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5.1.1.2 方程的解及一元一次方程
在方程的基础概念中，方程的解是连接未知数与等量关系的关键纽带，而一元一次方程则是最基础的方程类型，是学习更复杂方程的起点。深入理解方程的解的本质、掌握一元一次方程的定义和特征，对后续解方程和解决实际问题具有重要意义。
一、方程的解的深化理解
方程的解的本质：
方程的解是使方程左右两边相等的未知数的取值，它体现了未知数在特定条件下的 “满足性”。从数学意义上看，方程是一个关于未知数的条件等式，方程的解就是满足这个条件的未知数的值。例如：方程\(x + 3 = 5\)的解是\(x = 2\)，因为只有当\(x\)取\(2\)时，等式才能成立。
方程的解的个数：
不同类型的方程，解的个数可能不同：
一元一次方程通常有且只有一个解；
有些方程可能无解（如\(x + 1 = x + 2\)，无论\(x\)取何值，左右两边都不相等）；
有些方程可能有多个解（如\(x^2 = 4\)有两个解\(x = 2\)和\(x = -2\)）；
有些方程可能有无数个解（如\(2x + 4 = 2(x + 2)\)，无论\(x\)取何值，左右两边都相等）。
检验方程的解的步骤：
检验一个数是否为方程的解，需严格遵循以下步骤：
步骤 1：将待检验的数代入方程的左边，计算出结果；
步骤 2：将待检验的数代入方程的右边，计算出结果；
步骤 3：比较左右两边的结果，若相等，则该数是方程的解；若不相等，则不是。
示例：检验\(x = 4\)是否是方程\(3(x - 1) = 9\)的解。
解：代入左边：\(3 (4 - 1) = 3 3 = 9\)，
代入右边：\(9\)，
左边\(=\)右边，因此\(x = 4\)是该方程的解。
二、一元一次方程的定义
核心概念：
只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是\(1\)（次），等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
例如：\(5x + 7 = 22\)（只含未知数\(x\)，次数为\(1\)，整式方程）、\(3(y - 2) = 4y + 1\)（只含未知数\(y\)，次数为\(1\)）都是一元一次方程；而\(x + y = 5\)（含两个未知数）、\(x^2 - 4 = 0\)（未知数次数为\(2\)）、\(\frac{1}{x} + 3 = 5\)（不是整式方程）都不是一元一次方程。
构成要素：
一元一次方程必须同时满足以下条件：
只含有一个未知数：方程中所有的未知数是同一个字母，不含有其他字母。例如：方程\(2x + 3 = 8\)只含未知数\(x\)，符合条件；方程\(2x + 3y = 8\)含两个未知数，不符合条件。
未知数的次数是\(1\)：方程中含有未知数的项的最高次数是\(1\)，且未知数不能在分母中（否则为分式方程）。例如：方程\(3x^2 + 5 = 11\)中未知数的次数是\(2\)，不符合条件；方程\(2(x + 1) = 5\)中未知数的次数是\(1\)，符合条件。
等号两边都是整式：方程的左右两边都是整式（分母中不含未知数）。例如：方程\(\frac{x}{2} + 3 = 5\)是整式方程（\(\frac{x}{2}\)可化为\(\frac{1}{2}x\)，是单项式）；方程\(\frac{1}{x} + 2 = 5\)是分式方程，不符合条件。
一元一次方程的标准形式：
一元一次方程的标准形式为\(ax + b = 0\)（其中\(a\)、\(b\)是常数，且\(a 0\)）。
\(a\)是未知数的系数，\(b\)是常数项；
\(a 0\)是因为若\(a = 0\)，则方程变为\(b = 0\)，此时若\(b = 0\)，方程有无数个解；若\(b 0\)，方程无解，不再是一元一次方程。
例如：方程\(3x - 6 = 0\)是标准形式（\(a = 3\)，\(b = -6\)）；方程\(2x + 5 = 3x\)可整理为标准形式\(-x + 5 = 0\)（\(a = -1\)，\(b = 5\)）。
三、一元一次方程的识别方法
判断一个方程是否为一元一次方程，需按以下步骤逐一验证：
检查是否为整式方程：方程的左右两边是否都是整式（分母中不含未知数）。若不是整式方程，则直接排除。
确定未知数的个数：方程中是否只含有一个未知数。若含有两个或多个未知数，则不是一元一次方程。
判断未知数的次数：含有未知数的项的最高次数是否为\(1\)。若次数大于\(1\)或未知数在分母中，则不是一元一次方程。
示例：判断下列方程是否为一元一次方程：
（1）\(4x + 7 = 0\) （2）\(3x^2 - 2x = 1\) （3）\(x + y = 5\) （4）\(\frac{x}{3} + 2 = 5x\) （5）\(\frac{1}{x} + 3 = 7\)
解：
（1）是一元一次方程（整式方程，只含一个未知数\(x\)，次数为\(1\)）；
（2）不是（未知数的次数是\(2\)）；
（3）不是（含有两个未知数\(x\)和\(y\)）；
（4）是一元一次方程（整式方程，只含一个未知数\(x\)，次数为\(1\)）；
（5）不是（是分式方程，分母中含有未知数\(x\)）。
四、方程的解与一元一次方程的关系
一元一次方程解的唯一性：
对于标准形式的一元一次方程\(ax + b = 0\)（\(a 0\)），它有且只有一个解，解为\(x = -\frac{b}{a}\)。这是一元一次方程区别于其他方程的重要特征。例如：方程\(2x - 6 = 0\)的解为\(x = 3\)，且只有这一个解。
利用方程的解求参数值：
若已知某个未知数的值是一元一次方程的解，可将该值代入方程，得到关于参数的新方程，进而求出参数的值。
示例：已知\(x = 2\)是方程\(2x + k = 7\)的解，求\(k\)的值。
解：将\(x = 2\)代入方程得\(2 2 + k = 7\)，
即\(4 + k = 7\)，
解得\(k = 3\)。
五、常见错误与规避方法
对一元一次方程定义理解不透彻：
常见错误：
认为未知数的次数是 “字母的个数”（如误将\(3xy = 6\)当作一元一次方程，实际含两个未知数，次数为\(2\)）；
忽略 “整式方程” 条件（如误将\(\frac{1}{x} + 2 = 5\)当作一元一次方程，实际是分式方程）。
规避方法：牢记一元一次方程的三个核心条件（“一元”“一次”“整式方程”），逐一验证，特别注意未知数不能在分母中。
检验方程的解时步骤不规范：
常见错误：检验时只计算左边或右边，或省略比较步骤（如检验\(x = 3\)是否是方程\(2x + 1 = 7\)的解时，只算左边\(= 7\)，未算右边就得出结论）。
规避方法：严格按照 “代入左边→代入右边→比较结果” 的步骤进行检验，确保每一步都有依据。
混淆 “解” 与 “解方程”：
常见错误：将 “求方程的解” 描述为 “方程的解是\(x = 5\)的过程”，混淆结果与过程。
规避方法：明确 “解” 是数值结果，“解方程” 是求这个结果的过程，通过具体语境区分二者。
六、典型例题解析
识别一元一次方程：
例：下列方程中，属于一元一次方程的是（ ）
A. \(x + 2y = 1\) B. \(x^2 - 4x = 3\) C. \(x = 0\) D. \(\frac{1}{x} + 2 = 5\)
解：A 含两个未知数，B 未知数次数为\(2\)，D 是分式方程，只有 C 符合一元一次方程的定义。答案：C。
利用方程的解求参数：
例：已知\(x = -1\)是方程\(3x - 2a = 5\)的解，求\(a\)的值。
解：将\(x = -1\)代入方程得\(3 (-1) - 2a = 5\)，
即\(-3 - 2a = 5\)，
移项得\(-2a = 5 + 3\)，
合并得\(-2a = 8\)，
解得\(a = -4\)。
根据条件列一元一次方程：
例：一个数的\(5\)倍减去\(3\)等于这个数的\(2\)倍加上\(6\)，设这个数为\(x\)，列出一元一次方程。
解：等量关系：这个数的\(5\)倍 - \(3 =\)这个数的\(2\)倍 + \(6\)，
列方程：\(5x - 3 = 2x + 6\)。
判断方程解的情况：
例：方程\(2x + 3 = 2x + 5\)有解吗？为什么？
解：无解。
理由：将方程两边同时减去\(2x\)得\(3 = 5\)，该等式不成立，因此无论\(x\)取何值，原方程都不成立，即方程无解。
方程的解是满足方程等量关系的未知数的值，检验解的过程是验证等量关系的关键；一元一次方程作为最基础的方程类型，其 “一元”“一次”“整式方程” 的特征需准确把握。通过理解方程解的本质、掌握一元一次方程的定义和识别方法，可为后续学习一元一次方程的解法奠定坚实基础。在实际应用中，要学会利用方程的解的性质解决参数问题，进一步体会方程思想的逻辑性和严谨性。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.1.1.2方程的解及一元一次方程
第五章 一元一次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 掌握方程的解的概念
2. 知道一元一次方程的概念
已知甲粮仓有粮食 729 t，乙粮仓有粮食 384 t. 为了使甲粮仓粮食储量是乙粮仓粮食储量的 2 倍，需要从乙粮仓运送多少吨粮食到甲粮仓？
解：设需要从乙粮仓运送 x t 粮食到甲粮仓.
根据题意，列得方程 729 + x ＝ 2(384－x).
列方程是解决实际问题的重要方法，要想得到实际问题的解，还需要求出方程中未知数的值.
那么，怎样求出符合方程的未知数的值呢？
估算方程 1700 +150x = 2450 中未知数 x 的值是多少？
x 1 2 3 4 5 …
1700+150x …
1850
2000
2150
2300
2450
当 x = 5 时，方程 1700 + 150x = 2450 等号左右两边相等.
x = 5 叫作方程 1700 + 150x = 2450 的解.
一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解.
求方程的解的过程，叫作解方程.
说一说当 x 等于几时，方程 1.2x + 1 = 0.8x + 3 左、右两边的值相等？
x 1 2 3 4 5 …
1.2x + 1 …
0.8x + 3 …
2.2
3.8
3.4
4.6
4.6
5.4
5.8
6.2
7
7
当 x = 5 时，
左边 = 1.2×5 + 1 = 7，
右边 = 0.8×5 + 3 = 7，
这时方程左、右两边的值相等.
例 题
【教材P114】
例 2 （1）x = 2，x = 是方程 2x = 3 的解吗？
解：当 x = 2 时，方程 2x = 3 的左边 = 2×2 = 4，
右边 = 3，
方程左、右两边的值不相等，
所以 x = 2 不是方程 2x = 3 的解.
例 题
【教材P114】
例 2 （1）x = 2，x = 是方程 2x = 3 的解吗？
右边 = 3，
方程左、右两边的值相等，
当 x = 时，方程 2x = 3 的左边 = 2× = 3，
所以 x = 是方程 2x = 3 的解.
（2）x = 10，x = 20 是方程 3x = 4(x - 5) 的解吗？
当 x = 10 时，方程 3x = 4(x-5) 的左边 = 3×10 = 30，
右边 = 4×(10-5) = 20，
方程左、右两边的值不相等，
所以 x = 10 不是方程 3x = 4(x-5) 的解.
（2）x = 10，x = 20 是方程 3x = 4(x - 5) 的解吗？
当 x = 20 时，方程 3x = 4(x-5) 的左边 = 3×20 = 60，
右边 = 4×(20-5) = 60，
方程左、右两边的值相等，
所以 x = 20 是方程 3x = 4(x-5) 的解.
特别提醒
方程的解与解方程的区别及联系：
类型 方程的解 解方程
区别
联系 是一个具体的数，是解方程的结果
求方程的解的过程
方程的解是通过解方程求得的
思 考
x = 60 是方程 x2 = 4000 的解吗？x = 80 呢？
解：当 x = 60 时，方程的左边 = ×602 = 2250，
右边 = 4000，
方程左、右两边的值不相等，
所以 x = 60 不是方程 x2 = 4000 的解.
思 考
x = 60 是方程 x2 = 4000 的解吗？x = 80 呢？
当 x = 80 时，方程的左边 = ×802 = 4000，
右边 = 4000，
方程左、右两边的值相等，
所以 x = 80 是方程 x2 = 4000 的解.
解题策略
检验一个数是否是方程的解的方法：
把这个数分别代入方程的左、右两边，
当左边＝右边时，这个数是方程的解，
当左边 ≠ 右边时，这个数不是方程的解.
思 考
观察方程
1.2x + 1 = 0.8x + 3
3x = 4( x-5 )
它们有什么共同特征？
只含一个未知数的等式
未知数的次数都是 1
0.52x－(1-0.52)x = 80
含有未知数的式子都是整式
一元一次方程
一般地，如果方程中只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是 1，这样的方程叫作一元一次方程.
一元一次方程的三个要素：
①只含有一个未知数；
②未知数的次数都是 1；
③是整式方程
三者缺一不可
及时巩固
下列式子中，是一元一次方程的是______（填序号）.
①1+4 = 2+3； ② x + y = 1；③ = 3；
④x2 -2x-1 = 0；⑤ = 3； ⑥6 + 5y = 2y -3.
不含未知数
含有两个未知数
是
未知数最高次数是2
不是整式
是
③⑥
识别一元一次方程的一般步骤：
观察方程是否是整式方程
不是一元一次方程
方程是否只含有一个未知数
不是一元一次方程
方程中未知数的次数是否都是1
不是一元一次方程
是一元一次方程
是
是
是
否
否
否
溯 源
用“元”表示未知数，源于我国宋元时期的“天元术”.天元术指的是用“天元”表示未知数，进而列出方程，现存的使用天元术的最早著作是这一时期我国数学家李冶(1192-1279)于1248年所著的《测圆海镜》，书中的“立天元一”相当于现在的“设未知数x”。后来在研究涉及多个未知数的问题时，又引入“地元”“人元”“物元”等表示多个未知数.
【选自教材P115 练习 第1题】
1. 判断 x = 2 和 x = 4 是不是方程 2x-3 = 5.
解:当 x = 2 时，方程 2x -3 = 5 的左边 = 2×2-3 = 1，
右边 = 5，方程左、右两边的值不相等，
所以 x = 2 不是方程 2x -3 = 5 的解；
当 x = 4 时，方程 2x -3 = 5 的左边 = 2×4-3 = 5，
右边 = 5，方程左、右两边的值相等，
所以 x = 4 是方程 2x -3 = 5 的解.
2. 下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？
（1）2+3 = 3+2； （2）8y-9=9-y；（3）x2+2x+1=4.
解：（2）（3）是方程，
（2）是一元一次方程.
【选自教材P115 练习 第2题】
1. 下列各式， ，
，，， ，
中，为一元一次方程的有( )
C
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
返回
2. 母题教材P118习题 下列方程中，解是 的方程是
( )
C
A. B.
C. D.
返回
3.已知是方程的解，则 的值是____.
返回
4. 请写一个未知数的系数是 且方程的解是
1的一元一次方程:___________________________.
（答案不唯一）
返回
5. 若方程是关于 的一元一次方程，
则 ____.
一元一次方程的次数为1，且系数不能为0.
返回
一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解.
求方程的解的过程，叫作解方程.
一般地，如果方程中只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是 1，这样的方程叫作一元一次方程.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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