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5.3.4 方案选择问题
方案选择问题是一元一次方程及不等式在实际生活中的重要应用，这类问题通常提供多种可供选择的方案，要求通过计算和比较，选出最省钱、最有效或最符合条件的方案。解决这类问题的关键是建立不同方案的数量关系表达式，通过分析变量的取值范围确定最优方案。
一、核心思路与解题步骤
核心思路：
方案选择问题的本质是比较不同方案的成本、收益或效果，通常涉及一个或多个变量（如数量、时间等）。当变量取不同值时，不同方案的优劣会发生变化，需找到 “临界点”（即不同方案效果相同的变量值），再根据变量的实际取值范围选择最优方案。
解题步骤：
明确问题目标：确定选择方案的标准（如最省钱、最高效、满足特定条件等）。
设未知数：设影响方案选择的变量为\(x\)（如购买数量、使用时间、参与人数等）。
建立表达式：根据题目条件，分别列出不同方案的成本、收益或效果的表达式（通常为含\(x\)的代数式）。
找临界点：通过列方程求出不同方案效果相等时\(x\)的值（临界点），此时两种方案无差异。
分析取值范围：根据临界点将变量\(x\)的取值范围分为几段，分别判断每段范围内哪种方案更优。
验证并作答：结合实际问题的限制条件（如数量为正整数），验证结论并确定最终方案。
二、常见类型与实例解析
（一）省钱方案选择
示例 1：某学校计划购买一批篮球，现有两家商店可供选择。
甲商店：每个篮球售价 80 元，买 10 个以上（含 10 个），从第 11 个起按原价的 70% 出售；
乙商店：每个篮球售价 80 元，一律按原价的 85% 出售。
若学校需要购买\(x\)个篮球（\(x > 0\)），请分别写出在两家商店购买的费用\(y_ \)、\(y_ \)与\(x\)的函数关系，并说明当购买多少个篮球时，选择哪家商店更省钱？
解：
步骤 1：建立费用表达式。
甲商店：
当\(0 < x < 10\)时，无优惠，\(y_ = 80x\)；
当\(x 10\)时，前 10 个按原价，第 11 个起按 70%，即\(y_ = 80 10 + 80 70\% (x - 10) = 800 + 56(x - 10) = 56x + 240\)。
乙商店：
无论购买数量，均按 85% 出售，\(y_ = 80 85\%x = 68x\)。
步骤 2：找临界点。
当\(0 < x < 10\)时，比较\(80x\)与\(68x\)：
因\(80x > 68x\)（\(x > 0\)），此时乙商店更省钱。
当\(x 10\)时，令\(y_ = y_ \)，即\(56x + 240 = 68x\)，
解得\(12x = 240\)，\(x = 20\)。
步骤 3：分析取值范围。
当\(10 ¤ x < 20\)时，取\(x = 15\)验证：\(y_ = 56 15 + 240 = 840 + 240 = 1080\)元，\(y_ = 68 15 = 1020\)元，\(y_ > y_ \)，乙商店更省钱。
当\(x = 20\)时，\(y_ = y_ = 68 20 = 1360\)元，两家商店费用相同。
当\(x > 20\)时，取\(x = 25\)验证：\(y_ = 56 25 + 240 = 1400 + 240 = 1640\)元，\(y_ = 68 25 = 1700\)元，\(y_ < y_ \)，甲商店更省钱。
步骤 4：结论。
答：当购买数量小于 20 个时，选择乙商店更省钱；当购买 20 个时，两家商店费用相同；当购买数量大于 20 个时，选择甲商店更省钱。
（二）方案有效性选择
示例 2：某公司组织员工外出团建，现有 A、B 两种车型可供租车选择。
A 车型：限乘 15 人，租金 450 元 / 辆；
B 车型：限乘 10 人，租金 300 元 / 辆。
公司共有 45 名员工，要求每辆车必须坐满，有几种租车方案？哪种方案租金最少？
解：
步骤 1：设未知数。
设租 A 车型\(x\)辆，因每车坐满，A 车可坐\(15x\)人，则 B 车需坐\(45 - 15x\)人，
B 车型数量为\(\frac{45 - 15x}{10} = \frac{9 - 3x}{2}\)辆，需为非负整数。
步骤 2：确定取值范围。
由\(x 0\)且\(\frac{9 - 3x}{2} 0\)，得\(0 ¤ x ¤ 3\)，且\(9 - 3x\)为偶数（因 B 车数量为整数）。
当\(x = 1\)时，B 车数量\(\frac{9 - 3 1}{2} = 3\)辆（整数，有效）；
当\(x = 3\)时，B 车数量\(\frac{9 - 3 3}{2} = 0\)辆（整数，有效）；
当\(x = 0\)时，B 车数量\(\frac{9}{2} = 4.5\)辆（无效）；
当\(x = 2\)时，B 车数量\(\frac{9 - 6}{2} = 1.5\)辆（无效）。
故有效方案为：
方案 1：租 A 车 1 辆，B 车 3 辆；
方案 2：租 A 车 3 辆，B 车 0 辆。
步骤 3：计算租金。
方案 1 租金：\(450 1 + 300 3 = 450 + 900 = 1350\)元；
方案 2 租金：\(450 3 + 300 0 = 1350\)元。
步骤 4：结论。
答：有 2 种租车方案，两种方案租金相同，均为 1350 元。
（三）含优惠条件的方案选择
示例 3：某通讯公司推出两种手机套餐：
套餐 A：月租 50 元，通话费 0.2 元 / 分钟；
套餐 B：月租 0 元，通话费 0.4 元 / 分钟。
若每月通话时间为\(x\)分钟，选择哪种套餐更划算？
解：
步骤 1：建立费用表达式。
套餐 A 费用：\(y_A = 50 + 0.2x\)；
套餐 B 费用：\(y_B = 0.4x\)。
步骤 2：找临界点。
令\(y_A = y_B\)，即\(50 + 0.2x = 0.4x\)，
解得\(0.2x = 50\)，\(x = 250\)分钟。
步骤 3：分析取值范围。
当\(x < 250\)分钟时，取\(x = 100\)：\(y_A = 50 + 20 = 70\)元，\(y_B = 40\)元，\(y_B < y_A\)，套餐 B 更划算。
当\(x = 250\)分钟时，\(y_A = y_B = 100\)元，两种套餐费用相同。
当\(x > 250\)分钟时，取\(x = 300\)：\(y_A = 50 + 60 = 110\)元，\(y_B = 120\)元，\(y_A < y_B\)，套餐 A 更划算。
步骤 4：结论。
答：当每月通话时间小于 250 分钟时，选择套餐 B 更划算；当通话时间为 250 分钟时，两种套餐费用相同；当通话时间大于 250 分钟时，选择套餐 A 更划算。
三、典型例题分类解析
分段计费方案选择：
例：某自来水公司收费标准如下：
解：
设自来水公司费用为\(y_1\)，另一家公司费用为\(y_2 = 2.5x\)。
每月用水量不超过 10 吨，每吨 2 元；
超过 10 吨的部分，每吨 3 元。
另一家公司统一收费每吨 2.5 元。若每月用水量为\(x\)吨，选择哪家公司更省钱？
当\(0 ¤ x ¤ 10\)时，\(y_1 = 2x\)，
令\(2x = 2.5x\)得\(x = 0\)，故\(0 < x ¤ 10\)时，\(y_1 < y_2\)，自来水公司更省钱。
当\(x > 10\)时，\(y_1 = 2 10 + 3(x - 10) = 3x - 10\)，
令\(3x - 10 = 2.5x\)得\(x = 20\)，
故\(10 < x < 20\)时，\(y_1 < y_2\)；\(x = 20\)时费用相同；\(x > 20\)时，\(y_1 > y_2\)。
答：当用水量小于 20 吨时，选择自来水公司；等于 20 吨时费用相同；大于 20 吨时选择另一家公司。
购买数量与折扣方案：
例：某书店推出活动：
解：
方案一：一次性购买不超过 20 本，每本 10 元；
方案二：一次性购买超过 20 本，全部按每本 8 元。
若需要购买\(x\)本，哪种方案更省钱？
当\(0 < x ¤ 20\)时，方案一费用\(y_1 = 10x\)，方案二不适用（或按原价），方案一更省钱。
当\(x > 20\)时，方案一费用\(y_1 = 10x\)，方案二费用\(y_2 = 8x\)，
因\(8x < 10x\)，方案二更省钱。
答：购买不超过 20 本时选方案一，超过 20 本时选方案二。
多种方案综合选择：
例：某旅行社推出 A、B、C 三种旅游套餐：
解：
A 套餐：成人每人 300 元，儿童每人 150 元；
B 套餐：每人 200 元（不分成人儿童）；
C 套餐：5 人及以上团体，每人 180 元。
现有 3 个成人和 2 个儿童，选择哪种套餐最省钱？
A 套餐费用：\(3 300 + 2 150 = 900 + 300 = 1200\)元；
B 套餐费用：\(5 200 = 1000\)元；
C 套餐费用：\(5 180 = 900\)元。
比较得\(900 < 1000 < 1200\)，故 C 套餐最省钱。
答：选择 C 套餐最省钱。
四、常见错误与规避方法
忽略分段条件：
常见错误：在分段计费问题中，未区分变量的取值范围，直接用一个表达式计算（如示例 1 中忽略甲商店 “10 个以上有优惠” 的条件）。
规避方法：仔细审题，明确不同方案的适用条件（如数量范围、时间范围），分情况建立表达式，避免漏写分段条件。
临界点计算错误：
常见错误：解方程找临界点时计算错误，导致后续取值范围分析偏差（如示例 3 中误算\(x = 200\)而非 250）。
规避方法：计算临界点时需仔细核对方程，必要时代入验证，确保 “两种方案效果相等” 的条件成立。
未考虑实际限制条件：
常见错误：在租车、购票等问题中，忽略 “数量为整数”“座位需坐满” 等实际条件，导致方案无效（如示例 2 中认为 B 车数量可为 1.5 辆）。
规避方法：列出方案后，检验是否符合实际意义（如数量为非负整数、无空座等），剔除无效方案。
漏算隐含费用：
常见错误：在方案比较中，漏算隐藏成本（如套餐的月租费、交通费等），仅比较表面费用。
规避方法：全面分析每种方案的所有费用构成，确保表达式包含所有相关成本，避免因漏项导致结论错误。
五、方法总结与拓展
方案选择问题的核心是通过建立数学模型分析不同方案的优劣，解题时需注意：
明确问题中的变量和不变量，根据实际情况分阶段建立表达式；
通过解方程找到临界点，以此为界分析不同取值范围内的最优方案；
结合实际限制条件（如整数性、非负性）验证方案的有效性；
对于多方案问题，需逐一计算并比较，确保不遗漏任何可能的最优解。
这类问题广泛应用于购物、出行、缴费等生活场景，掌握其解题方法能提高决策的合理性和经济性。通过练习不同类型的方案选择问题，可熟练运用方程和不等式解决实际决策问题，培养优化思维和逻辑分析能力。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.3.4方案选择问题
第五章 一元一次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.会寻找数量关系列方程，确定最优方案.
2.掌握分段计费问题.
方案选择问题
怎么选择更划算？
探究 3
【教材P138】
不同能效空调的综合费用比较
购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况. 某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息. 如果电价是 0.5 元/(kW·h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低.
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h)
1.5 1级 3000 640
1.5 3级 2600 800
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h)
1.5 1级 3000 640
1.5 3级 2600 800
分析：在这个问题中，
综合费用 = 空调的售价 + 电费
选定一种空调后，售价是确定的，电费则与使用的时间有关.
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h)
1.5 1级 3000 640
1.5 3级 2600 800
设空调的使用年数是 t，则 1 级能效空调的综合费用（单位：元）是
3000 + 0.5×640t
即 3000 + 320t
3 级能效空调的综合费用（单位：元）是
2600 + 0.5×800t
即 2600 + 400t
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h)
1.5 1级 3000 640
1.5 3级 2600 800
先来看 t 取什么值时，两款空调的综合费用相等.
列方程 3000 + 320t = 2600 + 400t
解得 t = 5
1 级空调 3000 + 320t
3 级空调 2600 + 400t
为了比较两款空调的综合费用，我们把表示 3 级能效空调的综合费用的式子 2600 + 400t 变形为 1 级能效空调的综合费用与另外一个式子的和，即
(3000 + 320t) + (80t - 400)
也就是 3000 + 320t + 80(t–5)
3000 + 320t + 80(t–5)
当 t < 5 时，80(t-5) 是负数，这表明 3 级能效空调的综合费用较低；
当 t > 5 时，80(t-5) 是正数，这表明 1 级能效空调的综合费用较低；
综合以上的分析，可以发现：
（1）_______时，选择 3 级能效空调省钱；
（2）_______时，选择 1 级能效空调省钱；
（3）_______时，选择 1 级、3级能效空调均可.
t < 5
t > 5
t = 5
根据相关行业标准，空调的安全使用年限是 10 年（从生产日期计起），因此购买、使用 1 级能效空调更划算.
通常，1 级能效空调既节能又省钱
巩固练习
1. 在“清洁乡村”活动中，村里需购买一些垃圾桶，商家给出了两种购买垃圾桶的方案:
方案一:买分类垃圾桶，需要费用 4000 元，
以后每月的垃圾处理费用为 300 元；
方案二:买不分类垃圾桶，需要费用 1000 元，
以后每月的垃圾处理费用为 600 元.
设交费时间为 x 个月，方案一的购买费用和垃圾处理费用
共为 M 元，方案二的购买费用和垃圾处理费用共为 N 元.
请你分析该村采用哪种方案更省钱.
分析：总费用 ＝ 购买费用 + 垃圾处理费用.
选定一种方案后，购买费用是确定的，垃圾处理费用与交费时间有关.
用交费时间 x 分别表示两种方案的总费用，然后进行比较.
方案一:买分类垃圾桶，需要费用 4000 元，
以后每月的垃圾处理费用为 300 元；
方案二:买不分类垃圾桶，需要费用 1000 元，
以后每月的垃圾处理费用为 600 元.
解：依题意得 M＝ 300x + 4000，N＝600x + 1000.
先来看 x 取什么值时，两种方案费用相同，
列方程 300x + 4000 = 600x + 1000，解得 x ＝ 10.
故交费时间为 10 个月时，两种方案费用相同.
为了比较两种方案的费用，把方案二的费用的式子
600x + 1000 变形为方案一的费用与另外一个式子的和，
即 (300x + 4000) + (300x - 3000)，
也就是 (300x + 4000) + 300(x - 10).
这样，当 x < 10 时，300(x - 10) 是负数，这表明方案二的费用较低，当 x > 10 时，300(x - 10) 是正数，这表明方案一的费用较低.
由此可见，当交费时间少于 10 个月时，采用方案二更
省钱，当交费时间等于 10 个月时，两种方案费用相同，
当交费时间多于 10 个月时，采用方案一更省钱.
2. 为了倡导和鼓励居民节约用水，某市水务部门对城市居民生活用水采取分段收费办法:规定每月每户居民生活用水标准量为 22 m3，在标准用水量范围里免收生活污水处理费，超出标准用水量的部分收取一定的生活污水处理费，每月生活用水的收费标准 (单位：元/ m3) 及单价说明如下表所示:
月用水量 单价/(元/m3) 单价说明
不超过 22 m3 a 免收生活污水处理费
超过 22 m3 的部分 a+1.1 超过标准用水量的部分收取生活
污水处理费标准：1.1 元/m3
月用水量 单价/(元/m3) 单价说明
不超过 22 m3 a 免收生活污水处理费
超过 22 m3 的部分 a+1.1 超过标准用水量的部分收取生活
污水处理费标准：1.1 元/m3
（1）某居民用户某月用水 10 m3，共缴纳水费 23 元，求 a 的值；
解：由题意，得10a = 23，解得 a = 2.3 .
（2）在（1）的前提下，该居民用户 10 月份缴纳水费 71 元，则该居民用户 10 月份的用水量是多少？
因为 2.3×22 ＝ 50.6 < 71，
所以该居民用户 10 月份的用水量超过 22 m3.
设该居民用户 10 月份的用水量为 x m3.
由题意，得 50.6 + (2.3 + 1.1)(x - 22) ＝ 71，
解得 x ＝ 28.
答：该居民用户 10 月份的用水量是 28 m3.
习题5.3
1. 结合本节内容体会例 2 后归纳的框图.
解:将实际问题转化为数学问题（列一元一次方程），再通过解方程得到数学问题的解（x = a），最后将
得到的解代回原方程检验，得到实际问题的答案.
2. 制作一张桌子要用 1 个桌面和 4 条桌腿，1 m3 木材可制作 20 个桌面，或者制作 400 条桌腿. 现有 12 m3 木材，应怎样
计划用料才能制作尽可能多的桌子？
解:设用 x m3 木材制作桌面，则用 (12-x) m3 木材制作桌腿.
根据题意，得 4×20x ＝ 400(12-x).
解得 x = 10. 所以 12 - x ＝ 2.
答:用 10 m3 木材制作桌面，2 m3 木材制作桌腿，才能制作
尽可能多的桌子.
3. 某车间每天能制作 500 个甲种零件，或 250 个乙种零件（同一天内不能同时制作这两种零件），甲、乙两种零件各 1 个
配成 1 套产品. 现要用 30 天制作最多的成套产品，甲、乙两种零件各应制作多少天？
解：设甲种零件应制作 x 天，则乙种零件应制作 (30 - x) 天.
根据题意，得 500x ＝ 250(30 - x).
解得 x ＝10. 所以 30 - x ＝ 20.
答：甲种零件应制作 10 天，乙种零件应制作 20 天.
4. 某项工作由甲、乙两人单独做分别需要 7.5 h 和 5 h. 如果让甲、乙两人一起工作 1 h，再由乙单独完成剩余部分，一共需要多长时间？
解：设剩余部分由乙单独完成需 x h.
根据题意，得 .
解得 . 所以 .
答：一共需要 h.
5. 整理一批数据，由 1 人整理需 80 h 完成. 现在计划先由一些人整理 2 h，再增加 5 人整理 8 h，完成这项工作的 . 怎样安排参与整理数据的具体人数？
解：设先安排 x 人整理 2 h.
解得 x ＝ 2.
答:应先安排 2 人整理 2 h，再增加 5 人整理 8 h.
根据题意，得 .
综合运用
6. 用 A 型和 B 型机器生产同样的产品，已知 5 台 A 型机器一天生产的产品装满 8 箱后还剩 4 个，7 台 B 型机器一天生产的产品装满 11 箱后还剩 1 个，每台 A 型机器比 B 型机器一天多生产 1 个产品. 求每箱装多少个产品.
解：设每箱装 x 个产品.
根据题意，得 .
解得 x ＝ 12.
答:每箱装 12 个产品.
7. 下表中记录了一次实验中时间和温度的数据，假设温度的
变化是均匀的.
（1）实验进行 21 min 时的温度是多少？
时间/min 0 5 10 15 20 25
温度/℃ 10 25 40 55 70 85
解：由题意可知，实验开始 21 min 时的温度是
（℃）
时间/min 0 5 10 15 20 25
温度/℃ 10 25 40 55 70 85
（2）实验进行多长时间的温度是 34 ℃？
设实验开始 x min 后的温度是 34 ℃.
答：实验进行 8 min 的温度是 34 ℃.
根据题意，得 10 + x ＝ 34. 解得 x ＝ 8.
8. 某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装 2 块大月饼和 4 块小月饼. 制作 1 块大月饼要用 0.05 kg 面粉，制作 1 块小月饼要用 0.02 kg 面粉. 现有面粉 4500 kg，应各用多少千克面粉制
作两种月饼，才能生产最多的盒装月饼？
解:设制作 x 块大月饼，则需要制作 2x 块小月饼.
根据题意，得 0.05 + 0.02×2x ＝ 4500.
解得 x ＝ 50000
所以 0.05x ＝ 2500，0.05×2x ＝ 2000.
答：应用 2500 kg 面粉制作大月饼，2000 kg 面粉
制作小月饼，才能生产最多的盒装月饼.
9. 李明和刘伟分别从 A，B 两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发 24 min 后两人相遇，相遇时李明比刘伟多行进 4.8 km，相遇后 6 min 李明到达 B 地. 两人每小时分别行进多少千米？相遇后经过多长时间刘伟到达 A地？
解:设刘伟的行进速度是 x km/h，则李明的行进速度是(x + 12) km/h.
根据题意，得 0.4(x+x+12) ＝0.5(x + 12).
解得 x＝ 4.
所以 x + 12＝16，0.4×16÷4＝ 1.6 (h).
答:刘伟的行进速度是 4 km/h，李明的行进速度是 16 km/h，相遇后经过 1.6 h 刘伟到达 A 地.
10. 商店对某商品降价 20% 促销，为了使销售总金额不变，
销售量要比按原价销售时增加百分之几？
解：设销售量要比按原价销售时增加 x％ .
根据题意，得 (1-20％)(1 + x％) ＝ 1.
解得 x ＝ 25.
答：销售量要比按原价销售时增加 25％ .
11. 甲组的 4 名工人 3 月份完成的总工作量比此月人均定额的 4 倍多 20 件，乙组的 5 名工人 3 月份完成的总工作量比此月人均定额的 6 倍少 20 件.
（1）如果两组工人此月人均实际完成的工作量相等，那么此月人均定额是多少件？
解：设此月人均定额是 x 件.
根据题意，得 .
解得 x ＝ 45.
答：此月人均定额是 45 件.
（2）如果甲组工人此月人均实际完成的工作量比乙组的多 2 件，那么此月人均定额是多少件？
设此月人均定额是 y 件.
根据题意，得 .
解得 y ＝ 35.
答：此月人均定额是 35 件.
（3）如果甲组工人此月人均实际完成的工作量比乙组的少 2 件，那么此月人均定额是多少件？
设此月人均定额是 z 件.
根据题意，得 .
解得 z ＝ 55.
答：此月人均定额是 55 件.
拓广探索
12. 将探究 2 的积分表换为你们学校某次足球联赛（或其他联赛）积分表，请你根据积分表提出一些数学问题并加以解决.
13.（古代问题）希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的七分之一，他结了婚；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了.”
根据以上信息，请你算出:
（1）丢番图的寿命；
（2）丢番图开始当爸爸时的年龄；
（3）儿子死时丢番图的年龄.
解：如图，设丢番图的寿命为 x 岁.
（1）根据题意，得 .
解得 x＝ 84.
答：丢番图的寿命是 84 岁.
答：丢番图开始当爸爸时的年龄是 38 岁.
（2）由（1）知， .
（3）儿子死时丢番图的年龄是 84－4 ＝ 80（岁）.
14.下面是某购物平台的两种图书促销方式，
方式一：满 100 元减 50 元.
方式二：单件打六折.
考虑下列问题：
（1）设某本书的原价为 t 元. 列表说明当 t 在不同价格范围内取值时，按两种方式购买分别需要支付的金额.
解：
促销方式 需要支付的金额/元 t < 100 t ≥ 100
方式一 t t-50
方式二 0.6t （2）观察你的列表，你能从中发现如何根据图书的原价选择省钱的购买方式吗？通过计算验证你的想法.
当 t < 100 时，选择方式二购买更省钱.
当 t ≥ 100 时，令 t－50 ＝0.6t，解得 t ＝125.
因此，当 t ＝125 时，选择方式一和方式二购买所需支付的
金额相同，当 t < 100 或 t > 125 时，选择方式二购买更省钱.
当 100 < t <125 时，选择方式一购买更省钱.
1.某保险公司的汽车保险中的汽车修理费是分段赔偿的，具
体赔偿细则如下表.某人在汽车修理后在该保险公司得到的赔
偿金是2 000元，那么此人的汽车修理费是__________.
赔偿率
… …
元
【解析】因为 （元），
（元），
（元），且
， ，
，所以此人的汽车修理
费的取值范围是 ，由题意，得
，解得 ，
所以此人的汽车修理费是 元.
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2.某市有两家出租车公司，收费标准不同.甲公司收费标准：
起步价9元，超过3千米后，超过的部分按照每千米1.6元收费.
乙公司收费标准：起步价20元，超过8千米后，超过的部分
按照每千米1.3元收费.已知车辆行驶千米.本题中 取整数，
不足1千米的路程按1千米计费.
（1）根据题意，填写下表：
车辆行驶的路程/千米 1 3 5 8 15 20 …
甲公司收费/元 9 12.2 17 ____ 36.2 …
乙公司收费/元 20 20 20 __ __ 29.1 ____ …
28.2
20
35.6
【解】由题意得当 时，甲公司收费9元；
当时，甲公司收费 （元）;
当 时，乙公司收费20元；
当时，乙公司收费 （元）.
（2）当车辆行驶路程超过8千米，且路程为整数时，甲、乙
两公司的收费分别是多少 （结果用化简后的含 的式子表示）
由题意得当车辆行驶路程超过8千米，且路程为整数时，甲
公司的收费为 （元），乙公司
的收费为 （元）.
（3）当行驶路程为____千米时，两家公司的费用相同.
18
【解析】由题意得,解得 ,所以
当行驶路程为18千米时，两家公司的费用相同.
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3.［2025石家庄校级月考］某校为了让学生体验农耕劳动，
开辟了一处耕种园，需采购一批某种菜苗开展种植活动.已知
甲、乙两菜苗基地该种菜苗每捆的标价都是15元（菜苗的质
量一样好），但甲、乙两菜苗基地的优惠条件却不同，如下
所示.
甲菜苗基地：若购买不超过10捆，则按标价付款；若一次性
购买10捆以上，前10捆按标价付款，超过10捆的部分按标价
的 付款；
乙菜苗基地：按标价的 付款.
（1）若学校决定购买该种菜苗15捆，则在甲菜苗基地购买，
需付款_____元，在乙菜苗基地购买，需付款_____元；
（2）设学校购买该种菜苗 捆，补全下列表格
（需化简）；
195
180
在甲菜苗基地购买 的费用/元 在乙菜苗基地购买
的费用/元
_____
________ _____
（3）根据购买该种菜苗的捆数选择哪个基地更省钱.
【解】①当 小于等于10时，选择乙菜苗基地更省钱；
②当大于10时，由，得 ，
所以易得当 时，选择乙菜苗基地更省钱；
当 时，选择甲菜苗基地更省钱.
当 时，两个菜苗基地购买费用一样.
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解决方案决策问题，先要找出费用随哪个量的变化而变化. 若变化量已知，则直接对各个方案进行计算求值，通过比较大小来确定方案；若变化量未知，则根据费用的关系列方程求变化量.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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