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5.2.1 利用合并同类项解一元一次方程
合并同类项是解一元一次方程的基础步骤，它能将复杂的方程简化为易于求解的形式。通过合并同类项，可将方程中含未知数的项和常数项分别合并，再结合等式的性质求出未知数的值。这一方法体现了 “化繁为简” 的数学思想，是解一元一次方程的核心技能之一。
一、方法原理与适用场景
核心原理：
一元一次方程的各项中，含未知数的项（如\(3x\)、\(-2x\)）是同类项，常数项（如\(5\)、\(-3\)）也是同类项。通过合并同类项，可将方程化为\(ax = b\)（\(a\)、\(b\)为常数，且\(a 0\)）的标准形式，再根据等式的性质 2（两边除以\(a\)）得到方程的解\(x = \frac{b}{a}\)。
适用场景：
当方程中存在多个含未知数的项或多个常数项时，需先通过合并同类项简化方程。例如：方程\(3x + 2x - 5 = 10\)中，\(3x\)与\(2x\)是同类项，\(-5\)与\(10\)是常数项，需先合并同类项再求解。
二、解题步骤
利用合并同类项解一元一次方程的步骤可概括为 “合并→化系数为 1”，具体如下：
合并同类项：
将方程中含未知数的同类项合并，常数项合并，使方程化为\(ax = b\)的形式。
合并含未知数的项：根据合并同类项法则，将系数相加，字母和指数不变。例如：\(5x - 3x = (5 - 3)x = 2x\)。
合并常数项：将常数项按有理数加减法则合并。例如：\(-7 + 12 = 5\)。
系数化为 1：
根据等式的性质 2，在方程\(ax = b\)两边同时除以未知数的系数\(a\)（或乘\(\frac{1}{a}\)），得到方程的解\(x = \frac{b}{a}\)。
例如：方程\(2x = 6\)两边除以\(2\)，得\(x = 3\)。
三、实例解析
示例 1：解方程\(3x + 2x - 5x = 12 - 6\)。
解：
步骤 1：合并同类项。
左边含未知数的项合并：\(3x + 2x - 5x = (3 + 2 - 5)x = 0x\)，
右边常数项合并：\(12 - 6 = 6\)，
方程化为：\(0x = 6\)。
此时方程左边为\(0\)，右边为\(6\)，\(0 6\)，因此方程无解。
示例 2：解方程\(4x - 2x + 3x = 15 + 3 - 6\)。
解：
步骤 1：合并同类项。
左边：\(4x - 2x + 3x = (4 - 2 + 3)x = 5x\)，
右边：\(15 + 3 - 6 = 12\)，
方程化为：\(5x = 12\)。
步骤 2：系数化为 1。
两边除以\(5\)：\(x = \frac{12}{5}\)（或\(x = 2.4\)）。
因此，方程的解为\(x = \frac{12}{5}\)。
示例 3：解方程\(7 - 2x + 5x = 16 + 2\)。
解：
步骤 1：合并同类项。
左边含未知数的项：\(-2x + 5x = 3x\)，常数项：\(7\)，
左边合并后：\(3x + 7\)，
右边合并：\(16 + 2 = 18\)，
方程化为：\(3x + 7 = 18\)。
步骤 2：消除常数项（等式性质 1）。
两边减\(7\)：\(3x = 11\)。
步骤 3：系数化为 1（等式性质 2）。
两边除以\(3\)：\(x = \frac{11}{3}\)。
因此，方程的解为\(x = \frac{11}{3}\)。
四、典型例题分类解析
不含常数项的方程：
例：解方程\(5x - 3x + x = 0\)。
解：合并同类项得\(3x = 0\)，系数化为 1 得\(x = 0\)。
含多项同类项的方程：
例：解方程\(2x - x + 4x - 7x = 5 - 9 + 2\)。
解：左边合并：\((2 - 1 + 4 - 7)x = (-2)x\)，
右边合并：\(5 - 9 + 2 = -2\)，
方程化为\(-2x = -2\)，系数化为 1 得\(x = 1\)。
需先移项再合并的方程：
例：解方程\(3x + 5 = 2x + 10\)。
解：步骤 1：移项（将含未知数的项移到左边，常数项移到右边）：\(3x - 2x = 10 - 5\)，
步骤 2：合并同类项：\(x = 5\)。
（注：移项的依据是等式的性质 1，移项时需变号，本质是两边同时加或减同一个数或式子）
含括号的方程（先去括号再合并）：
例：解方程\(2(x + 3) + 3x = 19\)。
解：步骤 1：去括号（分配律）：\(2x + 6 + 3x = 19\)，
步骤 2：合并同类项：\(5x + 6 = 19\)，
步骤 3：两边减\(6\)：\(5x = 13\)，
步骤 4：系数化为 1：\(x = \frac{13}{5}\)。
五、常见错误与规避方法
合并同类项时系数计算错误：
常见错误：解方程\(4x - 6x = 5\)时，误将左边合并为\(2x = 5\)（正确应为\(-2x = 5\)），导致解为\(x = \frac{5}{2}\)（错误）。
规避方法：合并同类项时，严格按照有理数的加减法则计算系数，注意符号（尤其是负数参与运算时），可在草稿纸上单独计算系数之和。
忽略 “系数化为 1” 时的符号：
常见错误：解方程\(-3x = 9\)时，误得\(x = 3\)（正确应为\(x = -3\)），忽略系数的负号。
规避方法：系数化为 1 时，若系数为负数，两边除以负数后，不等号方向不变，但结果符号需改变，可牢记 “负负得正，正负得负” 的符号规则。
漏项或误合并非同类项：
常见错误：解方程\(2x + 3 = x + 5\)时，误将\(2x + x = 5 + 3\)（移项未变号且合并错误），得到\(3x = 8\)（错误）。
规避方法：移项时明确 “移项变号” 的原则，合并前先标记同类项，确保只合并含相同未知数且指数相同的项，常数项单独合并。
方程无解或有无数解时的误判：
常见错误：解方程\(3x + 5 = 3x + 7\)时，合并后得\(5 = 7\)，仍试图求解\(x\)（错误）。
规避方法：合并同类项后，若方程化为\(0x = b\)（\(b 0\)），则方程无解；若化为\(0x = 0\)，则方程有无数个解，需直接判断结果，而非继续计算。
六、方法总结与拓展
利用合并同类项解一元一次方程的核心是通过同类项合并简化方程结构，关键在于准确计算系数和与常数和，并正确应用等式性质。在实际解题中，需注意以下几点：
合并同类项前，可先通过移项将含未知数的项集中在左边，常数项集中在右边（移项需变号）；
合并时遵循 “系数相加，字母不变” 的原则，确保每一项都参与运算；
最终需将方程化为\(ax = b\)的形式，再根据\(a\)、\(b\)的取值判断解的情况（唯一解、无解或无数解）。
这一方法不仅适用于简单的一元一次方程，也是解复杂方程（如含括号、分数系数的方程）的前置步骤，熟练掌握合并同类项的技巧，可为后续学习更复杂的方程解法奠定基础。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.2.1利用合并同类项解一元一次方程
第五章 一元一次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 会利用合并同类项的方法解一元一次方程，
体会等式变形中的化归思想.
2. 能够从实际问题中列出一元一次方程，进
一步体会方程模型思想的作用及应用价值.
复习导入
你知道什么是方程吗？
含有未知数的等式.
等式的性质：
等式的性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式），结果仍相等.
等式的性质2：等式的两边乘同一个数或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等.
合并同类项：
（1）x + 2x + 4x
（2）5y － 3y － 4y
（3）4a － 1.5a － 2.5a
= 7x
= －2y
= 0
你知道吗？
约 820 年，阿拉伯数学家花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程. 这本书的拉丁译本为《对消与还原》.“对消”与“还原”是什么意思呢？
新知探索
问题 1 某校三年共购买计算机 140 台，去年购买的数量是前年的 2 倍，今年购买的数量又是去年的 2 倍. 前年这所学校购买了多少台计算机？
分析：设前年购买____台，则去年购买____台，今年购买_____台.
x
2x
4x
根据问题中的相关等量关系：
前年购买量 + 去年购买量 + 今年购买量＝ 140 台
列得方程 x + 2x + 4x ＝ 140.
“各个分量的和=总量”是一个基本的相等关系
x + 2x + 4x ＝ 140.
把含有 x 的项合并同类项，得
7x ＝ 140.
系数化为 1，得
x ＝ 20.
等式性质2
因此，前年这所学校购买了 20 台计算机.
分析：解方程，就是把方程变形，变为 x = a（a 为常数）的形式.
检验一下x =20是方程 x +2x + 4x =140的解.
思 考
上面解方程过程中“合并同类项”起了什么作用？
　 合并同类项的目的就是化简方程，它是一种恒等变形，可以使方程变得简单，并逐步使方程向 x ＝ a 的形式转化．
例 题
【教材P120】
例 1 解下列方程：
解：合并同类项，得
系数化为 1，得 x = 4
（1） ；
根据等式的性质解一元一次方程时，得到的 x = m，就是方程的解（想一想为什么）. 今后，检验环节通常可以省略.
例 题
（2）7x - 2.5x + 3x - 1.5x = -15×4 - 6×3
合并同类项，得
6x = -78
系数化为 1，得 x = -13
【教材P120】
例 1 解下列方程：
利用合并同类项解一元一次方程的步骤：
（1）合并同类项：把等号同侧的含未知数的项、
常数项分别合并，把方程转化为 ax = b（ a ≠ 0，
a，b 为常数）的形式；
（2）系数化为 1：利用等式的性质 2，在方程两边
除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，将未知
数的系数化为 1，得到 x = .
例 2 有一列数 1，-3，9，-27，81，-243，···，其中第 n 个数是 (-3)n-1 (n＞1)，如果这列数中某三个相邻数的和是 -1701，那么这三个数各是多少？
分析：从符号和绝对值两方面观察，可发现这列数的排列规律，后面的数是它前面的数与 -3 的乘积.
例 题
【教材P121】
解：设所求三个数中的第 1 个数是 x，则后两个数分别是 -3x，9x.
由三个数的和是-1701，得 x - 3x + 9x = -1701.
合并同类项，得 7x = -1701.
系数化为 1，得 x = -243.
所以 -3x = 729，9x = -2187.
答：这三个数是 -243，729，-2187.
1. 王芳和姐姐、妈妈一起包馄饨，妈妈包馄饨的个数是
王芳的 4 倍，姐姐包馄饨的个数是妈妈的 ，已知
三人一共包了 70 个馄饨，则王芳包了_______个馄饨.
思路分析
设王芳包了 x 个馄饨
王芳
妈妈
姐姐
4 倍
x + 4x + 2x = 70
10
2. 某种中成药由甘草、党参、苏叶三种材料组成，其中
甘草、党参、苏叶三种材料的质量之比为 1∶2∶4.
若生产 210 kg 这种中成药，则需要用到甘草、党参、
苏叶的质量分别是多少千克？
解:设需要用到甘草、党参、苏叶的质量分别是 x kg，2x kg，4x kg.
根据题意，得 x + 2x + 4x = 210.
解得 x = 30.
所以 2x = 60，4x = 120.
答:需要用到甘草、党参、苏叶的质量分别是 30 kg，60 kg，120 kg.
列一元一次方程解决实际问题的一般步骤:
审
审题
找
找相等关系
设
设未知数
列
列方程
解
解方程
检
检验所得结果
答
确定答案
练 习
【选自教材P121 练习 第1题】
1. 解下列方程：
解：合并同类项，得
系数化为1，得
（1）5x - 2x = 9； （2） ；
3x = 9
x = 3
合并同类项，得
系数化为1，得
（3）-3x + 0.5x = 10；
合并同类项，得
-2.5x = 10
系数化为 1，得
x = -4
（4）7x - 4.5x = 2.5×3–5.
合并同类项，得
系数化为 1，得
2.5x = 2.5
x = 1
2. 某工厂的产值连续增长，2022 年是 2021 年的 1.5 倍，2023 年是 2022 年的 2 倍，这三年的总产值为 550 万元. 2021 年的产值是多少万元？
解：设 2021 年的产值是 x 万元.
根据题意，得 x + 1.5x + 2×1.5x = 550.
解得 x = 100.
答：2021 年的产值是 100 万元.
【选自教材P121 练习 第2题】
3. 某洗衣机厂今年计划生产 Ⅰ 型、Ⅱ 型、Ⅲ 型洗衣机共 25500 台，其中 Ⅰ 型、Ⅱ 型、Ⅲ 型三种洗衣机的数量之比为 1∶2∶14. 洗衣机厂计划生产这三种洗衣机各多少台？
解：设计划生产 Ⅰ 型洗衣机 x 台，则计划生产 Ⅱ 型洗衣机 2x 台，Ⅲ 型洗衣机 14x 台.
根据题意，得 x + 2x + 14x ＝ 25500.
解得 x = 1500. 所以 2x ＝ 3000，14x ＝ 21000.
答：洗衣机厂计划生产 Ⅰ 型、Ⅱ 型、Ⅲ 型洗衣机各 1500 台、
3000 台、21000 台.
【选自教材P121 练习 第3题】
1. 对方程 合并同类项正确的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
2. 如果与的值互为相反数，那么 等于( )
B
A. B. 1 C. D. 3
返回
3. 对于任意四个有理数，，， ，定义一种新运算
.若，则 的值为( )
C
A. 2 B. 3 C. 6 D.
返回
4.小冬同学在解方程 时，他是这样做的：
你认为小冬做____（填“对”或“错”）了，步骤①变形的依据
是____________.
对
合并同类项
返回
5.若三个连续偶数的和是24，则它们的积是_____.
480
返回
【解析】设中间的一个偶数为，则第一个偶数为 ，第
三个偶数为，则有，解得 ，
故这三个偶数为6，8，10，所以它们的积是
.
6.解下列方程:
（1） ;
【解】合并同类项,得 ,
系数化为1,得 .
（2） .
合并同类项,得 ,
系数化为1,得 .
返回
1. 会用合并同类项解一元一次方程.
解方程的步骤：
合并同类项（合并同类项法则）
系数化为1（等式性质2）
2. 学会找等量关系列一元一次方程.
实际问题
一元一次方程
作答
设未知数
列方程
解方程
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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