资源简介

(共47张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：第一章 有理数 章末复习
副标题：构建知识体系 提升综合运用能力
背景图：以有理数知识网络为背景，中心为 “有理数”，向外辐射出概念、数轴、运算、应用等分支，各分支用不同颜色标注核心知识点，体现知识的关联性与系统性
幻灯片 2：目录
本章知识结构梳理
核心知识点回顾
有理数的概念与分类
数轴、相反数与绝对值
有理数的大小比较
有理数的四则运算
有理数的混合运算
典型例题解析
易错点汇总与规避技巧
综合练习巩固
章末总结与提升建议
幻灯片 3：本章知识结构梳理
知识框架图：
有理数
├─ 有理数的基本概念
│ ├─ 正数与负数（相反意义的量）
│ ├─ 有理数的定义（整数+分数）
│ └─ 有理数的分类（按结构/按正负）
├─ 有理数的表示工具
│ ├─ 数轴（三要素：原点、正方向、单位长度）
│ ├─ 相反数（只有符号不同的两个数，a的相反数是-a）
│ └─ 绝对值（数轴上点到原点的距离，|a|≥0）
├─ 有理数的大小比较
│ ├─ 数轴比较法（右边的数>左边的数）
│ └─ 法则比较法（正数>0>负数；负数看绝对值）
└─ 有理数的运算
├─ 加减法（同号/异号法则，减法转化为加法）
├─ 乘除法（同号得正、异号得负，除法转化为乘法）
├─ 乘方（求n个相同因数的积，符号法则）
└─ 混合运算（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号）
学习目标：
理解有理数的概念，掌握有理数的分类方法。
熟练运用数轴、相反数、绝对值的概念解决问题。
能准确比较有理数的大小。
掌握有理数的四则运算及混合运算规则，确保计算准确。
运用有理数知识解决简单的实际问题。
幻灯片 4：核心知识点回顾 —— 有理数的概念与分类
正数与负数：
正数：大于 0 的数（可带 “+” 号，如 + 5、3）。
负数：在正数前加 “-” 号的数（如 - 3、-0.5）。
0 的特殊性：既不是正数也不是负数，是正负数的分界点。
应用：表示相反意义的量（如收入 + 200 元与支出 - 150 元）。
有理数的定义：
整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称为有理数。
有限小数和无限循环小数属于分数，因此是有理数。
分类方式：
按结构分类：
有理数{整数{正整数、0、负整数}；分数{正分数、负分数}}
按正负分类：
有理数{正有理数{正整数、正分数}；0；负有理数{负整数、负分数}}
易错点：混淆有理数与无理数（如\( \)是无理数，不属于有理数）；忽略 0 在分类中的特殊性。
幻灯片 5：核心知识点回顾 —— 数轴、相反数与绝对值
数轴：
三要素：原点、正方向（通常向右）、单位长度（统一）。
作用：直观表示有理数（任何有理数都可在数轴上找到对应点）；比较大小（右边的数 > 左边的数）。
示例：在数轴上表示 - 2、0、3.5：
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼───→
↑ ↑ ↑
相反数：
定义：只有符号不同的两个数互为相反数（如 3 与 - 3）。
性质：互为相反数的两数和为 0（\(a + (-a) = 0\)）；在数轴上关于原点对称。
表示：数\(a\)的相反数是\(-a\)（如 - 5 的相反数是 5）。
绝对值：
定义：数轴上表示数\(a\)的点到原点的距离，记作\(|a|\)。
性质：
非负性：\(|a| 0\)。
正数的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数，0 的绝对值是 0。
互为相反数的两数绝对值相等（\(|a| = |-a|\)）。
计算：\(|5| = 5\)，\(|-3.2| = 3.2\)，\(|0| = 0\)。
幻灯片 6：核心知识点回顾 —— 有理数的大小比较
比较方法：
数轴法：在数轴上标出数的位置，右边的数总比左边的数大。
法则法：
正数 > 0 > 负数（正数大于一切负数）。
两个正数比较：绝对值大的数大（如 5 > 3）。
两个负数比较：绝对值大的反而小（如 - 2 > -5，因 |-2| < |-5|）。
步骤示例：比较 - 4、2、-1.5、0 的大小：
数轴标注→位置排序：-4 < -1.5 < 0 < 2。
法则验证：负数（-4、-1.5）<0 < 正数（2）；负数中 |-4|> |-1.5|→-4 < -1.5。
常见场景：温度高低、海拔高低、财务盈亏等实际问题的比较。
幻灯片 7：核心知识点回顾 —— 有理数的四则运算
加法法则：
同号：取相同符号，绝对值相加（如\(3 + 5 = 8\)，\(-3 + (-5) = -8\)）。
异号：取绝对值大的符号，用大绝对值减小绝对值（如\(3 + (-5) = -2\)，\(-3 + 5 = 2\)）。
与 0 相加：仍得原数（如\(a + 0 = a\)）。
减法法则：
减去一个数等于加这个数的相反数（\(a - b = a + (-b)\)）。
示例：\(5 - 8 = 5 + (-8) = -3\)；\(-3 - (-5) = -3 + 5 = 2\)。
乘法法则：
同号得正，异号得负，绝对值相乘（如\(3 5 = 15\)，\(-3 (-5) = 15\)，\(-3 5 = -15\)）。
任何数乘 0 得 0；多个非 0 数相乘，负因数个数为偶得正，奇得负。
除法法则：
除以一个数等于乘这个数的倒数（\(a ·b = a \frac{1}{b}\)，\(b 0\)）。
同号得正，异号得负，绝对值相除（如\(15 ·3 = 5\)，\(-15 ·(-3) = 5\)，\(15 ·(-3) = -5\)）。
0 除以非 0 数得 0，0 不能作除数。
幻灯片 8：核心知识点回顾 —— 有理数的混合运算
运算顺序：
先算乘方，再算乘除，最后算加减。
同级运算（加减或乘除）从左到右依次进行。
有括号的先算括号内（小括号→中括号→大括号）。
乘方运算：
定义：\(a^n\)表示 n 个 a 相乘（如\(2^3 = 2 2 2 = 8\)，\((-2)^3 = -8\)）。
符号法则：正数的任何次幂为正；负数的偶次幂为正，奇次幂为负。
示例：计算\(-2^2 + (-3) [(-4)^2 + 2] - (-3)^2 ·(-2)\)
步骤：
乘方：\(-4 + (-3) [16 + 2] - 9 ·(-2)\)
括号：\(-4 + (-3) 18 - (-4.5)\)
乘除：\(-4 - 54 + 4.5\)
加减：\(-53.5\)
技巧：运算前标注运算顺序，分步计算，避免跳步出错。
幻灯片 9：典型例题解析
例 1：概念辨析与分类：
问题：下列各数中，哪些是有理数？哪些是整数？哪些是负数？
\(3.14\)，\(-5\)，\(0\)，\( \)，\(-\frac{2}{3}\)，\(10\%\)，\(-0.\dot{3}\)
解析：
有理数：\(3.14\)，\(-5\)，\(0\)，\(-\frac{2}{3}\)，\(10\%\)，\(-0.\dot{3}\)（排除\( \)）。
整数：\(-5\)，\(0\)。
负数：\(-5\)，\(-\frac{2}{3}\)，\(-0.\dot{3}\)。
例 2：数轴与绝对值综合：
问题：已知数轴上点 A 表示 - 3，点 B 表示 5，求：
（1）A、B 两点之间的距离；（2）在数轴上与点 A 距离为 4 的点表示的数。
解析：
（1）距离 = \(|5 - (-3)| = |8| = 8\)。
（2）设该点为 x，则\(|x - (-3)| = 4 x + 3 = ±4 x = 1\)或\(x = -7\)。
例 3：有理数混合运算：
问题：计算\((-2)^3 (-1)^4 - |-12| ·[-(-\frac{1}{2})^2]\)
解析：
乘方：\(-8 1 - 12 ·(-\frac{1}{4})\)
乘除：\(-8 - 12 (-4) = -8 + 48\)
加减：\(40\)。
例 4：实际应用：
问题：某超市一周盈利情况如下（盈利为正）：+500 元，-200 元，+1000 元，-300 元，+600 元。求这周总盈利。
解析：总盈利 = \(500 + (-200) + 1000 + (-300) + 600 = 1600\)元。
幻灯片 10：易错点汇总与规避技巧
概念类易错点：
误认为 0 是正数或负数，或忽略 0 的存在（0 是中性数）。
混淆相反数与倒数（相反数和为 0，倒数积为 1）。
绝对值化简错误（如\(|-a| = a\)，忽略 a 为负数的情况）。
规避：紧扣定义，通过数轴和实例加深理解，特别关注 0 和负数的特殊性。
运算类易错点：
符号错误：异号相加 / 乘除时符号判断错误（如\(-3 + (-5) = 2\)）。
运算顺序错误：先算加减后算乘除，或忽略括号优先性。
乘方符号错误：\(-2^2\)与\((-2)^2\)混淆（前者 =-4，后者 = 4）。
减法转化错误：\(a - b\)误写成\(b - a\)（正确：\(a - b = a + (-b)\)）。
规避：牢记运算法则，标注运算顺序，符号单独判断，复杂运算分步进行。
应用类易错点：
实际问题中正负意义混淆（如将支出记为正）。
单位不统一或等量关系错误。
规避：先明确正负所表示的意义，统一单位，通过关键词提炼等量关系。
幻灯片 11：综合练习巩固
基础题：
把下列各数填入对应集合：\(-3\)，\(0.5\)，\(0\)，\(-\frac{1}{3}\)，\(5\)，\(-2.1\)
整数集合：{…} 负数集合：{…}
计算：\(-1^4 - (1 - 0.5) \frac{1}{3} [2 - (-3)^2]\)
比较大小：\(-\frac{5}{6}\)\(-\frac{4}{5}\)；\(-| -2 |\)\(-(-2)\)。
提升题：
4. 已知\(|a| = 5\)，\(|b| = 3\)，且\(a < b\)，求\(a + b\)的值。
5. 点 A 在数轴上表示的数为 - 2，将点 A 向右移动 5 个单位长度后再向左移动 3 个单位长度，此时点 A 表示的数是多少？
综合题：
6. 某班 10 名同学的数学成绩与平均分的差值如下（高于平均分为正）：+5，-3，0，+8，-2，+7，-1，-4，+6，+2。求这 10 名同学的总分比平均分总分高多少分？
幻灯片 12：章末总结与提升建议
知识总结：
本章以有理数的概念为基础，通过数轴实现数形结合，借助相反数和绝对值深化数的性质，核心是有理数的运算（加减乘除、乘方及混合运算）。
关键思想：数形结合（数轴的应用）、转化思想（减法→加法，除法→乘法）、分类讨论（正负分类、运算符号判断）。
提升建议：
夯实基础：熟练掌握有理数的概念、性质及运算法则，确保基础题零失误。
强化运算：每天进行 10 分钟计算练习，注重符号和顺序，养成分步书写习惯。
错题整理：针对易错点建立错题本，标注错误原因，定期复盘。
实际应用：结合生活场景理解有理数意义，提高用数学解决问题的能力。
寄语：有理数是初中数学的基础，其运算能力直接影响后续学习。通过系统复习和针对性练习，做到概念清晰、运算准确、应用灵活，为数学学习打下坚实基础。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第一章 有理数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
知识结构图
正数和负数
有理数
数轴
数与点的对应
相反数
绝对值
有理数的大小比较
1. 正数和负数
大于 0 的数叫作正数，在正数前加上符号“-”的数叫作负数.
表示具有相反意义的量
0 既不是正数，也不是负数.
2. 有理数的概念及分类
概念：可以写成分数形式的数称为有理数.
分类：正有理数、0、负有理数.
可以写成正分数形式的数
可以写成负分数形式的数
3. 有理数的有关概念
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
数轴概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.
正半轴、负半轴：原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴.
相反数：只有符号不同的两个数，互为相反数，0 的相反数是 0.
在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数.
绝对值：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫作数 a 的绝对值，记作 | a |.
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0.
4. 有理数的大小比较
利用数轴比较：数轴上两个点表示的数，左边的数小于右边的数.
利用正负性比较：正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数.
利用绝对值比较：两个负数，绝对值大的反而小.
1. 填空题.
(1) 如果温度上升 3 ℃记作 +3 ℃，那么下降 2 ℃记作 ℃;
(2) 如果收入用正数表示，支出用负数表示，
那么 -56 元表示 元.
答案：(1) -2； (2)支出 56.
2. 在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序排列，再用“< ”连接起来:
3，-4，0，2，-2，-1.
3
-2
0
-4
2
-1
-4＜-2＜-1＜0＜2＜3
解：如图所示：
3.分别写出 -2，-5，7.5 的相反数和绝对值.
解：相反数分别为：2，5，-7.5；
绝对值分别为：2，5，7.5
4. 比较下列各组数的大小:
(1) +(-3) 和 -(-4)； (2) -(-2) 和 -| +2 |;
(3) +| -3 |和 |-(+5)|；
(4) 和 .
解：(1) 因为 + (-3) = -3，-(-4) = 4，
所以 -3 < 4，即 +(-3) < -(-4).
(2) 因为 -(-2) = 2，-|+2| = -2
所以 2 > -2，即 -(-2) > -|+2|.
4. 比较下列各组数的大小:
(3) +| -3 |和 |-(+5)|；
(4) 和 .
(3)因为 +| -3 | = 3，| -(+5) | = 5，
所以 3 < 5，即 +| -3 | < |- (+5) |.
(4)因为
所以 ，即
5. 下表是某公司某年四个季度的盈利情况，把它们按从高到低的顺序排列.
时间 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
盈利/万元 －6.8 －10.7 31.5 27.8
解：31.5＞27.8＞－6.8＞－10.7.
答：所给增幅中 –9.6% 最小．
增幅是负数说明人均水资源是减少的．
6.某年我国人均水资源比上年的增幅是一5.6%.后续三年各年比上
年的增幅分是－4.0%，13.0%，－9.6%，这些增幅中哪个最小？
增幅是负数说明什么？
解：x 可能取的所有数值在数轴上表示如图所示：
7.已知x是整数,并且﹣3所有数值.
8.a,b是有理数,它们在数轴上的对应点的位置如图所
示,把a,－a,b,－b按照从小到大的顺序排列,正确的
是( )
(A)－b<－a(C)－bC
解：(1) +5，+0.7 表示超过标准的质量的克数分别为 5 克，0.7克；
–3.5，-2.5，-0.6 表示低于标准的质量的克数分别为 3.5 克，2.5 克，0.6 克.
9.如图，检测 5 个排球,其中超过标准质量的克数记为正数.
从轻重的角度看，哪个球最接近标准？
(1) +5，-3.5， +0.7，- 2.5，-0.6 各表示什么
(2) 因为 |–0.6|＜|+0.7|＜|–2.5|＜|–3.5|＜|+5|，
所以最右边的球最接近标准．
9. 如图，检测5个排球,其中超过标准的克数记为正数.
从轻重的角度看，哪个球最接近标准？
(2) 哪个球的质量最接近标准质量 请说明理由.
答：（1）–1 与 0 之间还有负数，如 –0.5； 0 与 1 之间没有负数，因为 0 与 1之间的数都大于0．
（2）–3 与 –1 之间还有负整数 –2，–2 与 2 之间有整数 –1，0，1.
（3）没有． （4）例如：–102，–101，–101.5（答案不唯一）.
10.(1)－1与0之间还有负数吗？0与 1 之间呢？如有,请举例.
如果没有请说明理由
(2)-3与－1之间有负整数吗？－2与2之间有哪些整数？
(3)有比－1大的负整数吗？
(4)写出3个小于－100并且大于－103的数.
答：当 |x| = 2 时，x 不一定是 2（还可以是 –2）；
如果 |x| = 0，那么 x = 0；
如果 x = –x，那么 x = 0．
11.如果|x|=2,那么x一定是2吗？如果|x|=0,那么x等于几？
如果x=－x，那么x等于几？
［时间：60分钟 分值：100分］
一、选择题（每题4分，共32分）
1. 2025年4月24日17时17分，搭载神舟二
十号载人飞船的长征二号 遥二十运载火箭在酒泉卫星发射
中心点火发射.若火箭发射点火前5秒记为 秒，那么火箭发
射点火后10秒应记为( )
A
A. 秒 B. 秒
C. 秒 D. 秒
返回
2. 下列对“0”的说法正确的个数是( )
是正数与负数的分界；
只表示“什么也没有”；
可以表示特定的意义，如 ；
是正数.
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
3. 下列有理数：，，，，0，， ，
，6， ，其中非负有理数有( )
D
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
返回
4. 下列各组数：与，与，与 ，
与12，与 ，其中互为相反数的有( )
D
A. 0组 B. 1组 C. 2组 D. 3组
返回
5. 凝固点是晶体物质凝固时的温度，标
准大气压下，下列选项中凝固点最低的是( )
B
A. 铝 B. 酒精
C. 水银 D. 水
返回
6. 母题教材P22复习题 有理数， 在数轴上的对应点如
图所示，则下列结论正确的是( )
A
A. B.
C. D.
【点拨】因为，所以 .
返回
7. 地球自西向东自转，太阳在天空中的位置看起来从东往西
移动，东边的地区会更早看到太阳升起，时间更早，西边相
对较晚.比如日本比中国更靠东，所以北京时间为早上6时时，
东京已经是早上7时了.如图用数轴表示了五个国家首都的国
际标准时间（单位：时）,春节联欢晚会于北京时间2025年1
月28日20时开场，此时应是( )
A. 华盛顿时间2025年1月28日15时
B. 伦敦时间2025年1月29日4时
C. 巴黎时间2025年1月28日13时
D. 东京时间2025年1月29日5时
√
返回
8. 如图，周长为6个单位长度的圆上的六等
分点分别为，，，，，，点 落在1的位置.如果将圆
在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在 位置上的是点
( )
D
A. B. C. D.
【点拨】由图可知，滚动1周，
点对应的数是0，点 对应的
数是，点对应的数是 ，
点对应的数是，点对应的数为，点对应的数为 ，
继续滚动，点对应的数为，点对应的数为， .
因为 与1相距2 026个单位长度，
，所以落在位置上的是点 .故
选D.
返回
二、填空题（每题4分，共20分）
9.某种零件，标明要求是 表示直径，单位：
，经检查，一个零件的直径是 ，该零件_______
___（填“合格”或“不合格”）.
不合格
返回
10.下列四组有理数的比较大小：
；； ；
.
正确的是______（填序号）.
③④
返回
11.已知有理数，，，且 ，则化简
______.
返回
12.如图所示，点，，为数轴上三点，且当 为原点时，
点表示的数是2，点表示的数是5.若以点为原点，则点
表示的数是____，点表示的数是___；若点， 表示的两个
数互为相反数，则点 表示的数是______.
3
【点拨】由题意可知，，所以 ，所以以
点为原点时，点表示的数是，点 表示的数是3.若点
，表示的两个数互为相反数，则的中点设为 为原点，
所以，所以.易知点 在
点的右边，所以点表示的数是 .
返回
13. 在数轴上，点表示的数是，点 表示
的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上点
的相关点为点，点的相关点为点，点 的相关点为点
，这样依次得到点，，，， ，.若点
在数轴表示的数是，则点 在数轴上表示的数是____.
返回
三、解答题（共48分）
14.（12分）把下列各数填在相应的集合里：
，，6，0，，2，，， .
整数集合：{ ， ；
正数集合：{ ， ；
非负整数集合：{ ， .
【解】整数集合：，6，0，2，， ；
正数集合：，6，，2，， ；
非负整数集合：，0，2， .
返回
15.（12分） 小琼和小凤都十分喜欢唱歌，她
们两个一起参加社区的文艺汇演，在汇演前，主持人让她们
自己确定一个出场顺序，可她们两个争着先出场，最后，主
持人想了一个主意，如图所示.
【解】，，的绝对值是 ，
，0的相反数是0.
将化简后的数在数轴上表示出来如图所示：
.
返回
16.（12分）已知,满足,且, 为整数.
（1）直接写出, 的最大值；
【解】因为,且,为整数，所以的最大值为3,
的最大值为4.
（2）当,为何值时， 有最小值
因为,所以当时，最小.因为,所以 的最
小值为.所以当,时， 有最小值.
返回
17.（12分）某中学开展“读经典书，做儒雅人”活动，活动中
某班流动图书角平均每天借出图书10本.如果某天借出13本，
就记作本；如果某天借出6本，就记作 本.国庆节前一周
（星期一到星期五）该班流动图书角借出的图书记录如下：
（单位：本）
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
0
（1）该班流动图书角星期五借出图书多少本？
【解】 （本）.
答：该班流动图书角星期五借出图书23本.
（2）该班流动图书角星期二比星期四多借出图书多少本？
星期二借出图书 （本），星期四借出图书
（本）, （本）.
答：该班流动图书角星期二比星期四多借出图书10本.
（3）本周该班流动图书角平均每天借出图书多少本？
星期一借出图书10本，星期三借出图书 （本），
一共借出图书 （本），
（本）.
答：本周该班流动图书角平均每天借出图书15本.
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必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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