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1.5.1.2 有理数的乘法运算律教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：1.5.1.2 有理数的乘法运算律
副标题：小学六年级数学下册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：有理数乘法法则的核心内容是什么？（两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与 0 相乘得 0。）
问题 2：多个有理数相乘时，积的符号如何确定？（负因数个数为偶数时积为正，奇数时积为负；有 0 则积为 0。）
问题 3：计算：（-3）×4；（-2）×（-5）；（-1）×（-2）×（-3）。（答案：-12；10；-6。）
引入：小学学过的乘法交换律、结合律和分配律，在有理数乘法中是否仍然适用？本节课我们通过实例验证并学习如何运用这些运算律简化计算。
第 3 页：情境引入
计算对比：
情境 1：计算（-2）×（-3）和（-3）×（-2），结果是否相同？（前者 = 6，后者 = 6，结果相同。）
情境 2：计算 [（-4）×（-5）]×3 和（-4）×[（-5）×3]，结果是否相同？（前者 = 20×3=60，后者 =-4×（-15）=60，结果相同。）
情境 3：计算（-5）×（2 + 3）和（-5）×2 +（-5）×3，结果是否相同？（前者 =-5×5=-25，后者 =-10 +（-15）=-25，结果相同。）
提出问题：从上述计算中，你发现有理数乘法是否满足交换律、结合律和分配律？这些运算律如何用字母表示？引出本节课探究内容。
第 4 页：学习目标
知识目标：理解并掌握有理数乘法的交换律、结合律和分配律；能运用乘法运算律简化有理数乘法的计算；明确运算律在有理数范围内的适用性。
能力目标：通过观察、验证、应用乘法运算律，培养分析问题和灵活运用知识的能力；在简化计算过程中，提高运算效率和准确性。
情感目标：感受运算律的简洁性和实用性，体会数学知识的连贯性，激发对数学学习的兴趣和探究欲望。
第 5 页：乘法交换律
内容：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
字母表示：对于任意有理数 a、b，有 a × b = b × a。
验证实例：
（+5）×（-3）=-15，（-3）×（+5）=-15，所以（+5）×（-3）=（-3）×（+5）。
（-2）×（-6）=12，（-6）×（-2）=12，所以（-2）×（-6）=（-6）×（-2）。
0 ×（-7）=0，（-7）×0=0，所以 0 ×（-7）=（-7）×0。
结论：乘法交换律在有理数乘法中仍然成立。
第 6 页：乘法结合律
内容：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
字母表示：对于任意有理数 a、b、c，有（a × b）× c = a ×（b × c）。
验证实例：
[（-2）×（+3）]×（-4）=（-6）×（-4）=24；（-2）×[（+3）×（-4）]=-2×（-12）=24，所以两者相等。
[（-5）×（-1）]×2=5×2=10；（-5）×[（-1）×2]=-5×（-2）=10，所以两者相等。
（-3）×[0 ×（+4）]=-3×0=0；[（-3）×0]×（+4）=0×4=0，所以两者相等。
结论：乘法结合律在有理数乘法中仍然成立。
第 7 页：乘法分配律
内容：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
字母表示：对于任意有理数 a、b、c，有 a ×（b + c）= a × b + a × c。
验证实例：
（-4）×（3 + 5）=（-4）×8=-32；（-4）×3 +（-4）×5=-12 +（-20）=-32，所以两者相等。
5 × [（-2）+（-1）]=5×（-3）=-15；5×（-2）+5×（-1）=-10 +（-5）=-15，所以两者相等。
0 ×（-6 + 2）=0×（-4）=0；0×（-6）+0×2=0 + 0=0，所以两者相等。
拓展：逆用分配律：a × b + a × c = a ×（b + c），可简化计算。
第 8 页：乘法运算律的应用技巧 1—— 凑整结合
技巧说明：多个有理数相乘时，把能凑成整数（尤其是整十、整百）的数结合在一起相乘，可简化计算。
实例演示：计算（-25）×（-4）×（-3）×（-1）。
步骤 1：运用交换律和结合律分组：[（-25）×（-4）]×[（-3）×（-1）]。
步骤 2：分别计算各组：100 × 3 = 300。
步骤 3：得出结果：300。
优点：凑整后可减少计算步骤，提高准确性，如 25×4=100、125×8=1000 等常用凑整组合。
第 9 页：乘法运算律的应用技巧 2—— 分配律简化计算
技巧说明：当一个数乘多个数的和时，运用分配律拆分计算；或逆用分配律提取相同因数，简化计算。
实例演示 1（正向应用）：计算（-12）×（\(\frac{1}{3}\) - \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{6}\)）。
步骤 1：运用分配律拆分：（-12）×\(\frac{1}{3}\) +（-12）×（-\(\frac{1}{4}\)）+（-12）×\(\frac{1}{6}\)。
步骤 2：分别计算：-4 + 3 +（-2）=-3。
实例演示 2（逆向应用）：计算 3.14×（-5）+3.14×（-13）+3.14×18。
步骤 1：逆用分配律提取公因式：3.14×[（-5）+（-13）+18]。
步骤 2：计算括号内：0，结果为 3.14×0=0。
第 10 页：例题讲解 1—— 运用交换律和结合律简化计算
例 1：计算：（-8）×（-\(\frac{1}{3}\)）×0.125×（-6）。
步骤解析：
观察数的特点：-8 和 0.125（即\(\frac{1}{8}\)）相乘得 - 1；-\(\frac{1}{3}\)和 - 6 相乘得 2。
运用交换律和结合律分组：[（-8）×0.125]×[（-\(\frac{1}{3}\)）×（-6）]。
计算各组：（-1）×2 = -2。
答案总结：-2。
第 11 页：例题讲解 2—— 分配律的正向应用
例 2：计算：（-24）×（\(\frac{3}{8}\) - \(\frac{5}{6}\) + \(\frac{1}{2}\)）。
步骤解析：
运用分配律拆分：（-24）×\(\frac{3}{8}\) +（-24）×（-\(\frac{5}{6}\)）+（-24）×\(\frac{1}{2}\)。
分别计算各项：-9 + 20 +（-12）。
按顺序计算：（-9 + 20）+（-12）=11 - 12 = -1。
答案总结：-1。
第 12 页：例题讲解 3—— 分配律的逆向应用
例 3：计算：7×（-3）+7×（-4）-7×（-13）。
步骤解析：
观察到各项都有因数 7，逆用分配律提取公因式：7×[（-3）+（-4）-（-13）]。
计算括号内：（-7）+13 = 6。
计算结果：7×6 = 42。
答案总结：42。
第 13 页：例题讲解 4—— 多个运算律综合应用
例 4：计算：（-\(\frac{1}{2}\) + \(\frac{2}{3}\) - \(\frac{1}{4}\)）×（-12）×（-5）。
步骤解析：
先运用结合律分组：[（-\(\frac{1}{2}\) + \(\frac{2}{3}\) - \(\frac{1}{4}\)）×（-12）]×（-5）。
对括号内运用分配律：[（-\(\frac{1}{2}\)）×（-12）+ \(\frac{2}{3}\)×（-12）+（-\(\frac{1}{4}\)）×（-12）]×（-5）。
计算内层括号：6 +（-8）+ 3 = 1。
最终计算：1×（-5）= -5。
答案总结：-5。
第 14 页：方法总结
运用乘法运算律的核心：根据数的特点合理分组或拆分，简化计算过程。
常用策略：
交换律与结合律：适用于多个数相乘，优先结合能凑整（如 25×4、125×8）或互为倒数的数。
分配律正向：适用于一个数乘多个数的和，拆分后分别相乘再相加（注意符号）。
分配律逆向：适用于各项含相同因数的式子，提取公因式后先算括号内的和。
注意事项：运用分配律时，要将因数与括号内每一项都相乘，不能漏乘；分组时要连同数前面的符号一起移动。
第 15 页：课堂练习 1
练习 1：运用运算律计算下列各题：
（1）（-5）×（-6）×（-2）×（-1） （2）（-\(\frac{1}{3}\)）×（-9）×3×（-\(\frac{1}{3}\)）
练习 2：计算：（-18）×（\(\frac{1}{2}\) - \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{2}{9}\)）。
第 16 页：课堂练习 2
练习 3：逆用分配律计算：5.6×（-3）+5.6×（-7）+5.6×10。
练习 4：计算：[（-\(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{6}\) - \(\frac{1}{2}\)）×（-12）]×（-\(\frac{1}{5}\)）。
第 17 页：易错点提醒
运用分配律时漏乘括号内的某一项，尤其是含负号的项。例如计算（-2）×（3 - 5）时，错误写成 - 6 - 5。
分组结合时忘记连同符号一起移动，导致符号错误。例如计算（-3）×4×（-5）时，错误分组为 - 3×（4×-5）。
逆用分配律时，提取公因式后括号内符号处理错误。例如 3×（-2）+3×（-5）错误提取为 3×（-2 + 5）。
分数与整数相乘时，约分错误或未约到最简，导致计算复杂。
忽略 0 在乘法中的特殊性，对含 0 的算式仍复杂计算，未直接得 0。
第 18 页：课堂小结
本节课学习了有理数乘法的三个运算律：交换律（a×b = b×a）、结合律（（a×b）×c = a×（b×c））、分配律（a×（b + c）= a×b + a×c）。
明确了运算律在有理数范围内仍然成立，可有效简化计算。
掌握了运算律的应用技巧：凑整结合、分配律正向拆分、逆向提取公因式。
体会到合理运用运算律能提高计算效率，培养了灵活运用数学知识的能力。
第 19 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页练习六第 4、5、6 题。
提高作业：计算：（-25）×（-4）×（-8）×0.125；（\(\frac{1}{2}\) - \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{3}{4}\)）×（-12）×（-2）。
拓展作业：自编一道能运用乘法分配律简化计算的有理数乘法题，并写出详细解题步骤。
2025-2026学年湘教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.5.1.2有理数的乘法运算律
第1章 有理数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
在小学里，我们都知道，数的乘法满足交换律、结合律和分配律，例如
3×5＝5×3
(3×5)×2＝3×(5×2)
3×(5＋2) ＝3×5＋3×2
引入负数后，三种运算律是否还成立呢
探索新知
做一做
(1) 先填空，再判断下面三组算式的结果是否分别相等.
① (－6)×[4＋(－9)]＝(－6)×______＝______，
(－6)×4＋(－6)× (－9) ＝______＋______＝______；
② (－6)×[(－4) ＋9]＝(－6)×______＝______，
(－6)×(－4) ＋(－6)× 9 ＝______＋______＝______；
③ (－6)×[(－4) ＋(－9)]＝(－6)×______＝______，
(－6)×(－4) ＋(－6)× (－9) ＝______＋______＝______；
－5
30
－24
54
30
5
－30
24
－54
－30
－13
78
24
54
78
有理数的乘法运算律
做一做
(2) 将 (1)中的有理数换成其他有理数，各组算式的结果分别相等吗
相等
即一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加．
一般地，有理数的乘法满足乘法对加法的分配律：
a×(b＋c)=a × b＋a × c，
(b＋c) ×a=b × a＋c × a.
根据乘法对加法的分配律可推出：
即 一个有理数同几个有理数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加.
a×(b＋c＋d )=a × b＋a ×c＋a × d，
(b＋c ＋d ) ×a=b × a＋c × a＋d × a.
做一做
(1) 先填空，再判断下面两组算式的结果是否分别相等.
① (－3)× (－)＝______，
(－ )× (－3)＝______；
② [(－2) ×3] ×(－4)＝______ × (－4) ＝______，
(－2) ×[3×(－4) ] ＝(－2) ×______＝______.
2
2
－6
24
－12
24
(2) 将 (1)中的有理数换成其他有理数，各组算式的结果分别相等吗
相等
(3) 由(1)(2)你能发现什么？
1.乘法交换律：
a × b= b × a
三个有理数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变.
两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变.
2.乘法结合律：
(a × b) ×c=a ×( b × c)
由有理数的乘法交换律、乘法结合律可知，三个或三个以上的有理数相乘，可以写成这些数的连乘式．对于连乘式，可以任意交换因数的位置，也可以先把其中的几个数相乘.
由于(－1)×a＋a＝(－1)×a＋1×a
＝[(－1) ＋1] ×a
＝0×a
＝0，
因此(－1)×a 与 a 互为相反数，即
(－1)×a＝－a
计算：
解：
解法有错吗？
错在哪儿？
计算：
解：
正确的解法：
特别提醒
1.不要漏掉符号；
2.不要漏乘.
计算：
(3) (-12.5)×(-2.5)×(-8)× 4 .
解：(1)
······乘法对加法的交换律
计算：
(3) (-12.5)×(-2.5)×(-8)× 4 .
(2)
计算：
(3) (-12.5)×(-2.5)×(-8)× 4 .
（3） (-12.5)×(-2.5)×(-8)× 4
= (-12.5)×(-8)×(-2.5)× 4
= (-12.5)×(-8)×[(-2.5)× 4]
= 100×(-10)
= -1000
······乘法交换律
······乘法结合律
多个有理数相乘
观察下列各式，它们的积是正还是负？
(1) (－1)×2×3×4
(2) (－1)×(－2)×3×4
(3) (－1)×(－2)×(－3)×4
(4) (－1)×(－2)×(－3)×(－4)
(5) (－1)×(－2)×(－3)×(－4)×0
思考：几个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号和负因数的个数有什么关系？有一个因数为0，积是多少？
负
正
负
正
0
多个有理数相乘的法则:
（1）几个不等于 0 的数相乘，积的符号
由_____________决定的.
当有_____个负数时，积为负数；
当有_____个负数时，积为偶数.
（2）几个数相乘，如果其中有因数0，那么积等于0.
负因数的个数
奇数
偶数
奇负偶正
计算：
（1）(-8)×(-1) ×(-3)×4×(-5) ；
（2）
(-8)×(-1) ×(-3)×4×(-5)
＝8× 1× 3× 4× 5
＝480 .
=－32 .
解：(1)
(2)
先确定积的符号，再把所有因数的绝对值相乘.
填空：
(1) 已知a b c＞0，a＞0，ac＜0，则a、b、c的符号分别是__________；
(2) 已知a b c＞0，a＞c，ac＜0，则a、b、c的符号分别是__________.
正、负、负
正、负、负
课堂练习
【课本P35 练习 第1题】
1.计算:
解：
课堂练习
【课本P35 练习 第1题】
1.计算:
2.计算:
(1) (－2)×17×(－5)；
(2) (－15)×(－3)×(－4)×2 .
【课本P35 练习 第2题】
解：
(1) (－2)×17×(－5)
＝ 2 ×17× 5
＝ 170
(2) (－15)×(－3)×(－4)×2
＝－ (15×3×4×2)
＝－ 360
3.直接判断下列各式计算结果的符号:
(1) (－2)×7×8；
(2) (－3)×5×(－) ；
(3) × (－2.1)×(－6) ×(－3)；
(4) (－3.6)×(－5)×(－4)×(－) ；
【课本P35 练习 第3题】
(5) 4× (－8.1)×(－11)×(－14)×(－) ×(－ ) ；
负
正
负
正
负
4.计算:
(3) (－1.5)× (－6)× (－4)；
(2) (－0.125)× 9× (－8)；
【课本P35 练习 第4题】
解：
(2) (－0.125)× 9× (－8)
＝[(－0.125)× (－8)] ×9
＝1×9
＝9
4.计算:
(3) (－1.5)× (－6)× (－4)；
(2) (－0.125)× 9× (－8)；
【课本P35 练习 第4题】
(3) (－1.5)× (－6)× (－4)
＝－ (1.5×6×4)
＝－ 36
5.计算：
解法1：
= -3168 + (-30)= -3198
解法2：
= -3200 + 2= -3198
1. 母题教材P35T3下列式子中，积为负的是( )
B
A.
B.
C.
D.
返回
2. 观察算式 ，在解题过程中，能使
运算变得简便的运算律是( )
C
A. 乘法交换律 B. 乘法结合律
C. 乘法交换律、结合律 D. 分配律
返回
3. 如图所示的计算过程可以解释的运算规
律为( )
D
A. 加法结合律 B. 乘法结合律
C. 乘法交换律 D. 分配律的逆用
返回
4. ［2025杭州余杭区月考］在简便运算时，把
变形成最合适的形式是( )
A
A. B.
C. D.
返回
5. 若的值记为，则 的值可表
示为( )
C
A. B.
C. D.
【点拨】因为的值记为，所以 .
返回
6. 2 025个有理数相乘，如果积为0，那么在2 025个有理数
中( )
C
A. 全部为0 B. 只有一个数为0
C. 至少有一个数为0 D. 有两个数互为相反数
返回
7. 小阳在计算 时，不小心将
一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数，导致他无法计
算，在求助老师时，老师告诉他：“被盖住的数是4，7，10，
11中的一个，并且这道题直接用乘法结合律来计算会非常简
便”，则被盖住的数最可能是( )
B
A. 4 B. 7 C. 10 D. 11
返回
8.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） .
原式 .
返回
9. 若有理数,, 在数轴上对应点的位置如图所示，则必有
( )
B
A. B.
C. D.
返回
10. 如果，， ，那么这四个数中
负数有( )
D
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【点拨】因为，所以，互为相反数，即， 异
号.因为，所以，中至少有一个正数，即， 中
最多有1个负数.所以，，， 中至少有2个正数.因为
，所以负因数的个数是1个或3个.所以这四个数中负
数有1个.故选D.
返回
有理数的乘法运算律
有理数的乘法运算律
多个有理数相乘
乘法对加法的分配律
乘法交换律
乘法结合律
（1）几个不等于 0 的数相乘，当有偶数个负数时，积为正数，当有奇数个负数时，积为负数.
（2）几个数相乘，如果其中有因数0，那么积等于0.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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