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第四章 整式的加减 章末复习
整式的加减是代数式运算的核心内容，它承接了单项式、多项式的概念，通过合并同类项和去括号法则实现整式的化简与求值，是后续学习整式乘除、因式分解乃至方程、函数的重要基础。本章的复习将围绕整式的基本概念、同类项的识别、去括号法则、整式加减的运算步骤及实际应用展开，旨在构建完整的知识体系，提升运算准确性和问题解决能力。
一、知识框架梳理
整式的基本概念
单项式：由数与字母的积组成的代数式（单独的数或字母也是单项式），包含系数（数字因数）和次数（所有字母指数的和）。例如：\(-3x^2y\)的系数是\(-3\)，次数是\(3\)（\(x^2\)的指数\(2\) + \(y\)的指数\(1\)）。
多项式：几个单项式的和，组成多项式的单项式称为项（含符号），不含字母的项为常数项，次数为最高次项的次数。例如：\(2x^3 - 5x + 1\)是三次三项式，项为\(2x^3\)、\(-5x\)、\(1\)，常数项是\(1\)。
整式：单项式和多项式统称为整式（分母不含字母），与分式（分母含字母）形成对比。
同类项与合并同类项
同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项（常数项都是同类项）。例如：\(3a^2b\)与\(-5a^2b\)是同类项，\(7\)与\(-2\)是同类项。
合并同类项法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。例如：\(2x^2 + 5x^2 = 7x^2\)，\(3xy - 2xy = xy\)。
去括号法则
括号前是 “\(+\)” 号：去括号后各项符号不变，即\(a + (b + c) = a + b + c\)。
括号前是 “\(-\)” 号：去括号后各项符号改变，即\(a - (b + c) = a - b - c\)。
括号前有数字因数：先将数字与括号内各项相乘，再去括号，即\(a(b - c) = ab - ac\)，\(-a(b - c) = -ab + ac\)。
整式的加减运算
实质：去括号和合并同类项的综合运用。
步骤：写出整式加减算式（多项式需加括号）→去括号（按法则处理符号）→合并同类项（化简至无同类项）→整理结果（按降幂或升幂排列）。
整式加减的应用
化简求值：先化简整式，再代入字母取值计算。
几何问题：表示图形的周长、面积、体积等，通过整式加减分析数量关系。
实际问题：用整式表示数量关系（如路程、价格、长度），通过加减运算解决问题。
二、核心知识点解析
同类项的识别与合并
同类项的识别是合并同类项的前提，需同时满足 “字母相同” 和 “相同字母指数相同” 两个条件，与系数无关。合并同类项时，需先标记同类项，再按系数相加的规则合并，避免遗漏或误合并非同类项。
示例：合并多项式\(4x^2y - 3xy^2 + x^2y - 2xy^2\)中的同类项。
解：标记同类项\(4x^2y\)与\(x^2y\)、\(-3xy^2\)与\(-2xy^2\)，合并得\((4 + 1)x^2y + (-3 - 2)xy^2 = 5x^2y - 5xy^2\)。
去括号的符号处理
去括号的核心是根据括号前的符号调整括号内各项的符号：“\(+\)” 号不变，“\(-\)” 号全变。多层括号需逐层处理（由内向外或由外向内），确保每一步符号准确。
示例：化简\(2x - [3x - (x - 1) + 2]\)。
解：由内向外去括号：
第一步去小括号：\(2x - [3x - x + 1 + 2]\)；
第二步合并中括号内同类项：\(2x - [2x + 3]\)；
第三步去中括号：\(2x - 2x - 3 = -3\)。
整式加减的完整流程
整式加减需严格遵循 “写式→去括号→合并同类项→整理” 的步骤，尤其注意多项式参与运算时需加括号，避免符号错误。
示例：计算\((3a^2 - 2a + 1) - (2a^2 - 3a + 5)\)。
解：
步骤 1：写算式（多项式加括号）：\((3a^2 - 2a + 1) - (2a^2 - 3a + 5)\)；
步骤 2：去括号（减式各项变号）：\(3a^2 - 2a + 1 - 2a^2 + 3a - 5\)；
步骤 3：合并同类项：\((3a^2 - 2a^2) + (-2a + 3a) + (1 - 5) = a^2 + a - 4\)；
步骤 4：整理结果（按\(a\)的降幂排列）：\(a^2 + a - 4\)。
化简求值的技巧
化简求值需先通过去括号和合并同类项将整式化简，再代入字母取值计算，可大幅减少运算量。代入时注意负数、分数需加括号，遵循运算顺序。
示例：先化简，再求值\(3(2x^2y - xy^2) - 2(3x^2y - 2xy^2)\)，其中\(x = \frac{1}{2}\)，\(y = -1\)。
解：化简得\(6x^2y - 3xy^2 - 6x^2y + 4xy^2 = xy^2\)，代入得\(\frac{1}{2} (-1)^2 = \frac{1}{2}\)。
三、易错点警示与规避
概念混淆类错误
错误表现：
将单项式的次数误认为字母的个数（如\(3x^2y\)的次数误算为\(2\)，正确为\(3\)）；
将多项式的项忽略符号（如\(x^2 - 2x + 3\)的项误写为\(x^2\)、\(2x\)、\(3\)，正确为\(x^2\)、\(-2x\)、\(3\)）；
混淆同类项的判定条件（如将\(2x^2y\)与\(3xy^2\)误认为同类项，因相同字母指数不同）。
规避方法：
牢记单项式次数是 “指数和”，多项式项数含符号；
列表对比同类项的字母和指数，确保 “双相同”。
运算符号类错误
错误表现：
去括号时 “\(-\)” 号后部分项不变号（如\(a - (b - c)\)误写成\(a - b - c\)，正确为\(a - b + c\)）；
多项式相减时未给减式加括号（如 “\(x^2 - 1\)减\(x - 2\)” 误写成\(x^2 - 1 - x - 2\)，正确为\((x^2 - 1) - (x - 2)\)）。
规避方法：
去括号前标记括号类型，“\(-\)” 号时默念 “每项变号”；
多项式加减必须加括号，明确运算边界。
合并与代入类错误
错误表现：
合并同类项时改变字母或指数（如\(2x + 3x\)误写成\(5x^2\)）；
代入求值时未化简直接计算（如代入原式\((3x^2 - 2x) - (2x^2 + x)\)，步骤繁琐易出错）；
代入负数时未加括号（如\(x = -2\)时，\(x^2\)误算为\(-4\)，正确为\((-2)^2 = 4\)）。
规避方法：
合并时强调 “字母和指数不变，仅系数相加”；
严格遵循 “先化简，再求值” 原则；
代入负数、分数时强制加括号，明确运算顺序。
四、典型例题分类解析
概念辨析题
例：下列说法正确的是（ ）
A. \(3x^2y\)的次数是\(2\) B. \(x + \frac{1}{x}\)是多项式
C. \(5\)是单项式，次数为\(0\) D. \(2x^2\)与\(3x\)是同类项
解：A 错误（次数为\(3\)）；B 错误（\(\frac{1}{x}\)是分式）；C 正确（单独的数是单项式，次数为\(0\)）；D 错误（相同字母指数不同）。答案：C。
整式化简题
例：化简\(2(a^2b - 3ab^2) - 3(a^2b - 2ab^2) + ab\)。
解：去括号得\(2a^2b - 6ab^2 - 3a^2b + 6ab^2 + ab\)，
合并同类项得\((2a^2b - 3a^2b) + (-6ab^2 + 6ab^2) + ab = -a^2b + ab\)。
化简求值题
例：先化简，再求值\((2x^2 - xy + 7) - 2(x^2 + xy - 1)\)，其中\(x = 2\)，\(y = -1\)。
解：化简得\(2x^2 - xy + 7 - 2x^2 - 2xy + 2 = -3xy + 9\)，
代入\(x = 2\)，\(y = -1\)得\(-3 2 (-1) + 9 = 6 + 9 = 15\)。
几何应用题
例：一个长方形的长为\((3x + 2y)\)，宽比长短\((x - y)\)，
（1）用含\(x\)、\(y\)的整式表示长方形的宽和周长；
（2）若\(x = 1\)，\(y = 2\)，求周长。
解：
（1）宽 = \((3x + 2y) - (x - y) = 3x + 2y - x + y = 2x + 3y\)，
周长 = \(2 [(3x + 2y) + (2x + 3y)] = 2 (5x + 5y) = 10x + 10y\)；
（2）代入得\(10 1 + 10 2 = 30\)。
实际情境题
例：某商店原有商品\(a\)件，第一天售出\(\frac{1}{3}a\)件，第二天进货\(2b\)件，第三天又售出剩下的一半，用整式表示第三天售出后剩余的商品数量。若\(a = 30\)，\(b = 5\)，求剩余数量。
解：第一天剩余\(a - \frac{1}{3}a = \frac{2}{3}a\)，
第二天剩余\(\frac{2}{3}a + 2b\)，
第三天售出\(\frac{1}{2}(\frac{2}{3}a + 2b) = \frac{1}{3}a + b\)，
剩余数量 = \((\frac{2}{3}a + 2b) - (\frac{1}{3}a + b) = \frac{1}{3}a + b\)，
代入得\(\frac{1}{3} 30 + 5 = 15\)。
五、复习总结与提升建议
知识关联与迁移：
整式的加减是 “数的加减” 到 “式的加减” 的抽象，其法则（如去括号、合并同类项）与数的运算律（分配律、交换律）一脉相承。理解这一联系，可降低学习难度，例如：合并同类项本质是分配律的逆用（\(ac + bc = (a + b)c\)）。
能力培养重点：
运算准确性：通过每日 10 分钟基础题练习，强化符号处理和系数计算能力；
逻辑规范性：按步骤书写整式加减过程，避免跳步导致的错误；
建模能力：将实际问题中的数量关系转化为整式，通过加减运算解决问题。
拓展与应用：
整式加减在密码学（字母替换加密）、编程（变量运算）、几何证明（线段和差）等领域有广泛应用。例如：用整式表示图形面积差，可快速比较大小或求解未知量。
本章的核心是通过去括号和合并同类项实现整式的化简，关键在于准确识别同类项和处理符号变化。复习时需结合概念辨析、错题整理和综合应用，确保对知识的理解从 “记忆” 上升到 “运用”，为后续代数学习奠定坚实基础。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第四章 整式的加减
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.加深本章学过的有关概念和运算法则的认识和理解.
2.理清本章的知识结构，提升本章知识运用的方法技巧.
3.进一步学会运用整式的加减表示实际问题中的数量关系.
同学们，我们学完整式的加减这章后，你的印象如何？掌握得怎么样？还有哪些不够清楚？下面我们一起来进行本章的复习和小结.
新知导入
列式表示数量关系
单项式
多项式
整式
合并同类项
去括号
整式加减运算
知识结构图
表示数或字母的积的式子叫做单项式，单项式中的数字因数叫做单项式系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做单项式次数.
知识点1
知识复习
单项式
1. 对于式子-7πx2yz，下列说法正确的是（ ）
A.它的系数为-7 B.它的次数为3
C.它的次数为5 D.它的系数为-7π
D
针对训练
2. 指出单项式 的系数和次数.
解：它的系数为 ，次数为6.
几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，次数最高项的次数叫做多项式的次数，不含字母的项叫做常数项.
知识点2
多项式和整式
1. 多项式-3x2-6xy+1的各项分别为（ ）
A. -3x2，6xy，1 B. -3x2，-6xy，1
C. -3x2，-6xy，-1 D. 3x2，6xy，1
B
针对训练
2. 若多项式(n-2) xy2+x2y|n|+1是关于x，y 的四次三项式，则n=______.
-2
所含字母相同，而且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并同类项的法则是合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变.
知识点3
合并同类项
计算：2a2-3ab+4b2-5ab-6b2.
解：原式=2a2+(-3-5) ab+(4-6)b2
=2a2-8ab-2b2.
针对训练
去括号的法则是如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同，如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
知识点4
去括号
解：原式=4x2-5xy- y2-2x2+6xy- y2- y2
=2x2+xy-y2
计算：(4x2-5xy)-( y2+2x2)+2(3xy- y2- y2)
针对训练
整式加减计算的一般步骤是如果有括号的先去括号，再合并同类项.
求整式的值的一般步骤是：先将式子化简，再代入数值进行计算.
知识点5
整式的加减
解: a2b是单项式，系数为 ，次数为3；
复习巩固
1. 下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项和次数：
1. 下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项和次数：
x2+y2-1是多项式，共有x2，y2，-1三项，次数为2;
x是单项式，系数为1，次数为1;
解: 是单项式，系数为 ， 次数为6;
3x2-y+3xy2 +x4-1是多项式，有3x2,-y, 3xy2, x4, -1五项，
次数为4；
32t3是单项式，系数为32,次数为3;
2x-y是多项式，有2x，-y两项，次数为1.
1. 下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项和次数：
2. 写出一个单项式，使它与多项式m+2n2的和为单项式.
解：-m (或-2n2).
3. 计算：
（1）x2y-3x2y
（2）
解：原式=-2x2y
原式=-a2bc
(3) (4) 5x4+3x2y-8-3x2y-x4-2
(5) 7ab-3a2b2+7+8ab2+2a2b2-3-5ab
原式=
原式=4x4-10
原式=-a2b2+8ab2+2ab+4
4. 计算：
(1) (4a3b-10b3)+(-3a2b2+10b3)
(2) (4x2y-5xy2)-(3x2y-4xy2)
解：原式= 4a3b-10b3-3a2b2+10b3
= 4a3b-3a2b2
原式= 4x2y-5xy2-3x2y+4xy2
= x2y-xy2
(3) 3(2a2+4b)+3(-5a2-2b)
(4) 3(x2-2xy)-4(2x2-xy+1)
解：原式= 6a2+12b-15a2-6b
= -9a2+6b
原式= 3x2-6xy-8x2+4xy-4
= -5x2-2xy-4
(5) 5a2-[a2+(5a2-2a)-2(a2-3a)]
(6) 3x2-[5x-( x-3)+2x2)]
解：原式= 5a2-a2-5a2+2a+2a2-6a
= a2-4a
原式= 3x2-5x+ x-3-2x2
= x2- x -3
5. 先化简，再求值：
（1）5x2+4-3x2-5x-2x2-5+6x，其中x=-3；
解：(1) 5x2+4-3x2-5x-2x2-5+6x
=(5-3-2)x2+(6-5)x+(4-5)
=x-1.
当x=-3时,原式=-3-1=-4.
（2） ，其中a=-2，b=2.
(2)
= 2a2b+ab2-3a2b+3-2ab2-1
= -a2b-ab2+2
当a=-2，b=2时，原式= -(-2)2×2-(-2)×22+2=2.
综合运用
6.（1）列式表示比a的5倍大4的数与比a的2倍小3的数，并计算这两个数的和;
(2)列式表示比b的7倍小3的数与比b的6倍大5的数，并计算这两个数的差.
解:（1）5a+4，2a-3；
(5a+4)+(2a-3)= 7a+1.
（2）7b-3，6b+5；
(7b-3)-(6b+5)=7b-3-6b-5=b-8.
7. 某轮船先顺水航行3 h，后逆水航行1.5 h，已知轮船在静水中的速度是a km/h，水流速度是b km/h，轮船共航行多少千米？
解：由3(a+b)+1.5(a-b)=3a+3b+1.5a-1.5b
=4.5a+1.5b
可知，轮船共航行(4.5a+1.5b) km.
8. 如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有颜色. 按照这样的规律，第4个图案中有多少个涂色的小正方形？第n个图案呢？
（1）
（2）
（3）
······
解：第4个图案中有17个涂色的小正方形，
第n个图案中有(4n+1)个涂色的小正方形.
拓广探索
9. 用代数式表示十位上的数字是a、个位上的数字是b的两位数，再把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，计算所得数与原数的和. 这个和能被11整除吗？
解:十位上的数字是a、个位上的数字是b的两位数是10a+b；把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置后的两位数是10b+a.
它们的和是(10a+b)+(10b+a)=11a+11b.
因为(11a+11b)÷11=a+b， a，b为自然数，
所以这两个数的和能被11整除.
解：（1）原式= 6(a+b)-(a+b)
=5(a+b)
（2）原式= 11(x+y)2-(x+y)
10. 把(a+b)和(x+y)各看成一个整体，对下列各式进行化简：
（1） 4(a+b)+2(a+b)-(a+b)；
（2） 3(x+y)2-7(x+y)+8(x+y)2+6(x+y).
考点1 单项式
1. 单项式 的系数是( )
A
A. B. 3 C. D.
返回
2.若关于，的单项式与 的系数、次数均相同，
求， 的值.
【解】因为关于，的单项式与 的系数、次数
均相同，
所以,,解得, .
返回
考点2 多项式
3. ［2025盐城期中］下列式子，， ，
中，多项式有( )
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
4.已知，均为有理数，
是关于的二次三项式，则 ___.
0
返回
考点3 整式
5.下列各式：；；； ；
；；； 中，是整式的有______
_________，是单项式的有________，是多项式的有________.
（填序号）
①②
③④⑥⑦
①②⑥
③④⑦
返回
考点4 同类项及合并同类项
6. ［2025深圳罗湖区期中］若单项式与 是
同类项，则 的值是( )
A
A. B. 0 C. 1 D. 2 025
返回
7. 下列计算不正确的是( )
A.
B.
C.
D.
D
返回
考点5 去括号
8. 在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四名同学分别做了一道运
算题，你认为做对的同学是( )
甲： ；
乙： ；
丙： ；
丁： .
C
A. 甲和丁 B. 乙和丙
C. 甲和丙 D. 乙和丁
返回
9.［2025济南市中区期中］化简:
（1） ;
【解】 原式
.
（2） .
原式
.
返回
考点6 整式的加减
10.［2024德阳］若一个多项式加上 ，结果是
，则这个多项式为 _______.
返回
11.先化简，再求值： ，其
中， .
【解】原式
.
当， 时，原式
.
返回
12. 已知 ，小明同学
错将“”看成“ ”，算得结果为
.
（1）求 ;
【解】因为 ，
所以
.
（2）求 .
.
返回
考点7 整式加减的应用
13.一个四位数的千位与个位的数字均为 ，百位与十位的数
字均为 ，这个四位数能被11整除吗？请说明理由.
【解】这个四位数能被11整除，理由如下：
.
因为 是整数，
所以这个四位数能被11整除.
返回
14. 一粥一饭当思来之不易，半丝半缕恒念
物力维艰，为了让同学们养成良好的节约习惯，学生会倡导
的勤工俭学活动效果显著，每个班级把本班的废弃试卷、书
本进行分类整理，每周把废品统一卖出，钱款用于班级日常
开支，上周七年级一、二、三班的同学通过勤工俭学活动“收
入斐然”：一班收入 元，二班收入比一班收入的2倍少80元，
三班收入比二班收入的一半多100元.
（1）用含 的式子表示三个班的上周总收入；
【解】三个班的上周总收入是
（元）.
（2）当 时，求三个班的上周总收入．
当 时，
三个班的上周总收入是 （元）.
返回
15.母题教材P105活动1 如图是2025年
9月的月历.
（1）带阴影的十字框中的5个数之和
与十字框中心的数有什么关系？
【解】带阴影的十字框中的5个数之和
是十字框中心的数的5倍.
（2）不改变十字框的大小，如果将带阴影的十字框移至其
他几个位置，你能得出什么结论？你知道为什么吗？
结论：带阴影的十字框中的5个数之和
是十字框中心的数的5倍，理由如下：
设十字框中心的数为 ,则其余4个数分
别为,,, ,所以带阴
影的十字框中的5个数之和为
所以带阴影的十字框中的5个数之和是十字框中心的数的5倍.
，
（3）这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？
【解】 这个结论对于任何一个月的月历都成立.
返回
思想1 分类讨论思想
16.若多项式是关于 的五次二项式，
求 的值.
【解】由题意知分三种情况：①当时，解得 ；
②当,为同类项时，此时 ，故多项式变为
，满足题意；③当 ,
为同类项时，此时 ，故多项式变为
，满足题意.综上所述， 或
或 .
返回
思想2 整体思想
17. 已知， ，则
的值是( )
D
A. 18 B. 19 C. 20 D. 21
返回
思想3 数形结合思想
18. 如图，在数轴上表示有理数、、、 的点的位置如
图所示，若 ，则
的值是( )
B
A. 77 B. 78 C. D.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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