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4.2.3 整式的加法与减法
整式的加法与减法是整式运算的基础，它以去括号和合并同类项为核心，通过将整式之间的加减运算转化为多项式内部的化简过程，实现整式的简化与求值。掌握整式的加减运算，不仅能深化对整式概念的理解，还能为后续学习整式的乘除、因式分解等知识提供必要的运算技能。
一、整式加减法的实质
整式的加法与减法本质上是去括号和合并同类项的综合运用。由于整式包括单项式和多项式，因此整式的加减运算可分为单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式之间的加减，其核心规则一致：
整式相加时，只需将它们的各项分别相加，即去掉加号后直接合并同类项；
整式相减时，需将减式的各项变号后，再与被减式的各项相加，即通过去括号改变符号后合并同类项。
用字母表示为：
加法：\(A + B\)（直接去括号，若\(B\)是多项式则保持各项符号不变，再合并同类项）；
减法：\(A - B\)（将\(B\)视为整体，去括号时各项变号，即\(A + (-B)\)，再合并同类项）。
例如：计算\((2x + 3y) + (x - 2y)\)，本质是去括号后合并同类项：\(2x + 3y + x - 2y = 3x + y\)；
计算\((2x + 3y) - (x - 2y)\)，本质是去括号变号后合并同类项：\(2x + 3y - x + 2y = x + 5y\)。
二、整式加减法的步骤
整式的加法与减法运算需遵循 “写式→去括号→合并同类项” 的步骤，具体如下：
写出整式加减的算式：
根据题意列出整式相加或相减的关系式，若涉及多项式，需用括号将多项式括起来，避免符号错误。例如：“求多项式\(3x^2 - 2x + 1\)与多项式\(2x^2 + 5x - 3\)的和” 应写成\((3x^2 - 2x + 1) + (2x^2 + 5x - 3)\)；“求多项式\(5a^2 - 3ab\)减去多项式\(2a^2 + ab - 1\)的差” 应写成\((5a^2 - 3ab) - (2a^2 + ab - 1)\)。
去括号：
根据去括号法则处理算式中的括号：
若括号前是 “\(+\)” 号，去掉括号后各项符号不变；
若括号前是 “\(-\)” 号，去掉括号后各项符号均需改变；
若括号前有数字因数，需先将数字与括号内各项相乘，再去括号。
例如：计算\((3x^2 - 2x + 1) + (2x^2 + 5x - 3)\)，去括号后为\(3x^2 - 2x + 1 + 2x^2 + 5x - 3\)；
计算\((5a^2 - 3ab) - (2a^2 + ab - 1)\)，去括号后为\(5a^2 - 3ab - 2a^2 - ab + 1\)。
合并同类项：
去括号后，按照合并同类项的法则，将多项式中所有同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，直至没有同类项为止。
例如：上例中\(3x^2 - 2x + 1 + 2x^2 + 5x - 3\)合并后为\(5x^2 + 3x - 2\)；\(5a^2 - 3ab - 2a^2 - ab + 1\)合并后为\(3a^2 - 4ab + 1\)。
整理结果：
合并同类项后，将结果按某一字母的降幂或升幂排列（通常按降幂排列），确保结果简洁规范。例如：\(3x + 5x^2 - 2\)整理为\(5x^2 + 3x - 2\)。
三、不同类型整式加减法的实例解析
单项式与单项式的加减：
单项式的加减实质是合并同类项（非同类项无法合并，结果仍为多项式）。
示例 1：计算\(3x^2 + 5x^2 - 2x^2\)。
解：原式\(= (3 + 5 - 2)x^2 = 6x^2\)（同类项直接合并系数）。
示例 2：计算\(4ab - 2a + 3ab + a\)。
解：原式\(= (4ab + 3ab) + (-2a + a) = 7ab - a\)（分别合并同类项）。
单项式与多项式的加减：
单项式与多项式相加（或相减）时，需将单项式与多项式的每一项分别相加（或相减），即去括号后合并同类项。
示例 1：计算\(2x + (x^2 - 3x + 1)\)。
解：去括号得\(2x + x^2 - 3x + 1\)，合并同类项得\(x^2 - x + 1\)。
示例 2：计算\(5y^2 - (3y - 2y^2 + 4)\)。
解：去括号得\(5y^2 - 3y + 2y^2 - 4\)，合并同类项得\(7y^2 - 3y - 4\)。
多项式与多项式的加减：
多项式与多项式的加减需先将两个多项式用括号括起，再去括号、合并同类项。
示例 1：计算\((3a^2 + 2a - 1) + (2a^2 - 3a + 5)\)。
解：去括号得\(3a^2 + 2a - 1 + 2a^2 - 3a + 5\)，
合并同类项得\((3a^2 + 2a^2) + (2a - 3a) + (-1 + 5) = 5a^2 - a + 4\)。
示例 2：计算\((x^3 - 2x^2 + x) - (x^2 - 3x + 1)\)。
解：去括号得\(x^3 - 2x^2 + x - x^2 + 3x - 1\)，
合并同类项得\(x^3 + (-2x^2 - x^2) + (x + 3x) - 1 = x^3 - 3x^2 + 4x - 1\)。
含多层括号的整式加减：
需按 “由内向外” 或 “由外向内” 的顺序逐层去括号，再合并同类项。
示例：计算\(2x - [3x - (x - 1) + 2]\)。
解：方法一（由内向外）：
去小括号得\(2x - [3x - x + 1 + 2]\)，
合并中括号内同类项得\(2x - [2x + 3]\)，
去中括号得\(2x - 2x - 3\)，
合并同类项得\(-3\)。
四、整式加减法的化简求值
整式的化简求值是整式加减的重要应用，步骤为：先化简整式（去括号、合并同类项），再代入字母取值计算结果。
示例：先化简，再求值：\((2x^2 - xy + 7) - (3x^2 - 2xy + 5)\)，其中\(x = -1\)，\(y = 2\)。
解：
步骤 1：化简整式：
原式\(= 2x^2 - xy + 7 - 3x^2 + 2xy - 5\)（去括号，注意符号变化），
合并同类项得\(-x^2 + xy + 2\)。
步骤 2：代入求值：
当\(x = -1\)，\(y = 2\)时，
原式\(= -(-1)^2 + (-1) 2 + 2 = -1 - 2 + 2 = -1\)。
五、常见错误与规避方法
去括号时符号错误：
常见错误：计算\((x^2 - 2x) - (x^2 + 3x)\)时，去括号误写成\(x^2 - 2x - x^2 + 3x\)（\(+3x\)未变号），正确应为\(x^2 - 2x - x^2 - 3x\)。
规避方法：减式去括号时，默念 “每项变号”，用乘法分配律理解（即\(-(a + b) = -a - b\)）。
漏写非同类项：
常见错误：计算\(3a + 2b - a\)时，误写成\(2a\)（漏写非同类项\(2b\)），正确应为\(2a + 2b\)。
规避方法：合并同类项后，检查是否遗漏未合并的非同类项，确保所有项都包含在结果中。
书写算式时未加括号：
常见错误：“计算多项式\(2x + 1\)减去多项式\(x - 3\)” 误写成\(2x + 1 - x - 3\)（未给减式加括号，导致\(-3\)变号错误），正确应为\((2x + 1) - (x - 3)\)。
规避方法：多项式参与加减运算时，必须用括号括起，明确运算范围。
代入求值时直接代入原式：
常见错误：未化简整式直接代入求值，导致计算复杂易错。例如：直接代入\((2x^2 - xy + 7) - (3x^2 - 2xy + 5)\)计算，步骤繁琐易出错。
规避方法：严格遵循 “先化简，再求值” 的原则，化简后再代入可大幅减少计算量。
六、典型例题解析
基础整式加减：
计算下列各式：
（1）\((5m^2 - 3m) + (4m - 2m^2)\) （2）\((a^2b + ab^2) - 2(a^2b - 1) - ab^2 - 2\)
解：
（1）去括号得\(5m^2 - 3m + 4m - 2m^2\)，合并同类项得\(3m^2 + m\)；
（2）去括号得\(a^2b + ab^2 - 2a^2b + 2 - ab^2 - 2\)，合并同类项得\(-a^2b\)。
化简求值：
先化简，再求值：\(3(2x^2y - xy^2) - 2(3x^2y - 2xy^2)\)，其中\(x = \frac{1}{2}\)，\(y = -1\)。
解：
化简原式：\(6x^2y - 3xy^2 - 6x^2y + 4xy^2 = xy^2\)，
代入\(x = \frac{1}{2}\)，\(y = -1\)得：\(\frac{1}{2} (-1)^2 = \frac{1}{2} 1 = \frac{1}{2}\)。
实际应用题：
一个三角形的第一条边长为\((2a + b)\)，第二条边长比第一条边短\((a - b)\)，第三条边长是第一条边长的\(2\)倍，求该三角形的周长（用含\(a\)、\(b\)的整式表示）。若\(a = 3\)，\(b = 1\)，求周长。
解：
第二条边长 = \((2a + b) - (a - b) = 2a + b - a + b = a + 2b\)，
第三条边长 = \(2 (2a + b) = 4a + 2b\)，
周长 = 第一条边 + 第二条边 + 第三条边 = \((2a + b) + (a + 2b) + (4a + 2b) = 7a + 5b\)，
当\(a = 3\)，\(b = 1\)时，周长 = \(7 3 + 5 1 = 21 + 5 = 26\)。
整式的加法与减法是整式运算的核心内容，其关键在于准确运用去括号法则和合并同类项法则。通过规范书写算式、逐层去括号、细致合并同类项等步骤，可确保运算的准确性。在学习过程中，需通过大量不同类型的例题练习，熟练掌握整式加减的方法，并重视 “先化简再求值” 的解题策略，为后续更复杂的整式运算打下坚实基础。
2024人教版数学七年级上册
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4.2.3整式的加法与减法
第四章 整式的加减
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.能熟练进行整式加减运算.
2.能运用整式加减运算解决简单的实际问题.
1.合并同类项法则的内容是什么？
2.去括号法则的内容是什么？
将同类项的系数相加， 所得的结果作为系数， 字母和字母的指数不变.
用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加.
知识点
整式的加减
例6 计算：
(1)( 2x – 3y ) + ( 5x + 4y )
= 2x – 3y + 5x + 4y
= 7x + y
(2)( 8a – 7b ) – ( 4a – 5b )
= 8a – 7b – 4a +5b
= 4a – 2b
去括号
合并同类项
去括号
合并同类项
例7 做大、小两个长方体纸盒，尺寸如表所示.
类型 长/cm 宽/cm 高/cm
小纸盒 a b c
大纸盒 1.5a 2b 2c
（1）做这两个纸盒共用纸多少平方厘米？
（2）做大纸盒比做小纸盒多用纸多少平方厘米？
解：小纸盒的表面积是（2ab+2bc+2ca）cm2
大纸盒的表面积是（6ab+8bc+6ca）cm2
（1）由 (2ab+2bc+2ca)+ (6ab+8bc+6ca)
= 2ab+2bc+2ca+6ab+8bc+6ca
= 8ab+10bc+8ca
可知，做这两个纸盒共用纸(8ab+10bc+8ca)cm2.
（2）由 (6ab+8bc+6ca)- (2ab+2bc+2ca)
=6ab+8bc+6ca -2ab-2bc-2ca
=4ab+6bc+4ca
可知，做大纸盒比做小纸盒多用纸(4ab+6bc+4ca)cm2.
解：小纸盒的表面积是（2ab+2bc+2ca）cm2
大纸盒的表面积是（6ab+8bc+6ca）cm2
通过上面的学习，我们得到整式加减的运算法则：
几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
归纳总结
特别提醒：
（1）整式加减的结果要最简：①不能有同类项；②含字母的项的系数不能出现带分数，如果有带分数，将其化成假分数.
（2）整式加减的结果一般不含括号.
例8 求 的值，其中
x = – 2，y = .
解：
当x= – 2，y = 时，原式
先将式子化简，再代入数值进行计算比较简便.
整式的化简求值的一般步骤：
(1)化：利用整式加减的运算法则将整式化简；
(2)代：把已知字母的值代入化简后的式子；
(3)算：根据有理数的运算法则进行计算.
对于某些特殊的式子，可采用“整体代入法”进行计算.
归纳总结
先化简，再求值：3x2 – [8x-2(4x-3)–2x2]，其中x=-3.
解： 3x2 – [ 8x - 2(4x-3) – 2x2]
= 3x2 – 8x + 2(4x-3) + 2x2
= 3x2 – 8x + 8x – 6 + 2x2
= 5x2 – 6
针对训练
当x=-3时，原式=5×(-3)2-6=39.
1.计算：
【选自教材P101 练习 第1题】
随堂练习
（2）x3 – (x2-x+1) –2(x3-x2-1)-1
= x3 – x2+x-1 -2x3+2x2+2-1
= -x3 +x2+x
2. 求x2 – 5xy-3x2-2(1-2xy-x2)的值，其中
解： x2 – 5xy-3x2-2(1-2xy-x2)
= x2 – 5xy -3x2-2+4xy+2x2
= – xy -2
【选自教材P102 练习 第2题】
当 时，原式= .
3. 笔记本的单价是x元，中性笔的单价是y元. 王芳买了3本笔记本，2支中性笔；李明买了4本笔记本，3支中性笔.买这些笔记本和中性笔，王芳和李明一共花费多少元？
解法1：王芳买笔记本和中性笔共花费（3x+2y）元，
李明买笔记本和中性笔共花费（4x+3y）元.
王芳和李明一共花费（单位：元）:
(3x+2y) + (4x+3y) = 7x+5y
【选自教材P102 练习 第3题】
解法2：王芳和李明买笔记本共花费（3x+4x）元，
买中性笔共花费（2y+3y）元.
王芳和李明一共花费（单位：元）:
(3x+4x) + (2y+3y) = 7x+5y
复习巩固
1.合并同类项：
（1）2x-10.3x
解：原式=-8.3x
（2）3x-x-5x
解：原式=-3x
（3）-b+0.6b-3.6b
（4）m-n2-6m+2n2
解：原式=-4b
解：原式=n2-5m
2.化简：
（1）2(4x-0.5)
解：原式=8x-1
（2）-3(1-x)
解：原式=3x-3
（3）-x+2(2x-2)-(3x+5)
（4）3a2+a2-(2a2-2a)+(3a-a2)
解：原式=-9
解：原式=a2+5a
3.计算：
（1）(5a+4c+7b)+(5c-3b-6a)
解：原式= 5a+4c+7b+5c-3b-6a
=-a+4b+9c
（2）(8xy-x2+y2)-(x2-y2+8xy)
解：原式= 8xy-x2+y2-x2+y2-8xy
=-2x2+2y2
（3）
解：原式=
（4）3x2-[7x-(4x-3)-2x2]
解：原式= 3x2-7x+4x-3+2x2
=5x2-3x-3
4. 先化简，再求值：
4(3a2b-ab2)-2(3ab2-a2b)-14a2b，
其中a=1，b= .
解：原式= 12a2b-4ab2-6ab2+2a2b-14a2b
=-10ab2
当a=1，b= 时，原式= .
5.甲地的海拔是h m，乙地比甲地高20 m，丙地比甲地低30 m.列式表示乙、丙两地的海拔，并计算乙地与丙地的海拔差.
解：乙地的海拔是(h+20)m，
丙地的海拔是(h-30)m；
乙地与丙地的海拔差是(h+20)- (h-30).
= h+20-h+30
=50 (m).
综合运用
6.在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题:
选择a的一个值，求5a3-(a2-3a+3a3)+(a2-a-2a3)-2a+2035
甲说：“当a=0时，原式=2035. ”
乙说：“当a=1时，原式=2035. ”
丙说：“当a为任何一个有理数时，原式=2035. ”这三位同学的说法是否正确？请说明理由.
解：这三位同学的说法都正确.理由如下：
5a3-(a2-3a+3a3)+(a2-a-2a3)-2a+2035
=5a3-a2+3a-3a3+a2-a-2a3-2a+2035
=2035
因此，无论a取何值，原式的值都为2035.
故这三位同学的说法都正确.
7.已知三角形的第一条边的长为3a＋2b (a>0，b>0)，第二条边比第一条边短2a，第三条边的长比第二条边的长的2倍还长a-b.
(1)求第二条边和第三条边的长；
(2)求这个三角形的周长.
解：(1)第二条边的长为 3a+2b-2a=a+2b，
第三条边的长为2(a+2b)+(a-b)
=2a+4b+a-b
=3a+3b.
(2)这个三角形的周长为(3a+2b)+(a+2b)+(3a+3b)
=3a+2b+a+2b+3a+3b
=7a+7b.
8. 窗户的形状如图所示（图中长度单位：cm）,其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形. 已知下部小正方形的边长是a cm，计算：
（1）窗户的面积；
（2）窗户的外框的总长.
a
a
解：（1）窗户的面积为
+4a2= （cm2）
（2）窗户的外框的总长为：
πa+2a×3=πa+6a
=(πa+6a)（cm）
a
a
9. 一种商品每件进价为a元，商家原来在进价的基础上增加20%定为售价，每件商品的售价为多少元？现在由于库存积压，商家按原售价的90%出售，现售价为多少元？每件还能盈利多少元？
解：每件商品的售价为( 1+20% )a=1.2a(元);
现售价为1.2a×90%= 1.08a(元);
每件还能盈利1.08a-a=0.08a(元).
拓广探索
10. 如图，一些点组成形如三角形的图形，每条“边”上有n (n>1)个点（包括两个顶点），那么这个图形点的总数S是多少？当n=5，7，11时，S各是多少
解：这个图形中点的总数S=3n-3；
当n=5时，S=12；
当n=7时，S=18；
当n=11时，S=30.
11. 10个棱长为a cm的正方体摆放成如图的形状，这个图形的表面积是多少平方厘米？
解：这个图形的表面积为：
a×a×6×6=36a2 cm2.
整式加减的运算法则：
几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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