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5.2.2 利用移项解一元一次方程
移项是解一元一次方程的关键步骤，它能将方程中含未知数的项和常数项分别移到等号的两边，为后续合并同类项和求解创造条件。移项的本质是等式性质的灵活应用，掌握移项的规则和技巧，可使方程求解过程更简洁高效。
一、移项的定义与依据
移项的定义：
把方程中的某一项改变符号后，从等号的一边移到另一边，这种变形叫做移项。
例如：在方程\(3x + 5 = 14\)中，将常数项\(5\)从左边移到右边，变为\(-5\)，即\(3x = 14 - 5\)；在方程\(7x - 3 = 5x + 1\)中，将\(5x\)从右边移到左边变为\(-5x\)，将\(-3\)从左边移到右边变为\(+3\)，即\(7x - 5x = 1 + 3\)。
移项的依据：
移项的依据是等式的性质 1（等式两边加或减同一个数或式子，结果仍相等）。例如：解方程\(x + 2 = 5\)时，根据等式性质 1，两边同时减\(2\)得\(x = 5 - 2\)，这一过程可简化为将\(+2\)移到右边变为\(-2\)，即移项。
因此，移项是等式性质 1 的 “简化操作”，省去了两边同时加或减的书写步骤，但本质不变。
移项的核心规则：
移项时，被移动的项必须改变符号，未移动的项符号保持不变。例如：\(+3x\)移项后变为\(-3x\)，\(-5\)移项后变为\(+5\)。
二、移项的作用与适用场景
核心作用：
通过移项，将方程中含未知数的项集中到等号的一边（通常是左边），常数项集中到等号的另一边（通常是右边），使方程结构更清晰，便于后续合并同类项和系数化为 1。
例如：方程\(2x - 7 = 5x + 2\)经移项后变为\(2x - 5x = 2 + 7\)，左边仅含未知数项，右边仅含常数项。
适用场景：
当方程中含未知数的项和常数项分散在等号两边时，必须通过移项将它们分类集中。例如：含有 “左边有未知数和常数项，右边也有未知数和常数项” 的方程（如\(3x + 4 = 2x + 9\)），需通过移项整理。
三、利用移项解一元一次方程的步骤
利用移项解一元一次方程的完整步骤可概括为 “移项→合并同类项→化系数为 1”，具体如下：
移项：
将含未知数的项全部移到等号左边，常数项全部移到等号右边，移项时务必改变移动项的符号。
例如：方程\(4x - 5 = 3x + 2\)移项后为\(4x - 3x = 2 + 5\)。
合并同类项：
分别合并等号左边的含未知数项和右边的常数项，将方程化为\(ax = b\)（\(a 0\)）的形式。
例如：上例中\(4x - 3x = 2 + 5\)合并后为\(x = 7\)。
系数化为 1：
根据等式的性质 2，在方程两边同时除以未知数的系数\(a\)，得到方程的解\(x = \frac{b}{a}\)。
例如：方程\(2x = 6\)系数化为 1 后得\(x = 3\)。
四、实例解析
示例 1：解方程\(5x - 8 = 3x + 2\)。
解：
步骤 1：移项（将\(3x\)移到左边，\(-8\)移到右边）：\(5x - 3x = 2 + 8\)（注意：\(3x\)移项变\(-3x\)，\(-8\)移项变\(+8\)）。
步骤 2：合并同类项：\(2x = 10\)。
步骤 3：系数化为 1：\(x = 5\)。
因此，方程的解为\(x = 5\)。
示例 2：解方程\(7 - 2x = 3x + 12\)。
解：
步骤 1：移项（将\(3x\)移到左边，\(7\)移到右边）：\(-2x - 3x = 12 - 7\)（\(3x\)移项变\(-3x\)，\(7\)移项变\(-7\)）。
步骤 2：合并同类项：\(-5x = 5\)。
步骤 3：系数化为 1：\(x = -1\)。
因此，方程的解为\(x = -1\)。
示例 3：解方程\(4(x - 1) = 2x + 6\)。
解：
步骤 1：去括号（先处理括号）：\(4x - 4 = 2x + 6\)。
步骤 2：移项（将\(2x\)移到左边，\(-4\)移到右边）：\(4x - 2x = 6 + 4\)。
步骤 3：合并同类项：\(2x = 10\)。
步骤 4：系数化为 1：\(x = 5\)。
因此，方程的解为\(x = 5\)。
五、典型例题分类解析
基础移项方程：
例：解方程\(6x + 3 = 8x - 5\)。
解：移项得\(6x - 8x = -5 - 3\)，合并得\(-2x = -8\)，系数化为 1 得\(x = 4\)。
含常数项在两边的方程：
例：解方程\(9 - 3x = 7 + x\)。
解：移项得\(-3x - x = 7 - 9\)，合并得\(-4x = -2\)，系数化为 1 得\(x = \frac{1}{2}\)。
需先化简再移项的方程：
例：解方程\(3x + 2(1 - x) = 4\)。
解：步骤 1：去括号得\(3x + 2 - 2x = 4\)，
步骤 2：合并同类项得\(x + 2 = 4\)，
步骤 3：移项得\(x = 4 - 2\)，即\(x = 2\)。
移项后系数为 1 的方程：
例：解方程\(5x - 3 = 2x + 6\)。
解：移项得\(5x - 2x = 6 + 3\)，合并得\(3x = 9\)，系数化为 1 得\(x = 3\)。
六、常见错误与规避方法
移项未改变符号：
常见错误：解方程\(3x + 5 = 2x + 8\)时，误移项为\(3x + 2x = 8 + 5\)（\(2x\)未变号），导致\(5x = 13\)（错误）。
规避方法：移项前明确 “移项必变号” 的原则，可在草稿纸上标注移动的项及其符号变化，例如：“\(+2x\)移到左边→\(-2x\)”“\(+5\)移到右边→\(-5\)”。
未移项却改变符号：
常见错误：解方程\(4x - 7 = 3\)时，未移项却将左边\(-7\)改为\(+7\)，得到\(4x + 7 = 3\)（错误）。
规避方法：只有被移动的项才需要改变符号，留在原地的项符号保持不变，区分 “移项” 与 “等式两边同时加减” 的操作。
移项后漏项：
常见错误：解方程\(2x + 3 - x = 5 + 4x\)时，移项漏写\(-x\)，得到\(2x = 5 + 4x - 3\)（错误）。
规避方法：移项前先将方程两边的同类项合并，确保每一项都被关注，移项时逐一检查所有项的位置和符号。
混淆移项与交换位置：
常见错误：将方程\(5 + 3x = 8\)中的\(5\)和\(3x\)交换位置变为\(3x + 5 = 8\)（这是交换位置，非移项，符号不变），却误认为是移项。
规避方法：明确 “移项” 是跨等号的移动，“交换位置” 是同侧项的顺序调整，交换位置时符号不变，移项时符号必变。
七、方法总结与拓展
利用移项解一元一次方程的核心是通过 “移项变号” 实现未知数项和常数项的分类集中，关键在于严格遵守移项规则，确保符号准确。在实际解题中，需注意以下几点：
移项前可先简化方程（如去括号、合并同侧同类项），减少移项的复杂度；
移项时按 “未知数项靠左，常数项靠右” 的习惯整理，便于合并同类项；
移项后需再次检查符号和项的完整性，避免因符号错误导致整个求解过程出错。
移项是解一元一次方程的 “桥梁” 步骤，它将分散的项集中，为合并同类项和系数化为 1 铺路。熟练掌握移项技巧后，可快速处理各类一元一次方程，为后续学习更复杂的方程（如含分数、括号的方程）奠定基础。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.2.2利用移项解一元一次方程
第五章 一元一次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.理解移项法则，会解形如 ax + b = cx + d 的方程，体会等式变形中的化归思想.
2.能够从实际问题中列出一元一次方程，进一步体会方程模型思想的作用及应用价值.
新课导入
你知道吗？
约 820 年，阿拉伯数学家阿尔—花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程. 这本书的拉丁译本为《对消与还原》.“对消”与“还原”是什么意思呢？
“对消”指的就是“合并”
1. 等式的性质是什么？
等式的性质 1：等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等.
等式的性质 2：等式两边同时乘同一个数，或同时除以同一个不为 0 的数，结果仍相等.
2. 利用等式的性质解一元一次方程的步骤：
（1）利用等式的性质 1，将方程的左边变形为只含未知数，右边只含常数项（即 kx = b）的形式；
（2）利用等式的性质 2，将方程逐步转化为 x = m（m 为常数）的形式.
新知探索
问题 2 把一批图书分给某班学生阅读，若每人分 3 本，则剩余 20 本；若每人分 4 本，则缺 25 本，这个班有多少名学生？
设这个班有 x 名学生.
每人分 3本，共分出 3x 本，加上剩余的 20 本，这批书共（3x + 20）本.
每人分 4 本，需要 4x 本，减去缺的 25 本，这批书共（4x - 25）本.
这批书的总数有几种表示方法？它们之间有什么关系？
新知探索
问题 2 把一批图书分给某班学生阅读，若每人分 3 本，则剩余 20 本；若每人分 4 本，则缺 25 本，这个班有多少名学生？
这批书的总数是一个定值，表示它的两个式子应相等，根据这一相等关系列得方程
3x + 20 = 4x－25 .
“表示同一个量的两个不同的式子相等”，是一个基本的相等关系.
思考：方程 3x + 20 = 4x－25 的两边都有含 x 的项（3x 与 4x）和不含字母的常数项（20 与 -25），怎样才能把它转化为 x = m（常数）的形式呢？
利用等式的基本性质
解：等式两边减 4x，得
3x + 20 - 4x = -25.
等式两边减 20，得
3x - 4x = -25 - 20.
3x + 20 = 4x – 25
合并同类项，得
- x = -45
系数化为 1，得
x = 45
3x - 4x = -25 - 20
3x + 20 = 4x – 25
原方程：
变形后：
像这样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.
温馨提示：移项的依据是等式的性质 1.
“移项”有“两变化”：
（1）位置变化：从方程的一边移到方程的另一边.
（2）符号变化：由正变负，负变正.
3x - 4x = -25 - 20
3x + 20 = 4x – 25
- x = -45
x = 45
合并同类项
系数化为 1
移项
原方程：
由上可知，这个班有 45 名学生.
思 考
上面解方程中“移项”起了什么作用？
通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于 x = m 的形式.
例 题
【教材P123】
例 3 解下列方程：
（1）3x + 7 = 32–2x； （2） .
解：（1）移项，得
3x + 2x = 32 - 7
合并同类项，得
5x = 25
系数化为 1，得
x = 5
例 题
【教材P123】
例 3 解下列方程：
（1）3x + 7 = 32–2x； （2） .
（2）移项，得
合并同类项，得
系数化为 1，得
巩固练习
解下列方程：
（1）2x－6 = 4x－1；
（2） x－6 = － x + 4.
解：（1）移项，得 2x－4x = －1 + 6.
合并同类项，得 －2x = 5.
系数化为 1，得 x = － .
解下列方程：
（1）2x－6 = 4x－1；
（2） x－6 = － x + 4.
（2）移项，得 x + x = 4 + 6.
合并同类项，得 x = 10.
系数化为 1，得 x = 12 .
利用移项解一元一次方程的步骤:
（1）移项：把含未知数的项移到等号一边，把常数项移到等号另一边；
（2）合并同类项；
（3）系数化为 1.
一般把含未知数的项放等号左边，常数项放等号右边.
例 4 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多 200 t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少 100 t. 新、旧工艺的废水排量之比为 2∶5，采用两种工艺的废水排量各是多少？
例 题
【教材P123】
分析：因为采用新、旧工艺的废水排量之比为 2∶5，所以可设它们分别为 2x t 和 5x t，再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程.
解：设采用新、旧工艺的废水排量分别为2x t 和 5x t.
移项，得 5x－2x＝100＋200.
系数化为 1，得 x＝100.
合并同类项，得 3x＝300.
所以 2x＝200， 5x＝500.
答：采用新、旧工艺的废水排量分别为 200 t 和 500 t.
根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得
5x－200＝2x＋100.
溯 源
约 820 年，阿拉伯数学家花拉子米著有《代数学》（又称《还原与对消计算概要》），其中，“还原”指的是“移项”,“对消”隐含着移项后合并同类项，我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的方法.
练 习
【选自教材P124 练习 第1题】
1. 解下列方程：
解：移项，得
（1）3x = 4x + 3； （2）6x - 8 = 4x；
3x - 4x = 3
合并同类项，得
- x = 3
系数化为 1，得
x = -3
移项，得
6x - 4x = 8
合并同类项，得
2x = 8
系数化为 1，得
x = 4
（3）6y -7 = 4y - 5； （4） .
移项，得
6y–4y = -5 + 7
合并同类项，得
2y = 2
系数化为 1，得
y = 1
移项，得
合并同类项，得
系数化为 1，得
2. 解根据本章引言中的问题列出的方程 1.2x + 1 = 0.8x + 3.
1.2x + 1 = 0.8x + 3
解：移项，得
1.2x – 0.8x = 3 - 1
合并同类项，得
0.4x = 2
系数化为 1，得
x = 5
【选自教材P124 练习 第2题】
3. 李明出生时父亲 28 岁，现在父亲的年龄是李明年龄
的 3 倍，求现在李明的年龄.
解：设现在李明的年龄为 x 岁.
根据题意，得 28 + x ＝ 3x.
解得 x ＝ 14.
答：现在李明的年龄为 14 岁.
【选自教材P124 练习 第3题】
4. 王芳和张华同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘 8 kg，张华平均每小时采摘 7 kg. 采摘结束后王芳从她采摘的樱桃中取出 0.25 kg 给了张华，这时两人的樱桃一样多，她们采摘用了多少时间？
解：设她们采摘用了x h.
根据题意，得 8x – 0.25 = 7x + 0.25.
解得 x = 0.5.
答：她们采摘用了 0.5 h.
【选自教材P124 练习 第4题】
1. 下列解方程中，移项正确的是( )
C
A. 由，得
B. 由，得
C. 由,得
D. 由，得
返回
2. 下列方程中,与 的解相同的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
3.若与互为相反数，则 ____.
返回
4.当____时，关于的方程 的解比方程
的解大2.
【点拨】由，得，则方程 的
解为，将代入，得 ，所以
.即当时，关于的方程 的解比方程
的解大2.
返回
5.［2024扬州］《九章算术》是中国古代的数学专著，是
《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记
载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走
100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100
米，速度快的人去追他.问速度快的人追上他需要 ____分钟.
2.5
6.解下列方程：
（1） ;
【解】移项，得 .
合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
（2） .
移项，得 .
合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
返回
把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.
利用移项解一元一次方程的步骤:
（1）移项：把含未知数的项移到等号一边，把常数项移到等号另一边；
（2）合并同类项；
（3）系数化为 1.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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