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5.1.1.1 方程
方程是代数知识体系中的重要概念，是解决实际问题的有力工具。从小学阶段的简易方程到中学阶段的复杂方程，方程的思想贯穿于数学学习的始终。理解方程的定义、构成要素以及方程解的概念，是学习后续解方程、列方程解应用题的基础。
一、方程的定义
核心概念：
含有未知数的等式叫做方程。
例如：\(2x + 3 = 7\)（含有未知数\(x\)的等式）、\(3y - 5 = 2y + 1\)（含有未知数\(y\)的等式）、\(x^2 - 4 = 0\)（含有未知数\(x\)的等式）都是方程；而\(2 + 3 = 5\)（不含未知数）、\(3x + 2\)（不是等式）不是方程。
构成要素：
方程必须同时满足两个条件：
含有未知数：未知数是指在等式中需要求解的字母，通常用\(x\)、\(y\)、\(z\)等字母表示。例如：方程\(5x - 8 = 2\)中的未知数是\(x\)；方程\(2a + 3b = 10\)中的未知数是\(a\)和\(b\)。
是等式：等式是表示左右两边相等关系的式子，用等号 “\(=\)” 连接。例如：\(x + 5 = 9\)中，左边 “\(x + 5\)” 与右边 “\(9\)” 通过等号连接，构成等式。
与相关概念的区别：
方程与代数式：代数式是由数和字母经有限次加、减、乘、除、乘方等运算得到的式子（如\(3x + 2\)、\(5y^2\)），不含等号；而方程是含有未知数的等式，必须包含等号和未知数。例如：\(2x + 5\)是代数式，\(2x + 5 = 11\)是方程。
方程与等式：等式不一定是方程（如\(3 + 6 = 9\)是等式但不含未知数，不是方程）；方程一定是等式（方程必须满足等式的定义）。二者的关系可表示为：方程 等式。
二、方程的解
定义：
使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
例如：对于方程\(2x + 3 = 7\)，当\(x = 2\)时，左边\(= 2 2 + 3 = 7\)，右边\(= 7\)，左右两边相等，因此\(x = 2\)是该方程的解；对于方程\(x^2 - 4 = 0\)，当\(x = 2\)或\(x = -2\)时，左右两边相等，因此\(x = 2\)和\(x = -2\)都是该方程的解。
方程的解与解方程的区别：
方程的解：是一个具体的数值（或一组数值），表示未知数的取值能使方程左右两边相等。例如：\(x = 3\)是方程\(x - 1 = 2\)的解。
解方程：是求方程的解的过程，是一系列变形和运算的步骤。例如：求解方程\(3x + 6 = 15\)的过程（移项、化简等）叫做解方程。
检验方程的解：
要检验一个未知数的值是否为方程的解，需将该值代入方程的左右两边，分别计算结果，若左右两边的值相等，则该值是方程的解；否则不是。
示例：检验\(x = 5\)是否是方程\(4x - 7 = 13\)的解。
解：将\(x = 5\)代入左边：\(4 5 - 7 = 20 - 7 = 13\)，
右边\(= 13\)，
因为左边\(=\)右边，所以\(x = 5\)是该方程的解。
三、方程的分类（初步认识）
根据方程中未知数的次数和个数，方程可分为不同类型，初中阶段常见的方程类型有：
一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数是\(1\)的方程。例如：\(3x + 5 = 14\)、\(2(y - 1) = 6\)。
二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是\(1\)的方程。例如：\(x + y = 5\)、\(2a - 3b = 7\)。
一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是\(2\)的方程。例如：\(x^2 - 5x + 6 = 0\)、\(2y^2 = 8\)。
（注：后续章节将详细学习各类方程的解法，此处仅作初步了解）
四、列方程的初步思路
列方程是解决实际问题的关键步骤，其核心是将实际问题中的数量关系转化为含有未知数的等式。初步思路如下：
设未知数：根据问题情境，选择一个适当的未知量用字母表示（通常设为\(x\)、\(y\)等）。
找等量关系：分析问题中已知量与未知量之间的相等关系（如 “总和”“差”“倍数”“面积公式” 等）。
列方程：根据等量关系，用含未知数的代数式表示相关量，列出等式（即方程）。
示例：一个数的\(3\)倍与\(5\)的和等于\(20\)，设这个数为\(x\)，列出方程。
解：设这个数为\(x\)，
等量关系：这个数的\(3\)倍 + \(5 = 20\)，
列方程：\(3x + 5 = 20\)。
五、常见错误与规避方法
方程定义理解错误：
常见错误：认为 “含有未知数的式子就是方程”（如误将\(2x + 3\)当作方程）；忽略方程必须是等式的条件。
规避方法：牢记方程的两个核心要素 ——“含有未知数” 和 “是等式”，缺一不可。判断一个式子是否为方程时，需同时验证这两个条件。
方程的解与解方程概念混淆：
常见错误：将 “解方程” 说成 “求方程的解”，或将 “方程的解” 描述为 “解方程的过程”。
规避方法：明确 “解” 是结果（数值），“解方程” 是过程（步骤），通过具体例子对比二者的区别。
检验方程的解时计算错误：
常见错误：代入未知数的值后计算左边或右边时出错，导致误判。例如：检验\(x = 3\)是否是方程\(2x - 1 = 5\)的解时，误算左边为\(2 3 + 1 = 7\)（符号错误）。
规避方法：检验时严格按照代数式的运算规则计算，代入后先写清楚 “左边\(=\)” 和 “右边\(=\)”，再分步计算，避免跳步。
六、典型例题解析
判断是否为方程：
例：下列各式中，哪些是方程？
（1）\(3x - 2\) （2）\(5 + 6 = 11\) （3）\(2x + 3 = 7\) （4）\(x + y = 9\) （5）\(x^2 > 4\)
解：（3）（4）是方程。（1）是代数式，不含等号；（2）是等式，但不含未知数；（5）是不等式，不是等式。
检验方程的解：
例：检验下列各数是否是方程\(2x - 5 = 3x - 10\)的解：
（1）\(x = 5\) （2）\(x = 3\)
解：
（1）将\(x = 5\)代入左边：\(2 5 - 5 = 5\)，右边：\(3 5 - 10 = 5\)，左边\(=\)右边，因此\(x = 5\)是方程的解；
（2）将\(x = 3\)代入左边：\(2 3 - 5 = 1\)，右边：\(3 3 - 10 = -1\)，左边\( \)右边，因此\(x = 3\)不是方程的解。
根据题意列方程：
例：根据下列语句列出方程：
（1）\(x\)的\(2\)倍与\(7\)的差等于\(15\)；
（2）一个数的\(\frac{1}{3}\)比它本身小\(6\)，设这个数为\(x\)。
解：
（1）\(2x - 7 = 15\)；
（2）\(x - \frac{1}{3}x = 6\)（或\(\frac{1}{3}x = x - 6\)）。
方程是描述等量关系的数学模型，其核心定义 “含有未知数的等式” 需深刻理解。通过明确方程的构成要素、区分方程的解与解方程的概念、掌握检验方程解的方法，可为后续学习方程的解法和应用奠定基础。在实际应用中，要学会从问题情境中提取等量关系，将文字语言转化为方程，初步体会方程思想在解决问题中的作用。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.1.1.1方程
第五章 一元一次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 掌握方程的概念
2. 会列方程.
新课导入
甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发. 甲队从距大本营 1 km 的一号营地出发，每小时行进 1.2 km；乙队从距大本营 3 km 的二号营地出发，每小时行进 0.8 km，多长时间后，甲队在途中追上乙队？
新知探索
大本营
一号营地
二号营地
1 km
2 km
甲追上乙
V甲= 1.2 km/h
V乙= 0.8 km/h
甲出发点
乙出发点
上述问题中涉及到了哪些量？
路程
速度
时间
如果设两队行进的时间为 x h，用含 x 的式子表示上面关系：
大本营
一号营地
二号营地
1 km
2 km
甲追上乙
V甲= 1.2 km/h
V乙= 0.8 km/h
甲出发点
乙出发点
甲队行进的路程为：1.2x km
乙队行进的路程为：0.8x km
甲队距大本营的路程为：(1.2x + 1) km
乙队距大本营的路程为：(0.8x + 3) km
大本营
一号营地
二号营地
1 km
2 km
甲追上乙
V甲= 1.2 km/h
V乙= 0.8 km/h
甲出发点
乙出发点
想一想，甲队追上乙队时，他们距大本营的路程之间有什么关系？
大本营
一号营地
二号营地
1 km
2 km
甲追上乙
V甲= 1.2 km/h
V乙= 0.8 km/h
甲出发点
乙出发点
甲队距大本营的路程 = 乙队距大本营的路程
1.2x + 1 = 0.8x + 3
这是一个含有未知数 x 的等式
问题 1 用买 3 个大水杯的钱，可以买 4 个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多 5 元，两种水杯的单价各是多少元？
实际问题
单价：x 元
单价：(x-5) 元
因为用买 3 个大水杯的钱，可以买 4 个小水杯，所以
3x = 4( x-5 )
问题 2 如图，一枚长方形的庆祝中国共产党成立 100 周年纪念币，其面积是 4000 mm2，长和宽的比为 8 : 5（即宽是长的 ）. 这枚纪念币的
长和宽分别是多少毫米？
设这枚纪念币的长为 x mm.
则宽为 x mm，
面积为 x2 mm2，
所以
1.2x + 1 = 0.8x + 3
3x = 4( x-5 )
像这样，先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程.
方 程
在我国古代，一般用“天元”“地元”“人元“物元”等表示未知数，17 世纪，法国数学家笛卡儿最早使用 x，y，z 等字母表示未知数，这种做法一直沿用至今.
比较：列算式和列方程
列算式：列出的算式表示解题的计算过程，只能用已知数，对于较复杂的问题，列算式比较困难.
列方程：方程是根据题中的等量关系列出的等式.既可用已知数，又可用未知数，解决问题比较方便.
从算式到方程是数学的进步！
溯 源
汉语中“方程”一词源于讨论含多个未知数的等式的问题。我国古代数学著作《九章算术》中有专门的“方程”章，其中以一些实际应用问题为例，给出了由几个一次方程组成的方程组的解法，称为“方程术”. 19 世纪 50 年代，清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将equation (指含有未知数的等式)一词译为“方程”.
及时巩固
下列式子中，是方程的有___________.
①7-1 = 6；②3x + y = 10；③x-1； ④ ；
⑤x > 3； ⑥x = 1； ⑦a2-1 = 0；⑧b2 ≠ -1.
②④⑥⑦
一个式子是方程必须同时满足两个条件:
（1）含有未知数(未知数都是用字母表示)；
（2）必须是等式(标志就是含有“＝”).
例 题
【教材P113】
例 1 根据下列问题，设未知数并列出方程：
（1）某校女生占全体学生数的 52%，比男生多 80人，这所学校有多少名学生？
解：设这所学校有 x 名学生 .
女生数为 0.52x .
男生数为 (1-0.52)x .
0.52x -(1-0.52)x = 80
（2）如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽 5 m，扩大后的绿地面积是 500 m2，求正方形绿地的边长.
设正方形绿地的边长为 x m.
x m
x m
扩大后的绿地面积为(x2+5x) m2.
列得方程
x2 + 5x = 500
5 m
归 纳
请同学们思考：
1. 怎样将一个实际问题转化为方程问题？
2. 列方程的依据是什么？
实际问题
方程
设未知数，用含有未知数的等式表示相等关系
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.
【选自教材P113 练习 第1题】
根据下列问题，设未知数并列出方程：
1. 甲种铅笔每支 1.4 元，乙种铅笔每支 1.8 元，用 23 元钱买这两种铅笔，一共买了 15 支，两种铅笔各买了多少支？
解：设甲种铅笔买了 x 支，则乙种铅笔买了(15-x)支.
列得方程 1.4x + 1.8(15-x) = 23.
2. 有两条电线，第一条长 90 m，第二条长 40 m. 要从第一条截下一段接在第二条上，使两条电线长度相等. 求截下的那段电线的长度(两条电线接头部分的长度忽略不计).
解：设截下的那段电线的长度为 x m.
列得方程 90-x = 40 + x .
【选自教材P113 练习 第2题】
3. 某圆环形状的工件如图所示，它的面积是 200 cm2，外沿大圆的半径是 10 cm，内沿小圆的半径是多少厘米？
解：设内沿小圆的半径是 r cm.
列得方程 π×102 - πr2 = 200.
【选自教材P113 练习 第3题】
1. 下列各式中，不是方程的是( )
D
A. B.
C. D.
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2. ［2025东莞月考］《九章算术》是中国传统数学最重要的
著作之一.书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人
出六，不足十六.问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱
买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，
那么少了十六钱.问：共有几个人？”设共有 个人共同出钱买
鸡，根据题意，可列一元一次方程为( )
C
A. B.
C. D.
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3.只列方程，不解方程:
（1）某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有
多少人？
【解】设这个班女生有 人，
根据题意，列方程为 .
（2）小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克
5元，梨每千克4元，问小明苹果买了多少千克？
设小明苹果买了千克，则梨买了 千克，
根据题意，列方程为 .
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4. 下列式子中，方程的个数是( )
； ；
； ；
； .
B
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
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5. ［2024广州］某新能源车企今年5月交付新车35 060辆，
且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍
还多1 100辆.设该车企去年5月交付新车 辆，根据题意，可
列方程为( )
A
A.
B.
C.
D.
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含有未知数的等式叫作方程.
列方程的一般步骤：
（1）审：审清题意，找出相等关系；
（2）设：根据题意，设出未知数；
（3）列：根据相等关系列出方程.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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