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5.2.3 利用去括号解一元一次方程
当一元一次方程中含有括号时，去括号是求解过程中的重要前置步骤。括号的存在会阻碍同类项的合并和移项操作，因此需要先通过去括号法则将方程化简，再结合移项、合并同类项等步骤求解。掌握去括号的技巧，能确保方程变形的准确性，为后续求解扫清障碍。
一、去括号的必要性与依据
必要性：
当方程中含有括号时，含未知数的项和常数项往往被括号分隔，无法直接进行移项和合并同类项。例如：方程\(2(x + 3) = 14 - 3(x - 1)\)中，\(x\)的项分别在两个括号内，需先去括号才能将含\(x\)的项集中。
依据：
去括号的依据是乘法分配律，即\(a(b + c) = ab + ac\)。通过将括号外的系数与括号内的每一项分别相乘，实现括号的去除。例如：\(3(x - 2) = 3x - 6\)，就是利用分配律将\(3\)与\(x\)、\(-2\)分别相乘。
二、去括号的法则回顾
在解一元一次方程时，去括号需遵循以下法则：
括号前是 “\(+\)” 号：
去掉括号和它前面的 “\(+\)” 号后，括号内各项的符号不变。例如：\(+(2x - 5) = 2x - 5\)，方程\(x + (3x - 1) = 7\)去括号后为\(x + 3x - 1 = 7\)。
括号前是 “\(-\)” 号：
去掉括号和它前面的 “\(-\)” 号后，括号内各项的符号都要改变（正号变负号，负号变正号）。例如：\(-(2x - 5) = -2x + 5\)，方程\(5 - (x + 2) = 3\)去括号后为\(5 - x - 2 = 3\)。
括号前有数字因数：
需将数字因数与括号内的每一项分别相乘，再按上述法则处理符号。例如：\(2(3x - 4) = 6x - 8\)，\(-3(2x + 1) = -6x - 3\)。
多层括号：
若方程中含有多层括号（如小括号、中括号），一般从最内层的小括号开始逐层去除，或根据情况先去外层括号，但需注意每层括号的符号变化。例如：\(2[3(x - 1) + 2] = 16\)，可先去小括号，再去中括号。
三、利用去括号解一元一次方程的步骤
含有括号的一元一次方程的求解步骤可概括为 “去括号→移项→合并同类项→化系数为 1”，具体如下：
去括号：
根据去括号法则去除方程中的括号，确保括号内每一项都与括号外的系数相乘（若有系数），并正确处理符号。
例如：方程\(3(x - 2) + 4 = 5x - 1\)去括号后为\(3x - 6 + 4 = 5x - 1\)。
移项：
将含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，移项时改变符号。
例如：上例去括号后整理为\(3x - 2 = 5x - 1\)，移项得\(3x - 5x = -1 + 2\)。
合并同类项：
分别合并等号两边的同类项，将方程化为\(ax = b\)（\(a 0\)）的形式。
例如：上例移项后合并得\(-2x = 1\)。
系数化为 1：
方程两边同时除以未知数的系数\(a\)，得到方程的解\(x = \frac{b}{a}\)。
例如：上例系数化为 1 得\(x = -\frac{1}{2}\)。
四、实例解析
示例 1：解方程\(4(x + 2) = 28\)。
解：
步骤 1：去括号（括号前是数字\(4\)，用分配律）：\(4x + 8 = 28\)。
步骤 2：移项（将\(8\)移到右边）：\(4x = 28 - 8\)。
步骤 3：合并同类项：\(4x = 20\)。
步骤 4：系数化为 1：\(x = 5\)。
因此，方程的解为\(x = 5\)。
示例 2：解方程\(2(3y - 1) - 3(2 - 4y) = 9y + 10\)。
解：
步骤 1：去括号（注意括号前的负号）：\(6y - 2 - 6 + 12y = 9y + 10\)（\(2 3y = 6y\)，\(2 (-1) = -2\)；\(-3 2 = -6\)，\(-3 (-4y) = +12y\)）。
步骤 2：合并同侧同类项：\((6y + 12y) + (-2 - 6) = 9y + 10\)，即\(18y - 8 = 9y + 10\)。
步骤 3：移项（将\(9y\)移到左边，\(-8\)移到右边）：\(18y - 9y = 10 + 8\)。
步骤 4：合并同类项：\(9y = 18\)。
步骤 5：系数化为 1：\(y = 2\)。
因此，方程的解为\(y = 2\)。
示例 3：解方程\(3[ x - 2(x - 1) ] = 2(1 - x)\)。
解：
步骤 1：去小括号（内层括号）：\(3[ x - 2x + 2 ] = 2 - 2x\)（注意\(-2 (-1) = +2\)）。
步骤 2：合并中括号内同类项：\(3[ -x + 2 ] = 2 - 2x\)。
步骤 3：去中括号：\(-3x + 6 = 2 - 2x\)（\(3 (-x) = -3x\)，\(3 2 = +6\)）。
步骤 4：移项（将\(-2x\)移到左边，\(6\)移到右边）：\(-3x + 2x = 2 - 6\)。
步骤 5：合并同类项：\(-x = -4\)。
步骤 6：系数化为 1：\(x = 4\)。
因此，方程的解为\(x = 4\)。
五、典型例题分类解析
括号前为正数的方程：
例：解方程\(5(2x - 1) = 3(x + 2) + 4\)。
解：去括号得\(10x - 5 = 3x + 6 + 4\)，
移项得\(10x - 3x = 6 + 4 + 5\)，
合并得\(7x = 15\)，
系数化为 1 得\(x = \frac{15}{7}\)。
括号前为负数的方程：
例：解方程\(7 - 2(3x - 1) = 5x\)。
解：去括号得\(7 - 6x + 2 = 5x\)，
合并同侧得\(9 - 6x = 5x\)，
移项得\(-6x - 5x = -9\)，
合并得\(-11x = -9\)，
系数化为 1 得\(x = \frac{9}{11}\)。
多层括号的方程：
例：解方程\(2[ (x + 1) - 3 ] = 5(x - 2)\)。
解：去小括号得\(2[ x + 1 - 3 ] = 5x - 10\)，
合并中括号得\(2[ x - 2 ] = 5x - 10\)，
去中括号得\(2x - 4 = 5x - 10\)，
移项得\(2x - 5x = -10 + 4\)，
合并得\(-3x = -6\)，
系数化为 1 得\(x = 2\)。
含分数系数的括号方程：
例：解方程\(\frac{1}{2}(4x - 6) = \frac{1}{3}(9x - 3)\)。
解：去括号得\(2x - 3 = 3x - 1\)（\(\frac{1}{2} 4x = 2x\)，\(\frac{1}{2} (-6) = -3\)；\(\frac{1}{3} 9x = 3x\)，\(\frac{1}{3} (-3) = -1\)），
移项得\(2x - 3x = -1 + 3\)，
合并得\(-x = 2\)，
系数化为 1 得\(x = -2\)。
六、常见错误与规避方法
去括号时漏乘项：
常见错误：解方程\(2(x + 3) = 5x - 1\)时，去括号误得\(2x + 3 = 5x - 1\)（漏乘\(2 3\)），导致后续求解错误。
规避方法：去括号前明确括号外的系数，将系数与括号内的每一项逐一相乘，可在草稿纸上标注 “分配律” 步骤，如\(2(x + 3) = 2 x + 2 3\)。
括号前是负号时符号漏改：
常见错误：解方程\(5 - (x - 2) = 3\)时，去括号误得\(5 - x - 2 = 3\)（\(-2\)未变号），正确应为\(5 - x + 2 = 3\)。
规避方法：括号前是 “\(-\)” 号时，默念 “每项变号”，将括号内的正号改为负号、负号改为正号，逐一检查每一项的符号。
多层括号去括号顺序错误：
常见错误：解方程\(3[ x - (2x + 1) ] = 4\)时，先去中括号得\(3x - (2x + 1) = 4\)（漏乘中括号外的系数），正确应先去小括号。
规避方法：多层括号建议 “由内向外” 逐层去除，每去一层括号后及时合并同类项，减少符号混淆的可能性。
去括号后未合并同侧同类项：
常见错误：解方程\(2x + 3(x - 1) = 4x + 5\)时，去括号得\(2x + 3x - 3 = 4x + 5\)，未合并左边同类项直接移项，增加计算复杂度。
规避方法：去括号后，先将等号两边各自的同类项合并，使方程结构更简洁，再进行移项操作。
七、方法总结与拓展
利用去括号解一元一次方程的核心是准确应用去括号法则，将含括号的方程转化为不含括号的常规方程。在实际解题中，需注意以下几点：
去括号前观察括号前的符号和系数，明确每一步的变形依据（分配律和符号法则）；
多层括号按 “由内向外” 或 “由外向内” 的顺序处理，确保每一层括号都正确去除；
去括号后及时合并同侧同类项，为后续移项和求解简化步骤；
完成去括号后，严格按照 “移项→合并同类项→化系数为 1” 的步骤求解，确保每一步的准确性。
去括号是解复杂一元一次方程的关键环节，其准确性直接影响后续求解的正确性。通过大量练习不同类型的含括号方程，可熟练掌握去括号的技巧，为解决更复杂的代数问题奠定基础。
2024人教版数学七年级上册
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5.2.3利用去括号解一元一次方程
第五章 一元一次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.会用去括号的方法解一元一次方程
2.熟悉如何设未知数列方程解应用题
新课导入
解下列方程：
解：移项，得 5x - 7x = 3 - 45.
合并同类项，得 -2x = -42.
系数化为 1，得 x = 21.
5x + 45 = 7x + 3
4 - x = x -(2 - x)
-2(2x + 1) = x
这样的方程，又该怎么办呢？
1. 去括号法则是什么？
（1）去掉“+（ ）”，括号内各项的符号都不变号.
（2）去掉“－（ ）”，括号内各项的符号都要变号.
2. 已经学过的解一元一次方程的步骤：
（1）移项
（2）合并同类项
（3）系数化为 1
3. 已经会解的两种类型的方程：
ax + bx = c（a，b，c 为常数）
ax + b = cx + d（a，b，c，d 为常数）
一台功率为 1 kW 的电器 1 h 的用电量是 1 kW·h.
新知探索
问题 3 某工厂采取节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少 2 000 kW·h（千瓦时），全年的用电量是 150 000 kW·h . 这个工厂去年上半年平均每月的用电量是多少？
思考：1. 题目中涉及了哪些量？
2. 题目中的相等关系是什么？
月平均用电量×n（月数）= n 个月用电量
上半年的用电量 + 下半年的用电量 = 全年的用电量
新知探索
分析：设去年上半年平均每月的用电量是 x kW·h，
则下半年平均每月用电量是 (x - 2000) kW·h；
上半年的用电量是6x kW·h，下半年的用电量是 6(x-2000) kW·h．
根据全年的用电量是 150 000 kW·h，列得方程
6x + 6(x - 2 000) = 150 000
怎样解这个方程？
这个方程与我们前面研究过的方程有什么不同？
方程左边去括号，得
6x + 6x-12 000 = 150 000
移项，得
6x + 6x = 150 000 + 12 000
合并同类项，得
12x = 162 000
系数化为 1，得
x = 13 500
这个工厂去年上半年平均每月的用电量是 13 500 kW·h.
6x + 6(x - 2 000) = 150 000
当方程中有带括号的式子时，去括号是常用的化简步骤.
利用去括号解一元一次方程的一般步骤：
去
括号
移项
合并
同类项
系数
化为 1
例 题
【教材P125】
例 5 解下列方程：
（1）2x –(x + 10) = 5x + 2(x – 1)；
解：去括号，得 2x–x -10 = 5x + 2x - 2.
移项，得 2x–x - 5x - 2x = -2 + 10.
合并同类项，得 -6x = 8.
系数化为 1，得 x = - .
例 题
【教材P125】
（2）3x – 7(x – 1) = 3 – 2(x + 3) .
去括号，得 3x–7x + 7 = 3 - 2x - 6.
移项，得 3x–7x + 2x = 3 -6 -7.
合并同类项，得 -2x = -10.
系数化为 1，得 x = 5.
巩固练习
解方程： x + 1－2(x－1) = 1－3x
解：去括号，得 x + 1－2x － 2 = 1－3x
移项，得 x－2x + 3x = 1 －1+2
合并同类项，得 2x = 2
系数化为 1，得 x =1
上述解答过程错在哪一步？指出并加以改正.
x + 1－2x + 2 = 1－3x
x－2x + 3x = 1－1－2
2x = －2
x = －1
例 6 一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了 2 h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了 2.5 h．已知水流的速度是 3 km/h，求船在静水中的平均速度.
例 题
【教材P125】
思考：1. 行程问题涉及哪些量？它们之间的关系是什么？
2. 问题中涉及到顺、逆流因素，这类问题中有哪些基本相等关系？
顺水（风）、逆水（风）问题中的相等关系：
（1）顺水速度＝静水速度 + 水流速度，
逆水速度＝静水速度－水流速度.
（2）顺风速度＝ 无风速度 + 风速，
逆风速度＝ 无风速度－风速.
（3）往返于A，B 两地时，顺水(风)航程＝逆水(风)航程
分析：一般情况下，可以认为这艘船往返的路程相等.
根据这个相等关系，可以列方程求出船在静水中的平均速度.
例 6 一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了 2 h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了 2.5 h．已知水流的速度是 3 km/h，求船在静水中的平均速度.
例 题
【教材P125】
解：设船在静水中的平均速度为 x km/h，则顺水的速度为 (x+3) km/h，逆水速度为 (x-3) km/h.
根据往返路程相等，列得方程 2(x+3) = 2.5(x-3).
去括号，得 2x + 6 = 2.5x - 7.5.
移项及合并类型，得 -0.5x = -13.5.
系数化为 1，得 x = 27.
答：船在静水中的平均速度为 27 km/h.
巩固练习
一艘船从甲码头顺水航行到乙码头用时 4 h，从乙码头逆水航行返回甲码头用时 5 h. 已知水流的速度为 3 km/h，求甲、乙两个码头之间的航程.
分析：①设船在静水中的平均速度为 x km/h.
类型 速度/(km/h) 时间/h 航程/km
顺水 x + 3 4 4(x + 3)
逆水 x - 3 5 5(x - 3)
②相等关系：顺水航程＝逆水航程.
解:设船在静水中的平均速度为 x km/h.
根据题意，得 4(x + 3)＝ 5(x - 3).
去括号，得 4x + 12 ＝ 5x-15.
移项及合并同类项，得 -x = -27.
系数化为 1，得 x = 27.
所以 4(x + 3) = 120.
答:甲、乙两个码头之间的航程为 120 km.
【选自教材教材P126 练习 第1题】
1. 解下列方程：
解：去括号，得 2x + 6 = 5x.
（1）2(x + 3) = 5x；
移项，得 2x - 5x = -6.
合并同类项，得 -3x = -6.
系数化为 1，得 x = 2.
（2）4x + 3(2x - 3) = 12-(x + 4)；
解：去括号，得 4x + 6x - 9 = 12–x - 4.
移项，得 4x + 6x + x = 12-4 + 9.
合并同类项，得 11x = 17.
系数化为 1，得 x = .
（3）6( x - 4) + 2x = 7-( x - 1)；
系数化为 1，得 x = 6.
合并同类项，得 x = 32.
解：去括号，得 3x–24 + 2x = 7– x + 1.
移项，得 3x + 2x + x = 24 + 7 + 1.
（4）2 - 3(x + 1) = 1-2(1 + 0.5x).
解：去括号，得 2 - 3x - 3 = 1- 2–x.
移项，得 -3x + x = 1-2-2 + 3.
合并同类项，得 -2x = 0.
系数化为 1，得 x = 0 .
2. 一个长方形的长减少 2 cm，宽增加 2 cm 后，面积
保持不变. 已知这个长方形的长是 6 cm，求它的宽.
解: 设这个长方形的宽为 x cm.
根据题意，得 6x ＝ (6-2)(x + 2).
解得 x = 4.
答:它的宽为 4 cm.
【选自教材教材P126 练习 第2题】
3. 编织大、小两种中国结共 6 个，总计用绳 20 m，已知
编织 1 个大号中国结需用绳 4 m，编织 1 个小号中国结
需用绳 3 m. 问这两种中国结各编织了多少个.
解:设编织了 x 个大号中国结.
根据题意，得 4x + 3(6-x) = 20.
解得 x = 2. 所以 6-x = 4.
答:编织了 2 个大号中国结，4 个小号中国结.
【选自教材教材P126 练习 第3题】
1. 方程 ，去括号正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
2. ［2025太原校级月考］在等式 中，已知
，，，则 等于( )
C
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
返回
3. ［2025天津南开区月考］设， ，若
有，则 的值是( )
A. B. 4 C. D. 1
B
返回
4.［2024盐城］中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载
了“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用
绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，
绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的
竿子长为____尺.
15
5.解下列方程：
（1） ；
【解】去括号，得 .
移项，得 .
合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
（2） ；
去括号，得 .
移项，得 .
合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
（3） .
去中括号，得 .
去小括号，得 .
移项，得 .
合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
利用去括号解一元一次方程的一般步骤：
去
括号
移项
合并
同类项
系数
化为 1
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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