资源简介

(共29张PPT)
5.3.1 配套问题和工程问题
列一元一次方程解决实际问题是代数知识的重要应用，配套问题和工程问题是其中两类典型题型。这两类问题的核心在于找到题目中的等量关系，通过设未知数、列方程、解方程来解决实际问题。掌握这两类问题的解题思路，能提升用数学模型解决实际问题的能力。
一、配套问题
核心等量关系：
配套问题的关键是明确不同部件之间的数量比例关系，即 “生产的各种部件数量成比例”。例如：若 1 个零件 A 需要搭配 2 个零件 B 才能组装成一个完整产品，则生产的零件 A 数量与零件 B 数量的比应为 1:2，即零件 B 的数量 = 2× 零件 A 的数量。
解题步骤：
设未知数：设生产其中一种部件的数量为\(x\)（或设生产该部件的人数为\(x\)）；
表示其他部件数量：根据人数分配或生产效率，用含\(x\)的代数式表示其他部件的数量；
列方程：根据配套比例关系列出方程；
解方程：求出未知数的值；
检验并作答：检验结果是否符合实际意义，再回答问题。
实例解析：
示例 1：某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母。1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？
解：
步骤 1：设安排\(x\)名工人生产螺钉，则生产螺母的工人有\((22 - x)\)名。
步骤 2：表示数量：每天生产螺钉\(1200x\)个，生产螺母\(2000(22 - x)\)个。
步骤 3：列方程（螺母数量是螺钉数量的 2 倍）：\(2000(22 - x) = 2 1200x\)。
步骤 4：解方程：
去括号得\(44000 - 2000x = 2400x\)，
移项得\(-2000x - 2400x = -44000\)，
合并得\(-4400x = -44000\)，
系数化为 1 得\(x = 10\)。
步骤 5：检验并作答：生产螺母的工人为\(22 - 10 = 12\)名。
此时螺钉数量为\(1200 10 = 12000\)个，螺母数量为\(2000 12 = 24000\)个，\(24000 = 2 12000\)，符合配套要求。
答：应安排 10 名工人生产螺钉，12 名工人生产螺母。
示例 2：用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身 25 个或制盒底 40 个，1 个盒身与 2 个盒底配成 1 个罐头盒。现有 36 张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底刚好配套？
解：
步骤 1：设用\(x\)张铁皮制盒身，则用\((36 - x)\)张铁皮制盒底。
步骤 2：表示数量：盒身数量为\(25x\)个，盒底数量为\(40(36 - x)\)个。
步骤 3：列方程（盒底数量是盒身数量的 2 倍）：\(40(36 - x) = 2 25x\)。
步骤 4：解方程：
去括号得\(1440 - 40x = 50x\)，
移项得\(-40x - 50x = -1440\)，
合并得\(-90x = -1440\)，
系数化为 1 得\(x = 16\)。
步骤 5：检验并作答：制盒底的铁皮为\(36 - 16 = 20\)张。
盒身数量为\(25 16 = 400\)个，盒底数量为\(40 20 = 800\)个，\(800 = 2 400\)，符合配套要求。
答：用 16 张制盒身，20 张制盒底可以使盒身与盒底刚好配套。
二、工程问题
核心等量关系：
工程问题通常将总工作量视为单位 “1”，基本关系为：
例如：若甲单独完成一项工程需要\(a\)天，则甲的工作效率为每天完成\(\frac{1}{a}\)；若甲工作\(b\)天，则甲完成的工作量为\(\frac{b}{a}\)。
工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间；
工作量 = 工作效率 × 工作时间；
各部分工作量之和 = 总工作量（通常为 1）。
解题步骤：
设未知数：设完成工程所需时间为\(x\)（或设甲、乙的工作效率等）；
确定工作效率：根据单独完成时间表示各主体的工作效率；
表示工作量：根据工作时间和工作效率，用含\(x\)的代数式表示各主体完成的工作量；
列方程：根据 “各部分工作量之和 = 总工作量” 列出方程；
解方程：求出未知数的值；
检验并作答：检验结果是否合理，再回答问题。
实例解析：
示例 1：一件工作，甲单独做需要 15 天完成，乙单独做需要 12 天完成。现甲先单独做 1 天，之后甲、乙两人合作，还需要多少天才能完成这件工作？
解：
步骤 1：设甲、乙合作还需要\(x\)天才能完成工作。
步骤 2：确定工作效率：甲的工作效率为\(\frac{1}{15}\)，乙的工作效率为\(\frac{1}{12}\)。
步骤 3：表示工作量：甲先做 1 天完成的工作量为\(\frac{1}{15}\)，甲、乙合作\(x\)天完成的工作量为\((\frac{1}{15} + \frac{1}{12})x\)。
步骤 4：列方程（总工作量为 1）：\(\frac{1}{15} + (\frac{1}{15} + \frac{1}{12})x = 1\)。
步骤 5：解方程：
去分母（最简公分母 60）得\(4 + (4 + 5)x = 60\)，
即\(4 + 9x = 60\)，
移项得\(9x = 56\)，
系数化为 1 得\(x = \frac{56}{9} 6.22\)。
步骤 6：检验并作答：由于天数需取整数，且\(\frac{56}{9}\)天约为 6.22 天，实际需 7 天？（此处按精确值作答）
答：还需要\(\frac{56}{9}\)天（约 6.22 天）才能完成这件工作。
示例 2：一项工程，甲队单独施工需要 10 天完成，乙队单独施工需要 15 天完成。两队合作 3 天后，剩下的工程由乙队单独完成，还需要多少天？
解：
步骤 1：设乙队单独完成剩下的工程还需要\(x\)天。
步骤 2：确定工作效率：甲队效率为\(\frac{1}{10}\)，乙队效率为\(\frac{1}{15}\)。
步骤 3：表示工作量：两队合作 3 天完成的工作量为\(3 (\frac{1}{10} + \frac{1}{15})\)，乙队单独做\(x\)天完成的工作量为\(\frac{1}{15}x\)。
步骤 4：列方程（总工作量为 1）：\(3 (\frac{1}{10} + \frac{1}{15}) + \frac{1}{15}x = 1\)。
步骤 5：解方程：
计算括号内得\(3 (\frac{3 + 2}{30}) + \frac{x}{15} = 1\)，即\(3 \frac{5}{30} + \frac{x}{15} = 1\)，
化简得\(\frac{1}{2} + \frac{x}{15} = 1\)，
移项得\(\frac{x}{15} = \frac{1}{2}\)，
系数化为 1 得\(x = 7.5\)。
步骤 6：检验并作答：\(7.5\)天符合实际意义。
答：还需要 7.5 天。
三、典型例题分类解析
配套问题 —— 按比例分配：
例：某服装厂要生产一批西装，每套用布 2.4 米，现有布料 500 米，最多可以生产多少套西装？（配套问题的简单形式，1 套西装对应 1 份布料）
解：设最多可以生产\(x\)套西装，
列方程\(2.4x ¤ 500\)，
解得\(x ¤ 208.33\)，由于西装套数为整数，故\(x = 208\)。
答：最多可以生产 208 套西装。
工程问题 —— 多人合作：
例：一项工作，甲单独做需 8 小时完成，乙单独做需 12 小时完成。甲、乙两人合作 2 小时后，甲因事离开，剩下的部分由乙单独完成，乙还需要多少小时？
解：设乙还需要\(x\)小时，
甲效率为\(\frac{1}{8}\)，乙效率为\(\frac{1}{12}\)，
列方程\(2 (\frac{1}{8} + \frac{1}{12}) + \frac{1}{12}x = 1\)，
化简得\(2 \frac{5}{24} + \frac{x}{12} = 1\)，即\(\frac{5}{12} + \frac{x}{12} = 1\)，
解得\(x = 7\)。
答：乙还需要 7 小时。
配套问题 —— 复杂比例：
例：某机械厂加工一批零件，已知甲车间每天加工 200 个零件，乙车间每天加工 250 个零件，甲车间加工的零件 A 与乙车间加工的零件 B 按 3:2 配套。现两车间共同加工 5 天，生产的零件是否配套？若不配套，哪类零件多，多多少？
解：5 天甲车间生产零件 A：\(200 5 = 1000\)个，
乙车间生产零件 B：\(250 5 = 1250\)个，
配套比例应为零件 A: 零件 B = 3:2，即\(2 é A = 3 é B\)，
计算\(2 1000 = 2000\)，\(3 1250 = 3750\)，\(2000 3750\)，不配套。
因\(2000 < 3750\)，零件 A 少，零件 B 多，多\(1250 - \frac{2}{3} 1000 1250 - 666.67 = 583.33\)个（或按比例计算）。
答：不配套，零件 B 多，多约 583 个。
四、常见错误与规避方法
配套问题比例颠倒：
常见错误：在 “1 个 A 配 2 个 B” 的问题中，误列方程为\(2 B = A\)（正确应为\(B = 2 A\)）。
规避方法：明确 “谁配谁”，例如 “A 配 B” 表示 A 的数量 × 比例中 B 的份数 = B 的数量 × 比例中 A 的份数，即\(A b = B a\)（比例为\(A:B = a:b\)）。
工程问题总工作量未设为 1：
常见错误：解决工程问题时，未将总工作量设为 1，导致无法表示工作效率（如甲单独做 5 天完成，误将效率表示为 5）。
规避方法：牢记工程问题中总工作量通常设为 1，工作效率 = \(1 ·\)单独完成时间，确保效率是 “每天完成的工作量占比”。
忽略实际意义中的整数要求：
常见错误：配套问题或工程问题中，结果出现小数时未根据实际情况取整数（如生产套数为 208.3 时，误答 208.3 套）。
规避方法：解题后检查结果是否符合实际（如人数、套数、天数应为整数或合理小数），必要时进行四舍五入或取整处理。
多人合作时工作量计算错误：
常见错误：计算合作工作量时，误将 “甲效率 + 乙效率” 写成 “甲效率 × 乙效率”（如甲效率\(\frac{1}{8}\)，乙效率\(\frac{1}{12}\)，合作效率误算为\(\frac{1}{8} \frac{1}{12}\)）。
规避方法：明确合作效率是各主体效率之和，即 “甲效率 + 乙效率”，而非乘积。
五、方法总结与拓展
配套问题和工程问题的核心是找到等量关系：配套问题关注 “部件数量比例”，工程问题关注 “工作量之和 = 总工作量”。解决这两类问题的关键步骤包括：
仔细审题，明确题目中的数量关系（如配套比例、工作效率、工作时间）；
合理设未知数，用代数式表示相关量；
根据等量关系列出方程，确保方程两边意义一致；
解方程后检验结果是否符合实际意义，再规范作答。
这两类问题在实际生活中应用广泛，如生产调度、工程进度安排等。通过练习不同情境的题目，可熟练掌握用一元一次方程解决实际问题的思路，提升数学建模能力和问题解决能力。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.3.1配套问题和工程问题
第五章 一元一次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 会运用一元一次方程解决物品配套问题
和工程问题.
2. 掌握用一元一次方程解决实际问题的基
本思路和步骤.
实际问题
一元一次方程
设未知数
列方程
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是解决实际问题的一种数学方法.
例 题
【教材P133】
例 1 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1 200 个螺栓或 2 000 个螺母. 1 个螺栓需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
如果设应安排 x 名工人生产螺栓，则_______名工人生产螺母.
螺栓的数量为___________，螺母的数量为____________.
如何找出等量关系？
1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套.
等量关系：螺母数量 = 螺栓数量×2
(22-x)
1200x
2000(22-x)
例 题
【教材P133】
例 1 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1 200 个螺栓或 2 000 个螺母. 1 个螺栓需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
产品类型 生产人数 单人产量 总产量
螺栓 x 1200
螺母 2000
(22-x)
1200x
2000(22-x)
解：设应安排 x 名工人生产螺栓，(22-x)名工人生产螺母.
根据螺母数量应是螺栓数量的 2 倍，列得方程
2000(22-x) = 2×1200x.
解方程，得 x = 10.
22-x = 12.
答：应安排 10 名工人生产螺栓，12 名工人生产螺母.
产品类型 生产人数 单人产量 总产量
螺栓 x 1200
螺母 2000
(22-x)
1200x
2000(22-x)
如果设 x 名工人生产螺母，怎样列方程？
2000x = 2×1200(22-x).
例 题
【教材P133】
例 1 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1 200 个螺栓或 2 000 个螺母. 1 个螺栓需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
配套问题
配套问题中的基本关系：
可得相等关系：m×B 的数量 = n×A 的数量.
若 m 个 A 和 n 个 B 配成一套，则 ，
A 的数量
B 的数量
m
n
=
巩固练习
某服装厂要生产一批校服，已知每米布料可以做 2 件上衣或 3 条裤子，1 件上衣和 2 条裤子配成一套. 现有 1008 m 的布料，应怎样计划用料才能做尽可能多的成套校服？
每米布料可以做 2 件上衣或 3 条裤子
上衣的数量∶裤子的数量 = 1∶2
可得：裤子的数量 = 上衣的数量×2
上衣和裤子共用布料 1008 m
条件分析
解:设用 x m 布料做上衣，则用 (1008-x) m 布料做裤子.
由题意，得 3(1008 - x) = 2x×2，
解得 x = 432. 所以 1008 - x = 576.
答:用 432 m 布料做上衣，576 m 布料做裤子，才能做
尽可能多的成套校服.
巩固练习
某服装厂要生产一批校服，已知每米布料可以做 2 件上衣或 3 条裤子，1 件上衣和 2 条裤子配成一套. 现有 1008 m 的布料，应怎样计划用料才能做尽可能多的成套校服？
例 题
【教材P133】
例 2 整理一批图书，由 1 人整理需要 40 h 完成. 现计划由一部分人先整理 4 h，然后增加 2 人与他们一起整理 8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？
分析：在工程问题中：工作量=人均效率×人数×时间
如果把总工作量设为 1，则人均效率为 ，
如果设先安排 x 人做 4 h，那么 x 人先做 4 h完成的工作量为 ，
增加 2 人后再做 8 h 完成的工作量为 ，
前部分工作总量 + 后部分工作总量 = 总工作量
人均效率 人数 时间 工作量
前一部分工作 x 4
后一部分工作 x＋2 8
解：设先安排 x 人整理 4 h.
根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，
答：应先安排 2 人进行整理.
列得方程 ，解得 x = 2.
工程问题
工程问题中常用的相等关系：
（1）工作量 = 工作效率 × 工作时间
（2）合作效率 = 各部分的工作效率之和
（3）总工作量 = 各部分的工作量之和
（4）总工作量 = 人均效率×人数×时间
巩固练习
有一批零件加工任务，甲单独做要 40 h 完成，乙单独做要 30 h 完成. 甲单独做了一段时间后另有任务，剩下的任务由乙接手并单独完成，最终完成任务时，乙比甲多做了 2 h. 甲做了多少小时？
甲的工作量 + 乙的工作量 = 总工作量“1”
甲的工作效率×工作时间
乙的工作效率×工作时间
巩固练习
有一批零件加工任务，甲单独做要 40 h 完成，乙单独做要 30 h 完成. 甲单独做了一段时间后另有任务，剩下的任务由乙接手并单独完成，最终完成任务时，乙比甲多做了 2 h. 甲做了多少小时？
解：设甲做了 x h，则乙做了 (x + 2) h.
根据题意，得 ，解得 x = 16.
答：甲做了 16 h.
归 纳
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
实际问题
一元一次方程
实际问题
的答案
一元一次方程的解
（x = m）
设未知数，列方程
检 验
解方程
这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数、列方程、解方程、检验所得结果、确定答案. 正确分析问题中的相等关系是列方程的基础.
练 习
【选自教材P134 练习 第1题】
1. 一条地下管线由甲工程队单独铺设需要 12 天，由乙工程队单独铺设需要 24 天，如果由这两支工程队从两端同时施工，需要多少天可以铺好这条管线？
解: 设需要 x 天可以铺好这条管线.
根据题意，得 .
解得 x ＝ 8.
答: 需要 8 天可以铺好这条管线.
2. 在一次劳动课上，有 27 名同学在甲处劳动，有 19 名
同学在乙处劳动. 现在从其他班级另调 20 人去支援，
使得在甲处的人数为在乙处人数的 2 倍，应调往甲、
乙两处各多少人？
解：设调往甲处 x 人，则调往乙处 (20 - x) 人.
根据题意，得 27 + x = 2(19 + 20 - x).
解得 x = 17. 所以 20 - x = 3.
答：应调往甲处 17 人，乙处 3 人.
【选自教材P134 练习 第2题】
3. 一台仪器由 1 个 A 部件和 3 个 B 部件构成. 用 1 m3 钢材可以做 40 个 A 部件或 240 个 B 部件，现要用 6 m3 钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做 A 部件，多少立方米钢材做 B 部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制成多少台仪器？
解:设用 x m3 钢材做 A 部件，则用 (6 - x) m3 钢材做 B 部件.
根据题意，3×40x = 240(6 - x). 解得 x = 4.
所以 6 - x = 2，40x = 160.
答:应用 4 m3 钢材做A部件，2 m3 钢材做 B 部件，才能制作
尽可能多的仪器，最多能制成 160 台仪器.
【选自教材P134 练习 第3题】
1. 汝窑是宋代五大名窑之首，在中国陶瓷史
上素有“汝窑为魁”之称.某汝窑瓷器工厂烧制茶具，每套茶具
由1个茶壶和6只茶杯组成.用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶
杯，现要用6千克瓷泥制作茶具，设用 千克瓷泥做茶壶时，
恰好使制作的茶壶和茶杯配套.根据题意，下面所列方程正确
的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
2. ［2024烟台］《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著
作.书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟.初日
织五尺，末日织一尺，今三十日织讫.问织几何？”意思是：
现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每
天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一
尺布，30天完工，问一共织了多少布？( )
C
A. 45尺 B. 88尺
C. 90尺 D. 98尺
返回
3.某工厂安排60名工人加工一批桌子，每张桌子由1张桌面和
4条桌腿组成.每名工人每天可以加工2张桌面或者4条桌腿
（每人只加工桌面或桌腿），为了使每天加工的桌面和桌腿
恰好配套，每天应该安排____名工人生产桌面.
20
【点拨】设每天应该安排名工人生产桌面，则有 名
工人生产桌腿，由题意，得，解得 ，
所以每天应该安排20名工人生产桌面.
返回
4. 问题：师徒二人检修管道，____，求师傅
与徒弟每小时各检修多长的管道.
条件：
①该管道长 ；
②师傅每小时比徒弟多检修 ；
③若两人从管道两端同时开始检修，则 后完成任务；
④若师傅先检修，则两人再一起检修 后完成任务；
在上述四个条件中选择三个条件，并完成解答.（写一种即可）
【解】（答案不唯一，写一种即可）
当选择①②③时，
设师父每小时检修，则徒弟每小时检修 ，
由题意，得 ，
解得，所以 .
答：师父每小时检修，徒弟每小时检修 .
当选择①②④时，
设师父每小时检修，则徒弟每小时检修 ，
由题意，得 ，
解得，所以 .
答：师父每小时检修，徒弟每小时检修 .
当选择②③④时，
设师父每小时检修，则徒弟每小时检修 ，
由题意，得 ，
解得，所以 ，
答：师父每小时检修，徒弟每小时检修 .
返回
5. 某车间有技工85人，平均每人每天能生产甲种零件16个或
乙种零件10个，已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，
通过合理安排，分配恰当的人数生产甲种或乙种零件，可以
使得每天生产的两种零件刚好配套，则每天可以生产配套的
零件( )
A
A. 200套 B. 201套
C. 202套 D. 203套
课堂小结
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
实际问题
一元一次方程
实际问题
的答案
一元一次方程的解
（x = m）
设未知数，列方程
检 验
解方程
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑