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第二章 有理数的运算 章末复习
有理数的运算是初中数学的基础内容，涵盖了从简单的加减乘除到复杂的混合运算，以及科学记数法、近似数和进位制等拓展知识。本章的学习不仅需要掌握具体的运算规则，更要理解运算的本质和逻辑，培养严谨的计算能力和应用意识。通过章末复习，我们将系统梳理知识脉络，巩固重点难点，提升综合运用能力。
一、知识框架梳理
有理数的基本运算
加法：同号相加取相同符号，绝对值相加；异号相加取绝对值较大的符号，用较大绝对值减较小绝对值；互为相反数的两数相加得\(0\)；一个数加\(0\)仍得原数。
减法：减去一个数等于加这个数的相反数，即\(a - b = a + (-b)\)。
乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数乘\(0\)得\(0\)；多个非零数相乘，负因数个数为偶数时积为正，奇数时积为负。
除法：除以一个不为\(0\)的数等于乘它的倒数，即\(a ·b = a \frac{1}{b}(b 0)\)；两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除；\(0\)除以非零数得\(0\)。
乘方运算
定义：求\(n\)个相同因数\(a\)的积的运算，记为\(a^n\)（\(a\)为底数，\(n\)为指数），结果称为幂。
符号规律：正数的任何次幂为正；负数的奇次幂为负，偶次幂为正；\(0\)的正整数次幂为\(0\)。
注意：\(-a^n\)与\((-a)^n\)的区别（前者是\(a^n\)的相反数，后者是\(n\)个\(-a\)相乘）。
混合运算顺序
三级运算优先：先算乘方，再算乘除，最后算加减。
括号优先：有括号时，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。
同级运算：从左到右依次进行。
科学记数法与近似数
科学记数法：把大于\(10\)的数表示为\(a 10^n\)（\(1 ¤a 10\)，\(n\)为正整数）；小于\(1\)的正数表示为\(a 10^{-n}\)（\(1 ¤a 10\)，\(n\)为正整数）。
近似数：与精确数接近的数，精确度可表示为 “精确到某一位” 或 “保留几个有效数字”；取近似数的方法有四舍五入法、进一法、去尾法。
进位制
基本概念：基数（计数符号的个数）、数位（数字位置）、权值（基数的数位序号次方）、进位规则（逢基进一）。
常见进位制：十进制（基数\(10\)）、二进制（基数\(2\)）、八进制（基数\(8\)）、十六进制（基数\(16\)）。
转换规则：非十进制与十进制互转（按权展开 / 除基取余）；二进制与八进制 / 十六进制互转（分组对应）。
二、重点难点突破
运算符号的处理
有理数运算的核心是符号规则，计算前需先确定结果的符号，再计算绝对值。例如：
乘法 / 除法：先根据负因数个数判断符号，再算绝对值乘积 / 商。
乘方：负数的乘方需关注指数奇偶性，避免符号错误（如\((-2)^4 = 16\)，\(-2^4 = -16\)）。
混合运算的分步拆解
复杂算式需按顺序分步计算，每步只处理一种运算，避免跳步导致错误。例如计算\(-1^4 - (1 - 0.5) \frac{1}{3} [2 - (-3)^2]\)：
① 乘方运算：\(-1^4 = -1\)，\((-3)^2 = 9\)；
② 括号内运算：\(1 - 0.5 = 0.5\)，\(2 - 9 = -7\)；
③ 乘除运算：\(0.5 \frac{1}{3} (-7) = -\frac{7}{6}\)；
④ 加减运算：\(-1 - (-\frac{7}{6}) = \frac{1}{6}\)。
科学记数法的精确度
用科学记数法表示的数，精确度由\(a\)的最后一位数字所在数位决定。例如\(3.05 10^4\)（即\(30500\)）精确到百位，有效数字为\(3\)、\(0\)、\(5\)。
进位制转换的关键
非十进制转十进制：严格按权展开，确保权值计算正确（如十六进制的\(A\)对应\(10\)，\(F\)对应\(15\)）。
十进制转非十进制：整数部分 “除基取余” 需逆序排列余数，小数部分 “乘基取整” 需顺序排列整数。
三、易错点警示
符号错误
常见错误：\((-3) (-2) = -6\)（正确应为\(6\)）；\(-3^2 = 9\)（正确应为\(-9\)）；异号相加时符号判断错误（如\(5 + (-8) = 3\)，正确应为\(-3\)）。
规避方法：牢记 “同号得正，异号得负”，乘方运算前明确底数是否含负号。
运算顺序错误
常见错误：\(10 - 6 ·2 = 4 ·2 = 2\)（正确应为\(10 - 3 = 7\)）；同级运算未从左到右（如\(8 ·(-2) (-4) = 8 ·8 = 1\)，正确应为\(-4 (-4) = 16\)）。
规避方法：用序号或箭头标注运算顺序，优先标记乘方和括号内运算。
近似数的有效数字误解
常见错误：认为\(0.025\)的有效数字是\(0\)、\(2\)、\(5\)（正确应为\(2\)、\(5\)，左边的零不是有效数字）；\(1.20 10^3\)的有效数字是\(1\)、\(2\)（正确应为\(1\)、\(2\)、\(0\)，末尾的零是有效数字）。
规避方法：从左起第一个非零数字开始数有效数字，末尾的零若在小数点后且表示精确度则算有效数字。
进位制转换的分组错误
常见错误：二进制转八进制时未补零分组（如\(1011B\)直接分为\(10 11B\)，正确应为\(010 11B = 26O\)）。
规避方法：分组时确保整数部分高位补零、小数部分低位补零，凑足基数的幂的位数（\(3\)位二进制对应\(1\)位八进制，\(4\)位对应\(1\)位十六进制）。
四、典型例题解析
有理数混合运算
计算：\(2 (-3)^2 - 5 ·(-\frac{1}{2}) (-2)\)
解：
① 乘方运算：\((-3)^2 = 9\)；
② 乘除运算：\(2 9 = 18\)，\(5 ·(-\frac{1}{2}) (-2) = 5 (-2) (-2) = 20\)；
③ 加减运算：\(18 - 20 = -2\)。
科学记数法与近似数
（1）用科学记数法表示\(5670000\)并保留两位有效数字；
（2）将\(3.14159 10^2\)精确到十位。
解：
（1）\(5670000 = 5.7 10^6\)（保留两位有效数字）；
（2）\(3.14159 10^2 = 314.159\)，精确到十位为\(310 = 3.1 10^2\)。
进位制转换
（1）将二进制数\(11010B\)转换为十进制数；
（2）将十进制数\(45D\)转换为十六进制数。
解：
（1）\(11010B = 1 2^4 + 1 2^3 + 0 2^2 + 1 2^1 + 0 2^0 = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26D\)；
（2）\(45 ·16 = 2\)余\(13\)（即\(D\)），\(2 ·16 = 0\)余\(2\)，逆序排列得\(2DH\)。
实际应用题
某商店一周的收支情况如下（收入为正）：\(+500\)元、\(-200\)元、\(+300\)元、\(-150\)元、\(+400\)元。求该商店一周的总收入、总支出和净利润。
解：
总收入：\(500 + 300 + 400 = 1200\)元；
总支出：\(200 + 150 = 350\)元；
净利润：\(1200 - 350 = 850\)元（或直接计算代数和：\(500 - 200 + 300 - 150 + 400 = 850\)元）。
五、复习总结与提升建议
知识关联：有理数的运算本质是在整数、分数运算基础上引入负数后的扩展，符号规则是区别于小学运算的核心；乘方是乘法的特殊形式，科学记数法和进位制是乘方运算的实际应用。
能力培养：通过每日适量练习提升运算速度和准确性，重点关注符号处理和顺序规则；结合实际问题理解运算的意义，避免机械计算。
拓展应用：尝试用有理数运算解决生活中的收支、行程、工程等问题；探究进位制在计算机、密码学等领域的应用，感受数学的实用性。
有理数的运算贯穿整个初中数学学习，是后续学习代数式、方程、函数等知识的基础。通过本章复习，需确保对每个知识点的概念清晰、规则熟练、应用灵活，同时养成规范书写、细致检查的良好习惯，为后续学习奠定坚实基础。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第二章 有理数的运算
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
能表述出本章的知识结构和有关概念、法则.
能熟练把握有理数的运算顺序和运算技巧.
联系第一章有理数的学习，请你梳理从非负有理数系扩充到有理数系的过程，并谈谈对数系扩充的认识.
一、本章知识结构图
有理数的运算
加法
减法
乘法
乘方
除法
交换律
结合律
分配律
加 法
同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和.
绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得 0.
一个数与 0 相加，仍得这个数.
减 法
减去一个数，等于加这个数的相反数.
a－b = a + (－b)
乘 法
两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
任何数与 0 相乘，都得 0.
倒数：乘积是 1 的两个数互为倒数.
0 没有倒数，倒数和相反数一样都是成对出现的.
除 法
除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数.
两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.
0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0.
乘 方
求 n 个相同乘数的积的运算，叫作乘方.
负数的奇次幂是负数.
负数的偶次幂是正数.
正数的任何次幂都是正数.
0 的任何正整数次幂都是 0.
混合运算
先乘方，再乘除，最后加减；
同级运算，从左到右进行；
如有括号先做括号内的运算，
按小括号、中括号、大括号依次进行.
运算律
加法交换律：a + b = b + a
加法结合律：(a + b)+ c = a + (b + c)
乘法交换律：ab = ba
乘法结合律：(ab)c = a(bc)
分配律：a(b + c) = ab + ac
科学记数法
把一个大于 10 的数表示成 a×10n 的形式（其中 a 大于或等于 1， 且 a 小于 10，n 是正整数），使用的是科学记数法.
复习巩固
1. 计算：
【教材P61】
（1）-150 + 250； （2）-15+(-23)；
（5）(-6)×(-16)； （6）(- )×27；
（3）-5-65； （4）-26-(-15)；
100
-38
-70
-11
96
-9
（7）8÷(-16) ； （8） ； （9） .
2. 计算：
（1）6 + (- )-2-(-1.5)；
（2）(-0.02)×(-20)×(-5)×4.5；
（3）(-6.5)×(-2)÷(- )÷(-5)；
（4）(-66)×4-(-2.5)÷(-0.1)；
-9
5.3
-289
（5）(-2)2×5-(-2)3÷4；
（6）-(3-5)+ 32×(1-3).
22
-16
3. 互为相反数的两个数的和是多少？互为倒数的两个数的积是多少？
解：互为相反数的两数的和是 0，互为倒数的两数的积是 1.
4. 用科学记数法表示下列各数：
（1）100 000 000；（2）4 500 000；（3）692 400 000 000.
解：（1）100 000 000 = 1×108
（2）4 500 000 = 4.5×106
（3）692 400 000 000 = 6.924×1011
5. 用四舍五入法对下列各数取近似数：
（1）245.635（精确到 0.1）；
（2）175.65（精确到个位）；
（3）12.004（精确到百分位）；
（4）6.537 8（精确到 0.01）.
245.635 ≈ 245.6
175.65 ≈ 176
12.004 ≈ 12.00
6.5378 ≈ 6.54
6. 计算：
（1）-2-|-3|； （2）|-2-(-3)|.
-5
1
综合运用
7. 红、黄、蓝三支足球队进行比赛，比赛结果是：红队胜
黄队，比分为 4∶2；蓝队胜黄队，比分为 3∶1；红队
负蓝队，比分为 2∶3. 如果进球数记为正，失球数记为
负，那么三队的净胜球数各是多少？
红队：(4-2) + (2-3) = 1
黄队：(2-4) + (1-3) = -4
蓝队：(3-1) + (3-2) = 3
8. 下列各数是十名学生的数学检测成绩：
82，83，78，66，95，75，61，93，82，81.
先估算他们的平均成绩，然后在此基础上计算平均成绩，由此检验你的估值能力.
解：估算他们的平均成绩是 75，再重新记写他们的成绩：将成绩超过 75 的部分记作正数，低于 75 的部分记作负数，等于 75 的记作 0.
他们的成绩如下：7，8，3，-9，20，0，-14，18，7，6.
[7 + 8 + 3 + (-9) + 20 + 0 + (-14) + 18 + 7 + 6]÷10 = 4.6，
平均成绩是 75 + 4.6 = 79.6
9. 某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元）.
表中星期六的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期六的盈亏数，并说明星期六是盈利还是亏损，金额是多少.
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计
-27.8 -70.3 200 138.1 -8 188 458
458-(-27.8-70.3 + 200 + 138.1-8 + 188) = 38 (元)
答：星期六盈利，盈利了 38 元.
【教材P62】
10. 巡道员沿一条东西向的铁路进行巡视维护，从驻地出发先
向东走了 7 km，又向东走了 3 km，然后折返向西走了 11.5 km. 此时他在驻地的什么方向？与驻地的距离是多少千米？
7 km
3 km
11.5 km
11.5-7-3 = 1.5（km）
答：他在驻地的西方，与驻地的距离是 1.5 km.
驻地
11. 在 0~40 ℃ 范围内，当温度每上升 1 ℃ 时，某种金属丝约伸长 0.002 mm；反之，当温度每下降 1 ℃ 时，金属丝约缩短 0.002 mm. 把 20 ℃ 的这种金属丝加热到 30 ℃，再使它冷却降温到 5 ℃，金属丝的长度经历了怎样的变化？最后的长度比原长度约伸长多少毫米？
解：把 20℃ 的金属丝加热到 30℃，其伸长的长度约为0.002×(30-20) = 0.002×10 = 0.02(mm)；
再把 30℃ 的金属丝冷却降温到 5℃，其缩短的长度约为0.002×(30-5) = 0.002×25 = 0.05(mm).
最后的长度比原长度约伸长 0.02 + (-0.05) = -0.03(mm).
12. 一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1 个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，约为 1.496 亿千米. 试用科学记数法表示 1 个天文单位
是多少千米.
1.496 亿千米 = 149 600 000 km = 1.496×108 km
答：一个天文单位是 1.496×108 千米。
13. 结合具体的数的运算，通过特例进行归纳，然后
比较下列数的大小：
拓广探索
（1）小于 1 的正数 a，a 的平方，a 的立方；
（2）大于 -1 的负数 b，b 的平方，b 的立方.
解:（1）当a = 0.1时，a2= 0.01，a3 = 0.001，a>a2>a3.
（2）当b = -0.2 时，b2 = 0.04，b3 = -0.008，b2>b3>b.
14. 结合具体的数，通过特例进行归纳，然后判断下列说法
是否正确. 如果认为正确，请说明理由；如果认为错误，
请举出反例.
（1）任何数都不等于它的相反数；
错， 0 的相反数是其本身.
（2）互为相反数的两个数的同一正偶数次幂相等；
（3）如果 a 大于 b，那么 a 的倒数小于 b 的倒数.
对，因为互为相反数的两个数的同一偶数次方符号相同，绝对值相等.
错，例如 a = 1，b = -1，则a > b，其倒数
15. 用计算器计算下列各式，将结果写在横线上：
1×1=________； 11×11=_______；
111×111=________； 1111×1111=__________.
（1）你发现了什么？
1
121
12321
1234321
发现如下规律：1…1×1…1 = 123…(n-1)n(n-1)…321
n个
n个
（2）不用计算器，你能直接写出 111 111 111×111 111 111 的结果吗？
12345678987654321
考点1 倒数
1. 下列说法中，正确的是( )
B
A. 任何数都有倒数
B. 互为倒数的两个数的积为1
C. 一个数的倒数一定比这个数小
D. 互为倒数的两个数的和为零
返回
考点2 有理数的加减运算
2. 计算
，这
个运算应用了( )
C
A. 加法交换律 B. 加法结合律
C. 加法交换律和结合律 D. 以上均不对
返回
3.［2025重庆万州区期中］如图，有一根小棍,
在的左边在数轴上移动，数轴上， 两点之间的距离
为20，当移动到与，其中一个端点重合时，点 所对应
的数为8，当移动到线段的中点时，点 所对应的数为
________.
18或
返回
考点3 有理数的乘除运算
4. 如图，数轴上有①，②，③，④四部分，数轴上的三个点
分别表示数，，且， ，则原点落在( )
C
A. 段① B. 段②
C. 段③ D. 段④
返回
5.［2025温州期中］小明有5张卡片，如图.请你按要求抽出
卡片，完成下列各题.
（1）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字乘积最大，
最大是___;
（2）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除商最小，
最小是____;
8
（3）从中抽出除0以外的4张卡片，将卡片上的4个数字进行
加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24（注：每个
数字都要用且只能用一次），如： ，
请另写出一种符合要求的运算式子：
____________________________________________.
（答案不唯一）
返回
6.用简便方法计算：
（1） ；
【解】原式
.
（2） .
原式
.
返回
考点4 有理数的乘方
7. 下列各组数中，不相等的一组是( )
A
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
返回
8. 乐乐发现一个神奇的箱子，当正数钻进这
个箱子以后，结果就转化为它的相反数；当负数或零钻进这
个箱子以后，结果没有发生变化，乐乐把 放进了
这个神奇的箱子，则结果是( )
C
A. 13 B. 5 C. D. 10
【点拨】 .因为负数钻进这
个箱子以后，结果没有发生变化，所以结果是 .
返回
考点5 有理数的混合运算
9.计算：
（1） ;
【解】原式
.
（2） .
原式 .
返回
考点6 科学记数法
10. ［2024达州］大米是我国居民最重要的主食之一，与此
同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳
定在2亿吨以上，将2亿用科学记数法表示为( )
B
A. B. C. D.
返回
11.若一个整数用科学记数法表示为 ，
则原数中“0”有___个.
8
返回
考点7 近似数
12.光在不同介质中由于折射率的不同会产生不同的传输速度，
比如在纯净水中其速度大约为 ，其中近似数
精确到______位.
百万
返回
思想1 数形结合思想
13.在数轴上，有理数，的位置如图，将与 的对应点间
的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为， ，
，，，且， .下列结论：
；； ；
.
其中所有正确结论的序号是______.
①④
【点拨】因为，，所以 ，且距离原点比
较远，，且距离原点比较近，所以中点所表示的数 在
原点的左侧，所以 ，所以①正确；由数轴所表示的数
可知，可能大于0，也可能小于0，所以 的符号
不确定，所以②不正确；因为 可能大于0，也可能小于0，
所以与 不一定相等，所以③不正确；因为
在原点的左侧，而在原点右侧，所以表示数 的点到表
示数的点的距离为，所以到 的距离为
，即 ，所以④正确.
返回
思想2 分类讨论思想
14.［2025金华期中］【阅读理解】 表示5与2的差的绝
对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距
离；同理可以理解为 与1两数在数轴上所对应的两点
之间的距离，就表示 在数轴上对应的点
到表示 的点的距离.
（1）【概念理解】
的几何意义是___选择A或 ，
的最小值为___；
A.数轴上表示实数 的点与表示有理数4的点、与表示有理数
2的点的距离之和
B.数轴上表示实数 的点与表示有理数4的点、与表示有理数
的点的距离之和
B
6
【点拨】理解为在数轴上表示的点到 和
4的距离之和，所以当点在 和4之间的线段上，即
时， 有最小值，最小值为
.
（2）【尝试应用】
若，则 _______；
或5
【点拨】当 在3的右边时，原等式可变形为
，解得;当在 的左边时，原等式可
变形为，解得;当在3与 之间时，
距离为，即不成立.故答案为 或5.
（3）【拓展延伸】
已知整数，，满足 ，
则式子 的最大值和最小值分别为多少？
【解】因为， ，
，且,, 均为整数,所以110只能分解为
.
因为 ，
所以， ，
，
从而，，或 ，
易知当，，时， 的值最大，最大
为 ，
易知当，，时， 的值最小,最小
为 .
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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