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第三章 代数式 章末复习
代数式是代数学习的基石，它将数、字母与运算符号有机结合，实现了从具体数字运算到抽象数量关系表达的跨越。本章涵盖了代数式的定义、书写规则、列代数式表示数量关系、反比例关系、代数式求值以及几何中的代数式应用等核心内容。通过章末复习，我们将系统整合知识脉络，强化对代数式本质的理解，提升运用代数式解决实际问题的能力。
一、知识框架梳理
代数式的基本概念
定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的数或字母也是代数式。
分类：
单项式：数与字母的积（如\(3x\)、\(-5a^2b\)），系数为数字因数，次数为所有字母指数的和。
多项式：几个单项式的和（如\(2x + 3\)、\(a^2 - 2ab + b^2\)），项为组成多项式的单项式，次数为最高次项的次数。
整式：单项式和多项式的统称（分母不含字母）。
分式：分母含字母的代数式（如\(\frac{1}{x}\)、\(\frac{x + y}{x - y}\)）。
书写规则：数字在前字母在后，乘号省略，除法写成分数形式，带分数化为假分数，多项式按降幂或升幂排列。
列代数式表示数量关系
核心步骤：理解题意→确定数量关系→选择字母表示未知量→用运算符号连接（遵循 “先读先写，后读后排” 原则）。
关键技巧：抓住关键词（如 “和、差、倍、分、平方、倒数”），明确运算顺序（复杂关系需用括号），结合实际情境赋予字母意义。
常见类型：和差倍分关系（如 “\(a\)的 3 倍与\(b\)的差” 表示为\(3a - b\)）、几何量关系（如长方形面积\(ab\)）、实际问题（如总价 = 单价 × 数量）。
反比例关系
定义：两种相关联的量，若相对应的乘积一定（\(x y = k\)，\(k 0\)），则成反比例关系，表达式为\(y = \frac{k}{x}\)。
特征：一种量增大，另一种量减小，图像为双曲线（\(k 0\)在一、三象限，\(k 0\)在二、四象限）。
应用场景：路程一定时速度与时间、总价一定时单价与数量、面积一定时长与宽等。
代数式的值
定义：用数值代替代数式中的字母，按运算顺序计算的结果。
求值方法：
直接代入：适用于简单代数式（如\(2x + 1\)当\(x = 3\)时的值为\(7\)）。
化简后代入：先合并同类项或去括号，再代入计算（如化简\(3x^2 - 2x + x^2\)为\(4x^2 - 2x\)）。
整体代入：将含字母的代数式视为整体代入（如已知\(a + b = 5\)，求\(2(a + b) + 3\)的值为\(13\)）。
注意事项：负数、分数代入需加括号，遵循运算顺序，确保代数式有意义（分母不为 0）。
几何中的代数式求值
几何公式与代数式：周长、面积、体积公式用代数式表示（如圆面积\(\pi r^2\)、长方体体积\(abc\)）。
求值步骤：确定几何量→用字母表示边长 / 半径等→代入公式计算→验证单位和合理性。
常见场景：平面图形（长方形、圆、梯形）的周长与面积，立体图形（正方体、圆柱）的表面积与体积，组合图形（如正方形内接圆的阴影面积）。
二、重点难点突破
代数式的分类与辨析
易错点：混淆单项式系数（如\(-3x\)的系数是\(-3\)而非\(3\)）、多项式次数（如\(x^2y + 2x\)是三次多项式）、整式与分式（分母含字母的是分式）。
突破方法：紧扣定义，标注系数和次数，对比整式与分式的分母特征。
复杂数量关系的代数式表示
易错点：运算顺序错误（如 “\(a\)与\(b\)的差的平方” 误写为\(a - b^2\)，正确为\((a - b)^2\)），关键词理解偏差（如 “减少到” 与 “减少了”）。
突破方法：用横线标注运算优先级，逆向翻译验证（将代数式用文字描述与题意对比）。
反比例关系的判断与应用
易错点：仅通过 “一增一减” 判断反比例（忽略 “乘积一定”），混淆反比例与正比例（比值一定）。
突破方法：计算多组对应值的乘积，若乘积为定值则成反比例，结合表达式\(y = \frac{k}{x}\)分析变化趋势。
代数式求值的技巧与规范
易错点：代入时符号错误（如\(x = -2\)时\(x^2\)误算为\(-4\)，正确为\(4\)），化简过程漏项或变号。
突破方法：代入前检查符号，化简时按步骤去括号、合并同类项，复杂代数式先化简再求值。
几何与代数的结合
易错点：混淆几何公式（如圆柱侧面积与表面积），单位不统一，组合图形分解错误。
突破方法：熟记几何公式，标注图形各部分名称，将组合图形分解为基本图形（和或差关系）。
三、典型例题解析
代数式的分类与书写
例：下列代数式中，单项式是______，多项式是______，分式是______。
① \(3x^2\) ② \(\frac{2}{x}\) ③ \(x + y\) ④ \(-5\) ⑤ \(\frac{x - 1}{2}\) ⑥ \(0.5xy^3\)
解：单项式：①④⑥（数与字母的积或单独的数）；
多项式：③⑤（单项式的和，⑤可化为\(\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\)）；
分式：②（分母含字母）。
列代数式与反比例关系
例：（1）用代数式表示 “\(x\)的倒数与\(y\)的平方的和的 3 倍”；
（2）已知路程一定，速度\(v\)（km/h）与时间\(t\)（h）成反比例，若\(v = 60\)时\(t = 2\)，求\(t = 3\)时的\(v\)。
解：（1）“\(x\)的倒数” 为\(\frac{1}{x}\)，“与\(y\)的平方的和” 为\(\frac{1}{x} + y^2\)，“3 倍” 为\(3(\frac{1}{x} + y^2)\)；
（2）设\(v t = k\)，代入\(v = 60\)，\(t = 2\)得\(k = 120\)，故\(v = \frac{120}{t}\)。当\(t = 3\)时，\(v = \frac{120}{3} = 40\) km/h。
代数式求值（含整体代入）
例：（1）求代数式\(2x^2 - 3xy + y^2\)当\(x = 2\)，\(y = -1\)时的值；
（2）已知\(a^2 - 2a = 3\)，求\(2a^2 - 4a + 5\)的值。
解：（1）代入得\(2 2^2 - 3 2 (-1) + (-1)^2 = 8 + 6 + 1 = 15\)；
（2）原式\(= 2(a^2 - 2a) + 5 = 2 3 + 5 = 11\)（整体代入\(a^2 - 2a = 3\)）。
几何中的代数式求值
例：一个梯形的上底为\(a = 5\) cm，下底为上底的 2 倍，高比上底少 2 cm，求梯形面积。若上底增加\(x\) cm，下底和高不变，新面积用代数式表示并求\(x = 3\)时的值。
解：原下底\(b = 2 5 = 10\) cm，高\(h = 5 - 2 = 3\) cm，面积\(S = \frac{1}{2}(5 + 10) 3 = 22.5\) cm ；
新上底为\((5 + x)\) cm，新面积\(S' = \frac{1}{2}[(5 + x) + 10] 3 = \frac{3}{2}(x + 15)\)。当\(x = 3\)时，\(S' = \frac{3}{2} 18 = 27\) cm 。
四、易错点警示与规避
符号错误
错误示例：\(-a^2\)当\(a = -2\)时误算为\(4\)（正确：\(-(-2)^2 = -4\)）。
规避：代入负数时加括号，明确底数是否含负号（如\((-a)^2\)与\(-a^2\)的区别）。
公式混淆
错误示例：正方形周长误写为\(a^2\)（正确：\(4a\)），圆柱体积误写为\(\pi r^2\)（正确：\(\pi r^2h\)）。
规避：列表对比相似公式，标注公式中各字母的含义（如周长是长度单位，面积是平方单位）。
整体代入遗漏
错误示例：已知\(x - y = 2\)，求\(3x - 3y + 1\)时未提取公因式（正确：\(3(x - y) + 1 = 7\)）。
规避：观察代数式与已知式的倍数关系，通过变形构造整体（如\(ax + ay = a(x + y)\)）。
实际意义忽略
错误示例：计算人数时出现负数或小数（如 “需要\(3.2\)人”）。
规避：结合实际情境检验结果，确保长度、数量、时间等为正数且符合逻辑。
五、复习总结与提升建议
知识关联：代数式是从算术到代数的桥梁，列代数式是建模基础，求值是运算核心，几何应用体现数形结合思想，反比例关系为后续函数学习铺垫。
能力培养：通过每日 10 分钟基础练习巩固运算准确性，每周 2 道复杂情境题提升建模能力，尝试用代数式解决生活中的收支、测量等问题。
拓展方向：探究代数式在密码学（如字母替换）、编程（如变量运算）中的应用，理解代数式作为数学语言的简洁性和通用性。
代数式的学习不仅是掌握运算技巧，更要培养用字母表示未知量的抽象思维和用数学符号描述世界的能力。通过本章复习，需确保对概念清晰、规则熟练、应用灵活，同时养成规范书写、细致检查的习惯，为方程、函数等后续知识的学习筑牢基础。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第三章 代数式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
本章知识结构图
用字母表示数
代数式
代数式的意义
列代数式
代数式的值
代数式
1. 概念
用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子称为代数式.
2. 意义
运算意义
实际意义
几何意义
代数式
3. 列代数式
（1）列代数式可以把数量或数量关系简明地表示出来，更具有一般性
（2）列代数式表示规律
代数式
4. 反比例关系
两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.
（1）概念
如果用字母 x 和 y 表示两个相关联的量，用 k 表示它们的积（k 是一个确定的值，且 k ≠ 0），反比例关系可以 用 xy = k 或 来表示，其中 k 叫作比例系数.
代数式
4. 反比例关系
（2）表示
怎么判断两个量是否成反比例关系？
先判断两个量是否是相关联的量，再看这两个量的乘积是否一定，满足
这两个条件的两个量成反比例关系.
代数式的值
1. 概念
一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值.
2. 求代数式的值
3. 几何中的代数式求值
复习巩固
1. 用代数式表示：
（1）比 a 的 3 倍小 4 的数
（2）a 的一半与 b 的和的平方.
【教材P86~87】
（3）我国自主研发的一种近防炮，每分钟可发射 10000
发炮弹，近防炮 t min 能发射多少发炮弹？
3a - 4
能发射 10000t 发炮弹
（4）购买 n 件单价为 c 元的商品要花多少元？若支付1000 元还有剩余，应找回多少元？
要花 cn 元，应找回 (1000-cn) 元.
2. 用代数式表示：
（1）某地冬季一天的温差是 15 ℃，这天最低气温
是 t ℃，最高气温是多少？
最高气温是 (t + 15) ℃
（2）某种商品原价为每件 b 元，第一次降价打八折，
第二次降价每件又降 10 元，第一次降价后的售
价是多少元？第二次降价后的售价是多少元？
第一次降价后的售价是 0.8b 元，第二次降价后的售价是 (0.8b - 10) 元.
（3）30 天中，李明的长跑路程累计达到 45000 m，刘伟的长跑路程累计为 a m，李明和刘伟平均每天各跑多少米？若刘伟的累计长跑路程多于李明，则刘伟平均每天比李明多跑多少米？
李明和刘伟平均每天各跑1500 m 和 ，
刘伟平均每天比李明多跑 m .
3.（1）若一个长方形的长为 p，宽为 q，则 2(p + q) 表示什么？
（2）举两个例子说明代数式 3a + 2b 表示的实际问题中的数量关系.
2(p + q) 表示这个长方形的周长.
4.用一根绳子围成一个长方形，相邻两边的长分别为 x m和 y m.
（1）当绳子的长为 12 m 时，用式子表示 y 与 x 的关系.
（2）当长方形的面积为 12 m2 时，用式子表示 y 与 x 的关系.
y = 6 - x
（3）当长方形的周长一定时，相邻两边的长成反比例关系吗？当长方形的面积一定时呢？为什么？
当长方形的周长一定时，相邻两边的长不成反比例关系.
理由:因为它们的乘积不是定值；当长方形的面积一定时，相邻两边的长成反比例关系.
理由:一边长随着与它相邻的一边长的变化而变化，且
它们的乘积一定.
5. 根据下列 a，b 的值，分别求代数式 a2-b2 与 (a-b)2
的值：
（1）a = -1，b = -3； （2）a = 2，b = - .
解：（1）当 a = -1，b = -3 时，
a2-b2 = (-1)2-(-3)2 = -8，
(a-b)2 = [-1-(-3)]2 = 4.
5. 根据下列 a，b 的值，分别求代数式 a2-b2 与 (a-b)2
的值：
（1）a = -1，b = -3； （2）a = 2，b = - .
(a-b)2 = [2-(- )]2 = .
（2）当 a = 2，b = - 时，
a2-b2 = 22-(- )2 = ，
综合运用
6. 礼堂第 1 排有 a 个座位，后面每排都比前一排多 1 个
座位.
（1）第 2 排有多少个座位？第 3 排呢？用代数式表示
第 n 排的座位数.
解：第 2 排有(a + 1)个座位，第 3 排有(a + 2)个座位，第 n 排有 (a+n-1) 个座位.
（2）当 a = 20 时，计算第 19 排的座位数.
6. 礼堂第 1 排有 a 个座位，后面每排都比前一排多 1 个
座位.
当 a = 20，n = 19 时，a + n-1 = 20 + 19-1 = 38.
因此，第 19 排有 38 个座位.
7. 如图，正方形 ABCD 的边长为 a.
（1）根据图中数据，用含 a，b 的代数式表示阴影部分的面积 S；
（2）当 a = 6，b = 2 时，求阴影部分的面积.
解：（1）
（2）当 a = 6，b = 2 时，
拓广探索
8.如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第 n 个图形需要多少枚棋子？
第 1 个
第 2 个
第 3 个
……
解：摆第 n 个图形需要 4n 枚棋子.
9. 冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上熔化的冰糖液制作而成.
（1）若每根竹签穿 5 个山楂，穿 n 串冰糖葫芦需要多少个山楂？需要的山楂总数与冰糖葫芦的串数成什么比例关系？
解：穿 n 串冰糖葫芦需要 5n 个山楂. 成正比例关系.
（2）若用 200 个山楂穿了 b 串冰糖葫芦，且每串的山楂个数相等，则每串冰糖葫芦的山楂个数是多少？每串冰糖葫芦的山楂个数与冰糖葫芦的总串数成什么比例关系？
解：每串冰糖葫芦的山楂个数是 . 成反比例关系.
（3）若有 a 个山楂，按每串冰糖葫芦的山楂个数相等的规定，穿了 b 串冰糖葫芦，还剩余 c 个山楂，则每串冰糖葫芦的山楂个数是多少？当 a = 130，b = 16，c = 2 时，求每串冰糖葫芦的山楂个数.
解：每串冰糖葫芦的山楂个数是 .
当 a = 130，b = 16，c = 2 时， .
因此，每串冰糖葫芦的山楂个数为 8 .
考点1 代数式
1. 下列各式中，是代数式的有( )
；；； ；
； .
B
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
【解析】由代数式的定义可知，是代数式的有： ；
；； ，共4个.
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2. ［2025重庆綦江区期中］下列代数式符合书写规范的是
( )
B
A. B. C. 元 D.
【解析】选项A正确的书写格式是 ，故此选项不符合题意；
选项B正确，故此选项符合题意；选项C正确的书写格式是
元，故此选项不符合题意；选项D正确的书写格式
是 ，故此选项不符合题意.
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3. 下列关于代数式的意义不正确的是( )
A
A. 表示 的3倍与4的和的一半
B. 表示 与5的和的2倍
C. 表示 的2倍与5的和
D. 表示与 的和的平方
【解析】表示 的3倍与4的和的一半.
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考点2 列代数式
4. 一个两位数，十位数字是 ，十位数字比个位数字小2，这
个两位数是( )
C
A. B.
C. D.
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5. 如图，，两地之间有一条东西走向的道路.在 地的东
边处设置第一个广告牌,之后每往东 就设置一个广
告牌.一辆汽车从地的东边 处出发,沿此道路向东行驶.
当经过第 个广告牌时,此车所行驶的路程为( )
D
A. B.
C. D.
【解析】由题意得当经过
第 个广告牌时,此车所行
驶的路程为 .
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考点3 正、反比例关系
6. 下面各组变量关系中，成正比例关系的是( )
D
A. 人的身高与年龄
B. 汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度
C. 正方形的面积与它的边长
D. 圆的周长与它的半径
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7.母题教材P74例5 俊俊想存钱购买一套售价为6 000元的户
外活动设备，若他目前已有存款2 000元，后期每个月计划
存相同金额，用式子表示他存够买设备的钱所需月数 与每
个月存款额元之间的关系，与 成什么比例关系？
【解】根据题意，得 ，
所以或 .
所以与 成反比例关系.
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考点4 求代数式的值
8. 若，则 的值为( )
B
A. 8 B. 10 C. D.
【解析】因为，所以 ，
，所以， ，所以
.
返回
9. ［2025成都锦江区月考］已知 ，则
的值是( )
A
A. 2 019 B. 2 022
C. 2 028 D. 2 031
【解析】由，得，所以 .
返回
10.已知有理数,,满足且 .若
，，则 的
值为_____.
【解析】因为，所以 ，所以
.
因为有理数,,满足且 ，所以有理数
, ,必有一个正数，两个负数，不妨设， ，
，
所以，所以 .
返回
11.如图是一个长为、宽为 的长方形，两个
阴影图形都是一对底边长为1，且这对底边在
长方形的对边上的平行四边形.
（1）用含字母, 的代数式表示长方形中空白部分的面积；
【解】由题意得长方形中空白部分的面积为
.
（2）当， 时，求长方形中空白
部分的面积.
当， 时，
.
则长方形中空白部分的面积为2.
返回
12. 在“生命，幸‘盔’有你”为主题的交通安全宣
传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高.
某电动自行车店计划分别购买30个安全头盔和若干副电动自行
车手套，该店经理联系了批发商，他们之间的对话如下：
（1）电动自行车店计划购买30个安全头盔和100副手套，若
选择方案一共需要花费______元.
【解析】方案一需要花费：
元 .
【解析】若选择方案一购买，需要花费
元；
若选择方案二购买，需要花费
元.
（2）电动自行车店计划购买30个安全头盔和 副手套
.
若选择方案一购买，需要花费______________元
（用含 的代数式表示）；
若选择方案二购买，需要花费______________元
（用含 的代数式表示）；
（3）当 时，如何选择购买方案能更省钱？
【解】当 时，若选择方案一购买，需要花费
（元）；
若选择方案二购买，需要花费
（元）.
因为,所以当 时，选择方案一购买能更省钱.
返回
思想1 整体思想
13.［2025西安未央区月考］已知 ，求
的值.
【解】根据题意，得 ,
所以 .
返回
思想2 从特殊到一般的思想
14.如图，这是某小组用小木棒摆放的图形，第1个图形需要9
根小木棒，第2个图形需要17根小木棒，第3个图形需要25根
小木棒……按此规律，第4个图形需要____根小木棒.第 个图
形需要_________根小木棒.
33
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思想3 转化思想
15. 某款手机的后置摄
像头可抽象出6个圆形，如图所示，大圆的
半径为，中间圆形的半径为 ，周边4个
圆形的半径为 .
（1）请用含 的代数式表示图中阴影部分的面积；
【解】题图中阴影部分的面积为
.
（2）当时，求图中阴影部分的面积 取 .
当时， .
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必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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