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6.3.1 角的概念
角是几何图形中另一个基本的构成元素，与线段、直线、射线共同组成了丰富多彩的几何世界。从日常生活中的钟表指针形成的夹角，到建筑结构中的拐角，角的概念无处不在。理解角的定义、构成要素和表示方法，是进一步学习角的度量、性质和运算的基础。
一、角的定义
角的定义可以从静态和动态两个角度来描述，两种描述方式分别从不同层面揭示了角的本质。
（一）静态定义
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。
关键词解析：“公共端点” 是角的顶点，是角的核心要素；“两条射线” 是角的边，射线具有无限延伸性，因此角的边没有长度，但角有大小之分。
图形理解：如图，射线\(OA\)和射线\(OB\)有公共端点\(O\)，它们组成的图形就是角，记作\(\angle AOB\)，其中\(O\)是顶点，\(OA\)和\(OB\)是角的边。
（二）动态定义
一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。旋转时，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。
动态形成过程：想象射线\(OA\)绕着端点\(O\)旋转，当旋转到\(OB\)的位置时，射线\(OA\)（始边）和射线\(OB\)（终边）就形成了角\(\angle AOB\)。旋转的幅度越大，角的度数就越大。
特殊情况：当射线旋转一周回到起始位置时，形成的角是周角（\(360^\circ\)）；当射线旋转半周时，形成的角是平角（\(180^\circ\)）；当射线旋转四分之一周时，形成的角是直角（\(90^\circ\)）。
二、角的构成要素
从角的定义可以看出，角由三个基本要素构成：
顶点：角的公共端点，是角的位置核心，用大写字母表示（如\(O\)）。
始边：在动态定义中，射线旋转的起始位置，是角的边之一。
终边：在动态定义中，射线旋转的终止位置，是角的另一条边。
注意：角的两条边是射线，因此它们可以无限延伸，但角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的幅度（即旋转的角度）有关。例如，用放大镜观察一个角，角的边看起来变长了，但角的大小不变。
三、角的表示方法
为了方便描述和交流，角有多种表示方法，具体使用哪种方法取决于角的特点和图形的复杂程度。
（一）用三个大写字母表示
用角的顶点字母和两条边上各取一个点的字母表示，顶点字母必须写在中间。例如，顶点为\(O\)，边为\(OA\)和\(OB\)的角，记作\(\angle AOB\)或\(\angle BOA\)。
适用场景：当图形中多个角共用一个顶点时，这种表示方法能清晰地区分不同的角，避免混淆。例如，在三角形\(ABC\)中，三个角可以分别表示为\(\angle ABC\)、\(\angle BAC\)、\(\angle ACB\)。
（二）用一个大写字母表示
当以某一点为顶点的角只有一个时，可以用顶点字母直接表示这个角。例如，顶点为\(O\)的角只有一个时，记作\(\angle O\)。
注意：这种方法仅适用于顶点处只有一个角的情况，若顶点处有多个角，则不能用一个大写字母表示，否则会产生歧义。例如，若点\(O\)是多个角的顶点，\(\angle O\)无法确定具体指哪个角。
（三）用阿拉伯数字表示
在角的内部靠近顶点处画上弧线，标上阿拉伯数字（如\(1\)、\(2\)等），然后用数字表示角，记作\(\angle 1\)、\(\angle 2\)等。
适用场景：图形中角的数量较多，且顶点处有多个角时，这种表示方法简洁明了。例如，在复杂的几何图形中，用数字标记不同的角，便于描述和计算。
（四）用希腊字母表示
在角的内部靠近顶点处画上弧线，标上希腊字母（如\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)等），然后用希腊字母表示角，记作\(\angle \alpha\)、\(\angle \beta\)等。
适用场景：与阿拉伯数字表示法类似，常用于数学公式和几何证明中，显得更为专业和简洁。
四、角的形成实例
角在生活和几何图形中广泛存在，以下是一些角的形成实例：
钟表中的角：钟表的时针和分针在不同时刻会形成不同的角。例如，3 点整时，时针指向 3，分针指向 12，它们形成的角是直角（\(90^\circ\)）；6 点整时，时针和分针形成的角是平角（\(180^\circ\)）。
几何图形中的角：三角形有三个角，四边形有四个角，多边形的每个顶点处都有一个角。例如，正方形的四个角都是直角（\(90^\circ\)），等边三角形的三个角都是\(60^\circ\)。
生活中的角：打开的剪刀的两片刀刃形成角，墙角是相邻两面墙形成的角，翻开的书本的两边形成角。这些实例中的角，本质上都是由两条有公共端点的射线（或可看作射线的边）组成的。
五、角与线段的联系与区别
角和线段都是几何基本元素，它们既有联系又有区别：
（一）联系
角和线段都有端点：角有一个顶点（公共端点），线段有两个端点。
角的边和线段都可以用字母表示：角的边用射线的端点和射线上的点表示，线段用两个端点表示。
角和线段都是构成复杂几何图形的基本元素：三角形、四边形等图形都是由线段和角共同组成的。
（二）区别
本质不同：角是由两条射线组成的图形，或射线旋转形成的图形；线段是直线上两点间的部分。
要素不同：角的要素是顶点、始边、终边；线段的要素是两个端点和长度。
度量对象不同：角的大小用度数度量（如度、分、秒）；线段的大小用长度单位度量（如厘米、米）。
表示方法不同：角有四种表示方法，线段主要用两个端点字母或一个小写字母表示。
六、常见错误与注意事项
混淆角的边的性质：错误地认为角的边是线段，有长度，从而误以为角的大小与边的长短有关。实际上，角的边是射线，没有长度，角的大小只与边的张开幅度有关。
角的表示方法错误：在顶点处有多个角时，仍用一个大写字母表示角，导致歧义。例如，顶点\(O\)处有\(\angle AOB\)和\(\angle AOC\)，不能用\(\angle O\)同时表示这两个角。
动态定义理解偏差：认为角的始边一定在水平位置或某个固定方向，实际上始边可以是任意方向，角的大小只由旋转的幅度决定。
忽略角的符号：在表示角时遗漏 “\(\angle\)” 符号，如将\(\angle AOB\)写成\(AOB\)，这是不规范的。
角的概念是几何学习的重要基础，通过理解角的静态和动态定义、构成要素、表示方法，以及与线段的联系与区别，我们能够准确描述和分析角的特征。在后续学习中，角的度量、比较、分类和运算都将基于这些基本概念展开，因此必须扎实掌握，为几何知识的深入学习奠定坚实基础。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
6.3.1 角的概念
第六章 几何图形初步
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.明确角的意义及其表示方法.
2.知道角的度量单位，会进行简单的单位换算.
3.了解方位角的表示方法.
观察下面实物，你发现这些实物给我们共同的形象是什么？
想一想：这些表示角的图形有什么共同特点呢？
推进新课
知识点一
角的概念
1.角的定义
定义1
有公共端点的两条射线组成的图形叫作角.
角的顶点
角的两条边
顶点
边
边
静态描述
思考
这些“角”是怎样形成的？
角是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
定义2
顶点
始边
终边
动态描述
2.平角与周角
探究1：射线OA绕端点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，形成什么角？
O
A
B
当终边OB和始边OA成一条直线时，形成平角
注意：平角的两边形成一条直线，但不能说平角就是直线.
探究2：继续旋转，OB和OA重合时，又形成什么角？
O
A
（B）
当终边OB和始边OA重合时，形成周角
今后，若无特别说明，本套书所说的角都是指还没有旋转成平角时所成的角.
注意：周角的两边重合形成一条射线，但不能说周角就是射线.
归纳
类型 概念 举例
角的概念
静态描述
动态描述
有公共端点的两条射线组成的图形叫作角.
由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形叫作角.
顶点
边
边
顶点
终边
始边
知识点二
角的表示方法
想一想：类比表示直线、射线、线段的方法，如何表示一个角？
记法1
用三个大写英文字母表示
记作：∠AOB或∠BOA
角的几何符号为“∠”
注意：表示顶点的字母写在中间
∠ABO或∠BAO
O
A
B
注意：“∠”不要与“＜”混淆
记法2
用一个小写希腊字母表示
记作：∠α
α
记法3
用一个数字表示
1
记作：∠1
思考
O
A
B
C
α
β
如图，能把∠α记作∠O吗？为什么
∠α还可以怎么表示？
注意：当在顶点处只有一个角时，才可以用一个大写英文字母表示 .
∠α还可以表示为∠AOB
归纳
角的表示方法
表示方法 图示 记法 注意
用三个大写英文字母表示
用一个大写英文字母表示
用数字或希腊字母表示
O
A
B
O
A
B
C
α
1
∠AOB或∠BOA
∠O
∠AOB记作∠α
∠BOC记作∠1
顶点字母写在中间
在顶点处只有一个角时才能用这种方法表示
要在靠近顶点处加上弧线并标注
知识点三
角的度量及换算
探究：角的度量单位有哪些？它们又是如何定义的？
度量工具：量角器
度量单位：度，分，秒
把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；
把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；
把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″.
角的度量单位
角的度、分、秒是六十进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的.
角的换算：
1周角=_____°
1平角=_____°
1直角=_____°
1°= _____'
1' = _____''
1'' = _____'
1' = _____°
1'' = _______°
1周角=___平角
1平角=___直角
360
180
90
60
60
2
2
1周角=___直角
4
以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.
此外，还有其他度量角的单位制。例如，以弧度为基本度量单位的弧度制，在军事上经常使用的角的密位制，等等.
例如 :∠α的度数是48度56分37秒
记作∠α = 48 56 37
角的表示方法：
知识点四
方位角
方位角：用方向和角度表示方向的角.
O
北
南
西
东
以正北、正南为基准
A
45°
B
60°
例如：
射线OA的方向是北偏东45°
射线OB的方向是南偏西60°
平面图上方向规定为
“上北下南，左西右东”
例1 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北（北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C、和海岛D方向的射线.
O
北
南
西
东
A
60°
表示方向的角的画法：
①确定中心，以参照物为中心
②确定始边，以正北或正南方向为始边
③确定偏向，偏东或偏西
④确定角度，画出终边
终边所指的方向就表示物体所在的方向
O
北
南
西
东
A
60°
解：以点O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东与北之间.
射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在位置.
B
40°
类似地，你能在图中画出表示货轮C和海岛D方向的射线吗？
C
D
10°
45°
归纳
北偏东25° 南偏西60° 北偏西35° 南偏东45°
表示方向的角
②当角度为45°时，可以表达为 东南、东北、西南、西北方向
①先写南或北再写偏东或偏西
3. 6时整，钟表的时针和分针构成多少度的角？8时呢？8时30分呢？
解：分别是180°，120°，75°的角.
【选自教材P172 练习 第1题】
4.根据图中信息填写下表，将表中的角用其他方法表示出来.
表示 方法1 ∠1 ∠3 ∠D
表示 方法2 ∠CAD ∠ACB ∠ABC ∠ACD
∠2
∠B
∠4
∠BAC
∠ADC
【选自教材P172 练习 第2题】
5.（1）35°等于多少分？等于多少秒？
（2） 38°15′和38.15°相等吗？如不相等，哪一个大？
解：（1）35°=2100'=126000''
（2）这两个角不相等，38°15'大.
【选自教材P172 练习 第3题】
6. 从蜂巢的入口处看，蜂巢由许多正六边形（六条边相等，六个角也相等）构成，按图示的方法，利用三角尺和圆规画出一个正六边形.
【选自教材P172 练习 第4题】
1. 下列关于角的说法中,正确的个数是( )
①两条射线组成的图形叫作角；
②角的边越长，角越大；
③用放大镜看一个角，角的度数变大了；
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
A
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
返回
2. 如图，下列表示角的方法中，错误的是( )
B
A. 与 表示同一个角
B. 也可以用 表示
C. 图中共有三个角，分别是 、
、
D. 表示
返回
3. 下列对于图形的描述中,正确的有( )
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
（第4题）
4. 如图，用量角器测得 的度数是
( )
C
A. B. C. D.
返回
（第5题）
5. 母题教材P171例1 淇淇一家
要到革命圣地西柏坡参观.如图，
西柏坡位于淇淇家的南偏西
方向，则淇淇家位于西柏坡的
( )
D
A. 南偏西 方向 B. 南偏东 方向
C. 北偏西 方向 D. 北偏东 方向
返回
课堂小结
角的概念
角的概念
角的表示方法
角的度量及换算
方位角
静态描述
动态描述
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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