为：\(4a^2 - 4a^2 + 3b^2 - 2b^2 + 2ab + ab\)。
（注意：移动项时不能改变项的符号，如\(-2b^2\)移动后仍为\(-2b^2\)）
合并同类项：
按照合并法则，将同类项的系数相加，字母和指数不变。例如：上例合并后为：\((4 - 4)a^2 + (3 - 2)b^2 + (2 + 1)ab = 0a^2 + 1b^2 + 3ab = b^2 + 3ab\)。
整理结果：
合并后若系数为\(0\)，则该项可省略；系数为\(1\)或\(-1\)时，“\(1\)” 通常省略；结果按某一字母的降幂或升幂排列（一般按降幂排列）。例如：\(0x^2 + 3x - 2\)整理为\(3x - 2\)；\(1x^2 - 1y\)整理为\(x^2 - y\)。
五、合并同类项的实例解析
基础多项式合并：
合并多项式\(3x^2 - 2x + 5 + 4x^2 - 7x - 6\)中的同类项。
解：
步骤 1：找同类项：\(3x^2\)与\(4x^2\)，\(-2x\)与\(-7x\)，\(5\)与\(-6\)；
步骤 2：移同类项：\(3x^2 + 4x^2 - 2x - 7x + 5 - 6\)；
步骤 3：合并：\((3 + 4)x^2 + (-2 - 7)x + (5 - 6) = 7x^2 - 9x - 1\)；
结果：\(7x^2 - 9x - 1\)。
含多字母多项式合并：
合并多项式\(2a^2b + 3ab^2 - a^2b - ab^2 + 5\)中的同类项。
解：
同类项：\(2a^2b\)与\(-a^2b\)，\(3ab^2\)与\(-ab^2\)，常数项\(5\)；
合并：\((2 - 1)a^2b + (3 - 1)ab^2 + 5 = a^2b + 2ab^2 + 5\)；
结果：\(a^2b + 2ab^2 + 5\)。
系数为分数或负数的合并：
合并多项式\(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{4} - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{2}\)中的同类项。
解：
同类项：\(\frac{1}{2}x^2\)与\(-\frac{1}{2}x^2\)，\(-\frac{1}{3}x\)与\(\frac{1}{3}x\)，\(\frac{1}{4}\)与\(-\frac{1}{2}\)；
合并：\((\frac{1}{2} - \frac{1}{2})x^2 + (-\frac{1}{3} + \frac{1}{3})x + (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) = 0x^2 + 0x - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}\)；
结果：\(-\frac{1}{4}\)。
六、常见错误与规避方法
同类项识别错误：
常见错误：将\(2x^2y\)与\(3xy^2\)误认为同类项（相同字母指数不同）；将\(5a\)与\(5b\)误认为同类项（字母不同）。
规避方法：严格按照 “字母相同且相同字母指数相同” 的条件判断，可列表对比两项的字母和指数。
合并时改变字母或指数：
常见错误：合并\(3x^2 + 2x^2\)时误写成\(5x^4\)（错误改变指数）；合并\(2ab + 3ab\)时误写成\(5a^2b^2\)（错误改变字母和指数）。
规避方法：牢记合并同类项时 “字母和字母的指数不变”，仅合并系数，可通过乘法分配律验证（如\(3x^2 + 2x^2 = (3 + 2)x^2 = 5x^2\)）。
移动项时符号错误：
常见错误：将多项式\(3x - 2y + x\)中的\(-2y\)移项后误写成\(+2y\)；将\(5x^2 - 3x + 2x^2\)整理为\(5x^2 + 2x^2 + 3x\)（遗漏\(-3x\)的符号）。
规避方法：移动项时，项的符号随项一起移动，可在移动前用括号标出项的符号（如\(-2y\)移动时仍为\(-2y\)）。
系数计算错误：
常见错误：合并\(-x^2 - x^2\)时误算为\(0\)（正确应为\(-2x^2\)）；合并\(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}a\)时误算为\(\frac{1}{6}\)（遗漏字母\(a\)，正确应为\(\frac{1}{6}a\)）。
规避方法：合并系数时注意符号，分数系数需通分后计算，结果要保留字母和指数。
七、合并同类项的应用价值
简化多项式：
通过合并同类项，可将复杂的多项式化简为更简洁的形式，便于后续的求值、运算或分析。例如：多项式\(5x^3 - 3x^3 + 2x^2 + x^2 - 4x + 4x + 7 - 2\)合并后为\(2x^3 + 3x^2 + 5\)，结构更清晰。
代数式求值的前置步骤：
在求代数式的值时，先合并同类项可减少计算量。例如：求多项式\(2x^2 + 3x - x^2 - 4x + 5\)当\(x = 2\)时的值，合并后为\(x^2 - x + 5\)，代入得\(4 - 2 + 5 = 7\)，比直接代入原式更简便。
几何问题中的应用：
在表示几何图形的周长、面积时，合并同类项可简化表达式。例如：一个长方形的长为\(3a + 2b\)，宽为\(a - b\)，周长为\(2[(3a + 2b) + (a - b)] = 2[4a + b] = 8a + 2b\)，合并后更易计算具体数值。
八、典型例题解析
基础合并题：
合并下列多项式中的同类项：
（1）\(4m^2n - 3mn^2 + m^2n + 2mn^2\) （2）\(3x^2 - [5x - (\frac{1}{2}x - 3) + 2x^2]\)
解：
（1）原式\(= (4m^2n + m^2n) + (-3mn^2 + 2mn^2) = 5m^2n - mn^2\)；
（2）先去括号：原式\(= 3x^2 - 5x + (\frac{1}{2}x - 3) - 2x^2 = 3x^2 - 5x + \frac{1}{2}x - 3 - 2x^2\)，
再合并：\((3x^2 - 2x^2) + (-5x + \frac{1}{2}x) - 3 = x^2 - \frac{9}{2}x - 3\)。
求值题：
先合并同类项，再求值：\(3a^2b - 2ab^2 + 5a^2b - ab^2\)，其中\(a = 1\)，\(b = -1\)。
解：
合并同类项：原式\(= (3a^2b + 5a^2b) + (-2ab^2 - ab^2) = 8a^2b - 3ab^2\)，
代入\(a = 1\)，\(b = -1\)得：\(8 1^2 (-1) - 3 1 (-1)^2 = -8 - 3 1 = -11\)。
实际应用题：
一个三角形的三边长分别为\((2x + 1)\)厘米、\((x^2 - 2)\)厘米和\((x^2 - 2x + 1)\)厘米，求该三角形的周长（用合并后的多项式表示）。若\(x = 2\)，求周长。
解：
周长 = 三边长之和 = \((2x + 1) + (x^2 - 2) + (x^2 - 2x + 1)\)，
合并同类项：\(2x + 1 + x^2 - 2 + x^2 - 2x + 1 = (x^2 + x^2) + (2x - 2x) + (1 - 2 + 1) = 2x^2\)，
当\(x = 2\)时，周长 = \(2 2^2 = 8\)厘米。
合并同类项是整式运算的基础技能，其核心在于准确识别同类项并正确合并系数。通过系统练习，需达到能快速找出同类项、熟练移动项的位置、准确计算系数和的水平。合并同类项不仅能简化多项式，还能为后续的整式加减、因式分解等知识
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.2.1合并同类项
第四章 整式的加减
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.知道什么是同类项，会判断同类项.
2.掌握合并同类项的方法，能准确合并同类项. 3.通过类比数的运算探究，找到合并同类项的方法，从中体会“数式通性”和类比思想.
汽车从香港口岸到西人工岛包含两段路程，一段为香港口岸到东人工岛，行驶的平均速度为96km/h；另一段为海底隧道，行驶的平均速度为72km/h．如果汽车通过海底隧道需要a h，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的1.25倍，香港口岸到西人工岛的全长（单位:km）是多少？
72a+120a
你能计算这个代数式吗？你是计算的依据是什么？
（1）运用运算律计算：
72×2+120×2=_________；
72×（-2）+120×（-2）= __________.
知识点1
同类项的概念
探究
72×2+120×2
=(72+120)×2
=192×2
=384
根据分配律可得
72×(-2)+120×(-2)
=(72+120)×(-2)
=192×(-2)
= -384
（2）根据上面的方法完成下面的运算，并说明其中的道理：
72a＋120a=________________.
探究
72a+120a
= (72+120) a
= 192a
根据分配律得：
192a
① 3m2 与 2m2 ； ② 2a3b5 与 5a3b5 ；
③ 6xy 与 –xy； ④ y7x6z3 与 -3z3y7x6.
观察上面每组的两个单项式有什么共同特点？
①每个式子的项含有相同的字母；
②并且相同字母的指数也相同.
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
几个常数项也是同类项.
所含字母相同
相同字母的指数也相同
3 x2 y3 与 -4 y3 x2 是同类项
归纳总结
（1）判断同类项的关键是“两相同”“两无关”:
①“两相同”:所含字母完全相同,相同字母的
指数也相同;
②“两无关”:与系数无关,与字母的排列顺序
无关.
（2）判断同类项的步骤:
观察所含字母是否相同
否
是
不是同类项
观察相同字母的指数是否相同
否
是
是同类项
不是同类项
若单项式-3amb2与单项式 是同类项，则m=____，n=____.　
针对训练
3
2
（1）72a-120a=（ ）a；
（2）3m2+2m2=（ ）m2；
（3）3xy2-4xy2=（ ）xy2
填空:
-48
5
-1
探究
知识点2
合并同类项
72-120
3+2
3-4
上述多项式的运算有什么共同特点
①根据分配律把多项式各项的系数相加；
②字母部分保持不变.
（1）72a-120a=（ ）a；
（2）3m2+2m2=（ ）m2；
（3）3xy2-4xy2=（ ）xy2
-48
5
-1
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变.
例如
（交换律）
（结合律）
（分配律）
例1　合并下列各式的同类项:
（1） ；
解：原式
（2）
原式
合并同类项的一般步骤：
①找：找出同类项（并做标记）；
②移：运用交换律、结合律将同类项集中在一起；
③合：合并同类项；
④写：按同一字母的降幂（或升幂）排列写出.
合并同类项应注意的问题：
①运用交换律、结合律将多项式变形时，不能丢掉各项系数的符号；
②不要漏项；
③运算结果通常按某一字母的降幂（或升幂）
排列.
知识点3
合并同类项的运用
例2（1）求多项式 的值，其中 ；
解：
当 时，原式 .
当 ， 时，
原式
（2）求多项式 的值，其中 ， ，c=-3.
解：
请你把字母的值直接代入原式求值.与上述化简求值比较，哪种方法更简便？
求下列各式的值.
（1）3a+2b-5a-b，其中a=-2，b=1;
解：（1）3a+2b-5a-b
=(3-5)a+(2-1)b
= -2a+b
当a=-2，b=1时，原式= -2×(-2)+1=5
针对训练
（2）3x-4x2+7-3x+2x2+1，其中x = -3.
解： 3x-4x2+7-3x+2x2+1
=(-4+2)x2+ (3-3)x+ (7+1)
= -2x2+8
当x = -3时，原式 = -2×(-3)2+8 = -10
例3（1）水库水位第一天连续下降了a h，平均每小时下降2cm；第二天连续上升了a h，平均每小时上升0.5cm，这两天水位总的变化情况如何？
解：把下降的水位变化量记为负，上升的水位变化量记为正，则第一天水位的变化量是-2a cm，
第二天水位的变化量为0.5a cm. 由
-2a+0.5a = (-2+0.5)a= -1.5a
可知，这两天水位总的变化情况为下降了1.5a cm.
（2）某商店原有5袋大米，每袋大米为x kg.
上午售出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋.进货后这个商店有大米多少千克？
解：把进货的数量记为正，售出的数量记为负，则上午大米质量的变化量是-3x kg，下午大米质量的变化量是4x kg. 由
5x-3x+4x = (5-3+4)x= 6x
可知，进货后这个商店有大米6x 千克.
1. 下列各组中的两项，属于同类项的是（ ）
A. a2和a B. -0.5ab和 ba
C. a2b和ab2 D. a和b
B
2. 下列运算中，正确的是（ ）
A. 3a+2b=5ab B. 3a2b-3ba2=0
C. 2x3+3x2=5x5 D. 5y2-4y2=1
B
随堂练习
3. 合并下列各式的同类项：
（1）5x+4x；
（3）-7ab＋6ab；
（5）mn2＋3mn2；
（4）10y2－0.5y2；
（2） ；
【选自教材P98 练习 第1题】
（6）-3x2y+3xy2＋2x2y-2xy2.
9x
-ab
9.5y2
4mn2
-x2y+xy2
4. 先化简，再求值：
（1）3a+2b-5a-b，其中a=-2，b=1；
【选自教材P98 练习 第2题】
解：(1) 3a+2b-5a-b=-2a+b.
当a=-2，b=1时，原式=(-2)×(-2) +1=5.
（2）3x-4x2+7-3x+2x2+1，其中x=-3.
(2) 3x-4x2+7-3x+2x2+1=-2x2+8.
当x=-3时，原式=(-2)×(-3)2+8=-10.
5. 如图，大圆的半径是R，小圆的面积是大圆面积的 ，求阴影部分的面积.
解：阴影部分的面积为
πR2- πR2= πR2
【选自教材P98 练习 第3题】
R
1. 下列选项中的两个单项式不是同类项的是( )
B
A. 与4 B. 与
C. 与 D. 与
返回
2. 下列运算中，正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
3. 已知代数式和是同类项，则 的值
是( )
D
A. B. C. D. 4
【点拨】因为代数式和 是同类项，所以
,.所以， .所以
.
返回
4. 若是一个五次多项式，是一个四次多项式，则 一
定是( )
B
A. 次数不超过五次的多项式
B. 五次多项式或单项式
C. 九次多项式
D. 次数不低于五次的多项式
返回
5. 如图，从标有单项式的四张卡片中找出所有能合并的同类
项，若它们合并后的结果为，则代数式 的值为
( )
C
A. B. 0 C. 1 D. 2
【点拨】由题意得 ，所以
.
返回
6. 若整式化简后是关于, 的三次
二项式,则 的值为( )
A
A. B. C. 8 D. 16
【点拨】
.因为
化简后是关于, 的三次二项式，
所以，,所以， ,所以
.
返回
7. 请写出一个系数为负数且与 是同类项
的单项式:_______________________.
（答案不唯一）
返回
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.几个常数项也是同类项.
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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