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4.2.2 去括号
在整式的运算中，当多项式含有括号时，去括号是化简多项式的重要步骤。括号的存在会阻碍同类项的合并，因此需要通过去括号法则将括号去掉，使多项式的结构更清晰，便于后续的合并同类项和求值运算。掌握去括号的方法，需明确不同符号前的括号去除规则，确保每一步运算的准确性。
一、去括号的法则
去括号的核心是根据括号前的符号（正号或负号），正确处理括号内各项的符号，具体法则如下：
括号前是 “\(+\)” 号：
把括号和它前面的 “\(+\)” 号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。
用字母表示为：\(a + (b + c) = a + b + c\)；\(a + (b - c) = a + b - c\)。
例如：\(3x + (2x - 1) = 3x + 2x - 1\)（去掉括号和 “\(+\)” 号后，\(2x\)和\(-1\)的符号不变）；\(a^2 + (b^2 - 2ab) = a^2 + b^2 - 2ab\)（括号内各项符号均未改变）。
括号前是 “\(-\)” 号：
把括号和它前面的 “\(-\)” 号去掉后，原括号里各项的符号都要改变（正号变负号，负号变正号）。
用字母表示为：\(a - (b + c) = a - b - c\)；\(a - (b - c) = a - b + c\)。
例如：\(5x - (3x + 2) = 5x - 3x - 2\)（去掉括号和 “\(-\)” 号后，\(3x\)变\(-3x\)，\(+2\)变\(-2\)）；\(2y^2 - (y^2 - 3y) = 2y^2 - y^2 + 3y\)（括号内\(y^2\)变\(-y^2\)，\(-3y\)变\(+3y\)）。
括号前有数字因数：
需先将数字因数与括号内的每一项分别相乘，再按照上述法则去掉括号。
用字母表示为：\(a(b + c) = ab + ac\)；\(a(b - c) = ab - ac\)；\(-a(b + c) = -ab - ac\)；\(-a(b - c) = -ab + ac\)。
例如：\(2(3x - 4) = 2 3x - 2 4 = 6x - 8\)（数字\(2\)与括号内每一项相乘，符号不变）；\(-3(x^2 - 2x) = -3 x^2 + (-3) (-2x) = -3x^2 + 6x\)（数字\(-3\)与每一项相乘，符号改变）。
二、去括号的步骤
去括号时需遵循 “由内向外” 或 “由外向内” 的顺序，具体步骤如下：
观察括号前的符号和系数：
确定括号前是 “\(+\)” 号、“\(-\)” 号，还是带有数字因数，明确对应的去括号规则。例如：对于\(3x - [2x + (5x - 1)]\)，最外层括号前是 “\(-\)” 号，内层括号前是 “\(+\)” 号。
逐步去掉括号：
若含有多层括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号；也可根据情况先去外层括号，但需注意每层括号的符号变化。
例如：化简\(3x - [2x + (5x - 1)]\)：
步骤 1：去小括号（前为 “\(+\)” 号，符号不变）：\(3x - [2x + 5x - 1]\)；
步骤 2：去中括号（前为 “\(-\)” 号，符号改变）：\(3x - 2x - 5x + 1\)。
检查符号是否正确：
去括号后，对照法则检查每一项的符号是否按规则改变，避免漏改或多改符号。例如：去括号\(-(a - b + c)\)后应为\(-a + b - c\)，若写成\(-a - b + c\)则错误（\(b\)的符号未改变）。
合并同类项（后续步骤）：
去括号后，多项式中的同类项通常会相邻或集中，此时需按照合并同类项的法则进一步化简。例如：上例中\(3x - 2x - 5x + 1\)合并后为\(-4x + 1\)。
三、去括号的实例解析
单一括号去括号：
化简下列各式：
（1）\(4x + (2x - 3y)\) （2）\(5a - (3a^2 - 2a)\) （3）\(-2(y^2 - 3y + 1)\)
解：
（1）括号前是 “\(+\)” 号，去括号后符号不变：
原式\(= 4x + 2x - 3y = 6x - 3y\)（合并同类项）；
（2）括号前是 “\(-\)” 号，去括号后符号改变：
原式\(= 5a - 3a^2 + 2a = -3a^2 + 7a\)（合并同类项）；
（3）括号前有数字\(-2\)，先相乘再去括号：
原式\(= -2 y^2 + (-2) (-3y) + (-2) 1 = -2y^2 + 6y - 2\)。
多层括号去括号：
化简\(2x^2 - [3x - (x - 1) + 2x^2]\)。
解：
方法一（由内向外去括号）：
步骤 1：去小括号：\(2x^2 - [3x - x + 1 + 2x^2]\)（小括号前是 “\(-\)” 号，\(x\)变\(-x\)，\(-1\)变\(+1\)）；
步骤 2：合并中括号内同类项：\(2x^2 - [2x + 1 + 2x^2]\)；
步骤 3：去中括号：\(2x^2 - 2x - 1 - 2x^2\)（中括号前是 “\(-\)” 号，各项符号改变）；
步骤 4：合并同类项：\((2x^2 - 2x^2) - 2x - 1 = -2x - 1\)。
方法二（由外向内去括号）：
步骤 1：去中括号：\(2x^2 - 3x + (x - 1) - 2x^2\)（中括号前是 “\(-\)” 号，\(3x\)变\(-3x\)，\(-(x - 1)\)变\(+(x - 1)\)，\(2x^2\)变\(-2x^2\)）；
步骤 2：去小括号：\(2x^2 - 3x + x - 1 - 2x^2\)；
步骤 3：合并同类项：\(-2x - 1\)。
含分数系数的去括号：
化简\(\frac{1}{2}(4a + 6b) - \frac{1}{3}(3a - 3b)\)。
解：
步骤 1：分别去括号（数字因数与每一项相乘）：
原式\(= \frac{1}{2} 4a + \frac{1}{2} 6b - \frac{1}{3} 3a + \frac{1}{3} 3b\)；
步骤 2：计算系数：\(2a + 3b - a + b\)；
步骤 3：合并同类项：\((2a - a) + (3b + b) = a + 4b\)。
四、常见错误与规避方法
括号前是负号时符号漏改：
常见错误：去括号\(3x - (2x + 1)\)时误写成\(3x - 2x + 1\)（漏改\(+1\)的符号）；去括号\(-(a - b - c)\)时误写成\(-a - b + c\)（漏改\(-b\)的符号）。
规避方法：括号前是 “\(-\)” 号时，默念 “每项变号”，逐一检查括号内的每一项，确保正号变负号、负号变正号。
括号前有数字时漏乘项：
常见错误：去括号\(2(x + y)\)时误写成\(2x + y\)（漏乘\(y\)）；去括号\(-3(a^2 - 2a)\)时误写成\(-3a^2 - 2a\)（漏乘\(-2a\)）。
规避方法：将数字因数与括号内的每一项都相乘，可在草稿纸上标注 “分配律” 步骤，如\(2(x + y) = 2 x + 2 y\)。
多层括号去括号顺序错误：
常见错误：化简\(a - [b - (c - d)]\)时直接去中括号，误写成\(a - b - (c - d)\)（未先处理小括号）。
规避方法：多层括号建议 “由内向外” 逐层去括号，每去一层括号后可先合并同类项，再处理外层括号，减少符号混淆。
符号与数字混淆：
常见错误：将 “\(-x\)” 中的 “\(-\)” 当作减号而非系数符号，去括号\(5 - (x - 1)\)时误写成\(5 - x - 1\)（正确应为\(5 - x + 1\)）。
规避方法：将多项式中的项视为 “带符号的数”，例如\(-(x - 1)\)可理解为\(-1 (x - 1) = -x + 1\)，明确负号的乘法分配作用。
五、去括号与合并同类项的综合应用
在整式化简中，去括号和合并同类项通常结合使用，步骤为：去括号→合并同类项。
示例：化简并求值\(3(2x^2 - y^2) - 2(3y^2 - 2x^2)\)，其中\(x = 1\)，\(y = -2\)。
解：
步骤 1：去括号（括号前有数字，先相乘再去括号）：
原式\(= 6x^2 - 3y^2 - 6y^2 + 4x^2\)；
步骤 2：合并同类项：\((6x^2 + 4x^2) + (-3y^2 - 6y^2) = 10x^2 - 9y^2\)；
步骤 3：代入求值：
当\(x = 1\)，\(y = -2\)时，原式\(= 10 1^2 - 9 (-2)^2 = 10 - 9 4 = 10 - 36 = -26\)。
六、典型例题解析
基础化简题：
化简下列各式：
（1）\(5(a^2b - ab^2) - 3(ab^2 + a^2b)\) （2）\(x - 2[3x - (2x + 1)]\)
解：
（1）去括号：\(5a^2b - 5ab^2 - 3ab^2 - 3a^2b\)，
合并同类项：\(2a^2b - 8ab^2\)；
（2）去小括号：\(x - 2[3x - 2x - 1] = x - 2[x - 1]\)，
去中括号：\(x - 2x + 2\)，
合并同类项：\(-x + 2\)。
含绝对值的去括号（拓展）：
化简\(|x - 3| + 2x\)（假设\(x 3\)）。
解：
当\(x 3\)时，\(x - 3 0\)，绝对值符号可视为 “括号前为正号”，去括号后符号不变：
原式\(= (x - 3) + 2x = x - 3 + 2x = 3x - 3\)。
实际应用题：
一个长方形的长为\((3a + 2b)\)，宽比长短\((a - b)\)，用含\(a\)、\(b\)的代数式表示长方形的宽和周长，并化简。若\(a = 2\)，\(b = 1\)，求周长。
解：
宽 = 长 - \((a - b) = (3a + 2b) - (a - b) = 3a + 2b - a + b = 2a + 3b\)；
周长 = \(2 (é + ) = 2[(3a + 2b) + (2a + 3b)] = 2[5a + 5b] = 10a + 10b\)；
当\(a = 2\)，\(b = 1\)时，周长 = \(10 2 + 10 1 = 30\)。
去括号是整式运算中的关键步骤，其核心是根据括号前的符号正确处理括号内各项的符号，尤其是括号前为负号或带有数字因数的情况。在学习过程中，需通过大量实例练习，熟练掌握 “由内向外” 或 “由外向内” 的去括号顺序，避免符号漏改、漏乘项等错误。去括号后结合合并同类项，可将复杂的整式化简为最简形式，为后续的求值、运算及实际问题解决提供便利。
2024人教版数学七年级上册
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4.2.2去括号
第四章 整式的加减
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
能叙述并理解去括号法则，并且会利用去括号法则将整式化简.
港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥. 一辆汽车在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为72km/h和92km/h. 如果汽车通过主桥需要b h，通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少0.15 h，你能用含b 的代数式表示主桥与海底隧道长度的和吗？主桥与海底隧道的长度相差多少千米？
① 92b+72(b-0.15)
像这种带有括号的代数式，我们该如何化简呢？
② 92b-72(b-0.15)
知识点
去括号
利用乘法分配律计算：
= -3+4
= 1
带号乘
同号得正
异号得负
带号写
用类似方法计算下列各式：
（1）2(x+8)=
带号乘
同号得正
异号得负
带号写
2x+2×8 = 2x+16
（2）-3(3x+4)=
（3）-7(7y-5)=
(-3)·3x + (-3)×4 = -9x-12
(-7)·7y + (-7)×(-5) = -49y+35
一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加.
例4 化简：
（1）8a+2b+(5a-b)
解：原式=8a+2b+5a-b
=13a+ b
（2）(4y-5)-3(1-2y)
原式= 4y-5-3+6y
= 10y-8
为什么-3×(-2y)=6y
知识拓展：
(1)如果括号外的数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
(2)如果括号外的数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
思考：
试比较 +(x-3)与-(x-3)的区别？
+(x-3)与-(x-3)可以看作 1 与 -1 分别乘(x-3).利用分配律，可以将式子中的括号去掉，得
+(x-3)＝x-3， -(x-3)＝-x+3.
去括号规律要准确理解，去括号应对括号内的每一项的符号都予以考虑，做到要变都变；要不变都不变；另外，括号内原有几项去掉括号后仍有几项．
现在你能对导入部分的两个式子进行化简计算了吗？
92b+72(b-0.15)
=92b+72b-10.8
92b-72(b-0.15)
=164b-10.8
=92b-72b+10.8
=20b+10.8
例5 两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50 km/h，水流速度是a km/h．
（1）2 h后两船相距多远？
（2）2 h后甲船比乙船多航行多少千米？
解：顺水航速 = 静水航速 + 水速 =（50+a）km/h
逆水航速 = 静水航速 - 水速 =（50-a）km/h
（1） 2(50＋a)＋2(50－a)
＝100＋2a＋100－2a
＝200
2h后两船相距200km.
（2）2(50＋a)－2(50－a)
＝100＋2a－100＋2a
＝4a
2h后甲船比乙船多航行4a km.
化简：
（1）12(x – 0.5)
=12x – 12×0.5
（2）
=12x – 6
【选自教材P100 练习 第3题】
针对训练
（3）– 5a+(3a – 2) – (3a – 7)
= – 5a + 3a – 2 – 3a + 7
= – 5a + 5
（4）
1. 下列去括号的过程是否正确？如果错误，请改正.
（1）a2 – (2a - b + c) = a2 - 2a – b + c；
= a2 - 2a + b - c
（2）-(x - y) + (xy - 1) = - x - y + xy - 1.
= - x + y + xy - 1
随堂练习
【选自教材P100 练习 第1题】
2. 化简（xyz2-4yx-1）+（-3xy+z2yx-3）-（2xyz2+xy）的值是（ ）
A.与x，y，z的大小都有关
B.与x，y，z的大小有关，而与y，z的大小无关
C.与x，y的大小有关，而与z的大小无关
D.与x，y，z的大小均无关
C
（1）a+(b–c) （2）a- (-b + c)
（3）(a-b)+( c+d) （4）-(a+b)-(-c + d)
= a+b–c
3. 去括号：
= a+b–c
= a-b+c+d
= -a-b+c-d
【选自教材P100 练习 第2题】
4.某地居民的生活用水收费际准为：每月用水量不超过15 m3，每立方米a 元；超过部分每立方米 (a+2) 元. 若该地区某家庭上月用水量为20 m3，则应缴水费多少元？
解：由15a+(20-15) (a+2)=15a+5a+10 =20a+10可知，应缴水费（20a + 10）元.
【选自教材P100 练习 第4题】
1. 下列计算正确的是( )
B
A.
B.
C.
D.
返回
2. 在中的 内应填的代数式为( )
C
A. B.
C. D.
返回
3.化简：
（1） ；
【解】原式
.
（2） .
原式
.
返回
4. 有理数在数轴上的位置如图所示，则
化简后为( )
A
A. 7 B. C. D. 无法确定
【解析】由题意知，则， .故
.
返回
5. 已知四边形的面积为10，五边形的面积为19，将两个多边
形按如图所示的方式叠放.若两个阴影部分的面积分别为 ，
，则 的值为( )
A
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
返回
6. 在计算 时，小明同学将
括号前面的“-”抄成了“”，得到的运算结果是 ，
则多项式 是______________.
【解析】根据题意,得 .
返回
利用分配律去括号需注意每一项符号的变化，且不要漏项，最后合并同类项.
课堂小结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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