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第六章 几何图形初步 章末复习
几何图形是数学世界中最直观的组成部分，第六章 “几何图形初步” 为我们打开了认识空间与平面的大门。本章从生活中的立体图形入手，逐步深入到平面图形的基本元素（点、线、面、体），再到直线、射线、线段的性质与运算，最终聚焦于角的概念、比较、运算及特殊关系（余角和补角）。通过本章的复习，我们将系统梳理知识脉络，强化知识间的联系，提升几何直观与逻辑推理能力。
一、知识框架梳理
（一）核心知识脉络
（二）关键知识点定位
基础层：立体图形与平面图形的转化（视图、展开图）、点线面体的关系。
工具层：直线、射线、线段的性质与运算，角的度量与运算。
应用层：利用几何知识解决实际问题（如场地设计、距离计算）。
二、重点知识回顾
（一）立体图形与平面图形
立体图形的认识
常见立体图形：正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等，它们由面围成，面分为平面和曲面。
从不同方向看立体图形：从正面、左面、上面观察立体图形，得到的平面图形称为主视图、左视图、俯视图（三视图），可帮助还原立体图形的形状。
立体图形的展开图：将立体图形沿棱剪开后平铺的平面图形，不同立体图形的展开图具有特殊性（如正方体有 11 种展开图，圆柱展开图为 “2 圆 + 1 长方形”）。
转化关系：立体图形通过视图或展开图转化为平面图形，平面图形通过折叠或想象转化为立体图形，体现 “立体→平面→立体” 的辩证关系。
（二）点、线、面、体
概念
点：无大小，表示位置；线：有长度，无宽度，分直线、射线、线段；面：有长度和宽度，无高度，分平面和曲面；体：由面围成，有空间大小。
核心关系：点动成线，线动成面，面动成体。
实例：笔尖（点）移动成线段（线），汽车雨刷（线）摆动成扇形面（面），长方形纸片（面）旋转成圆柱（体）。
（三）直线、射线、线段
概念与表示
名称
端点数量
延伸性
表示方法
直线
0 个
向两端无限延伸
直线\(AB\)或直线\(l\)
射线
1 个
向一端无限延伸
射线\(OA\)（端点在前）
线段
2 个
不能延伸
线段\(AB\)或线段\(a\)
重要性质
直线：两点确定一条直线（经过两点有且只有一条直线）。
线段：两点之间，线段最短（两点间的距离是线段的长度）。
线段的比较与运算
比较方法：度量法（测长度）、叠合法（重合端点与一边，看另一边位置）。
运算：和（\(AB + BC = AC\)）、差（\(AC - AB = BC\)）、倍分（中点：\(AM = MB = \frac{1}{2}AB\)）。
（四）角
概念与表示
静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形（顶点、边）。
动态定义：射线绕端点旋转形成的图形（始边、终边）。
表示方法：\(\angle AOB\)（顶点在中）、\(\angle O\)（单顶点）、\(\angle 1\)（数字）、\(\angle \alpha\)（希腊字母）。
角的度量与比较
单位：度（\(^\circ\)）、分（\('\)）、秒（\(''\)），\(1^\circ = 60'\)，\(1' = 60''\)。
比较方法：度量法（测度数）、叠合法（重合顶点与一边，看另一边位置）。
角的运算
和差：\(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC\)，\(\angle BOC = \angle AOC - \angle AOB\)。
倍分：角平分线（\(OC\)平分\(\angle AOB\)则\(\angle AOC = \angle COB = \frac{1}{2}\angle AOB\)）。
余角和补角
定义：若\(\angle \alpha + \angle \beta = 90^\circ\)，则互余；若\(\angle \alpha + \angle \beta = 180^\circ\)，则互补。
性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。
三、难点突破与易错点辨析
（一）难点突破
立体图形与展开图的对应
技巧：记住特殊立体图形的展开图特征（如正方体展开图无 “田”“凹” 形），通过动手折叠建立空间想象。
示例：圆柱展开图中，长方形的长 = 底面圆周长，宽 = 圆柱的高。
线段与角的动态问题
关键：明确动点或旋转过程中的不变量（如线段中点、角平分线），用代数式表示变化量。
示例：点\(M\)在线段\(AB\)上运动，若\(AB = 10cm\)，则\(AM + MB = 10cm\)恒成立。
余角与补角的综合计算
方法：设未知数表示角的度数，根据互余或互补关系列方程（如 “一个角的补角比余角大\(90^\circ\)”）。
（二）易错点辨析
概念混淆
射线与线段的延伸性：射线不能延长（本身无限长），但可反向延长；线段可延长。
角的边的性质：角的边是射线，无长度，角的大小与边的长短无关。
表示方法错误
射线表示时端点字母必须在前（如射线\(OA \neq\)射线\(AO\)）。
多角共顶点时，不能用单字母表示角（如顶点\(O\)有\(\angle AOB\)和\(\angle AOC\)，不能说\(\angle O\)）。
单位换算错误
度分秒是六十进制，如\(1.5^\circ = 90'\)，而非\(1^\circ 50'\)；\(30' = 0.5^\circ\)。
逻辑遗漏
线段上点的位置不确定时需分类讨论（如点\(C\)在直线\(AB\)上，可能在线段上或延长线上）。
四、知识应用与实践拓展
（一）实际应用场景
建筑与设计：利用三视图绘制建筑图纸，通过展开图计算包装材料面积（如本章实践中的田径场设计，用到线段测量、角度控制、图形组合）。
测量与导航：用 “两点确定一条直线” 校准路线，用 “两点之间线段最短” 规划路径。
钟表问题：计算时针与分针的夹角（分针每分钟转\(6^\circ\)，时针每小时转\(30^\circ\)）。
（二）典型例题解析
例 1：已知线段\(AB = 8cm\)，点\(C\)是\(AB\)的中点，点\(D\)在直线\(AB\)上，且\(BD = 3cm\)，求线段\(CD\)的长度。
解：
当点\(D\)在线段\(AB\)上时：\(AC = CB = \frac{1}{2}AB = 4cm\)，\(CD = CB - BD = 4 - 3 = 1cm\)。
当点\(D\)在线段\(AB\)的延长线上时：\(CD = CB + BD = 4 + 3 = 7cm\)。
答：\(CD\)的长度为\(1cm\)或\(7cm\)（分类讨论点的位置）。
例 2：一个角的余角比它的补角的\(\frac{1}{3}\)还小\(10^\circ\)，求这个角的度数。
解：
设这个角为\(x\)，则余角为\(90^\circ - x\)，补角为\(180^\circ - x\)。
列方程：\(90^\circ - x = \frac{1}{3}(180^\circ - x) - 10^\circ\)，
解得\(x = 60^\circ\)。
答：这个角的度数为\(60^\circ\)（方程思想解决角的关系）。
五、复习策略与总结
夯实基础：通过画图强化对概念的理解（如画出不同立体图形的三视图、线段中点与角平分线的图形）。
强化运算：熟练掌握线段和角的和差倍分运算，注意单位换算和分类讨论。
联系实际：结合生活实例理解几何性质（如用 “两点确定一条直线” 解释植树成线的原理）。
错题整理：针对易错点（如单位换算、多解问题）建立错题本，定期复盘。
本章是几何学习的起点，核心是建立 “空间→平面→元素→关系” 的认知链条。通过复习，不仅要掌握知识点，更要培养 “用图形说话” 的几何直观和 “按逻辑推理” 的思维习惯，为后续几何学习奠定坚实基础。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第六章 几何图形初步
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
本章结构
几何图形
立体图形
从不同方向看立体图形
展开立体图形
平面图形
平面图形
直线、射线、线段
两个基本事实
线段的比较与运算
线段的中点
角
角的度量
角的比较与运算
余角和补角
角的平分线
考点1
几何图形
知识梳理
（1）立体图形的各部分________同一平面内.
1.立体图形和平面图形
（2）平面图形的各部分________同一平面内.
不都在
都在
2.常见立体图形分类
立体图形
柱体
球
锥体
圆柱
棱柱
……
圆锥
棱锥
三棱柱
四棱柱
五棱柱
……
三棱锥
四棱锥
五棱锥
根据底面边数命名
根据底面边数命名
3.从不同方向看立体图形
立体图形 从前面看 从左面看 从上面看
立体图形 从前面看 从左面看 从上面看
4.点、线、面、体
面包围着体
面面相交
线线相交
面动成体
线动成面
体
面
线
点
点动成线
（1）几何图形都是由______________组成的.
（2）___是构成图形的基本元素.
（3）点、线、面、体之间的关系
点、线、面、体
点
考点2
直线、射线、线段
1.直线、射线、线段的联系与区别
类型 图形 表示方法 延伸 端点 度量
直线
射线
线段
直线AB或直线BA或直线l
射线OA或射线l
线段AB或线段BA或线段a
向两端无限延伸
向一端无限延伸
不可延伸
0个
1个
2个
不可度量
不可度量
可度量
（1）区别
①都是直的
②射线和线段都是直线的一部分；线段向一方无限延伸就成为_____，向两方无限延伸就成为_____；射线向反方向无限延伸就成为_____.
（2）联系
A
B
l
A
B
a
A
B
l
射线
直线
直线
2.有关线段的基本事实
（1）两点之间，_____最短.
线段
（2）连接两点的线段的长度，叫作这两点间的_____.
距离
3.线段和、差
AC =_____+_____
AD =_____-_____
AB
BC
AB
BD
A
M
B
把一条线段分成两条_____线段的点，叫作这条线段的中点.
相等
4.线段的中点
若点M是线段AB的中点，则AM=______=________
MB
若点M是线段AB的中点，则AB=_______=________
2AM
2MB
考点3
角
1.角的概念
类型 概念 举例
静态描述
动态描述
有公共端点的两条射线组成的图形叫作角.
角是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
顶点
边
边
顶点
终边
始边
表示方法 图示 记法 注意
用三个大写英文字母表示
用一个大写英文字母表示
用数字或希腊字母表示
O
A
B
∠AOB或∠BOA
∠O
∠AOB记作∠α
∠BOC记作∠1
顶点字母写在中间
在顶点处只有一个角时才能用这种方法表示
要在靠近顶点处加上弧线并标注
O
A
B
C
α
1
2.角的表示方法
3.角的度量
（1）度量单位：_____________
度，分，秒
（2）角度的换算
1周角=____°
1平角=____°
1°=____′
1′=____″
360
180
60
60
4.角的和、差
∠AOC=_______+_______
∠AOB=_______-_______
∠BOC=_______-_______
∠AOB
∠BOC
∠AOC
∠BOC
∠AOC
∠AOB
5.角的平分线
（1）角平分线的定义
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个_____的角的射线，叫作这个角的平分线.
相等
几何语言：
所以OB平分∠AOC.
（角的平分线的定义）
如图，因为
（2）角平分线的性质
因为OB平分∠AOC，
所以
∠AOC＝2∠1＝2∠2.
（角的平分线的性质）
6.余角和补角
（1）余角
如图，如果∠1+∠2= ____°，那么∠1和∠2互为余角.
其中∠1是∠2的余角或者∠2是∠1的余角.
∠1和∠2互为余角
∠1+∠2=90°
（∠1=90°-∠2或∠2=90°-∠1 ）
90
（2）余角的性质：________________________
同角（等角）的余角相等
（3）补角
如图，如果∠3+∠4= _____°，那么∠3和∠4互为补角.
其中∠3是∠4的补角或者∠4是∠3的补角.
∠3和∠4互为补角
∠3+∠4=180°
（∠3=180°-∠4或∠4=180°-∠3 ）
180
（4）补角的性质：________________________
同角（等角）的补角相等
复习题6
1.说出下列图形的名称.
长方体
六棱柱
三棱柱
圆柱
圆锥
四棱锥
五棱锥
球
2.如图，从上往下看A，B，C，D，E五个物体，分别能得到a，b，c，d，e哪个图形？把上下两行中对应的物体与图形用线连起来.
.
3.如图，分别从前面、左面、上面观察这些立体图形，各能得到什么平面图形？
第一个图形
第二个图形
第三个图形
4.如图，平面上有四个点 A，B，C，D，根据下列语句画图：
（1）画直线AB；
（2）画射线BC；
（3）连接CD；
（4）连接 DA，并反向延长 DA至E，使DE=2AD
E
5.在一张零件图中，AD=76mm，BD=70mm，CD=19mm，求AB和BC的长.
解:AB=AD-BD=76-70=6(mm)，
BC=BD-CD=70-19=51(mm)
6.填空题.
（1）6时20分，钟表的时针和分针构成_____°的角；
（2）33°12′×6=__________，121°÷3=__________；
（3）若∠A=55°17′，则∠A的余角等于________，∠A 的补角等于_________.
70
199°12′
40°20′
34°43′
124°43′
7.判断题.
（1）37°28′>37.5°；
（2）如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；
（3）一个角的补角一定大于这个角；
（4）锐角与钝角互补.
×
√
×
×
综合运用
8.如图，从前面、左面、上面看某立体图形，得到三个平面图形.请说出这个立体图形的名称，并试着画出来.
解：这个立体图形是圆柱，
如图所示.
9.如图，已知 BC 是圆柱底面的直径，AB 是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点 A，C 嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿 AB 剪开，所得的圆柱侧面展开图是（ ）
A
10.如图，上面的三角形按图中标注的要求做相应运动，可以得出下面的立体图形.把有对应关系的平面图形与立体图形用线连起来.
11.如图，点 E，F 分别在长方形纸片 ABCD 的边 AB，CD上，连接EF. 将∠BEF 对折，点 B 落在直线 EF 上的点 B′ 处，得折痕 EM；将∠AEF 对折，点 A 落在直线 EF 上的点 A′ 处，得折痕 EN.求∠NEM 的度数.
解:由对折可知∠AEN=∠NEF= ∠AEF，
∠BEM =∠MEF= ∠BEF.
因为∠AEF+∠BEF=180°，
所以∠NEM=∠NEF+∠MEF
= ∠AEF+ ∠BEF
= ×180°=90°.
12.根据图中信息，指出海洋世界、狮虎园、猴山、大象馆分别在大门的什么方向？
拓广探索
13.任意画一个四边形 ABCD，记其四边的中点分别为E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE，并量出它们的长，你发现了什么？量出图中∠1，∠2，∠3，∠4的度数，你又发现了什么？多画几个四边形试一试.你能得到什么猜想？
解：测量略.可以发现EF=GH，HE=FG，∠1=∠3，∠2=∠4，且∠1与∠2，∠1与∠4，∠2与∠3，∠3 与∠4 互为补角.画图略.
猜想：顺次连接四边形四边的中点所得的四边形对边相等，对角相等，相邻两角互补.
14.如图，在四边形 ABCD 内找一点O，使它与四边形四个顶点的距离的和 OA+OB+OC+OD最小，并说出你的理由. 由本题你得到什么数学结论？举例说明它在实际中的应用.
解：如图，连接 AC，BD 交于点 O′.根据“两点之间，线段最短”可知当点 O在点 O′处时，点O与四个顶点的距离的和最小.
数学结论：四边形对角线的交点到四个顶点的距离的和最小.举例略.
O′
考点1 立体图形的识别
（第1题）
1. ［2024陕西］如图，将半圆绕直径所在的虚
线旋转一周，得到的立体图形是( )
C
A. B. C. D.
返回
考点2 立体图形的展开与折叠
（第2题）
2. 如图，正方体的表面展
开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成
正方体后“我”的对面的字是( )
B
A. 热 B. 爱 C. 中 D. 国
返回
（第3题）
3. 走马灯，又称仙音烛，据史料
记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，
是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节
日.在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的
纸片，沿折痕折合成一个棱
A
A. 吉 如 意 B. 意 吉 如
C. 吉 意 如 D. 意 如 吉
锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了 “祥”
字，当灯旋转时，正好看到 “吉祥如意”的字样.则在,, 处依次
写上的字可以是( )
返回
考点3 从不同方向看立体图形
4. ［2024成都］如图所示的几何体是由5个大小相同的小立
方块搭成，从前面看到的图形是( )
A
（第4题）
A. B. C. D.
返回
考点4 直线、射线、线段
5. 已知三点,,，画直线、射线、连接 ，按照
上述语句画图正确的是( )
D
A. B. C. D.
返回
6. “这么近，那么美，周末到
河北.”庆都山-唐尧古镇是唐尧故里，拥有厚
重的历史沉淀，携带着古韵质朴的气息，见
证着时光变换的风情画卷.为了行人便利，某
两点之间线段最短
十字路口俯视示意图如图.若想走近路，在从位置到位置
的两条路径“”和“ ”中，你会选择路径______，
选择的依据是__________________.
返回
考点5 线段的计算
7.如图，已知和的公共部分 ，线段
，的中点分别为，，，则， 的长
分别为______________.
，
【点拨】因为，所以.因为 是
的中点，所以.因为是 的
中点，所以 ，所以
.所以
，所以
，所以 .
返回
8.如图，已知线段,延长到点，使得 ，点
为的中点，为的中点，若,求线段 的长度.
【解】因为, ,
所以 .
因为点为的中点，为 的中点，
所以， .
所以 .
返回
考点6 角的计算
9. 2025年4月24日17时17分神舟二十号载
人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功.此时分针与时针夹角的
度数是______.
返回
10.［2025淮北期末］如图，已知直线
与相交于点，， 分别是
， 的平分线.
（1） 的补角是______________；
或
【点拨】因为是 的平分线，所
以 .又因为
,所以
.又因为
,所以 的补
角是或 .
（2）若 ，求和 的度数.
【解】因为是 的平分线，
,
所以 ，
.所以
.
因为是 的平分线，
所以 .
返回
思想1 方程思想
11.如图，点，，将线段分成的四部分， ，
，，分别是线段，，,的中点，且 ，
求线段 的长度.
【解】由题意设,则,, .
因为,分别是,的中点，所以, .
所以 ，
整理得，解得 .
又因为，分别是， 的中点，
所以
返回
思想2 数形结合思想
12.如图,这是一个无盖长方体盒子的表
面展开图（重叠部分不计），求这个盒
子的容积.
【解】由题图易知，长方体盒子的长、
宽、高分别是3，2，1，所以这个盒子的容积为 .
返回
思想3 分类讨论思想
13. 已知, 的
余角为,的补角为,平分, 平分
.
（1）如图，当 ,且射线在 的外部时，用直
尺、量角器画出射线, 的准确位置；
【解】射线， 如图①②所示.
（2）求（1）中 的度数，要求写出计算过程；
因为 ，的余角为， 的补角为
，
所以 ，
.
因为平分，平分 ，
所以 ， .
分两种情况：
①当位于 下方时，如图①，
;
②当位于 上方时，如图②,
.
综上，的度数为 或 .
（3）当射线在的内部时，用含 的式子表示
的度数（直接写出结果）.
或 .
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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