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5.3.2 销售中的盈亏问题
销售中的盈亏问题是一元一次方程在经济生活中的典型应用，这类问题围绕成本、售价、利润、利润率等核心概念展开，通过分析商品销售后的收入与成本的关系判断盈亏。掌握盈亏问题的解题思路，不仅能解决数学问题，还能提升对实际经济活动的理解。
一、核心概念与基本关系
关键概念：
成本价（进价）：商家购进商品时的价格，即商品的成本，通常用\(x\)表示。
售价：商家卖出商品时的价格，即商品的卖出价。
利润：售价减去成本价所得的收益，即利润 = 售价 - 成本价。若利润为正，则盈利；若利润为负，则亏损。
利润率：利润与成本价的比值（通常用百分数表示），即利润率 = \(\frac{ }{ ·} 100\%\)。
基本等量关系：
例如：一件商品成本价为 100 元，若以 120 元卖出，利润为\(120 - 100 = 20\)元，利润率为\(\frac{20}{100} 100\% = 20\%\)；若以 90 元卖出，利润为\(90 - 100 = -10\)元（亏损 10 元），利润率为\(\frac{-10}{100} 100\% = -10\%\)。
利润 = 售价 - 成本价；
售价 = 成本价 + 利润；
售价 = 成本价 ×(1 + 利润率)（当盈利时，利润率为正；当亏损时，利润率为负）；
利润率 = \(\frac{ · - ·}{ ·} 100\%\)。
二、盈亏判断标准
盈利：售价 > 成本价（利润 > 0）；
亏损：售价 < 成本价（利润 < 0）；
不盈不亏：售价 = 成本价（利润 = 0）。
在实际问题中，常需通过计算总成本和总售价的关系判断整体盈亏：
总利润 = 总售价 - 总成本。若总利润 > 0，则整体盈利；若总利润 < 0，则整体亏损。
三、解题步骤
解决销售中的盈亏问题，通常遵循以下步骤：
设未知数：设商品的成本价为\(x\)元（或根据问题设其他未知量，如售价、利润率等）；
表示售价或利润：根据题目中的利润率、折扣等条件，用含\(x\)的代数式表示售价或利润；
列方程：根据 “售价 = 成本价 ×(1 + 利润率)” 或 “利润 = 售价 - 成本价” 等关系列出方程；
解方程：求出成本价或其他未知量的值；
计算总利润：对于多件商品，分别计算成本和售价，再比较总售价与总成本的大小；
检验并作答：检验结果是否符合实际意义，判断盈亏情况并回答问题。
四、实例解析
示例 1：某商店将一件商品按进价提高 50% 后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 20 元，这件商品的进价是多少元？
解：
步骤 1：设这件商品的进价为\(x\)元。
步骤 2：表示标价和售价：
标价为进价提高 50%，即标价 = \(x (1 + 50\%) = 1.5x\)元；
以 8 折优惠卖出，售价 = 标价 ×80% = \(1.5x 0.8 = 1.2x\)元。
步骤 3：列方程（利润 = 售价 - 进价 = 20 元）：\(1.2x - x = 20\)。
步骤 4：解方程：
合并同类项得\(0.2x = 20\)，
系数化为 1 得\(x = 100\)。
步骤 5：检验并作答：进价为 100 元，售价为\(1.2 100 = 120\)元，利润为\(120 - 100 = 20\)元，符合题意。
答：这件商品的进价是 100 元。
示例 2：某商店同时卖出两件上衣，每件都以 135 元出售，若按成本计算，其中一件盈利 25%，另一件亏损 25%。问：这家商店卖出这两件上衣总体是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？
解：
步骤 1：设盈利 25% 的上衣进价为\(x\)元，亏损 25% 的上衣进价为\(y\)元。
步骤 2：列方程求进价：
对于盈利的上衣：售价 = 进价 ×(1 + 25%)，即\(135 = x (1 + 25\%)\)，
解得\(x = 135 ·1.25 = 108\)元；
对于亏损的上衣：售价 = 进价 ×(1 - 25%)，即\(135 = y (1 - 25\%)\)，
解得\(y = 135 ·0.75 = 180\)元。
步骤 3：计算总成本和总售价：
总成本 = \(x + y = 108 + 180 = 288\)元，
总售价 = \(135 2 = 270\)元。
步骤 4：判断盈亏：
总利润 = 总售价 - 总成本 = \(270 - 288 = -18\)元（亏损 18 元）。
步骤 5：检验并作答：盈利的上衣利润为\(135 - 108 = 27\)元，亏损的上衣利润为\(135 - 180 = -45\)元，总利润为\(27 - 45 = -18\)元，符合计算结果。
答：这家商店卖出这两件上衣总体是亏损的，亏损了 18 元。
示例 3：某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元）。设每件商品的售价上涨\(x\)元（\(x\)为正整数），每个月的销售利润为\(y\)元。
（1）求\(y\)与\(x\)的函数关系式；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少元？
解：
（1）步骤 1：分析售价和销量的变化：
售价上涨\(x\)元后，每件售价为\((50 + x)\)元；
销量减少\(10x\)件，每月销量为\((210 - 10x)\)件。
步骤 2：列利润关系式：
利润 = （售价 - 进价）× 销量，即\(y = (50 + x - 40)(210 - 10x) = (10 + x)(210 - 10x)\)，
整理得\(y = -10x + 110x + 2100\)（\(0 < x ¤ 15\)，因售价不高于 65 元，\(50 + x ¤ 65\)即\(x ¤ 15\)）。
（2）步骤 1：分析二次函数的最值：\(y = -10x + 110x + 2100\)是开口向下的抛物线，对称轴为\(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{110}{2 (-10)} = 5.5\)。
步骤 2：确定最大利润：
因\(x\)为正整数，故\(x = 5\)或\(x = 6\)时利润最大。
当\(x = 5\)时，售价为\(50 + 5 = 55\)元，利润\(y = -10 25 + 110 5 + 2100 = 2400\)元；
当\(x = 6\)时，售价为\(50 + 6 = 56\)元，利润\(y = -10 36 + 110 6 + 2100 = 2400\)元。
步骤 3：作答：
每件商品的售价定为 55 元或 56 元时，每个月可获得最大利润，最大利润是 2400 元。
五、典型例题分类解析
单一商品的盈亏计算：
例：某商品进价为 200 元，按标价的 8 折销售仍可获利 10%，该商品的标价是多少元？
解：设标价为\(x\)元，
售价为\(0.8x\)元，利润为\(200 10\% = 20\)元，
列方程\(0.8x - 200 = 20\)，
解得\(0.8x = 220\)，\(x = 275\)。
答：该商品的标价是 275 元。
多件商品的整体盈亏判断：
例：某商店购进 A、B 两种商品，A 商品每件进价 30 元，售价 45 元；B 商品每件进价 20 元，售价 30 元。若购进 A、B 商品共 100 件，总进价为 2600 元，全部卖出后总利润是多少元？
解：设购进 A 商品\(x\)件，则购进 B 商品\((100 - x)\)件，
列方程\(30x + 20(100 - x) = 2600\)，
解得\(x = 60\)，则 B 商品为 40 件，
总利润 = A 商品利润 + B 商品利润 = \((45 - 30) 60 + (30 - 20) 40 = 900 + 400 = 1300\)元。
答：全部卖出后总利润是 1300 元。
含折扣和利润率的综合问题：
例：某商品按定价出售，每个可获利 45 元。按定价的 8.5 折出售 8 个与按定价每个减价 35 元出售 12 个所获利润相同，该商品的定价是多少元？
解：设该商品的定价为\(x\)元，则进价为\((x - 45)\)元，
按 8.5 折出售 8 个的利润：\(8 [0.85x - (x - 45)] = 8 (45 - 0.15x)\)，
减价 35 元出售 12 个的利润：\(12 [(x - 35) - (x - 45)] = 12 10 = 120\)元，
列方程\(8 (45 - 0.15x) = 120\)，
解得\(360 - 1.2x = 120\)，\(1.2x = 240\)，\(x = 200\)。
答：该商品的定价是 200 元。
六、常见错误与规避方法
混淆利润率的计算基数：
常见错误：计算利润率时，误将 “售价” 作为基数（如利润为 20 元，售价为 120 元，误算利润率为\(\frac{20}{120} 100\%\)）。
规避方法：牢记利润率的定义 —— 利润率 = \(\frac{ }{ ·} 100\%\)，计算基数是成本价而非售价。
多件商品盈亏判断时漏算总成本或总售价：
常见错误：判断两件商品的整体盈亏时，仅比较单件利润的绝对值（如一件盈利 20 元，一件亏损 15 元，误判为盈利 5 元，但未考虑两件商品的成本不同）。
规避方法：对于多件商品，必须分别计算每件的成本和售价，再通过 “总利润 = 总售价 - 总成本” 判断整体盈亏，而非直接加减单件利润。
折扣问题中售价计算错误：
常见错误：将 “8 折” 理解为 “售价 = 进价 ×80%”（正确应为 “售价 = 标价 ×80%”）。
规避方法：明确折扣是在标价基础上的优惠，即售价 = 标价 × 折扣率，与进价无直接关联（除非题目说明按进价打折）。
忽略实际问题中的限制条件：
常见错误：在含销量变化的问题中，未考虑售价或销量的取值范围（如示例 3 中售价不能高于 65 元，忽略此条件可能导致结果不合理）。
规避方法：解题时仔细审题，标记题目中的限制条件（如 “售价不超过 XX 元”“销量为正整数” 等），确保解在合理范围内。
七、方法总结与拓展
销售中的盈亏问题核心是围绕 “利润 = 售价 - 成本价” 和 “利润率 = \(\frac{ }{ ·}\)” 展开，解题时需注意：
明确各量之间的关系，区分成本价、标价、售价、利润、利润率等概念；
设未知数时，通常设成本价为\(x\)元，便于表示利润和利润率；
对于多件商品或含折扣、销量变化的问题，需分步计算各部分的成本和售价，再通过总利润判断整体盈亏；
关注实际问题中的限制条件，确保结果符合实际意义（如价格、销量为正数或整数）。
这类问题与日常生活密切相关，掌握其解题方法不仅能提高数学应用能力，还能培养经济思维。通过练习不同情境的题目（如单一商品、多件商品、含折扣或销量变化的问题），可熟练运用一元一次方程解决各类销售盈亏问题。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.3.2销售中的盈亏问题
第五章 一元一次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 理解销售问题中的有关概念及相关的
数量关系.
2. 会运用一元一次方程解决商品销售中
的盈亏问题.
生活中，我们经常可以在各种销售场合看见一些商品优惠信息，你知道它们的意思吗？
这些量有何关系？
销售问题
打折销售问题中的相关概念:
成本价
标价
售价
利润
利润率
打折
一般指进价，商品进货时的价格
商品出售时所标明的价格
商品在出售时的实际价格
售价高出成本价的价格
商品的利润与成本价的比值
打几折后的价格就是标价乘十分之几
销售问题
销售问题中的相关公式:
（1）售价 ＝ 进价 + 利润 ＝ 进价×(1 + 利润率).
（2）利润 ＝ 售价－进价 ＝ 进价×利润率.
（3）利润率 ＝ ×100% ＝ ×100%.
利润
进价
售价 - 进价
进价
（4）售价 ＝ 标价× .
折扣数
10
探究 1
【教材P135】
销售中的盈亏
一商店以每件 60 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利 25%，另一件亏损 25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
你估计盈亏情况是怎样的？
销售的盈亏取决于什么？
总售价_____总成本
盈 利
亏 损
不盈不亏
总售价_____总成本
总售价_____总成本
＞
＜
＝
取决于总售价与总成本（两件衣服的成本之和）的关系.
现在两件衣服的售价为已知条件，要知道卖这两件衣服是盈利还是亏损，还需要知道什么？
分析：
两件衣服的成本（即进价）
如果设盈利的那件衣服的进价为 x 元 ，根据进价、利润率、售价之间的关系，你能列出方程求解吗？同理，如果设另一件衣服的进价为 y 元呢？
x + 0.25x = 60，解得 x = 48.
y - 0.25y = 60，解得 y = 80.
总进价 = 48 + 80 = 128（元）
总售价 = 60 + 60 = 120（元）
因为 总售价 < 总进价
所以卖这两件衣服共亏损 8 元.
解：设盈利 25% 的那件衣服的进价是 x 元，它的商品利润就是 0.25x 元. 根据进价与利润的和等于售价，列得方程
类似地，可以设另一件衣服的进价为 y 元，它的商品利润是- 0.25y 元，列得方程
巩固练习
利润的
两种表示
售价 – 进价 = 进价 × 利润率
×标价
80
80
5%
1. 某商品的价格标签已丢失，售货员只知道它的进价为 80 元，以七折销售，此时利润率为 5％ . 根据你所学的方程知识，帮售货员算出标签上的价格.
1. 某商品的价格标签已丢失，售货员只知道它的进价为 80 元，以七折销售，此时利润率为 5％ . 根据你所学的方程知识，帮售货员算出标签上的价格.
解：设标签上的价格为 x 元.
根据题意，得 x - 80 = 80×5%，解得 x = 120.
答：标签上的价格为 120 元.
2. 某商场从厂家购进甲、乙两种文具，乙种文具每件的进价比甲种文具每件的进价多 20 元. 若购进甲种文具 7 件，乙种文具 2 件，则需要付 760 元.
（1）甲、乙两种文具每件的进价分别是多少元？
（2）该商场花 4400 元从厂家购进甲种文具 30 件，乙种文具 20 件，在销售时，每件甲种文具的售价为 100 元，要使得这 50 件文具的销售利润率为 30％ ，每件乙种文具的售价应定为多少元？
解:（1）设甲种文具每件的进价为 x 元，
则乙种文具每件的进价为 (x + 20) 元.
由题意，得 7x + 2(x + 20) = 760，
解得 x = 80.
所以 x + 20 = 100.
答:甲、乙两种文具每件的进价分别是 80 元、100 元.
（2）设每件乙种文具的售价为 m 元. 由题意，得
30×(100-80) + 20(m-100) = 4400×30%，
解得 m = 136.
答：每件乙种文具的售价应定为136 元.
3. 春节期间，某商店以每件 80 元的价格购进一款衬衫 500 件，加价 50％ 后标价.若商店先按标价售出 400 件后降价，剩余的按几折售完能使这批衬衫盈利 35％？
解:设剩余的按 x 折售完能使这批衬衫盈利 35％ .
即 16000 + 100(12x - 80) = 14000.
解得 x = 5.
由题意，得
80×50%×400 + [80×(1 + 50%)× -80]×(500-400) = 80×500×35%，
答：剩余的按五折售完能使这批衬衫盈利 35%.
1.某商店有两种书包，每个小书包比大书包的进价少 10 元，而它们的售后利润额相同，其中，每个小书包的利润率为 30%，每个大书包的利润率为 20%，试求两种书包的进价.
利润 =大书包进价×20% = 小书包进价×30%
解:设每个小书包的进价为 x 元，则每个大书包的进价为(x+10)元.
根据题意，得 30%x = 20%×(x + 10).
解得 x = 20. 所以 x + 10 = 30.
答:每个小书包的进价为 20 元，每个大书包的进价为 30 元.
1.某商店有两种书包，每个小书包比大书包的进价少 10 元，而它们的售后利润额相同，其中，每个小书包的利润率为 30%，每个大书包的利润率为 20%，试求两种书包的进价.
2. 一件商品按成本价提高 20% 后标价，再打八折销售，
售价为 144 元，售出这件商品是盈利还是亏损？
解：设这件商品的成本价为 x 元.
根据题意，得 (1 + 20%)x·0.8 = 144.
解得 x = 150.
因为150 > 144，所以售出这件商品亏损了.
1. 母题教材P136练习 由于换季，某商场准备对某商品打
折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，如果按
原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为
( )
D
A. 230元 B. 250元
C. 270元 D. 300元
【点拨】设该商品的原售价为 元，根据题意，得
，解得 .所以该商品的原售价
为300元.
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2. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船
成功发射，其纪念品也受到了人们的喜爱.某商店以150元的
相同价格售出两件不同的纪念品，其中一件盈利 ，另一
件亏损 ，则该商店售出这两件纪念品总的盈亏情况为
( )
A
A. 亏损20元 B. 盈利20元
C. 亏损18元 D. 不盈不亏
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3. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7
日在哈尔滨开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，
某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1 000个，其中一个
“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13 800元.
求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？
【解】设购进“滨滨”个，则购进“妮妮” 个，
根据题意可得 ，
解得 ，
所以 .
答：购进“滨滨”400个，购进“妮妮”600个.
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4. 某文具店推出某种新年文具盲盒，每个
盲盒18元，小明购买了若干个这种盲盒，请认真阅读结账时
店员与小明的对话（如图），求出小明结账时实际的付款金
额.甲同学根据题意，列得一元一次方程为
，则甲同学设的未知数 表示的
是( )
A. 小明实际购买的盲盒数量
B. 小明实际的付款金额
C. 小明原计划购买的盲盒数量
D. 小明原计划的付款金额
√
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销售问题中的相关公式:
（1）售价 ＝ 进价 + 利润 ＝ 进价×(1 + 利润率).
（2）利润 ＝ 售价－进价 ＝ 进价×利润率.
（3）利润率 ＝ ×100% ＝ ×100%.
利润
进价
售价 - 进价
进价
（4）售价 ＝ 标价× .
折扣数
10
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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