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6.2.2.2 线段的运算
线段的运算建立在线段比较的基础上，是几何图形计算中的重要内容。通过线段的和、差、倍、分运算，我们可以解决复杂的几何线段长度问题，为后续学习图形的性质和证明奠定基础。线段的运算不仅需要掌握具体的计算方法，还需要结合几何直观和逻辑推理，确保运算的准确性和合理性。
一、线段运算的基本类型
线段的运算主要包括和运算、差运算、倍运算和分运算四种基本类型，它们分别对应线段长度的相加、相减、成倍增加和按比例分配。
（一）线段的和运算
定义：两条或多条线段的长度之和，称为这些线段的和。若线段\(AB\)的长度为\(a\)，线段\(BC\)的长度为\(b\)，且点\(B\)在线段\(AC\)上，则线段\(AC\)的长度为\(a + b\)，即\(AC = AB + BC\)。
作图方法：作一条线段等于两条线段的和。
已知线段\(a\)和线段\(b\)，求作线段\(AC = a + b\)。
步骤：① 用直尺画一条射线\(AD\)；② 用圆规量取线段\(a\)的长度，以点\(A\)为圆心，以\(a\)为半径画弧，交射线\(AD\)于点\(B\)，则\(AB = a\)；③ 再用圆规量取线段\(b\)的长度，以点\(B\)为圆心，以\(b\)为半径画弧，交射线\(BD\)于点\(C\)，则\(BC = b\)；④ 线段\(AC\)即为所求，\(AC = AB + BC = a + b\)。
实例说明：已知线段\(AB = 3cm\)，线段\(BC = 5cm\)，且\(A\)、\(B\)、\(C\)三点在同一直线上，点\(B\)在\(A\)、\(C\)之间，则\(AC = AB + BC = 3 + 5 = 8cm\)。
（二）线段的差运算
定义：两条线段的长度之差，称为这两条线段的差。若线段\(AC\)的长度为\(c\)，线段\(AB\)的长度为\(a\)，且点\(B\)在线段\(AC\)上，则线段\(BC\)的长度为\(c - a\)，即\(BC = AC - AB\)。
作图方法：作一条线段等于两条线段的差（假设\(a > b\)）。
已知线段\(a\)和线段\(b\)（\(a > b\)），求作线段\(AB = a - b\)。
步骤：① 用直尺画一条射线\(AC\)；② 用圆规量取线段\(a\)的长度，以点\(A\)为圆心，以\(a\)为半径画弧，交射线\(AC\)于点\(C\)，则\(AC = a\)；③ 用圆规量取线段\(b\)的长度，以点\(C\)为圆心，以\(b\)为半径画弧，交线段\(AC\)于点\(B\)，则\(CB = b\)；④ 线段\(AB\)即为所求，\(AB = AC - CB = a - b\)。
实例说明：已知线段\(AC = 10cm\)，线段\(AB = 4cm\)，且点\(B\)在线段\(AC\)上，则\(BC = AC - AB = 10 - 4 = 6cm\)。
（三）线段的倍运算
定义：一条线段的长度扩大若干倍后得到的新线段长度，称为该线段的倍。若线段\(AB\)的长度为\(a\)，则\(n\)倍的线段\(AB\)长度为\(n a\)（\(n\)为正整数）。
作图方法：作一条线段等于已知线段的\(n\)倍（以\(n = 2\)为例）。
已知线段\(AB = a\)，求作线段\(AC = 2a\)。
步骤：① 用直尺画一条射线\(AD\)；② 用圆规量取线段\(a\)的长度，以点\(A\)为圆心，以\(a\)为半径画弧，交射线\(AD\)于点\(B\)，则\(AB = a\)；③ 以点\(B\)为圆心，以\(a\)为半径画弧，交射线\(BD\)于点\(C\)，则\(BC = a\)；④ 线段\(AC = AB + BC = a + a = 2a\)，即为所求。
实例说明：已知线段\(AB = 2.5cm\)，则\(3\)倍的线段\(AB\)长度为\(3 2.5 = 7.5cm\)。
（四）线段的分运算
定义：将一条线段按照一定的比例分成若干部分，称为线段的分运算。最常见的是将线段二等分（即分成相等的两部分），对应的点称为线段的中点。若点\(M\)是线段\(AB\)的中点，则\(AM = MB = \frac{1}{2}AB\)。
作图方法：作线段的中点（即二等分线段）。
已知线段\(AB\)，求作其中点\(M\)。
步骤：① 分别以点\(A\)和点\(B\)为圆心，以大于\(\frac{1}{2}AB\)的长度为半径画弧，两弧分别在线段\(AB\)的两侧交于点\(C\)和点\(D\)；② 用直尺连接点\(C\)和点\(D\)，交线段\(AB\)于点\(M\)；③ 点\(M\)即为线段\(AB\)的中点，\(AM = MB\)。
实例说明：已知线段\(AB = 8cm\)，点\(M\)是\(AB\)的中点，则\(AM = MB = \frac{1}{2} 8 = 4cm\)；若点\(N\)是\(AM\)的中点，则\(AN = NM = \frac{1}{2} 4 = 2cm\)。
二、线段运算的基本法则
加法交换律：线段的和运算满足交换律，即\(AB + BC = BC + AB\)（前提是线段在同一直线上且顺序合理）。例如，线段\(AB = 3cm\)，线段\(BC = 5cm\)，则\(AB + BC = BC + AB = 8cm\)。
加法结合律：线段的和运算满足结合律，即\((AB + BC) + CD = AB + (BC + CD)\)。例如，线段\(AB = 2cm\)，\(BC = 3cm\)，\(CD = 4cm\)，则\((AB + BC) + CD = 5 + 4 = 9cm\)，\(AB + (BC + CD) = 2 + 7 = 9cm\)。
倍数分配律：线段的倍运算满足分配律，即\(n (AB + BC) = n AB + n BC\)（\(n\)为正整数）。例如，\(2 (AB + BC) = 2AB + 2BC\)，若\(AB = 3cm\)，\(BC = 4cm\)，则\(2 (3 + 4) = 6 + 8 = 14cm\)。
三、复杂线段运算问题的解决方法
（一）利用线段中点进行计算
线段的中点是分运算中最常见的情况，许多复杂问题都可以通过中点将线段分成相等的部分，进而简化计算。
例 1：已知线段\(AB = 12cm\)，点\(C\)是\(AB\)上一点，点\(M\)是\(AC\)的中点，点\(N\)是\(BC\)的中点，求线段\(MN\)的长度。
解：
因为点\(M\)是\(AC\)的中点，所以\(MC = \frac{1}{2}AC\)；
因为点\(N\)是\(BC\)的中点，所以\(CN = \frac{1}{2}BC\)；
因此，\(MN = MC + CN = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AC + BC) = \frac{1}{2}AB\)。
已知\(AB = 12cm\)，所以\(MN = \frac{1}{2} 12 = 6cm\)。
答：线段\(MN\)的长度为\(6cm\)。
（二）分类讨论线段的位置关系
当线段上的点位置不确定时，需要考虑不同的位置情况，进行分类讨论，避免漏解。
例 2：已知线段\(AB = 10cm\)，点\(C\)在直线\(AB\)上，且\(BC = 4cm\)，求线段\(AC\)的长度。
解：
本题需要分两种情况讨论：
情况 1：点\(C\)在线段\(AB\)上，则\(AC = AB - BC = 10 - 4 = 6cm\)；
情况 2：点\(C\)在线段\(AB\)的延长线上，则\(AC = AB + BC = 10 + 4 = 14cm\)。
答：线段\(AC\)的长度为\(6cm\)或\(14cm\)。
（三）利用方程思想解决线段问题
对于较复杂的线段关系，通过设未知数建立方程，可以将几何问题转化为代数问题，更方便求解。
例 3：已知线段\(AB = 20cm\)，点\(P\)从点\(A\)出发，以每秒\(2cm\)的速度沿\(AB\)向点\(B\)运动，点\(Q\)从点\(B\)出发，以每秒\(3cm\)的速度沿\(BA\)向点\(A\)运动，同时出发，经过几秒后\(PQ = 5cm\)？
解：
设经过\(t\)秒后\(PQ = 5cm\)。
此时，点\(P\)运动的距离\(AP = 2t cm\)，点\(Q\)运动的距离\(BQ = 3t cm\)。
分两种情况讨论：
情况 1：\(P\)、\(Q\)未相遇时，\(AP + PQ + QB = AB\)，即\(2t + 5 + 3t = 20\)，
解得\(5t = 15\)，\(t = 3\)；
情况 2：\(P\)、\(Q\)相遇后，\(AP + BQ - PQ = AB\)，即\(2t + 3t - 5 = 20\)，
解得\(5t = 25\)，\(t = 5\)。
答：经过 3 秒或 5 秒后\(PQ = 5cm\)。
四、线段运算的实际应用
线段运算在生活中有着广泛的应用，以下是几个典型实例：
建筑设计：在建筑图纸中，需要计算不同构件的线段长度之和或差，以确定材料的用量和结构的尺寸。例如，计算房屋的跨度、梁的长度等，都需要用到线段的和差运算。
道路测量：在道路施工前，测量人员需要测量路段的长度，通过线段的倍分运算计算不同路段的比例关系，规划道路的走向和长度。
机械制造：机械零件的设计图纸中，零件的各部分尺寸需要通过线段运算确定。例如，齿轮的齿距、轴的长度等，都需要精确的线段长度计算。
日常规划：在日常生活中，规划路线、分配时间等活动也涉及线段运算的思想。例如，计算从家到学校再到图书馆的总路程，需要用到线段的和运算。
五、常见错误与注意事项
忽略线段的位置关系：在进行线段和差运算时，未明确点的位置关系，导致计算错误。例如，例 2 中若忽略点\(C\)可能在线段延长线上的情况，会漏解\(AC = 14cm\)的结果。
误用中点性质：对线段中点的性质理解不透彻，错误地认为 “经过中点的线段平分原线段”，但忽略中点必须在线段上的前提。
计算时单位不统一：在度量线段长度时，若单位不统一（如同时使用厘米和毫米），会导致运算结果错误。因此，计算前需确保单位统一。
作图不规范：在进行线段作图时，未使用圆规和直尺规范操作，导致所作线段长度不准确，影响运算结果。
缺乏分类讨论意识：当点的位置不确定时，未进行分类讨论，仅考虑一种情况，造成漏解。
六、方法总结与拓展
线段的运算需要结合定义、作图和逻辑推理，核心是理解线段的和、差、倍、分关系，并能通过几何直观和代数方法解决问题。在学习过程中，应注意以下几点：
强化几何直观：通过画图清晰表示线段之间的位置关系，为运算提供直观依据。
掌握基本作图：熟练掌握作线段和、差、倍、分的方法，提高作图准确性。
培养分类讨论思想：当点的位置不确定时，全面考虑所有可能的位置情况，避免漏解。
灵活运用方程思想：对于复杂问题，通过设未知数建立方程，将几何问题转化为代数问题求解。
线段的运算作为几何学习的基础，其方法和思想将贯穿整个几何学习过程。通过扎实掌握线段运算的基本方法和技巧，我们能够更好地理解几何图形的结构，为后续学习三角形、四边形等图形的性质和证明打下坚实的基础。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
6.2.2.2线段的运算
第六章 几何图形初步
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.能够运用线段的和、差关系求线段的长度;
2.理解线段等分点的意义;
3.体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化.
已知线段a，请用尺规作图的方法作一条线段AB等于线段a.
a
步骤：①作直线l；
②在直线l上截取AB=a.
A
B
l
知识点一
线段的和、差
进行新课
探究1：线段a和线段b的大小关系是怎样的？
a
b
a＞b
探究2：怎样通过尺规作图得到线段a和线段b的和、差关系？
a
b
步骤：①在直线上作线段AB=a；
②在AB的延长线上作线段BC=b.
a
A
B
b
C
线段a与线段b的和
线段AC就是a与b的和
记作
AC = a+b
动画展示
探究2：怎样通过尺规作图得到线段a和线段b的和、差关系？
a
步骤：①在直线上作线段AB=a；
②在线段AB上作线段BD=b.
a
A
B
b
D
线段a与线段b的差
线段AD就是a与b的差
记作
AD = a-b
设线段a＞b
b
动画展示
例1 如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于2a-b.
a
b
解：①在直线上作线段AB=a；
②在线段AB的延长线上作线段BC=a，
则线段AC=2a；
③在线段AC上作线段CD=b，则线段AD=2a-b.
a
a
A
B
C
D
b
知识点二
线段的中点、等分点
探究3：已知线段a，求作线段AB=2a.
a
a
A
M
B
a
想一想：线段 AB上的点M 位于什么位置？
若点M把线段AB分为相等的两条线段AM与MB，则点M叫作线段AB的中点.
A
M
B
思考
若点M是线段AB的中点，你能得到哪些线段之间的数量关系？
若点M是线段AB的中点，则AM=______=________
MB
若点M是线段AB的中点，则AB=_______=________
2AM
2MB
线段的中点只有1个
做一做：如何找到已知线段的中点？
在一张透明的纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点就是线段的中点.
探究4：类比线段的中点，想一想什么叫线段的三等分点、四等分点？
A
M
B
N
三等分点：将一条线段分成三条相等的线段的点叫作线段的三等分点.
AM=MN=NB= AB
线段的三等分点有2个
探究4：类比线段的中点，想一想什么叫线段的三等分点、四等分点？
四等分点：将一条线段分成四条相等的线段的点叫作线段的四等分点.
AM=MN=NP=PB= AB
A
M
B
N
P
线段的四等分点有3个
例2 如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若AB＝4cm，求线段CD的长度．
A
B
D
C
线段AB、AD、DB、之间的数量关系
已知AB，可以求出AD或BD
已知AD，可以求出CD
例2 如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若AB＝4cm，求线段CD的长度．
A
B
D
C
解：因为AB=4cm，且点D是线段AB的中点，
所以AD= = ×4=2cm，
因为点C是线段AD的中点，
所以CD= AD= ×2=1cm.
解题方法总结
1.无图无真相，没有图就先画图；
2.先把已知线段长都标在图上；
3.利用线段的和差关系、倍数关系以及已知的线段长，把能求的线段尽量先求出来，最后答案自然就出来了。
3.如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于a+2b.
解：如图所示.
【选自教材P166 练习 第2题】
解：当点 P在线段 MN 的延长线上时，如图①，MP=MN+NP=3+1=4(cm)；
当点P在线段MN上时，如图②，MP=MN-NP=3-1=2(cm).
综上所述，线段 MP 的长为 4 cm 或2 cm.
4.点M，N，P，在同一直线上，MN=3cm，NP=1cm.求线段MP的长.
【选自教材P166 练习 第3题】
习题6.2
1.如图，已知三点A，B，C，
（1）画直线AB；
（2）画射线 AC；
（3）连接 BC.
2.读下列语句，并分别画出图形:
（1）直线l经过A，B，C三点，并且点C在点A与点B之间；
（2）两条线段m与n相交于点P；
（3）P是直线a外一点，过点P有一条直线b与直线a相交于点Q；
（4）直线l，m，n 相交于点Q.
A
C
B
l
A
B
C
l
（1） 或
（2）
P
n
m
Q
b
a
（3）
P
解：如题所示：
Q
l
m
n
（4）
3.用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，这说明______________________；在细木条上再钉一个钉子，细木条就被固定在木板上，这说明_____________________.
经过一点的直线不止一条
两点确定一条直线
4.如图，点C，D在线段AB上，且AC=CB，CD=DB.
（1）点_____是线段AB的中点，点C是线段_____的三等分点.
（2）AC是DB的几倍？AB是CD的几倍？
C
AD
解：AC是DB的2倍，AB是CD的4倍.
综合运用
5.已知线段AB，延长AB至点C，使BC= AB，D是线段AC的中点，如果DC=2，那么AB的长为（ ）
B
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
6.（1）如图（1），把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度有什么变化？
（2）如图（2），公园里修建了曲折迂回的桥.与修一座直的桥相比，修建弯曲的桥能对游人观赏湖面风景起什么作用？你能用所学数学知识说明其中的道理吗？
解：（1）A，B两地间的河道长度变小了
（2）可使游人更长时间地、更好地观赏湖面的风景.若修一座直的桥，则桥的路程大大缩短，即减少了游人在桥上行走的路程，其中的道理：两点之间，线段最短.
7. A，B，C是数轴上的三个点，点 A 表示数 3，且线段 AB的长为 4，C为AB的中点. 点C表示的数是多少？
解:点C表示的数是1或 5.
b
b
8.如图，已知线段a，b，c，作一条线段，使它等于a+2b-c.
A
B
C
D
E
解：如图所示，AE= a+2b-c.
c
a
拓广探索
9.（1）如图（1），一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬行到它正上方的点B处，怎样爬行路线最短？（2）如图（2），如果蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬行一圈到达点B，怎样爬行路线最短？从点 A沿圆柱侧面爬行两圈到达点 B呢？说出你的理由.
B
A
B
A
解：（1）沿从点A到点B的线段爬行路线最短.
（2）若沿圆柱侧面爬行一圈，则将圆柱的侧面按图①展开，得到一个长方形，这个长方形的长为圆柱的底面圆周长，宽为圆柱的高，沿从点A到点B的线段爬行路线最短；
若沿圆柱侧面爬行两圈，则将圆柱的侧面按图②展开，得到一个长方形，这个长方形的长为圆柱的底面圆周长的2倍，宽为圆柱的高，沿从点A到点B的线段爬行路线最短.
10.如图，两条直线相交，有一个交点. 三条直线相交，最多有多少个交点？四条直线呢？你能发现什么规律？
解：三条直线相交，最多有3个交点，四条直线相交，最多有6个交点.
规律:一般地，n条直线相交，最多有 个交点.
线段的运算
用尺规作线段的和与差
线段的中点
线段的三等分点
线段的四等分点
AM=MN=NP=PB= AB
AM=MN=NB= AB
AM=MB= AB
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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