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5.1.2 等式的性质
等式是数学中表示数量相等关系的基本形式，而等式的性质则是解方程的理论依据。掌握等式的性质，不仅能深入理解等式的本质，更能为后续学习一元一次方程的解法提供逻辑支撑。等式的性质看似简单，但其严谨性和应用的灵活性需要通过实例练习逐步体会。
一、等式的定义回顾
用等号 “\(=\)” 表示左右两边相等关系的式子叫做等式。例如：\(3 + 5 = 8\)、\(2x + 3 = 9\)、\(a + b = b + a\)都是等式。等式由左边的代数式、右边的代数式和连接它们的等号三部分组成，它反映了左右两边在数量上的等价关系。
二、等式的基本性质
等式的性质 1：
等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
用字母表示为：如果\(a = b\)，那么\(a ± c = b ± c\)（\(c\)为任意数或整式）。
几何解释：若天平左右两边平衡（表示\(a = b\)），在两边同时添加或移除相同质量的物体（表示加或减\(c\)），天平仍然保持平衡（即\(a ± c = b ± c\)）。
实例解析：
已知\(x + 5 = 12\)，根据性质 1，两边同时减\(5\)得：\(x + 5 - 5 = 12 - 5\)，即\(x = 7\)；
已知\(a = b\)，两边同时加\((c + d)\)得：\(a + c + d = b + c + d\)，结果仍为等式。
等式的性质 2：
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为\(0\)的数，结果仍相等。
用字母表示为：如果\(a = b\)，那么\(ac = bc\)；如果\(a = b\)（\(c 0\)），那么\(\frac{a}{c} = \frac{b}{c}\)（\(c\)为任意数，且除法中\(c 0\)）。
关键提醒：除以的数不能为\(0\)，因为\(0\)不能作为除数，否则等式无意义。例如：若\(a = b\)，不能推出\(\frac{a}{0} = \frac{b}{0}\)。
实例解析：
已知\(3x = 15\)，根据性质 2，两边同时除以\(3\)得：\(\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}\)，即\(x = 5\)；
已知\(m = n\)，两边同时乘\(-2\)得：\(-2m = -2n\)，结果仍为等式；
已知\(4y = 12\)，若两边同时除以\(4\)得\(y = 3\)，但若除以\(0\)则无意义。
三、等式性质的拓展应用
等式的对称性：
如果\(a = b\)，那么\(b = a\)。例如：由\(5 = x + 2\)可得\(x + 2 = 5\)，这是等式左右两边的互换，本质上是等式性质的自然延伸。
等式的传递性：
如果\(a = b\)且\(b = c\)，那么\(a = c\)。例如：若\(x = y\)且\(y = 3\)，则\(x = 3\)，这体现了等量之间的间接相等关系。
含括号的等式变形：
当等式两边含有括号时，可先利用分配律去括号，再应用等式的性质变形。例如：解方程\(2(x + 3) = 10\)时，先去括号得\(2x + 6 = 10\)，再根据性质 1 两边减\(6\)得\(2x = 4\)，最后根据性质 2 两边除以\(2\)得\(x = 2\)。
四、利用等式的性质解方程
等式的性质是解方程的核心工具，其目标是通过等式变形将方程转化为\(x = a\)（\(a\)为常数）的形式。基本步骤如下：
消除常数项：利用等式的性质 1，在方程两边同时加或减同一个数（或式子），将方程左边化为只含未知数的项，右边化为常数项。例如：解方程\(x - 7 = 15\)时，两边加\(7\)得\(x = 22\)。
系数化为 1：利用等式的性质 2，在方程两边同时乘未知数系数的倒数（或除以未知数的系数），将未知数的系数化为\(1\)。例如：解方程\(5x = 40\)时，两边除以\(5\)得\(x = 8\)。
示例：利用等式的性质解下列方程：
（1）\(2x + 5 = 13\) （2）\(\frac{1}{3}x - 2 = 1\)
解：
（1）两边减\(5\)（性质 1）：\(2x + 5 - 5 = 13 - 5\)，即\(2x = 8\)，
两边除以\(2\)（性质 2）：\(x = 4\)；
（2）两边加\(2\)（性质 1）：\(\frac{1}{3}x - 2 + 2 = 1 + 2\)，即\(\frac{1}{3}x = 3\)，
两边乘\(3\)（性质 2）：\(x = 9\)。
五、常见错误与规避方法
等式变形时两边操作不一致：
常见错误：
解方程\(x + 4 = 9\)时，只在左边减\(4\)，右边不变，得到\(x = 9\)（错误）；
解方程\(3x = 12\)时，左边除以\(3\)，右边乘\(3\)，得到\(x = 36\)（错误）。
规避方法：牢记等式变形的核心原则 ——“两边同时操作”，无论是加、减、乘、除，都必须在等式两边同时进行，确保左右两边始终保持相等关系。
忽略等式性质 2 中的 “除数不为 0”：
常见错误：解方程\(0x = 5\)时，错误地两边除以\(0\)，试图得到\(x = \frac{5}{0}\)（无意义）。
规避方法：明确等式性质 2 中除法的条件（除数不为 0），对于\(0x = a\)的形式，若\(a 0\)，方程无解；若\(a = 0\)，方程有无数个解。
对 “同一个数或式子” 理解片面：
常见错误：解方程\(x - 3 = 5\)时，左边加\(3\)，右边加\(5\)（不是同一个数），得到\(x = 10\)（错误）。
规避方法：等式性质 1 中的 “同一个数或式子” 要求两边加（或减）的对象完全相同，不能随意改变数值。
去括号或移项时符号错误：
常见错误：解方程\(2(x - 1) = 6\)时，去括号错误地得到\(2x - 1 = 6\)（漏乘常数项），进而变形为\(2x = 7\)（错误）。
规避方法：应用等式性质前，若有括号需先正确去括号（利用分配律），确保每一项都参与运算，避免漏乘或符号错误。
六、典型例题解析
利用等式性质判断变形是否正确：
例：下列等式变形正确的是（ ）
A. 若\(x = y\)，则\(x + 2 = y - 2\) B. 若\(a = b\)，则\(ac = bc\)
C. 若\(\frac{a}{c} = \frac{b}{c}\)，则\(a = b\)（\(c 0\)） D. 若\(x = y\)，则\(\frac{x}{a} = \frac{y}{a}\)
解：A 两边操作不同（加 2 与减 2），错误；B 符合性质 2，正确；C 需\(c 0\)才能成立，题目已注明，正确；D 未说明\(a 0\)，错误。答案：B、C。
利用等式性质解方程：
例：用等式的性质解下列方程：
（1）\(5x - 1 = 9\) （2）\(3 - 2x = 7\)
解：
（1）两边加\(1\)：\(5x = 10\)，两边除以\(5\)：\(x = 2\)；
（2）两边减\(3\)：\(-2x = 4\)，两边除以\(-2\)：\(x = -2\)。
等式性质的实际应用：
例：已知\(2x + 3 = 11\)，利用等式的性质求\(x + 1\)的值。
解：由\(2x + 3 = 11\)，两边减\(3\)得\(2x = 8\)，两边除以\(2\)得\(x = 4\)，
因此\(x + 1 = 4 + 1 = 5\)。
含参数的等式变形：
例：已知\(ax + b = cx + d\)（\(a c\)），利用等式的性质证明\(x = \frac{d - b}{a - c}\)。
证明：两边减\(cx\)和\(b\)（性质 1）：\(ax - cx = d - b\)，
合并同类项：\((a - c)x = d - b\)，
两边除以\((a - c)\)（性质 2，因\(a c\)，除数不为 0）：\(x = \frac{d - b}{a - c}\)。
等式的性质是等式变形的根本依据，其核心思想是 “平衡”—— 等式两边的操作必须完全一致。性质 1 适用于消除常数项，性质 2 适用于将未知数系数化为 1，二者结合可完成一元一次方程的求解。在学习过程中，需通过大量实例练习，深刻理解性质的条件（如除数不为 0）和操作的严谨性，避免因步骤疏漏导致的错误。等式的性质不仅是解方程的工具，更体现了数学运算的逻辑性和等价转化的思想，为后续学习更复杂的方程和代数知识奠定基础。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.1.2 等式的性质
第五章 一元一次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.能用文字和数学式子表达等式的两个性质.
2.能用等式的性质解简单的一元一次方程.
方程是含有未知数的等式，为了研究解方程，先来看看等式有什么性质.
你能说出 2x = 3，x + 1= 3 这样简单方程的解吗？
你能直接说出方程 2x + 13 -x -12 = 1 的解吗？
用等号表示相等关系的式子叫作等式.
我们可以用 a = b 表示一般的等式.　
下列各式中哪些是等式？　
① abc ② 3a + 2b ③ xy + y2－5 ④ 5
⑤ 2 + 3 = 5 ⑥ 3×4 = 12 ⑦ 9x + 10 = 19
×
×
×
×
√
√
√
首先，给出关于等式的两个基本事实.
等式两边可以交换. 如果 a = b，那么 b = a.
相等关系可以传递. 如果 a = b，b = c，那么 a = c.
思 考
在小学，我们已经知道：等式两边同时加（或减）同一个正数，同时乘同一个正数，或同时除以同一个不为
0 的正数，结果仍相等.
100g
100g
引入负数后，这些性质还成立吗？你可以用一些具体的数试一试.
一般地，等式有以下性质：
等式的性质 1
等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.
如果 a = b，那么 a±c = b±c.
等式的性质 2
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等.
如果 a = b，那么 ac = bc；
如果 a = b，c ≠ 0，那么 .
例 题
【教材P116】
例 3 根据等式的性质填空，并说明依据：
（1）如果 2x = 5-x，那么 2x + ______= 5；
（2）如果 m + 2n = 5 + 2n，那么 m = ______；
x
根据等式的性质1，等式两边加 x，结果仍相等.
5
根据等式的性质1，等式两边减 2n，结果仍相等.
例 题
【教材P116】
（3）如果 x = -4，那么 ______·x = 28；
（4）如果 3m = 4n，那么 m = ____·n.
-7
根据等式的性质2，等式两边乘 -7，结果仍相等.
2
根据等式的性质2，等式两边除以 2，结果仍相等.
巩固练习
根据等式的性质进行变形，下列变形错误的是（ ）
A. 若 x-a = y-a，则 x = y
B. 若 ac2 = bc2，则 a = b
C. 若 2x = x + y，则 x = y
D. 若 ，则 x = y
B
知识点睛
（1）只有等式两边进行同一种运算时，等式才仍然成立.
（2）当等式两边除以同一个式子时，若确定该式子不为 0，则变形正确，若不确定，则变形错误.
例 4 利用等式的性质解下列方程：
例 题
【教材P116】
（1）x + 7 = 26；（2）-5x = 20；（3） x - 5 = 4.
解：（1）方程两边减 7，得
x = 19.
于是
x + 7 - 7 = 26 - 7
小结：解一元一次方程要“化归”为“x = a”的形式.
例 4 利用等式的性质解下列方程：
（1）x + 7 = 26；（2）-5x = 20；（3） x - 5 = 4.
（2）方程两边除以 -5，得 .
于是 x = -4.
例 题
【教材P116】
例 4 利用等式的性质解下列方程：
（1）x + 7 = 26；（2）-5x = 20；（3） x - 5 = 4.
例 题
【教材P116】
（3）方程两边加 5，得
化简，得
方程两边乘-3，得 x = -27.
一般地，从方程解出未知数的值以后，通常需要代入原方程检验，看这个值能否使方程的两边相等.
检验：将 x = -27 代入方程 的左边，则
左边 =
右边 = 4
左边 = 右边
所以 x = -27 是原方程的解.
及时巩固
利用等式的性质解下列方程：
（1）x + 5 = 7； （2）0.4x = -2；
解：（1）方程两边减 5，得 x + 5-5 = 7-5. 于是 x = 2.
（2）方程两边除以 0.4，得 . 于是 x = -5.
（3） x -6 = -9； （4）-2-2x = 5.
（3）方程两边加 6，得 x-6 + 6 = -9 + 6 . 得 x = -3.
方程两边乘 2，得 x = -6.
（4）方程两边加 2，得 -2-2x + 2 = 5 + 2 . 得-2x = 7.
方程两边除以 -2，得 x = - .
利用等式的性质解一元一次方程的一般步骤：
（1）利用等式的性质 1，先把一元一次方程逐步变形成等号一边只有含未知数的项，另一边只有常数项的形式；
（2）利用等式的性质 2，把一元一次方程转化为 x = m（常数）的形式.
【选自教材P117 练习 第1题】
1. 根据等式的性质填空：
（1）如果 x = y，那么 x + 1 = y + _____；
（2）如果 x + 2 = y + 2，那么 ____ = y；
（3）如果 x = y，那么 ____·x = 5y；
（4）如果 3x = 6y，那么 x = ____·y .
1
x
5
2
2. 利用等式的性质解下列方程，并检验：
（1）x - 5 = 6； （2）0.3x = 45；
解:（1）方程两边加 5，得 x - 5 + 5 = 6 + 5.
于是 x = 11.
【选自教材P117 练习 第2题】
检验：将 x = 11，代入 x - 5 = 6的左边，则
左边 = x - 5 = 6，右边 = 6，左边 = 右边
所以 x = 11 是原方程的解.
（2）方程两边除以 0.3，得 .
于是 x = 150.
2. 利用等式的性质解下列方程，并检验：
（1）x - 5 = 6； （2）0.3x = 45；
检验：将 x = 150，代入 0.3x = 45的左边，则
左边 = 0.3×150 = 45，右边 = 45，左边 = 右边
所以 x = 150 是原方程的解.
（3）5x + 4 = 0； （4）2 - x = 3.
（3）方程两边减 4，得 5x + 4 - 4 = 0 - 4.
化简，得 5x = -4.
方程两边除以 5，得 x = - .
检验：将 x = - ，代入 5x + 4 = 0的左边，则
左边 = - ×5 + 4 = 0，右边 = 0，左边 = 右边
所以 x = - 是原方程的解.
（4）方程两边减 2，得 2 - x - 2 = 3 - 2.
化简，得 - x = 1.
方程两边乘 -4，得 x = -4 .
（3）5x + 4 = 0； （4）2 - x = 3.
检验：将 x = -4，代入 2- x = 3的左边，则
左边 = 2- ×(-4) = 3，右边 = 3，左边 = 右边
所以 x = -4 是原方程的解.
习题5.1
1. 列等式表示：
（1）比 a 大 5 的数等于 8；
（2）b 的三分之一等于 9；
（3）x 的 2 倍与 10 的和等于 18；
（4）x 的三分之一与 y 的差等于 6；
（5）比 a 的 3 倍大 5 的数等于 a 的 4 倍；
（6）比 b 的一半小 7 的数等于 a 与 b 的和.
a + 5 = 8
2x + 10 = 18
3a + 5 = 4a
2. 根据下列图形中标出的量及其满足的关系，列出方程：
（1）
（2）
（3）
x + 2
x + 3
x
周长是14
x°
x°
(3x)°
x-1
x
面积是6
x + x + 2 + x + 3 = 14
3x + x + x = 180
3. x = 3，x = 0，x = -2 分别是下列哪个方程的解？
（1）5x + 7 = 7-2x； （2）6x- 8 = 8x - 4；
（3）3x - 2 = 4 + x； （4）2x - 3 = 5x - 6.
x = 3
x = -2
x = 0
4. 利用等式的性质解下列方程：
（1）x - 4 = 29； （2） x + 2 = 6；
解：（1）方程两边加 4，得 x -4 + 4 = 29 + 4.于是 x = 33.
（2）方程两边减 2，得 x + 2 - 2 = 6 - 2 .
化简，得 x = 4.
方程两边乘 2，得 x = 8.
（3）3x + 1 = 4； （4） 4x - 2 = 2.
（3）方程两边减 1，得 3x +1-1 = 4 - 1. 化简，得 3x = 3.
方程两边除以 3，得 x = 1.
（4）方程两边加 2，得 4x -2+2 = 2 + 2. 化简，得 4x = 4.
方程两边除以 4，得 x = 1.
综合运用
列方程（第 5 ~ 10 题）:
5. 某校七年级（1）班共有学生 48 人，其中女生人数比
男生人数的 多 3，这个班有男生多少人？
解：设这个班有男生 x 人.
根据题意，得 .
6. 把 10000 元奖学金按照两种奖项奖给 20 名学生，
其中一等奖每人 800 元，二等奖每人 400 元. 获得
一等奖的学生有多少人？
解：设获得一等奖的学生有 x 人.
根据题意，得 800x + 400(20-x)＝ 10000.
7. 去年某镇居民人均可支配收入为 30438 元，比前年
增长了 6.8%，前年这个镇居民人均可支配收入为
多少元？
解：设前年这个镇居民人均可支配收入为 x 元.
根据题意，得 (1 + 6.8%)x = 30438.
8. 一辆汽车已行驶了 12 000 km，计划每月再行驶 800 km，
几个月后这辆汽车行驶的总路程为 20 800 km？
解：设 x 个月后这辆汽车行驶的总路程为 20800 km.
根据题意，得 12000 + 800x = 20800.
9. 一个圆柱形包装盒（厚度忽略不计）的高 12 cm，
表面积是 108.5π cm2. 这个包装盒的底面半径是
多少厘米？
解：设这个包装盒的底面半径是 r cm.
根据题意，得 2πr2 + 2πr·12 = 108.5π.
10. 某校号召学生用零花钱为地震灾区捐款.七年级（1）班
全体学生一共捐款 428 元，七年级（2）班平均每名学
生捐款 10 元，七年级（1）班的捐款数比七年级（2）
班少 22 元. 七年级（2）班有多少名学生？
解：设七年级（2）班有 x 名学生.
根据题意，得 10x - 428 = 22.
拓广探索
11. 一个两位数个位上的数字是 1，十位上的数字是 x.
把 1 与 x 对调，新的两位数比原两位数小 18，x 的
值是多少？请你用方程解决这个问题.
解：根据题意，得 10x + 1-18 = 10 + x，
即 10x -17 = 10 + x，故 x 是 10x -17 = 10 + x 的解.
方程两边加 17-x，得 10x -17 + 17-x = 10 + x + 17-x.
化简，得 9x = 27.
方程两边除以 9，得 x = 3.
如果 a = b，那么 a±c = b±c.
等式的性质
性质1
性质2
应用
如果 a = b，那么 ac = bc；
如果 a = b，c ≠ 0，那么 .
运用等式的性质把方程“化归”为最简的形式“x = a”.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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