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第五章 一元一次方程章末复习
一元一次方程是初中代数的基础内容，通过本章的学习，我们掌握了从实际问题中抽象出方程模型、求解方程及应用方程解决问题的完整过程。本章末复习将系统梳理一元一次方程的核心知识，巩固解题方法，提升应用能力。
一、知识体系梳理
（一）核心概念
一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程。其标准形式为\(ax + b = 0\)（\(a 0\)，\(a\)、\(b\)为常数）。
关键词：“一个未知数”“次数为 1”“整式方程”，三者缺一不可。例如：\(3x + 5 = 0\)是一元一次方程，而\(x + 2x = 1\)（次数为 2）、\(\frac{1}{x} + 3 = 0\)（不是整式）均不是。
方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。求方程解的过程叫做解方程。
检验一个数是否为方程的解：将该数代入方程两边，若两边相等，则是方程的解；否则不是。
（二）等式的性质
等式的性质是解方程的理论依据，具体内容如下：
性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
用字母表示：如果\(a = b\)，那么\(a ± c = b ± c\)。
性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。
用字母表示：如果\(a = b\)，那么\(ac = bc\)；如果\(a = b\)（\(c 0\)），那么\(\frac{a}{c} = \frac{b}{c}\)。
注意：性质 2 中 “除以同一个不为 0 的数”，除数不能为 0，否则无意义。
（三）一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤可根据方程特点灵活调整，核心步骤包括：
去分母：方程两边同乘各分母的最小公倍数，消除分母。
易错点：漏乘不含分母的项；分子是多项式时未加括号。
去括号：根据去括号法则（乘法分配律）去除括号，注意符号变化。
法则：括号前是 “+” 号，去括号后符号不变；括号前是 “-” 号，去括号后各项符号均改变。
移项：把含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，移项要变号。
依据：等式性质 1，移项本质是等式两边同时加减同一个数或式子。
合并同类项：把方程化为\(ax = b\)（\(a 0\)）的形式。
方法：同类项的系数相加，字母和指数不变。
系数化为 1：方程两边同除以未知数的系数\(a\)，得\(x = \frac{b}{a}\)。
依据：等式性质 2，确保系数\(a 0\)。
（四）实际问题与一元一次方程
列方程解决实际问题的关键是找到等量关系，常见题型及等量关系如下：
配套问题：各部件数量成比例，如 “1 个 A 配 2 个 B” 则\(B = 2A\)。
工程问题：总工作量 = 各部分工作量之和，通常设总工作量为 1，工作效率 = \(\frac{1}{ · é }\)。
销售盈亏问题：利润 = 售价 - 成本价，利润率 = \(\frac{ }{ ·} 100\%\)，售价 = 成本价 ×(1 + 利润率)。
球赛积分问题：总积分 = 胜场积分 × 胜场数 + 平场积分 × 平场数 + 负场积分 × 负场数。
方案选择问题：建立不同方案的费用表达式，通过临界点分析最优方案。
二、重点题型解析
（一）方程的解法
例 1：解方程\(\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 1}{2} = 1\)。
解：
步骤 1：去分母（公分母 6）：\(2(2x - 1) - 3(x + 1) = 6\)；
步骤 2：去括号：\(4x - 2 - 3x - 3 = 6\)；
步骤 3：移项：\(4x - 3x = 6 + 2 + 3\)；
步骤 4：合并同类项：\(x = 11\)。
（二）配套问题
例 2：某车间有 28 名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓 12 个或螺母 18 个，1 个螺栓配 2 个螺母。问：如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？
解：
设生产螺栓的工人为\(x\)名，则生产螺母的工人为\((28 - x)\)名，
等量关系：螺母数量 = 2× 螺栓数量，
列方程：\(18(28 - x) = 2 12x\)，
解得\(x = 12\)，生产螺母的工人：\(28 - 12 = 16\)名。
答：分配 12 名工人生产螺栓，16 名工人生产螺母。
（三）销售盈亏问题
例 3：某商品按标价的 8 折出售仍可获利 20%，若该商品的成本价为 100 元，求标价。
解：
设标价为\(x\)元，售价 = 0.8x，利润 = 0.8x - 100，
利润率 = 20% = \(\frac{0.8x - 100}{100}\)，
列方程：\(0.8x - 100 = 100 20\%\)，
解得\(x = 150\)元。
答：该商品的标价为 150 元。
（四）方案选择问题
例 4：某通讯公司推出两种套餐：
A 套餐：月租 30 元，流量费 1 元 / GB；
B 套餐：月租 50 元，流量费 0.5 元 / GB。
每月使用多少 GB 流量时，两种套餐费用相同？当每月使用 40GB 流量时，选择哪种套餐更省钱？
解：
设每月使用\(x\)GB 流量，
A 套餐费用：\(y_A = 30 + x\)，
B 套餐费用：\(y_B = 50 + 0.5x\)，
令\(y_A = y_B\)，即\(30 + x = 50 + 0.5x\)，解得\(x = 40\)GB。
当\(x = 40\)GB 时，费用相同；
当\(x = 40\)GB 时，\(y_A = 70\)元，\(y_B = 70\)元，费用相同。
答：每月使用 40GB 流量时费用相同；使用 40GB 流量时两种套餐费用一样。
三、易错点警示
概念混淆：误将 “代数式” 当作方程（方程必须含等号）；忽略一元一次方程中 “未知数次数为 1” 的条件。
等式性质误用：去分母时漏乘常数项；系数化为 1 时除数为 0；移项未变号。
实际问题建模错误：配套问题中比例颠倒（如 “1 配 2” 误列\(2A = B\)）；工程问题中总工作量未设为 1；销售问题中利润率计算基数错误（误用售价作基数）。
忽略实际意义：解出的未知数为负数或小数（如人数、场次为负数），未检验合理性。
四、复习建议
夯实基础：熟练掌握等式性质和方程解法，确保每一步变形都有依据。
强化建模：针对不同实际问题，总结等量关系的寻找方法，如 “关键词法”（比、多、少、倍、几分之几）。
错题反思：整理错题时标注错误原因（如漏乘、符号错误），针对性改进。
综合应用：通过多题型练习，提升从文字中抽象数学关系的能力，灵活运用方程解决复杂问题。
通过本章复习，应能熟练解一元一次方程，并能运用方程思想解决各类实际问题，为后续学习更复杂的方程和函数奠定基础。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第五章 一元一次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
本章知识结构图
实际问题
一元一次方程
实际问题的答案
一元一次方程
的解（x = m）
设未知数，
根据相等关系列方程
抽象为数学模型
一般步骤：
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化为 1
解
方
程
回归于实际问题
检验
一、方程的有关概念
1. 方程：含有未知数的等式叫作方程.
2. 一元一次方程的概念：只含有____个未知数，未知数的次数都是____，等号两边都是_______，这样的方程叫作一元一次方程.
一
1
整式
3. 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫作方程的解.
4. 解方程：求方程的解的过程叫作解方程.
二、等式的性质
等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.
如果 a = b，那么 a±____= b±c.
c
如果 a = b，那么 ac = ______；
如果 a = b，c ≠ 0，那么 _____.
等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等.
bc
三、解一元一次方程的一般步骤
去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别漏乘.
去括号：注意括号前的系数与符号.
移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，移项注意要改变符号.
合并同类项：把方程化成 ax = b（a ≠ 0）的形式.
系数化为 1：方程两边同除以 x 的系数，得 x = m 的形式.
四、实际问题与一元一次方程
1. 列方程解决实际问题的一般步骤：
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量.
设：设未知数，设其中某个未知量为 x.
列：根据题意寻找等量关系列方程.
解：解方程.
验：检验方程的解是否符合题意.
答：写出答案（包括单位）.
2. 常见的几种方程类型及等量关系：
（1）行程问题中基本量之间关系：
路程 = 速度×时间.
① 相遇问题：
全路程 = 甲走的路程 + 乙走的路程；
② 追及问题：
甲为快者，被追路程 = 甲走的路程－乙走的路程；
③ 流水行船问题：
V顺 = V静 + V水，V逆 = V静－V水.
（2）工程问题中基本量之间关系：
① 工作量 = 工作效率×工作时间；
② 合作的效率 = 工作效率之和；
③ 工作总量 = 各部分工作量之和 = 合作的工作效率×工作时间；
④ 在没有具体数值的情况下，通常把工作总量看做 1.
（3）销售问题中基本量之间关系：
① 商品利润 = 商品售价－商品进价；
② 利润率 ＝ ×100% ；
商品利润
商品进价
③ 商品售价 ＝ 标价× ；
折扣数
10
④ 商品售价 = 商品进价 + 商品利润
= 商品进价 + 商品进价×利润率
= 商品进价×（1 + 利润率）.
复习巩固
1. 列方程表示下列语句中的相等关系：
（1）某地 2023 年 9 月 10 日的温差是 4℃，这天最高气温是 t ℃，最低气温是 t ℃；
t - t = 4
（2）某校七年级学生人数为 n，其中男生占 45%，女生有 110 人；
(1 - 45%)n = 110
（3）一种商品每件进价为 a 元，售价为进价的 1.1 倍，现每件的售价又降低 10 元，现售价为每件 210 元；
1.1a - 10 = 210
（4）在 5 天中，第一小组共植树 60 棵，第二小组共植树 x(x < 60) 棵，平均每天第一小组比第二小组多植 2 棵树.
2. 指出 x = 1，x = 2，x = 3 各是下列哪个方程的解：
（1）3x - 3 = 2x； （2）0.3x - 30 = -9.7 - 20x；
（3） x - 3 = 2x - 4.
x = 3
x = 1
x = 2
3. 解下列方程：
（1） - 8x = 3 - x； （2）0.5x - 0.7 = 6.5 - 1.3x；
x = 4
（3） (3x - 6) = x - 3； （4） .
x = -20
4. 当 x 为何值时，下列各组中两个式子的值相等？
（1） 和 ； （2） 和 .
解：（1）根据题意，得 = .
因此，当 x = 7 时， 与 的值相等.
解得 x = 7 .
4. 当 x 为何值时，下列各组中两个式子的值相等？
（1） 和 ； （2） 和 .
（2）根据题意，得 = .
因此，当 x = -1 时， 与 的值相等.
解得 x = -1 .
5. 在梯形面积公式 S = (a + b)h 中，
（1）已知 S = 30，a = 6，h = 4，求 b；
（2）已知 S = 60，b = 4，h = 12，求 a；
(6 + b)×4 = 30，解得 b = 9.
(a + 4)×12 = 60，解得 a = 6.
5. 在梯形面积公式 S = (a + b)h 中，
（3）已知 S = 50，a = 6，h = a，求 h；
×(6 + ×6)·h = 50，解得 h = .
6. 李明在超市买了 4 瓶矿泉水和 2 条毛巾，共花了 22 元. 已知 1 瓶矿泉水的售价是 1.5 元，1 条毛巾的售价是多少元？
解：设 1 条毛巾的售价是 x 元.
根据题意，得 4×1.5 + 2x ＝22.
解得 x ＝ 8.
答：1 条毛巾的售价是 8 元.
综合运用
7. 在北京 2022 年冬奥会上，中国代表团共获得 15 枚奖牌，其中金牌数比银牌数多5 枚，银牌数比铜牌数多 2 枚. 中国代表团一共获得多少枚金牌？
解：设中国代表团一共获得 x 枚金牌.
根据题意，得 x + x -5 + x – 5 - 2 = 15.
解得 x ＝ 9.
答：中国代表团一共获得 9 枚金牌.
8.（我国古代问题）跑得快的马每天走 240 里，跑得慢的马每天走 150 里. 慢马先走 12 天，快马几天可以追上慢马？
解：设快马 x 天可以追上慢马.
根据题意，得 240x ＝ 150(12 + x).
解得 x ＝ 20.
答：快马 20 天可以追上慢马.
9. 某人年初购买了 A，B 两只基金共 20000 元，年底卖出后发现两只基金的实际收益恰好相等，且实际收益率分别为 4.4% 和 3.6%. A，B 两只基金各购买了多少元？
解：设王先生买 A 基金花了 x 元.
根据题意，得 4.4%x ＝ 3.6％ (20000 - x).
解得 x ＝ 9000. 所以20000 - x＝ 11000.
答:王先生买 A 基金花了9000元，买 B 基金花了11000元.
10. 李明和刘伟在 600 m 环形跑道上跑步. 李明平均每分钟跑 190 m，刘伟平均每分钟跑 210 m. 两人从同一处同时反向出发，经过多长时间首次相遇？又经过多长时间再次相遇？
解：设经过 t min 两人首次相遇.
根据题意，得 (190 + 210)t ＝ 600.
解得 t ＝ 1.5.
答:经过1.5 min 两人首次相遇，又经过1.5 min 两人再次相遇.
11. 有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住 6 只鸽子，则剩余 3 只鸽子无鸽笼可住；如果再飞来
5 只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住 8 只鸽子. 原来有多少只鸽子和多少个鸽笼？
解：设原来有 x 只鸽子.
根据题意，得
解得 x ＝ 27. 所以 .
答：原来有 27 只鸽子，4 个鸽笼.
12. 父亲和女儿现在的年龄之和是 91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的 2 倍时，女儿的年龄是父亲现在年龄的 . 求女儿现在的年龄.
解：设女儿现在的年龄是 x 岁，
则父亲现在的年龄是(91-x)岁.
根据题意，得 91 - x - 2x = x - (91 - x) .
解得 x ＝ 28.
答：女儿现在的年龄是 28 岁.
拓广探索
13. 学校组织知识竞赛，共设 20 道选择题，各题分值相同，每题必答. 下表记录了 5 名参赛同学的得分情况.
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 19 1 94
C 18 2 88
D 14 6 64
E 10 10 40
（1）同学 F 得了 76 分，他答对了几道题？
（2）同学 G 说他得了 80 分，你认为可能吗？为什么？
解:由同学 A 知，答对一题得 5 分，再由同学 B 知，答错一题扣 1 分.
（1）设同学 F 答对了 x 道题.
根据题意，得 5x - (20 - x) ＝ 76.
解得 x ＝16.
答：同学 F 答对了 16 道题.
（2）不可能.理由:
设同学 G 答对了 y 道题.
根据题意，得 5y - (20 - y)＝ 80.
解得 y ＝ .
因为 y 的值应是整数，故原方程的解不符合题意.
所以同学 G 不可能得了 80 分.
14. 一家游泳馆每年 6 月- 8 月出售夏季会员证. 每张会员证
120 元，只限本人使用，凭会员证购入场券每张 15 元，不凭
会员证购入场券每张 20 元. 讨论并回答下列问题:
（1）在什么情况下，使用会员证与不使用会员证付一样的钱？
（2）在什么情况下，使用会员证比不使用会员证更合算？
（3）在什么情况下，不使用会员证比使用会员证更合算？
解:（1）设去游泳馆 x 次时，购会员证与不购会员证付一样的钱.
根据题意，得 120 + 15x ＝ 20x.
解得 x＝24.
答:在去游泳馆的次数为 24 的情况下，购会员证与不购会员证付一样的钱.
（2）在去游泳馆的次数多于 24 的情况下，购会员证比不购会员证更合算.
（3）在去游泳馆的次数少于 24 的情况下，不购会员证比购会员证更合算.
15. “丰收 1 号”油菜籽平均每公顷的产量为 2400 kg，含油率为 40%.“丰收 2 号”油菜籽比“丰收 1 号”平均每公顷的产量提高了 300 kg，含油率提高了 10 个百分点. 某村去年种植“丰收 1 号”油菜，今年改种“丰收 2 号”油菜，虽然种植面积比去年减少了 3 hm2，但是所产油菜籽的总产油量比去年提高了
3 750 kg. 这个村去年和今年油菜的种植面积各是多少公顷？
解：设这个村去年油菜的种植面积是 x hm2，则今年油菜的种植面积是 (x-3) hm2 .
根据题意，得 2400x×40％ + 3750 ＝ (2400 + 300)(x-3) ×(10％ + 40％ ).
解得 x＝ 20. 所以 x -3 ＝ 17.
答：这个村去年和今年油菜的种植面积各是 20 hm2 和 17 hm2.
考点1 方程及方程的解
1. 下列选项中，是方程的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
2.［2025南京校级月考］小明同学在解关于 的方程
时，把 处的数字看错了，解得 ，则
该同学把 看成了___.
7
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考点2 一元一次方程
3. 下列方程中，是一元一次方程的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
4. 方程是关于 的一元一次方程，则
( )
B
A. 2 B. C. D.
返回
考点3 等式的性质
5. 下列等式变形正确的是( )
D
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
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6. 若等式可以变形为 ，则下列结
论一定成立的是( )
C
A. B. ， 互为倒数
C. D.
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考点4 一元一次方程的解法
7.解下列方程：
（1） ；
【解】去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
（2） ；
去分母，得 .
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
（3） ；
去分母，得
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
（4） .
原方程可化为 .
去分母，得 .
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
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考点5 一元一次方程的应用
8. 某动物园利用
杠杆原理 称象.如
图，在点 处挂一根质地均匀且
足够长的钢梁（呈水平状态），
将装有大象的铁笼和弹簧秤
（秤的重力忽略不计）分别悬挂在
钢梁的点， 处，当钢梁保持水平
时，弹簧秤读数为 .设大象的重量
为 ，若铁笼固定不动，移动弹簧
秤使 扩大到原来的10倍，且钢梁
保持水平，则弹簧秤读数为___
（用含 的代数式表示）.
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9.第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市
举行，而有着少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物盲盒颇受
大众关注.现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为, 两种包装，
该工厂共有1 000名工人.
（1）若该工厂生产盲盒的人数比生产盲盒 的人数的2倍少
200人，请求出生产盲盒 的工人人数；
【解】设生产盲盒的工人人数为人，则生产盲盒 的工人
人数为 人，
由题意，得 ，
解得 .
答：生产盲盒 的工人人数为400人.
（2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼
包由2个盲盒和3个盲盒 组成.已知每名工人平均每天可以
生产20个盲盒或10个盲盒 ，且每天只能生产一种包装的盲
盒.该工厂应该安排多少名工人生产盲盒 ，多少名工人生产
盲盒 才能使每天生产的盲盒正好配套？
设安排人生产盲盒，则安排人生产盲盒 ，
由题意得 ，
解得 .
所以 （人）.
答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒 ，750名工人生产
盲盒 才能使每天生产的盲盒正好配套.
返回
思想1 整体思想
10.若是关于的方程的解，则
的值为___.
7
11.关于的方程的解是 ，现给出另
一个关于的方程 ，
则它的解是 _______.
【解析】因为关于的方程的解是 ，
所以方程 的解满足
,所以 .
2 025
返回
思想2 分类讨论思想
12.解关于的方程： .
【解】把方程 变形，
得 .
分三种情况：
（1）当，即 时，方程只有一个解，为
；
（2）当，，即， 时，方程
有无数个解；
（3）当，，即， 时，方程
无解.
本题求方程的解，对形如“ ”的方程化简时，应
根据， 的取值讨论解的情况，体现了分类讨论思想的运用.
. .
返回
思想3 数形结合思想
13.［2025驻马店期中］已知代数式
是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上， 两点
所对应的数分别是和 （如图）.
（1）____， ___;
6
（2）有一动点从点 出发第一次向左运动1个单位长度，然
后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第
三次向左运动3个单位长度, ，按照如此规律不断地左右运
动，当运动到第2 025次时，点 所对应的数为________;
【解析】依题意知，点 第一次运动后对应的数为
，第二次运动后对应的数为 ，
第三次运动后对应的数为, ,则第
2 025次运动
后对应的数为
（3）若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点
以每秒3个单位长度的速度向右运动，动点 从原点开始以每
秒 个单位长度的速度向左运动.在运动过程中，
的值始终保持不变，求 的值.
【解】设运动时间为秒,则运动后点对应的数为 ，
点对应的数为，点对应的数为 ,
所以， ，
所以 .
因为 的值始终固定，
所以，所以 .
故当的值始终固定时，的值为 .
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选做作业：完成练习册本课时的习题.
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