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综合与实践 进位制的认识与探究
在日常生活中，我们最熟悉的计数方式是十进制，但在计算机科学、数学研究和实际应用中，还存在二进制、八进制、十六进制等多种进位制。进位制是人类为了计数和运算方便而创造的数学工具，不同的进位制有着不同的特点和应用场景。通过对进位制的认识与探究，我们能更深入地理解数的表示本质，感受数学的逻辑性和实用性。
一、进位制的基本概念
定义：
进位制也称计数制，是指用一组固定的数字符号和统一的规则来表示数的方法。其中，“基数” 是进位制的核心要素，指计数时所使用的数字符号的个数。例如：
十进制的基数是\(10\)，使用的数字符号为\(0,1,2,\cdots,9\)；
二进制的基数是\(2\)，使用的数字符号为\(0,1\)；
八进制的基数是\(8\)，使用的数字符号为\(0,1,2,\cdots,7\)；
十六进制的基数是\(16\)，使用的数字符号为\(0,1,\cdots,9,A,B,C,D,E,F\)（其中\(A-F\)分别表示\(10-15\)）。
数位与权值：
在任何进位制中，每个数字的位置（数位）都对应一个 “权值”，权值的大小为基数的 “数位序号次方”（通常从右往左，数位序号从\(0\)开始）。例如：
十进制数\(345\)可表示为\(3 10^2 + 4 10^1 + 5 10^0\)，其中\(10^2,10^1,10^0\)分别是百位、十位、个位的权值；
二进制数\(101\)可表示为\(1 2^2 + 0 2^1 + 1 2^0 = 4 + 0 + 1 = 5\)（十进制结果），权值为\(2^2,2^1,2^0\)。
进位规则：
当某一位的数值达到基数时，就向高位进\(1\)，这一规则称为 “逢基进一”。例如：
十进制 “逢十进一”：\(9 + 1 = 10\)；
二进制 “逢二进一”：\(1 + 1 = 10\)（二进制）；
十六进制 “逢十六进一”：\(F + 1 = 10\)（十六进制）。
二、常见进位制的表示与转换
进位制的表示方法：
为了区分不同的进位制，通常在数的右下角标注基数，或在数的后面加字母后缀：
十进制：无特殊标注（如\(123\)）或加\(D\)（如\(123D\)）；
二进制：加\(B\)（如\(101B\)）；
八进制：加\(O\)（如\(12O\)）；
十六进制：加\(H\)（如\(2AH\)）。
非十进制数转换为十进制数：
方法：按权展开求和，即把每个数位上的数字乘以该数位的权值，再将所有结果相加。
示例 1：将二进制数\(1101B\)转换为十进制数
解：\(1101B = 1 2^3 + 1 2^2 + 0 2^1 + 1 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13D\)
示例 2：将十六进制数\(3CH\)转换为十进制数
解：\(3CH = 3 16^1 + 12 16^0 = 48 + 12 = 60D\)
十进制数转换为非十进制数：
方法：整数部分 “除基取余，逆序排列”；小数部分 “乘基取整，顺序排列”。
示例 1：将十进制数\(25D\)转换为二进制数
解：整数部分除\(2\)取余：\(25 ·2 = 12\) 余\(1\)\(12 ·2 = 6\) 余\(0\)\(6 ·2 = 3\) 余\(0\)\(3 ·2 = 1\) 余\(1\)\(1 ·2 = 0\) 余\(1\)
逆序排列余数得\(11001B\)，即\(25D = 11001B\)。
示例 2：将十进制数\(78D\)转换为八进制数
解：整数部分除\(8\)取余：\(78 ·8 = 9\) 余\(6\)\(9 ·8 = 1\) 余\(1\)\(1 ·8 = 0\) 余\(1\)
逆序排列余数得\(116O\)，即\(78D = 116O\)。
二进制与八进制、十六进制的转换：
二进制与八进制：每\(3\)位二进制数对应\(1\)位八进制数（因\(2^3 = 8\)）。
示例：\(10110B = 010 110B = 26O\)（整数部分高位补\(0\)凑成\(3\)的倍数）。
二进制与十六进制：每\(4\)位二进制数对应\(1\)位十六进制数（因\(2^4 = 16\)）。
示例：\(110101B = 0011 0101B = 35H\)（整数部分高位补\(0\)凑成\(4\)的倍数）。
三、不同进位制的运算规则
二进制运算：
加法：\(0 + 0 = 0\)；\(0 + 1 = 1\)；\(1 + 0 = 1\)；\(1 + 1 = 10\)（逢二进一）。
示例：\(101B + 11B = 1000B\)（竖式计算：个位\(1+1=10\)进\(1\)，十位\(0+1+1=10\)进\(1\)，百位\(1+0+1=10\)）。
乘法：\(0 0 = 0\)；\(0 1 = 0\)；\(1 0 = 0\)；\(1 1 = 1\)。
示例：\(110B 10B = 1100B\)（相当于十进制\(6 2 = 12\)）。
八进制与十六进制运算：
运算规则与十进制类似，但需遵循 “逢基进一”“借一当基”。
示例 1：八进制加法\(15O + 6O = 23O\)（\(5 + 6 = 11\)，逢八进一得\(3\)，进位\(1\)；\(1 + 0 + 1 = 2\)）。
示例 2：十六进制减法\(3AH - 1FH = 1BH\)（个位\(10 - 15\)不够减，借一当十六，\(10 + 16 - 15 = 11\)即\(B\)；十位\(3 - 1 - 1 = 1\)）。
四、进位制的实际应用场景
计算机领域：
二进制是计算机的核心进位制，因为计算机硬件采用高低电平表示\(0\)和\(1\)，运算简单可靠。所有数据（文本、图像、音频等）在计算机中都以二进制形式存储和处理。
十六进制常用于简化二进制的表示，例如一个\(32\)位二进制数可简写为\(8\)位十六进制数（如\(1111000010101111B = F0AFH\)），便于程序员读写。
八进制曾用于早期计算机编程，现在较少使用，但在某些系统配置中仍有应用。
日常生活与传统文化：
十进制：最常用的进位制，起源于人类双手有\(10\)根手指的计数习惯，广泛应用于货币、度量衡、时间（如\(10\)分钟、\(100\)元）等场景。
六十进制：用于时间（\(60\)秒\(=1\)分钟，\(60\)分钟\(=1\)小时）和角度（\(60\)秒\(=1\)分，\(60\)分\(=1\)度），起源于古代巴比伦文明。
十二进制：如\(12\)个月为一年，\(12\)个为一打（如 “一打鸡蛋” 即\(12\)个）。
二进制思想：红绿灯的亮灭（亮为\(1\)，灭为\(0\)）、开关状态等，本质上是二进制的应用。
通信与编码：
在数字通信中，二进制编码（如莫尔斯电码）通过 “点” 和 “划”（对应\(0\)和\(1\)）传递信息；条形码和二维码的黑白条纹也基于二进制原理存储数据。
五、进位制的探究与拓展
自定义进位制：
除了常见进位制，我们可以定义任意基数的进位制。例如 “五进制”（基数\(5\)），数字符号为\(0-4\)，逢五进一。
示例：五进制数\(234O\)转换为十进制数为\(2 5^2 + 3 5^1 + 4 5^0 = 50 + 15 + 4 = 69D\)。
进位制与密码学：
不同进位制的转换规则可用于简单加密，例如将明文转换为二进制后，按特定规则重排数位，接收方再按逆规则转换解密。
进位制的历史演变：
古代文明曾使用多种进位制，如玛雅文明的二十进制（可能与手指和脚趾计数有关）、古埃及的十进制等。进位制的演变反映了人类计数需求的发展。
六、典型问题解析
问题 1：将二进制数\(1011.101B\)转换为十进制数。
解：整数部分\(1011B = 1 2^3 + 0 2^2 + 1 2^1 + 1 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11\)；
小数部分\(0.101B = 1 2^{-1} + 0 2^{-2} + 1 2^{-3} = 0.5 + 0 + 0.125 = 0.625\)；
综上，\(1011.101B = 11.625D\)。
问题 2：某计算机存储一个字节（\(8\)位二进制）的数值为\(10010110B\)，求其对应的十六进制数和十进制数。
解：十六进制转换：\(1001 0110B = 96H\)；
十进制转换：\(1 2^7 + 0 2^6 + 0 2^5 + 1 2^4 + 0 2^3 + 1 2^2 + 1 2^1 + 0 2^0 = 128 + 16 + 4 + 2 = 150D\)。
问题 3：用八进制计算\(25O + 17O\)，并验证结果是否正确。
解：八进制加法：个位\(5 + 7 = 12\)，逢八进一得\(4\)，进位\(1\)；十位\(2 + 1 + 1 = 4\)，结果为\(44O\)。
验证：\(25O = 2 8 + 5 = 21D\)，\(17O = 1 8 + 7 = 15D\)，\(21 + 15 = 36D\)；\(44O = 4 8 + 4 = 36D\)，结果正确。
进位制是数学中数的表示的基础，不同进位制的存在为不同场景下的计数和运算提供了便利。通过理解进位制的本质、掌握转换规则和运算方法，我们不仅能更好地理解计算机的工作原理，还能体会数学符号系统的逻辑性和灵活性。在实际应用中，选择合适的进位制能简化问题解决过程，这正是数学工具价值的体现。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
综合与实践 进位制的认识与探究
第二章 有理数的运算
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换以及进制数的加法运算，挖掘古代灿烂文明和现代科学技术的联系.
查阅相关资料，初步了解二进制；查找第十四届国际数学教育大会（ICME-14）标识及其介绍.
活动准备
国际数学教育大会是在国际数学教育委员会指导下举办的全球数学教育界水平最高、规模最大的学术会议，每 4 年举办一次，被誉为国际数学教育界的“奥林匹克”。
活动任务
活动一 认识进位制，探究不同进位制的数之间的转换
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制. 也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.
十进制：基数为 10，使用 0，1，2，3，4，5，6，7，
8，9 十个数字.
二进制：基数为 2，使用 0，1 两个数字.
八进制：基数为 8，使用 0，1，2，3，4，5，6，7，
八个数字.
十进制
十进制数：3 7 2 1
3 个千
7 个百
1 个一
2 个十
3 721 = 3×103 + 7×102 + 2×101 + 1×100
一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式.
规定当 a ≠ 0 时，a0 = 1
任务1
二进制是逢二进一，其各数位上的数字为 0 或 1. 请把二进制数 1011 表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转换成十进制数.
说明：为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，(1011)2 就是二进制数1011的简单写法. 十进制数一般不标注基数.
任务1
二进制是逢二进一，其各数位上的数字为 0 或 1. 请把二进制数 1011 表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转换成十进制数.
(1011)2 = 1×23 + 0×22 + 1×21 + 1×20
= 8 + 0 + 2 + 1
= 11.
任务2
把 89 转换为二进制数和八进制数.
89 = 64 + 16 + 8 +1
= 1×26 + 0×25 + 1×24 + 1×23 + 0×22 + 0×21 + 1×20
= (1011001)2 .
89 = 64 + 24 +1
= 1×82 + 3×81 + 1×80
= (131)8 .
任务3
通过研究二进制数及十进制数之间的转换，你有哪些发现？进一步地，你能进行其他不同进制数之间的转换吗？
活动二 探究进制数的加法运算
任务1 查阅资料，分析计算机运算选择二进制的原因，从多个角度分析选择二进制的优越性.
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任务2 小组合作，研究二进制数的加法运算法则，并填写表中的活动记录单.
加数 0 0 1 1
加数 0 1 0 1
和
0
1
1
(10)2
（1）根据上面的加法运算法则，计算 (10010)2 + (111)2，
并交流一下计算方法.
( 1 0 0 1 0 )2
+ ( 1 1 1 )2，
( 1 1 0 0 1 )2
1
1
（2）①计算 45 + 23；
②把 45，23 分别转换为二进制数，利用二进制数的加法运算法则计算它们的和，再把和转换为十进制数；
③比较①②的计算结果是否相同.
① 45 + 23 = 68.
②把 45，23 分别转换为二进制数，利用二进制数的加法运算法则计算它们的和，再把和转换为十进制数；
先将 45，23 分别转换为二进制数：
45 = 32 + 8 + 4 + 1
= 1×25 +0×24 + 1×23 + 1×22 + 0×21 + 1×20
= (101101)2 .
②把 45，23 分别转换为二进制数，利用二进制数的加法运算法则计算它们的和，再把和转换为十进制数；
23 = 16 + 4 + 2 + 1
= 1×24 +0×23 + 1×22 + 1×21 + 1×20
= (10111)2 .
②把 45，23 分别转换为二进制数，利用二进制数的加法运算法则计算它们的和，再把和转换为十进制数；
将这两个二进制数相加：
(101101)2 + (10111)2 = (1000100)2，
将和转换为十进制数：
(1000100)2 = 1×26 + 0×25 + 0×24 + 0×23 + 1×22 + 0×21 + 0×20 = 68.
（2）①计算 45 + 23；
②把 45，23 分别转换为二进制数，利用二进制数的加法运算法则计算它们的和，再把和转换为十进制数；
③比较①②的计算结果是否相同.
比较发现：①② 的计算结果相同.
任务 3 计算机的存储容量是指存储器能存放二进制代码的总位数，用于计量存储容量的基本单位是字节（byte）.请研究手机、计算机等电子存储设备的容量以及它们存储的一些电子文件的大小，它们通常以什么单位表示？这些单位之间有什么关系？
手机常见容量：128GB、256GB、512GB、1TB
电脑常见容量：512GB、1TB、2TB
b B KB MB GB TB
数据存储单位的相互转换
8
1024
1024
1024
1024
任务 4 古人在研究天文、历法时，也曾经采用七进制、十二进制、六十进制记数法. 至今，我们仍然使用一星期 7 天、一年 12 个月、一小时 60 分钟的记时方法. 结合角度、时间等实际问题，分小组讨论一下六十进制数的加法运算法则.
活动三 任选下列主题之一进行研究
1. 第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽的主题图案中的卦用的是我国古代的计数符号.
八卦中 称为阳爻（yáo），
对应数字 1； 称为阴爻，
对应数字 0.
活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转
换以及进制数的加法运算，挖掘古代灿烂文
明和现代科学技术的联系.
活动准备
活动一 认识进位制,探究不同进位制的数之间的转换
认识进位制
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢
十进一就是十进制，逢二进一就是二进制.也就是说，“逢几
进一”就是几进制，几进制的基数就是几.
1.其他进制转换为十进制
把这个数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式.
如：，即 .
练习1： ____； ____.
21
17
2.十进制转换为进制（除 取余法）
也可以用除法式子转化.
练习2： ______；_________ .
（120）
3.非十进制之间的转换
先将待转换数转换为十进制，然后再转换为要转换的进制.
如上面问题中， .
练习3： _________ .
活动二 探究进制数的加法运算
二进制加法法则：相同数位上数字相加，逢二进一.
如： .
加数 1 0 0 1 0
加数 1 1 1
和 1 1 0 0 1
加法 和
二进制
转化为十进制 检验 18+7 25
练习4：（1）___________ .
续表
（2）1小时25分小时50分 ___小时____分.
（3）_________
练习5： 填表
4
15
图标 _______________ _______________ _______________ _______________
二进制
二进制 ___ ___ ___ ___
看作八进制后 转化为十进制 3
7
4
5
（3745）
2021
活动三 国际数学大会标识研究
拓展
你能结合上面的学习，进行十进制分数和二进制小数之间的
转化吗？
例：把十进制分数或者小数转化为二进制小数.
比如： ，
所以可以表示成二进制小数，记为 .
这里还可以把分子1和分母8都转化为二进制数，在二进制下
用分子除以分母得到的二进制小数表示：由于 ，
，所以 .
而 可以类比十进制数一样做除法，
只是商和余数都只能是0或1：
,所以 .
练习6： 将十进制分数转化成二进制小数：， .
【解】 ;
.
巩固练习
1.［2025北京西城区期中］十进制整数转化为二进制整数通
常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆
序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法.同样的，十
进制数转化为六进制数可用除六取余法.例如下表是将十进制
数13和500转化为二进制数和六进制数的方法.将十进制数
1 000转化为八进制数为_________.
【点拨】计算如下，
所以 .
2.综合与实践：
2024年9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相
关公海海域，成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导
弹，准确落入预定海域.射程超过12 000公里，覆盖全球所有
区域，展示了我国精确的打击能力和威慑力.此消息一出振奋
人心，是无数科学家们日以继夜的奋战换来的成果.同样也离
不开计算机的帮忙，计算机是使用二进制进行运算的，与我
们日常使用的十进制不同，应用你学的知识，解答下列问题：
（1）请把射程12 000公里转化为六进制的数应该为
___________公里；
【点拨】因为
所以把射程12 000公里转化为六进制的数应该为 .
（2）在设计洲际弹道导弹时，科学家想把计算机中的数据
转化为八进制的数，则这个数应该是______；
【点拨】
.
因为
所以 ，
即数据转化为八进制的数为 .
（3）把29，41转化为二进制的数分别为__________，
___________，利用二进制数的加法法则计算它们的和为
_______________；
【点拨】因为
所以 .
因为
所以 .
所以
.
拓展：
（4）易经八卦中阴爻用中断线“ ”表示或数字“0”表示，阳
爻用连线“ ”表示或数字“1”表示，这样八卦就可以用二进
制来解释.如图,下列符号所表示的数是由四个二进制数组成，
将它们分别转换为八进制数得到一个四位数；将这个四位数
看作一个八进制数，再将这个八进制数转化为十进制数为
______.
2024
【点拨】将四个二进制数,,, 分别
转化为十进制数为,, ,
,再分别转换为八进制数为,,, ,得到
一个四位数3 750.易知 .
请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法.
2. 除了十进制、二进制、八进制等记数法，日常生活中还经常使用其他进位制，如十二进制、六十进制等. 结合上述学习，写一篇与进位制有关的文章，包括进位制的意义及其运算，不同进位制的特点、适用范围及互相转换等.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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