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6.3.3 余角和补角
余角和补角是角的关系中两种重要的特殊情况，它们揭示了角与角之间的数量关系，在几何计算、推理以及实际生活中都有着广泛的应用。理解余角和补角的定义、性质，并能灵活运用它们解决问题，是几何学习的重要内容。
一、余角和补角的定义
（一）余角
如果两个角的和等于\(90^\circ\)（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。其中一个角是另一个角的余角。
数学表达：若\(\angle \alpha + \angle \beta = 90^\circ\)，则\(\angle \alpha\)与\(\angle \beta\)互为余角，即\(\angle \alpha\)是\(\angle \beta\)的余角，\(\angle \beta\)也是\(\angle \alpha\)的余角。
实例说明：\(\angle 1 = 30^\circ\)，\(\angle 2 = 60^\circ\)，因为\(30^\circ + 60^\circ = 90^\circ\)，所以\(\angle 1\)与\(\angle 2\)互为余角；\(\angle A = 45^\circ\)，则它的余角为\(90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\)，即\(\angle A\)与自身的余角相等（此时\(\angle A\)为\(45^\circ\)）。
（二）补角
如果两个角的和等于\(180^\circ\)（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。其中一个角是另一个角的补角。
数学表达：若\(\angle \gamma + \angle \delta = 180^\circ\)，则\(\angle \gamma\)与\(\angle \delta\)互为补角，即\(\angle \gamma\)是\(\angle \delta\)的补角，\(\angle \delta\)也是\(\angle \gamma\)的补角。
实例说明：\(\angle 3 = 120^\circ\)，\(\angle 4 = 60^\circ\)，因为\(120^\circ + 60^\circ = 180^\circ\)，所以\(\angle 3\)与\(\angle 4\)互为补角；\(\angle B = 100^\circ\)，则它的补角为\(180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\)。
（三）定义要点
余角和补角是两个角之间的关系，不能单独说某个角是余角或补角，必须强调 “互为”。
互为余角的两个角的和是\(90^\circ\)，互为补角的两个角的和是\(180^\circ\)，这是判断两个角是否互余或互补的唯一标准。
角的度数范围：互为余角的两个角都是锐角（度数大于\(0^\circ\)且小于\(90^\circ\)）；互为补角的两个角可以是一个锐角和一个钝角，也可以是两个直角（\(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\)）。
二、余角和补角的性质
余角和补角具有以下重要性质，这些性质是解决角的计算和推理问题的关键依据。
（一）余角的性质
同角或等角的余角相等。
同角的余角相等：若\(\angle \alpha + \angle \beta = 90^\circ\)，\(\angle \alpha + \angle \gamma = 90^\circ\)，则\(\angle \beta = \angle \gamma\)。例如，\(\angle \alpha = 30^\circ\)，则它的余角\(\angle \beta = 60^\circ\)，\(\angle \gamma = 60^\circ\)，所以\(\angle \beta = \angle \gamma\)。
等角的余角相等：若\(\angle \alpha = \angle \beta\)，且\(\angle \alpha + \angle \gamma = 90^\circ\)，\(\angle \beta + \angle \delta = 90^\circ\)，则\(\angle \gamma = \angle \delta\)。例如，\(\angle \alpha = \angle \beta = 40^\circ\)，则\(\angle \gamma = 50^\circ\)，\(\angle \delta = 50^\circ\)，所以\(\angle \gamma = \angle \delta\)。
（二）补角的性质
同角或等角的补角相等。
同角的补角相等：若\(\angle \alpha + \angle \beta = 180^\circ\)，\(\angle \alpha + \angle \gamma = 180^\circ\)，则\(\angle \beta = \angle \gamma\)。例如，\(\angle \alpha = 110^\circ\)，则它的补角\(\angle \beta = 70^\circ\)，\(\angle \gamma = 70^\circ\)，所以\(\angle \beta = \angle \gamma\)。
等角的补角相等：若\(\angle \alpha = \angle \beta\)，且\(\angle \alpha + \angle \gamma = 180^\circ\)，\(\angle \beta + \angle \delta = 180^\circ\)，则\(\angle \gamma = \angle \delta\)。例如，\(\angle \alpha = \angle \beta = 80^\circ\)，则\(\angle \gamma = 100^\circ\)，\(\angle \delta = 100^\circ\)，所以\(\angle \gamma = \angle \delta\)。
（三）性质应用
余角和补角的性质可以简化角的计算和推理过程。例如，在几何图形中，若两个角都是同一个角的余角（或补角），则可以直接得出这两个角相等，无需重新计算度数。
三、余角和补角的计算
（一）基本计算
已知一个角的度数，求它的余角或补角，只需用\(90^\circ\)或\(180^\circ\)减去这个角的度数。
若已知\(\angle \alpha = x\)，则它的余角为\(90^\circ - x\)，补角为\(180^\circ - x\)。
例 1：已知\(\angle A = 55^\circ\)，求它的余角和补角的度数。
解：\(\angle A\)的余角 = \(90^\circ - 55^\circ = 35^\circ\)；\(\angle A\)的补角 = \(180^\circ - 55^\circ = 125^\circ\)。
答：\(\angle A\)的余角是\(35^\circ\)，补角是\(125^\circ\)。
（二）含未知数的计算
当已知角的余角或补角的关系时，可以通过设未知数建立方程求解。
例 2：一个角的补角比它的余角的 3 倍大\(10^\circ\)，求这个角的度数。
解：
设这个角的度数为\(x\)，则它的余角为\((90^\circ - x)\)，补角为\((180^\circ - x)\)。
根据题意列方程：\(180^\circ - x = 3 (90^\circ - x) + 10^\circ\)，
去括号得：\(180^\circ - x = 270^\circ - 3x + 10^\circ\)，
移项得：\(-x + 3x = 270^\circ + 10^\circ - 180^\circ\)，
合并同类项得：\(2x = 100^\circ\)，
解得：\(x = 50^\circ\)。
答：这个角的度数为\(50^\circ\)。
（三）余角与补角的关系
同一个角的补角比它的余角大\(90^\circ\)。
推导：设一个角为\(x\)，则它的补角为\(180^\circ - x\)，余角为\(90^\circ - x\)，补角与余角的差为\((180^\circ - x) - (90^\circ - x) = 90^\circ\)。
例 3：已知一个角的余角是\(35^\circ\)，求这个角的补角的度数。
解：
方法 1：这个角的度数为\(90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\)，则它的补角为\(180^\circ - 55^\circ = 125^\circ\)。
方法 2：根据补角比余角大\(90^\circ\)，则补角 = 余角 + \(90^\circ = 35^\circ + 90^\circ = 125^\circ\)。
答：这个角的补角是\(125^\circ\)。
四、余角和补角的实际应用
余角和补角的概念在生活和生产中有着广泛的应用，以下是几个典型实例：
（一）工程测量
在建筑施工中，经常需要测量直角（\(90^\circ\)）或平角（\(180^\circ\)），利用余角和补角的关系可以验证测量的准确性。例如，若测得一个角为\(30^\circ\)，则它的余角应为\(60^\circ\)，通过测量另一个角是否为\(60^\circ\)，可以判断两个角是否构成直角。
（二）钟表问题
钟表上的时针和分针在特定时刻形成的角，其补角或余角可以帮助我们计算其他时刻的角度。例如，3 点整时，时针和分针的夹角是\(90^\circ\)（直角），此时它们互为余角；6 点整时，时针和分针的夹角是\(180^\circ\)（平角），此时它们互为补角。
（三）方向角问题
在航海、航空等领域，方向角的描述常涉及余角和补角。例如，北偏东\(30^\circ\)与北偏西\(60^\circ\)的两个方向所成的角互为余角，因为\(30^\circ + 60^\circ = 90^\circ\)；南偏东\(40^\circ\)与北偏西\(140^\circ\)（实际为反向延长线）的两个方向所成的角互为补角。
五、常见错误与注意事项
概念混淆：混淆余角和补角的定义，误将余角的和当作\(180^\circ\)，补角的和当作\(90^\circ\)，导致计算错误。例如，求\(60^\circ\)角的余角时，错误地计算为\(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\)（正确应为\(30^\circ\)）。
忽略 “互为” 关系：单独说 “\(30^\circ\)的角是余角”，这种表述是错误的，余角和补角必须是两个角之间的相互关系。
角度范围错误：认为钝角（大于\(90^\circ\)小于\(180^\circ\)）有余角，实际上钝角的度数大于\(90^\circ\)，无法与其他角的和为\(90^\circ\)，因此钝角没有余角；同样，锐角（小于\(90^\circ\)）的补角一定是钝角。
性质应用错误：在应用 “同角或等角的余角相等”“同角或等角的补角相等” 时，未明确 “同角” 或 “等角” 的条件，错误地得出角相等的结论。
单位换算错误：在涉及度、分、秒的余角或补角计算时，未正确进行单位换算。例如，计算\(35^\circ 20'\)的余角时，错误地计算为\(90^\circ - 35^\circ 20' = 55^\circ 20'\)（正确应为\(54^\circ 40'\)，因为\(90^\circ = 89^\circ 60'\)）。
六、知识总结与拓展
余角和补角是基于角的和为特殊度数（\(90^\circ\)和\(180^\circ\)）定义的角的关系，其核心要点如下：
定义：互余（和为\(90^\circ\)），互补（和为\(180^\circ\)），强调 “互为” 关系。
性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，这是角的推理的重要依据。
计算：已知角求余角或补角用减法；已知余角或补角的关系，通过设未知数建立方程求解。
在学习过程中，要通过实例理解余角和补角的概念，通过练习掌握性质的应用，特别注意区分余角和补角的定义，避免概念混淆。余角和补角的知识不仅是几何计算的基础，也是培养逻辑推理能力的重要载体，为后续学习三角形、四边形等图形的性质奠定基础。
2024人教版数学七年级上册
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6.3.3 余角和补角
第六章 几何图形初步
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质.
2.通过简单的推理，归纳出余角和补角的性质，并能用规范的语言描述性质.
O
A
C
B
你能说说图中角的和差关系吗？
∠AOC=∠AOB+_______
∠AOB=∠AOC-_______
∠BOC=∠AOC-_______
∠BOC
∠BOC
∠AOB
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知识点一
余角和补角的概念
探究1：图中∠A与∠B有怎样的数量关系？
∠A+∠B=90°
A
B
C
A
B
C
探究2：将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角.
1.∠1与∠2有什么数量关系？
∠1+∠2=90°
2.∠3与∠4有什么数量关系？
∠3+∠4=180°
余角的概念
如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角.
如图，可以说∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，或∠1和∠2互余.
∠1和∠2互为余角
∠1+∠2=90°
（∠1=90°-∠2或∠2=90°-∠1 ）
补角的概念
如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角.
如图，可以说∠3是∠4的补角，或∠4是∠3的补角，或∠3和∠4互补.
∠3和∠4互为补角
∠3+∠4=180°
（∠3=180°-∠4或∠4=180°-∠3 ）
注意：
(1)余(补)角指的是两个角之间的数量关系，与位置无关,且它们是成对出现的,单独的一个角或两个以上的角不能称为余(补)角.
(2)若两个角互余,则这两个角一定都是锐角;若两个角互补，则这两个角可能都是直角,也可能是一个锐角、一个钝角.
知识点二
余角、补角的性质
思考1：如图，∠1与∠2，∠3都互余，∠2与∠3的大小有什么关系？
解：因为∠1与∠2互为余角，
所以∠2＝ 90°-∠1，
又∠1与∠3互为余角，
所以∠3＝ 90°-∠1，
根据等式的性质，∠2=∠3.
同角的余角相等
思考2：已知：∠1与∠2互为余角，∠3与∠4互为余角，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
解：因为∠1与∠2互为余角，
所以∠2＝ 90°-∠1，
又∠3与∠4互为余角，
所以∠4＝ 90°-∠3，
因为∠1=∠3
根据等式的性质，∠2=∠4.
等角的余角相等
思考3：如图，如果∠1与∠2，∠3都互补，那么∠2与∠3的大小有什么关系？
解：因为∠1与∠2互为补角，
所以∠2＝ 180°-∠1，
又∠1与∠3互为补角，
所以∠3＝ 180°-∠1，
根据等式的性质，∠2=∠3.
同角的补角相等
2
解：因为∠1与∠2互为补角，
所以∠2＝ 180°-∠1，
又∠3与∠4互为补角，
所以∠4＝ 180°-∠3，
因为∠1=∠3
根据等式的性质，∠2=∠4.
思考4：已知：∠1与∠2互为补角，∠3与∠4互为补角，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
等角的补角相等
归纳：
类型 性质 数学语言
余角
补角
同角（等角）的余角相等
同角（等角）的补角相等
①如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
那么∠2＝∠3；
②如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，
且∠1＝∠3，那么∠2＝∠4
①如果∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，
那么∠2＝∠3；
②如果∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，
且∠1＝∠3，那么∠2＝∠4
例4 如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？
分析：
找90°
点A，O，B在同一直线上
平角180°
角平分线
两个角互为余角
解：因为点A，O，B在同一条直线上，所以∠AOC和∠BOC互为补角.
又因为射线OD和射线OC分别平分∠AOC和∠BOC，所以
所以，∠COD和∠COE互为余角.
同理，∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.
3.图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？
【选自教材P177 练习 第1题】
解：互为余角的角是 10°和 80°、30°和 60°，互为补角的角是10°和 170°、30°和 150°、60°和 120°、80°和 100°.
【选自教材P177 练习 第2题】
4. 一个角是70°39'，求它的余角和补角.
解：它的余角是 19°21′，补角是 109°21′.
5. ∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？
解：设∠α= x.则 3x=180°-x，解得 x=45°.所以∠α是 45°
【选自教材P177 练习 第3题】
6.如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？
解：先将其一边 OA 反向延长为 OC，便可测出∠BOC 的度数，而∠AOB与∠BOC互为补角，故∠AOB=180°-∠BOC
C
【选自教材P177 练习 第4题】
习题6.3
1.图中以 OC 为边的角有几个？请把它们表示出来.
解：以 OC 为边的角有3个，分别是∠COD，∠BOC，∠AOC.
2.判断题.
（1）两条射线组成的图形叫作角；
（2）平角是一条直线；
（3）互补且相等的两个角都是直角；
（4）一个锐角的补角比这个角的余角大90°；
（5）在同一平面内，∠AOB=60°，∠COB=30°，则∠AOC=90°.
×
×
×
√
√
3.填空题.
（1）0.4°=_______′；
（2）12″=______′；
（3）57°31′+17°39′=______°______′；
（4）25°36′×4=______°______′；
（5）46.8°÷6=_____°=______°______′
24
0.2
75
10
102
24
7.8
7
48
4.一个角的补角是 150°，这个角的余角是多度？
解:这个角的余角是 60°.
5.按照上北下南、左西右东的规定，画出表示东、南、西、北的十字线，然后在图上画出表示下列方向的射线：
（1）北偏西30°；（2）南偏东75°；
（3）北偏东40°；（4）西南 （南偏西 45°）.
解：如图所示（1）射线 OA；
（2）射线 OB；
（3）射线 OC；
（4）射线 OD.
6.（1）时钟的时针1h旋转多少度？
（2）时钟的分针1min旋转多少度？
（3）3时25分，时钟的时针与分针所成的角是多少度？
解：（1）30°；（2）6°；（3）47.5°.
7.如图，∠AOC=∠BOD=90°.比较∠AOB 与∠COD的大小，并说明理由.
解：∠AOB=∠COD.理由如下:
因为∠AOC=∠BOD，
所以∠AOC-∠BOC=∠BOD-∠BOC，
即∠AOB=∠COD.
8.如图，∠COD=35°，OC平分∠AOB，OD 平分∠AOC.求∠AOB 的度数.
解：因为 OD 平分∠AOC，
所以∠AOC=2∠COD=2×35°=70°
因为 OC平分∠AOB，所以∠AOB=2∠AOC=2×70°=140°.
综合运用
9.已知∠AOB=70°，以 OA 为边画∠AOC=32°.求∠BOC 的度数.
解：当 OC 在∠AOB 内部时，
如图①，∠BOC=∠AOB-∠AOC=
70°-32°=38°；
当OC在∠AOB 外部时，
如图②，∠BOC= ∠AOB+ ∠AOC=70°+32°=102°
综上所述， ∠BOC 的度数为 38°或 102°.
10.如图，在∠AOB内部任意画一条射线OC，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，根据图形填空：
（1）∠AOB= ∠AOC+_______；
（2）∠COD=_______= _______；
（3）∠DOE=_______+______= ______；
（4）若∠DOE=60°，则∠AOB=_____°；
若∠AOB=n°，则∠DOE =______°.
∠BOC
∠AOD
∠COE
∠COD
∠AOC
∠AOB
120
11.如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠α与∠β互余？在哪种摆放方式中∠α与∠β互补？在哪种摆放方式中∠α与∠β相等？
解：在第（1）种摆放方式中∠α与∠β互余，在第（4）种摆放方式中∠α与∠β 互补，在第（2）（3）种摆放方式中∠α与∠β相等.
12.如图，一个齿轮有24个齿，每相邻两齿中心线的夹角都相等，这个夹角是多少度？如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是多少度（精确到分）？
解：因为有 24 个齿，所以这个夹角是 360°÷24=15°；如果是 22 个齿，那么这个夹角是 360°÷22≈16°22′.
13.如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东60°方向上有一艘船，同时，从B地发现这艘船在它北偏东30°方向上.试在图中确定这艘船的位置.
60°
30°
P
解：如图，点P位置即为这艘船的位置.
拓广探索
14.画几个不同的四边形，使每个四边形中都有30°，90°，105°的角.量一量这些四边形中另一个角的度数，你能发现什么规律？
解：画图略.这些四边形中另一角的度数均为135°，可以的规律：四边形的内角和为360°.
15.（1）如图（1），射线 AD，BE，CF 构成∠1，∠2，∠3，量出∠1，∠2，∠3的度数，并计算∠1十∠2+∠3.画出几个类似的图，计算相应的三个角的和，你有什么发现？
解：（1）图（1）中，∠1+∠2+∠3= 360°，画图略，可以发现类似的这样三个角的和均为360°；
（2）类似地，量出图（2）中∠1，∠2，∠3，∠4的度数，计算∠1+∠2+∠3+∠4.再换几个类似的图试试，你有什么发现？
（3）综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？
解：（2）图（2）中，∠1+∠2+∠3+∠4= 360° ，画图略，可以发现类似的这样四个角的和也均为360°.
（3）猜想：多边形的外角和都是360°.
互为余角 互为补角
两角间的关系
性质
同角（等角）的余角相等
同角（等角）的补角相等
∠1+∠2=90°
∠3+∠4=180°
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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