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2.3.1 整式教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：2.3.1 整式
副标题：初中七年级数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：什么是代数式？（用运算符号把数和字母连接而成的式子；单独的数或字母也是代数式。）举例：3x - 2，a，\(\frac{1}{2}ab\)等。
问题 2：求代数式\(2x + 5\)，当\(x = -3\)时的值。（答案：\(2 (-3)+5=-1\) ）
引入：上节课我们学习了代数式的值，了解到代数式中字母取不同值时，代数式有不同结果。从这节课开始，我们将对代数式进行更细致的分类研究，首先学习整式。
第 3 页：情境引入
情境 1：苹果每千克\(m\)元，买\(5\)千克苹果需要多少钱？（答案：\(5m\)元）
情境 2：一个正方体的棱长为\(a\)，它的表面积是多少？体积是多少？（表面积：\(6a^{2}\) ；体积：\(a^{3}\) ）
情境 3：汽车以\(60\)千米 / 小时的速度行驶\(t\)小时，行驶的路程是多少千米？（答案：\(60t\)千米）
思考：观察这些代数式\(5m\)，\(6a^{2}\)，\(a^{3}\)，\(60t\)，它们在形式上有什么共同特点？引出本节课要学习的单项式概念。
第 4 页：单项式的概念
定义内容：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。
关键词解析：
“数与字母的乘积”：强调必须是乘法运算，如\(3xy\)，\(\frac{1}{2}a^{2}b\) 等；像\(x + y\)，\(\frac{a}{b}\) 这样有加、除运算的不是单项式。
“单独的数或字母”：单独的数如\(-5\)，\(0\) 等；单独的字母如\(x\)，\(y\) 等都是单项式。
实例说明：\(2x\)是单项式，由数字\(2\)与字母\(x\)相乘；\(a\)是单独的字母，属于单项式；\(-7\)是单独的数，也是单项式。
第 5 页：单项式的系数和次数
单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
例如：单项式\(3x^{2}\)的系数是\(3\)；\(-\frac{2}{3}xy\)的系数是\(-\frac{2}{3}\) 。
注意：系数包含前面的符号，当系数为\(1\)或\(-1\)时，“\(1\)” 省略不写，但符号不能省，如\(ab\)的系数是\(1\)，\(-abc\)的系数是\(-1\) 。
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
例如：单项式\(x^{3}\)中字母\(x\)的指数是\(3\)，则它的次数是\(3\)；\(4x^{2}y\)中\(x\)的指数是\(2\)，\(y\)的指数是\(1\)，\(2 + 1 = 3\)，所以\(4x^{2}y\)的次数是\(3\) 。
注意：单独一个非零数的次数是\(0\)，如\(-5\)的次数是\(0\) （因为可看作\(-5x^{0}\) ，\(x^{0}=1\) ）。
第 6 页：例题讲解 1—— 单项式的识别、系数与次数
例 1：指出下列单项式的系数和次数：
（1）\(5a\)；
（2）\(-\frac{1}{3}xy^{2}\)；
（3）\(2\pi r^{2}\)；
（4）\(-a\)；
（5）\(0.3\) 。
解析：
（1）\(5a\)的系数是\(5\)，次数是\(1\) （\(a\)的指数为\(1\) ）。
（2）\(-\frac{1}{3}xy^{2}\)的系数是\(-\frac{1}{3}\) ，次数是\(1 + 2 = 3\) （\(x\)指数\(1\)，\(y\)指数\(2\) ）。
（3）\(2\pi r^{2}\)的系数是\(2\pi\) （\(\pi\)是常数），次数是\(2\) （\(r\)的指数为\(2\) ）。
（4）\(-a\)的系数是\(-1\) ，次数是\(1\) （\(a\)的指数为\(1\) ）。
（5）\(0.3\)是单独的数，系数是\(0.3\) ，次数是\(0\) 。
答案总结：
（1）系数\(5\)，次数\(1\) ；
（2）系数\(-\frac{1}{3}\) ，次数\(3\) ；
（3）系数\(2\pi\) ，次数\(2\) ；
（4）系数\(-1\) ，次数\(1\) ；
（5）系数\(0.3\) ，次数\(0\) 。
第 7 页：多项式的概念
定义内容：几个单项式的和叫做多项式。
关键词解析：
“几个单项式的和”：强调是单项式通过加法运算连接而成，如\(x + y\)，\(3x^{2}-2x + 1\)等。
多项式中的每个单项式叫做多项式的项。其中，不含字母的项叫做常数项。
例如：多项式\(2x^{2}+3x - 5\)中，\(2x^{2}\)，\(3x\)，\(-5\)是它的项，\(-5\)是常数项。
实例说明：\(a + b\)是由单项式\(a\)与\(b\)相加组成的多项式；\(x^{3}-2x^{2}y + y^{3}\)是由\(x^{3}\)，\(-2x^{2}y\)，\(y^{3}\)这三个单项式相加组成的多项式。
第 8 页：多项式的次数
多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
例如：多项式\(3x^{2}-2x + 1\)中，\(3x^{2}\)的次数是\(2\)，\(-2x\)的次数是\(1\)，\(1\)（常数项）的次数是\(0\)，\(2\gt1\gt0\)，所以该多项式的次数是\(2\) 。
再如：多项式\(x^{3}y - 2x^{2}y^{2}+y^{4}\)中，\(x^{3}y\)的次数是\(3 + 1 = 4\)，\(-2x^{2}y^{2}\)的次数是\(2 + 2 = 4\)，\(y^{4}\)的次数是\(4\)，最高次数是\(4\)，所以这个多项式的次数是\(4\) 。
注意：确定多项式的次数时，要先分别找出各项的次数，再比较得出最高次数。
第 9 页：例题讲解 2—— 多项式的项、常数项与次数
例 2：指出下列多项式的项、常数项和次数：
（1）\(4x^{2}-3x + 7\)；
（2）\(2x^{3}y - x^{2}y^{2}-3xy^{3}+y^{4}\)；
（3）\(\frac{1}{2}a + b - 1\) 。
解析：
（1）多项式\(4x^{2}-3x + 7\)的项为\(4x^{2}\)，\(-3x\)，\(7\)；常数项是\(7\)；次数是\(2\) （\(4x^{2}\)的次数最高）。
（2）多项式\(2x^{3}y - x^{2}y^{2}-3xy^{3}+y^{4}\)的项为\(2x^{3}y\)，\(-x^{2}y^{2}\)，\(-3xy^{3}\)，\(y^{4}\)；常数项是\(0\)；次数是\(4\) （\(2x^{3}y\)，\(-x^{2}y^{2}\)，\(-3xy^{3}\)，\(y^{4}\)的次数都是\(4\) ）。
（3）多项式\(\frac{1}{2}a + b - 1\)的项为\(\frac{1}{2}a\)，\(b\)，\(-1\)；常数项是\(-1\)；次数是\(1\) （\(\frac{1}{2}a\)和\(b\)的次数都是\(1\) ）。
答案总结：
（1）项：\(4x^{2}\)，\(-3x\)，\(7\)；常数项：\(7\)；次数：\(2\) 。
（2）项：\(2x^{3}y\)，\(-x^{2}y^{2}\)，\(-3xy^{3}\)，\(y^{4}\)；常数项：\(0\)；次数：\(4\) 。
（3）项：\(\frac{1}{2}a\)，\(b\)，\(-1\)；常数项：\(-1\)；次数：\(1\) 。
第 10 页：整式的概念
定义内容：单项式与多项式统称为整式。
关键词解析：只要是单项式或者多项式，都属于整式的范畴。
实例说明：前面提到的单项式\(5a\)，\(-\frac{1}{3}xy^{2}\)等，以及多项式\(4x^{2}-3x + 7\)，\(2x^{3}y - x^{2}y^{2}-3xy^{3}+y^{4}\)等都是整式。像\(\frac{1}{x}\)，\(x\div y\)这样的代数式，因为分母含有字母，既不是单项式也不是多项式，所以不是整式。
第 11 页：例题讲解 3—— 整式的识别
例 3：判断下列代数式哪些是整式，哪些不是整式：
（1）\(3x\)；
（2）\(\frac{1}{x + 1}\)；
（3）\(x^{2}-y^{2}\)；
（4）\(\frac{2a - b}{3}\)；
（5）\(\sqrt{x}\) 。
解析：
（1）\(3x\)是单项式，所以是整式。
（2）\(\frac{1}{x + 1}\)分母含有字母\(x\)，不是单项式也不是多项式，不是整式。
（3）\(x^{2}-y^{2}\)是多项式，所以是整式。
（4）\(\frac{2a - b}{3}=\frac{2}{3}a-\frac{1}{3}b\)，是多项式，所以是整式。
（5）\(\sqrt{x}\)不是数与字母的乘积形式，不是单项式也不是多项式，不是整式。
答案总结：整式有（1）\(3x\)，（3）\(x^{2}-y^{2}\)，（4）\(\frac{2a - b}{3}\)；不是整式的有（2）\(\frac{1}{x + 1}\)，（5）\(\sqrt{x}\) 。
第 12 页：整式在实际问题中的应用
例 4：一个长方体的长、宽、高分别为\(a\)，\(b\)，\(c\) 。
（1）用整式表示它的体积和表面积。
（2）当\(a = 2\)，\(b = 3\)，\(c = 4\)时，求它的体积和表面积。
解析：
（1）体积\(V = abc\)（单项式，属于整式）；表面积\(S = 2(ab + bc + ac)=2ab + 2bc + 2ac\)（多项式，属于整式）。
（2）当\(a = 2\)，\(b = 3\)，\(c = 4\)时：
体积\(V = 2 3 4 = 24\) 。
表面积\(S = 2 (2 3 + 3 4 + 2 4)=2 (6 + 12 + 8)=2 26 = 52\) 。
答案总结：
（1）体积\(V = abc\)，表面积\(S = 2ab + 2bc + 2ac\) 。
（2）体积为\(24\)，表面积为\(52\) 。
第 13 页：方法总结
单项式的判断要点：
看是否是数与字母的乘积形式（单独数或字母也是）。
分母不能含有字母。
单项式系数与次数确定方法：
系数是数字因数（含符号）。
次数是所有字母指数和（单独非零数次数为\(0\) ）。
多项式的判断要点：
由几个单项式通过加法运算组成。
多项式项、常数项与次数确定方法：
每个单项式是项，不含字母的是常数项。
次数是次数最高项的次数。
整式的判断要点：是单项式或者多项式。
第 14 页：课堂练习 1
练习 1：指出下列单项式的系数和次数：
（1）\(-6x^{2}\)；
（2）\(\frac{3}{4}abc\)；
（3）\(-y\)；
（4）\(-\frac{2\pi x^{3}}{3}\) 。
练习 2：指出下列多项式的项、常数项和次数：
（1）\(x^{2}+2x - 5\)；
（2）\(3a^{3}b - 2a^{2}b^{2}+b^{3}\) 。
练习 3：判断下列代数式是否为整式：
（1）\(5\)；
（2）\(\frac{1}{x}\)；
（3）\(x - y\)；
（4）\(\frac{2x + 1}{5}\) 。
第 15 页：课堂练习 2
练习 4：一个圆柱的底面半径为\(r\)，高为\(h\) 。
（1）用整式表示它的体积和侧面积。
（2）当\(r = 2\)，(h = 5
2025-2026学年湘教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.3.1整式
第2章 代数式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
据了解“天宫一号”在太空中绕地球飞行的速度约为7.5千米每秒.绕地球一圈只需要一个小时.
“天宫一号”飞行10秒能飞_____千米；飞行1分钟能飞_____千米；飞行 t 秒能飞_____千米.
75
450
7.5 t
探索新知
填空：
(1) 以 8km/h 的平均速度行走 t h的路程是 km;
(2) 半径为 r 的圆的面积是 ;
(3) 底面是边长为 x 的正方形，高为y的长方体的体积是 ;
8 t
πr2
x2y
(1) 以 8km/h 的平均速度行走 t h的路程是 8 t km；
半径为 r 的圆的面积是 πr2 ；
(3) 底面是边长为 x 的正方形，高为y的长方体的体积是_____.
下面横线上的代数式里含有加减运算吗？
只含有哪些运算？
观 察
只含有数与字母的幂的乘法运算.
x2y
观察下列的式子有什么共同特点？
8 t
πr2
x2y
数×字母
数×字母
字母×字母
注意：π是圆周率，是一个数
上面各式的运算中数字和字母之间，字母与字母之间的运算都是乘法运算(都是表示数字与字母、字母与字母的积).
6 x3 y
由数与字母及其幂的乘积组成的代数式叫作单项式
抽 象
单独一个数也可看作单项式
数字
字母
判断下列代数式是否为单项式？
x + 1
3πx2
a
6
2z
√
√
√
√
√
√
分母中含有字母的叫分式，不属于整式范围，因此不属于单项式.
练一练
判断单项式的方法：
1.单独一个数或一个字母也是单项式.
2.不含加减运算，单项式只含有乘积运算.
3.单项式中字母可能一个或多个.
4.分母中不含有字母.
6 x3 y
单项式中这个数叫作单项式的系数.
系数
单项式中所有字母的指数的和叫作单项式的次数.
6 x3 y1
次数为 3+1=4
当单项式的系数为“1”或“-1”时，“1”省略不写.
四次单项式
填表（其中 π 是圆周率）：
单项式 -1.5x4 x2 y3 –y 5xy2 πx2y 2πx
系数 -1.5 1
次数 4 2
做一做
1
3
-1
1
5
3
π
3
2π
1
1.判断下列说法是否正确:
① -7xy2的系数是7；
② -x2y3与x2没有系数；
③ -ab3c2的次数是 0＋3十2 ；
④ -a3的系数是-1 ；
⑤ -32x2y3的次数是7 ；
⑥ πr2h的系数是1 ；
⑦ 7的系数是7，次数是0次.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
×
×
×
√
×
×
√
练一练
2.（1）如果-5xym为4次单项式，则m=_______；
（2）如果-2mxny2是关于x、y的5次单项式，且系数是 4，则m=________，n=________.
3
-2
3
注意:
1.单项式表示数字与字母相乘时，通常把数字写
在字母前面.
2.单项式的系数包含符号，当系数为1或-1时，这个“1” 省略不写.
3.单项式的次数是指所有字母指数之和，而不是单个字母的指数.
4.圆周率π是数字.
5.单独一个非零数的次数是0.
说一说
右图是由一个长方形和一个半圆组成. 已知长方形的长为 x，宽为 y，半圆的直径为y.
(1) 长方形的面积为多少？
(2) 半圆的面积为多少？
(3) 由长方形和半圆组成的图形的面积为多少？
y
x
xy
y2
xy + y2
这也是单项式吗？
抽 象
几个单项式的和叫作多项式，其中的每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项，次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数.
2x3 + x2 -7x +9
项
常数项
3次
2次
1次
0次
多项式的次数为3
多项式的项要包含它前面的符号.
多项式 常数项 次数
2x3+x2-7x+9
9
3
0
2
-1
4
2x3 + x2 -7x +9
项
常数项
3次
2次
1次
0次
多项式的次数为3
1.下列代数式哪些是多项式？哪些不是多项式？
（1）x4-5x3+7x-3； （2） ；
（3） ； （4） x2 + x +1.
√
√
×
×
练一练
2.多项式x2+y-z是单项式______， ______，
______的和，它是______次______项式.
3.多项式3m3-2m-5+m2的常数项是______，
二次项是______，多项式的系数是______.
x2
y
-z
二
三
-5
m2
3
注意：(1) 多项式的各项应包括它前面的符号；
(2) 多项式没有“系数”这一概念，但每一项
均有系数，每一项的系数应包括它前面的符号；
(3) 次数最高的项的次数就是多项式的次数；
(4) 一个多项式的最高次项可以不唯一.
单项式
多项式
整式
单项式、多项式、整式三者有什么联系？
单项式与多项式统称为整式.
分别写出下列多项式的次数和常数项：
（1）2x-3； （2）-x3+7x -4；
（3）3x2 -5xy + y2-4x + 6y -9 .
例1
解 （1）2x-3 的次数是 1 ，常数项是-3 .
（2）-x3+7x -4 的次数是 3 ，常数项是-4 .
（3）3x2 -5xy + y2-4x + 6y -9 的次数是 2 ，常数项是-9 .
填空：
如果整式 xn-2 -5x+2 是关于 x 的三次三项式，那么 n 的值为______ ；
如果多项式 3x4+x3+(n+2)x2- (m -1)x+ 1不含x2和 x 项，那么 n=______，m=______；
已知 n是自然数，多项式 yn+1+3x3-2x是三次三项式，那么n可能为___________.
5
-2
1
0，
1，
2
提示：不含某项就是指这项系数为0
练一练
课堂练习
1.填表（其中 π 是圆周率）：
单项式 2 000x2 –x 4xy5 –6x4y2
系数
次数
4
2
2 000
1
-1
3
π
6
4
6
-6
【课本P77 练习第1题】
2.填空：
如果单项式 amb 的次数为 5，则m=______;
(2) 如果 0.5x4-m与 6xy2 的次数相同，则m =______;
(3) 若单项式 -2x2y1-b 是三次单项式，则b =______;
4
1
0
3.分别写出下列多项式的次数和常数项.
（1）-3x +11；
（2）- x2 + 4x -7；
（3）x3-2x2y -3x+ y2 + 5y -1；
（4）-x4+ 5x2y3 -12xy + y2-2y + 25 .
次数：1 ；常数项：11 .
次数：2 ；常数项：-7 .
次数：3 ；常数项：-1 .
次数：5 ；常数项：25 .
【课本P77 练习第2题】
4. 如图所示，用式子表示圆环的面积.当R=15cm，r =10 cm时，求圆环的面积(π 取3.14) .
解:依题意得 S圆环= S外圆-S内圆
所以S圆环= πR2 - πr2
当R=15cm，r =10 cm时，
S圆环= πR2 - πr2
=3.14×152-3.14×102
= 392.5(cm2)
答:这个圆环的面积是392.5 cm2.
1. 下列代数式中：，，，，0， ，
， ，单项式共有( )
B
A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
2. 下列式子：，，，4，， ，
，其中是多项式的有( )
B
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
返回
3. 下列说法正确的是( )
D
A. 单项式的系数是 ，次数是2
B. 单项式 的系数为1，次数是0
C. 是二次单项式
D. 单项式的系数为 ，次数是2
返回
4. 如果是关于，的五次单项式，则， 满足
的条件是( )
B
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【点拨】因为是关于, 的五次单项式，所以
，，所以， .
返回
5. 如果一个多项式的次数是6，那么这个多项式的任何一项
的次数都( )
C
A. 小于6 B. 等于6
C. 不大于6 D. 不小于6
6. 单项式 的系数是____，次数是___.
3
返回
7.母题教材P80习题 多项式 的次
数是___，项数是___，最高次项是_______,二次项的系数是
____，常数项是____.
4
4
【点拨】确定多项式各项及各项系数时，不要漏掉前面的符号.
返回
8. 写出一个次数为3，且含有字母,
的整式：___________________.
9.若多项式是关于, 的三次多项
式，则 ______.
（答案不唯一）
0或8
返回
10.把下列各式分别填在相应的大括号里.
，，，，，0，， ，
.
整式集合：{____________________________________…}；
单项式集合：{_____________________________…}；
多项式集合：{_______…}.
，，，0，，
，，0，，
.
返回
11. 一个同时含有字母,, ,且系数为3的五次单项式共有
( )
B
A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 不能确定
12. 按一定规律排列的单项式：， ，
，，， ，第 个单项式是( )
D
A. B.
C. D.
返回
整式
单项式
多项式
次数
常数项
次数
系数
定义
定义
由数与字母及其幂的乘积组成的代数式叫作单项式
单项式中这个数叫作单项式的系数
单项式中所有字母的指数的和叫作单项式的次数
几个单项式的和叫作多项式.
多项式中不含字母的项叫作常数项
多项式中次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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