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球赛积分表问题
球赛积分表问题是一元一次方程在体育竞赛统计中的典型应用，这类问题通过表格呈现球队的比赛场次、胜平负场次及积分等信息，要求通过分析表格数据推导积分规则、计算未知场次或积分，或判断积分的合理性。解决这类问题的关键是从表格中提取有效信息，找到数量关系并建立方程。
一、核心要素与基本关系
关键要素：
比赛总场次：一支球队参加的比赛总场数，通常等于胜场数 + 平场数 + 负场数（足球等有平局的赛事），或胜场数 + 负场数（篮球等无平局的赛事）。
胜场、平场、负场：分别表示球队获胜、打平、失利的场次，通常用字母\(w\)（胜）、\(d\)（平）、\(l\)（负）表示。
积分：胜场积分数、平场积分数、负场积分数，通常胜场积分 > 平场积分 ≥ 负场积分（负场可能积 0 分），记为胜场积\(a\)分、平场积\(b\)分、负场积\(c\)分。
基本等量关系：
例如：某篮球联赛中，胜一场积 2 分，负一场积 1 分，若一支球队胜 10 场、负 5 场，则总积分为\(2 10 + 1 5 = 25\)分，总场次为\(10 + 5 = 15\)场。
总场次 = 胜场数 + 平场数 + 负场数（或胜场数 + 负场数）；
总积分 = 胜场积分 × 胜场数 + 平场积分 × 平场数 + 负场积分 × 负场数；
对于无平局的赛事（如篮球）：总积分 = 胜场积分 × 胜场数 + 负场积分 × 负场数，且胜场数 + 负场数 = 总场次。
二、解题步骤
解决球赛积分表问题的一般步骤如下：
分析表格数据：观察积分表，明确已知的胜场数、负场数（或平场数）和总积分，标记未知量（如胜场积分、负场积分）。
设未知数：设胜场积\(x\)分（或平场 / 负场积分），根据常识或表格中某一行的完整数据列出方程。
推导积分规则：利用表格中某支球队的 “胜场数、负场数、总积分” 数据，代入积分公式列方程，求出胜场、负场（或平场）的积分。
验证积分规则：将求出的积分代入表格中其他球队的数据进行验证，确保规则一致。
解决问题：根据推导的积分规则，解决题目中的具体问题（如计算某队未知场次、判断某积分是否可能等）。
检验并作答：检验结果是否符合实际比赛规则（如积分不为负、场次为整数），再规范作答。
三、实例解析
示例 1：某次篮球联赛积分榜如下表所示：
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
东方
14
9
5
23
光明
14
7
7
21
蓝天
14
4
10
18
雄鹰
14
0
14
14
（1）根据表格数据，求出胜一场、负一场各积多少分？
（2）某队的胜场数比负场数多 3 场，共积 29 分，求该队的胜场数和负场数。
（3）某队的总积分能达到 32 分吗？请说明理由。
解：
（1）步骤 1：设胜一场积\(x\)分，观察 “雄鹰队” 数据，胜 0 场、负 14 场、积 14 分，可知负一场积\(\frac{14}{14} = 1\)分。
步骤 2：用 “前进队” 数据列方程：胜 10 场积分 + 负 4 场积分 = 24 分，即\(10x + 4 1 = 24\)。
步骤 3：解方程：\(10x = 20\)，得\(x = 2\)。
步骤 4：验证：用 “东方队” 数据检验，\(9 2 + 5 1 = 18 + 5 = 23\)分，与表格一致。
答：胜一场积 2 分，负一场积 1 分。
（2）步骤 1：设该队负\(y\)场，则胜\((y + 3)\)场，总场次为\(y + (y + 3) = 2y + 3\)（需满足总场次≤14）。
步骤 2：列积分方程：胜场积分 + 负场积分 = 29 分，即\(2(y + 3) + 1 y = 29\)。
步骤 3：解方程：\(2y + 6 + y = 29\)，\(3y = 23\)，得\(y = \frac{23}{3} 7.67\)。
步骤 4：检验：场次应为整数，\(y\)不是整数，不符合实际。但题目未限制总场次是否满 14 场，重新分析：
实际总场次可小于 14 场，但若假设已打完所有 14 场，则\(2y + 3 = 14\)，\(y = 5.5\)，仍非整数。可能题目允许未打完 14 场，但若积分 29 分，\(y\)非整数，故无解？（或修正：设总场次为 14 场，则胜场\(y + 3\)，负场\(y\)，\(y + 3 + y = 14\)→\(y = 5.5\)，矛盾，故无此队）。
答：不存在这样的球队，因为场次不为整数。
（3）步骤 1：设该队胜\(m\)场，负\((14 - m)\)场，总积分\(2m + 1 (14 - m) = 32\)。
步骤 2：解方程：\(m + 14 = 32\)，得\(m = 18\)。
步骤 3：检验：总场次为 14 场，胜场最多 14 场，\(m = 18 > 14\)，不可能。
答：某队的总积分不能达到 32 分，因为最多胜 14 场，最高积分为\(14 2 + 0 1 = 28\)分 < 32 分。
示例 2：足球比赛的积分规则为：胜一场积 3 分，平一场积 1 分，负一场积 0 分。某球队在本赛季共参加了 15 场比赛，积 33 分，且胜场数比平场数多 3 场，求该队胜、平、负的场次各是多少？
解：
步骤 1：设该队平\(x\)场，则胜\((x + 3)\)场，负场数为\(15 - x - (x + 3) = 12 - 2x\)场。
步骤 2：列积分方程：胜场积分 + 平场积分 + 负场积分 = 33 分，即\(3(x + 3) + 1 x + 0 (12 - 2x) = 33\)。
步骤 3：解方程：\(3x + 9 + x = 33\)，\(4x = 24\)，得\(x = 6\)。
步骤 4：计算场次：胜场 = \(6 + 3 = 9\)场，负场 = \(12 - 2 6 = 0\)场。
步骤 5：检验：总场次 = \(9 + 6 + 0 = 15\)场，总积分 = \(3 9 + 1 6 = 27 + 6 = 33\)分，符合题意。
答：该队胜 9 场、平 6 场、负 0 场。
四、典型例题分类解析
推导积分规则：
例：某足球联赛积分榜部分数据如下，求胜一场、平一场、负一场各积多少分？
队名
场次
胜
平
负
积分
A 队
10
6
3
1
21
B 队
10
5
4
1
19
C 队
10
4
2
4
14
解：设胜一场积\(x\)分，平一场积\(y\)分，负一场积\(z\)分，
列方程组：\(\begin{cases}6x + 3y + z = 21 \\5x + 4y + z = 19 \\4x + 2y + 4z = 14\end{cases}\)，
由前两式相减得\(x - y = 2\)→\(x = y + 2\)，
代入第三式化简得\(4(y + 2) + 2y + 4z = 14\)→\(6y + 4z = 6\)→\(3y + 2z = 3\)，
结合实际意义\(z = 0\)（负场通常积 0 分），得\(y = 1\)，\(x = 3\)，
验证：A 队\(6 3 + 3 1 + 1 0 = 21\)分，正确。
答：胜一场积 3 分，平一场积 1 分，负一场积 0 分。
判断积分合理性：
例：篮球比赛胜一场积 2 分，负一场积 1 分。某队打了 12 场比赛，共积 20 分，问该队胜、负场次各是多少？
解：设胜\(x\)场，则负\((12 - x)\)场，
列方程\(2x + (12 - x) = 20\)，
解得\(x = 8\)，负场 = \(12 - 8 = 4\)场，
总积分 = \(2 8 + 1 4 = 20\)分，合理。
答：该队胜 8 场，负 4 场。
含平局的复杂问题：
例：足球比赛胜一场积 3 分，平一场积 1 分，负一场积 0 分。某队在一轮比赛中踢了 5 场，积 8 分，求该队胜、平、负的所有可能情况。
解：设胜\(x\)场，平\(y\)场，负\(z\)场，
则\(\begin{cases}x + y + z = 5 \\3x + y = 8\end{cases}\)，
消去\(y\)得\(y = 8 - 3x\)，\(z = 5 - x - (8 - 3x) = 2x - 3\)，
由\(x,y,z 0\)且为整数，得\(x 2\)（\(z 0\)），\(8 - 3x 0\)→\(x ¤ 2\)，
故\(x = 2\)，则\(y = 2\)，\(z = 1\)。
答：唯一可能为胜 2 场、平 2 场、负 1 场。
五、常见错误与规避方法
忽略场次的整数性：
常见错误：在计算胜、负、平场次时，得到小数结果却未检验，如示例 1（2）中得出\(y = 7.67\)仍认为合理。
规避方法：牢记比赛场次必须为非负整数，解方程后需检验结果是否为整数，且满足胜场数 ≤ 总场次、负场数 ≥ 0 等条件。
积分规则假设错误：
常见错误：默认负场积 0 分或胜场积 3 分，未根据表格数据推导，导致规则错误。
规避方法：积分规则需从表格数据中推导，不能凭经验假设，推导后必须用其他球队数据验证。
总场次计算错误：
常见错误：在含平局的赛事中，误将总场次计算为 “胜场数 + 负场数”，忽略平场数。
规避方法：明确总场次 = 胜场数 + 平场数 + 负场数，列方程时确保三者之和等于总场次。
未考虑实际限制条件：
常见错误：计算最高积分时，未考虑总场次限制，如示例 1（3）中认为胜 18 场可行，忽略总场次仅 14 场。
规避方法：解题时需关注题目中的总场次限制，胜场数最多等于总场次，负场数和平场数不能为负数。
六、方法总结与拓展
球赛积分表问题的核心是从表格中提取数据，建立 “场次” 和 “积分” 的等量关系。解决这类问题需注意：
先通过表格中完整数据推导积分规则（胜、平、负的积分），并验证规则的一致性；
设未知数时，通常设胜场数或平场数为\(x\)，用总场次表示其他场次；
列方程时严格遵循 “总积分 = 各场次积分之和” 的公式，确保等量关系正确；
解出结果后，务必检验场次是否为非负整数、积分是否符合规则，避免出现与实际比赛矛盾的结论。
这类问题不仅能锻炼数据分析能力，还能培养逻辑推理能力。通过练习不同赛事（篮球、足球等）的积分表问题，可熟练掌握从数据中找规律、用方程解决实际问题的方法。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.3.3球赛积分表问题
第五章 一元一次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.会从表格中获取信息寻找数量关系列方程.
2.知道列方程解应用题时，为什么要检验方程的解是否符合题意.
你喜欢看篮球比赛吗？你对篮球比赛中的积分规则有了解吗？
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
某次篮球联赛积分
你能从表格中了解到哪些信息？
每队的胜场数 + 负场数 = 这个队比赛场次
每队胜场总积分 + 负场总积分 = 这个队的总积分
每队胜场总积分 = 胜 1 场得分×胜场数
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
某次篮球联赛积分
探究 2
【教材P136】
（1）胜一场和负一场各积多少分？
分析：观察表格，从最下面一行数据可以看出，负一场积 1 分.
解: 设胜一场积 x 分，依题意，得
10x + 1×4 ＝ 24
解得 x ＝ 2
所以胜一场积 2 分，负一场积 1 分.
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
某次篮球联赛积分
（2）用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间
的数量关系.
若一支球队胜 m 场，
则负 (14-m) 场，
总积分为 2m +(14-m)
即 m + 14.
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
某次篮球联赛积分
（3）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
设一支球队胜了 y 场，
则负了 (14-y) 场，
依题意，得 2y = 14-y
解得
y 表示什么量？它可以不取整数吗？
因为 y（所胜的场数）的值必须是整数，所以 不符合实际，由此可以判定没有哪支球队的胜场总积分等于负场总积分.
注意：解决实际问题时，要考虑得到的结果是不是符合实际.
巩固练习
1. 某市中学生足球联赛规定：胜一场得 3 分，平一场得
1 分，负一场不得分. 某校中学生足球代表队共比赛了
8 场，其中平场数是负场数的 2 倍，共得 17 分，该队
胜了多少场？
胜场数 + 负场数 + 平场数 = 8
平场数 = 2×负场数
胜场积分 + 负场积分 + 平场积分 = 17
设未知数，
列方程解答
解: 设该队负了 x 场，则平了 2x 场，胜了(8 - x - 2x)场.
根据题意，得 3(8 - x - 2x) + 2x = 17，
解得 x = 1. 所以 8 - x - 2x = 5.
答: 该队胜了 5 场.
1. 某市中学生足球联赛规定：胜一场得 3 分，平一场得
1 分，负一场不得分. 某校中学生足球代表队共比赛了
8 场，其中平场数是负场数的 2 倍，共得 17 分，该队
胜了多少场？
巩固练习
2.学校组织知识竞赛，共设 20 道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是 5 名参赛者的得分情况:
参赛者 A B C D E
答对题数 20 19 18 14 10
答错题数 0 1 2 6 10
得分 100 94 88 64 40
（1）由表格知，答对一题得______分，答错一题得_____分.
5
-1
参赛者 A B C D E
答对题数 20 19 18 14 10
答错题数 0 1 2 6 10
得分 100 94 88 64 40
（2）参赛者 F 得了 82 分，他答对了几道题？
设他答对了 x 道题，则答错了 (20 - x) 道题.
根据题意，得 5x - (20 - x) = 82，解得 x = 17.
答：他答对了 17 道题.
1. 在足球联赛中，胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场
得 0 分. 某队 9 场比赛保持不败.
（1）如果这支球队 9 场比赛得到的积分是 21 分，你能算出这 9 场比赛中的胜场数和平场数吗？
解：设这 9 场比赛中的胜场数为 x.
根据题意，得 3x + 9-x = 21.
解得 x = 6. 所以 9-x = 3.
答：这 9 场比赛中的胜场数为 6，平场数为 3.
（2）这支球队 9 场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？
设这 9 场比赛中的胜场数为y.
根据题意，得 3y = 9 - y.
解得 y = （不合题意，舍去）.
因此，这支球队 9 场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分.
2.下表是某校七年级至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同.
年级 课外小组活动 总时间/h 文艺小组 活动次数 科技小组
活动次数
七年级 12.5 4 3
八年级 10.5 2 3
九年级 7
请将九年级课外兴趣小组的活动次数填入上表.
2
2
1. 爸爸和儿子共下12盘棋（未出现和棋）后，两人的得分相
同，爸爸赢一盘记1分，儿子赢一盘记2分，则爸爸赢了
( )
B
A. 9盘 B. 8盘 C. 4盘 D. 3盘
返回
2. 母题教材P137练习T1 一次足球比赛中，每队均比赛15场，
胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，某中学足球队
获胜的场数是负场数的2倍，结果共得21分，则该中学足球
队平的场数是( )
D
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
【点拨】设该中学足球队负场，则胜场，平 场，
由题意得，解得 ，所以该
中学足球队平的场数为 .
返回
3. ［2025武汉武昌区月考］一客轮沿江从港顺流到达 港
需要6小时，从港逆流到港需8小时，该客轮从 港出发开
往 港，3小时后，客轮上的一位旅客的帽子不慎掉入江中，
则帽子漂流到 港要 ( )
D
A. 48小时 B. 32小时
C. 28小时 D. 24小时
返回
4.12月4日为全国法制宣传日.阳光中学组织4名学生参加法制
知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答.下表
记录了其中2名学生的得分情况.
参赛者 答对题数 答错题数 得分
小宇 20 0 100
小辰 16 4 72
根据以上信息，请你解答下列问题：
（1）答对一题得___分，答错一题得____分；
5
（2）若参赛学生小浩得了65分，他答对了几道题？
（要求：列方程解答）
【解】设参赛学生小浩答对了道题，则答错了 道题，
根据题意，得，解得 .
答：小浩答对了15道题.
返回
5.一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是6，如果
把个位上的数字与十位上的数字调换位置，那么所得的新数
比原数的三倍多6，求原来的两位数.
【解】设原来两位数的十位上的数字为 ，则个位上的数字
为 ，根据题意，得
，
解得，所以 .
所以原来的两位数为15.
返回
（第6题）
6. 据记载，幻方起源于我
国古代的洛书.如图是一个三阶幻方，要求每
行、每列、每条对角线上三个数的和都相等.
已知,,,都是正整数， ，且
满足，则其中 的值为
( )
B
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
一、比赛积分问题中常见的相等关系：
（1）比赛总场数 ＝ 胜场数 + 负场数 + 平场数；
（2）比赛总积分 ＝ 胜场积分 + 负场积分 + 平场积分.
二、用方程解决实际问题时，要注意检验方程的解是否正确，且符合问题的实际意义.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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