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2.3.2 合并同类项教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：2.3.2 合并同类项
副标题：初中七年级数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：什么是单项式和多项式？（由数与字母的乘积组成的代数式是单项式；几个单项式的和是多项式。）
问题 2：指出多项式\(3x^{2}y - 2xy^{2}+5x^{2}y + xy - 4\)的项。（答案：\(3x^{2}y\)，\(-2xy^{2}\)，\(5x^{2}y\)，\(xy\)，\(-4\) 。）
问题 3：什么是整式？（单项式与多项式统称为整式。）
引入：观察多项式\(3x^{2}y + 5x^{2}y\)中的两项，它们有什么共同特点？能否简化这样的多项式？本节课学习合并同类项。
第 3 页：情境引入
情境 1：如图，一个长方形由两个小长方形组成，一个小长方形的长为\(a\)，宽为\(b\)；另一个小长方形的长为\(2a\)，宽为\(b\)。这个大长方形的面积是多少？（计算：\(ab + 2ab = (1 + 2)ab = 3ab\) 。）
情境 2：超市里苹果每千克\(x\)元，小明买了\(3\)千克，小红买了\(5\)千克，两人一共花了多少钱？（计算：\(3x + 5x = (3 + 5)x = 8x\) 。）
思考：\(ab\)与\(2ab\)，\(3x\)与\(5x\)这样的项有什么共同特征？为什么能把它们的系数相加？引出同类项的概念。
第 4 页：同类项的概念
定义内容：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。
关键词解析：
“所含字母相同”：如\(3x^{2}y\)与\(5x^{2}y\)都含有字母\(x\)和\(y\)；而\(3x^{2}y\)与\(3xy^{2}\)所含字母相同，但不是同类项（因相同字母指数不同）。
“相同字母的指数也相同”：如\(2a^{3}b^{2}\)与\(-a^{3}b^{2}\)中，\(a\)的指数都是\(3\)，\(b\)的指数都是\(2\)，是同类项。
“常数项是同类项”：如\(5\)与\(-3\)，\(0.7\)与\(2\)都是同类项。
实例说明：\(4xy\)与\(-xy\)是同类项；\(3x^{2}\)与\(5x^{2}\)是同类项；\(-7\)与\(9\)是同类项；\(2a\)与\(3b\)不是同类项（字母不同）；\(5x^{2}\)与\(5x^{3}\)不是同类项（相同字母指数不同）。
第 5 页：同类项的识别技巧
技巧 1：“两相同” 原则。判断两项是否为同类项，只需看所含字母是否相同，相同字母的指数是否相同，与系数无关，与字母的排列顺序无关。
例如：\(3xy\)与\(-5yx\)是同类项（字母相同，指数相同，顺序不影响）。
技巧 2：“两无关” 原则。同类项与系数的大小无关，与字母的排列顺序无关。
例如：\(2x^{2}y\)与\(-0.5x^{2}y\)是同类项（系数不同但仍为同类项）；\(ab^{2}\)与\(b^{2}a\)是同类项（顺序不同但字母和指数相同）。
实例辨析：判断下列各组是否为同类项：
（1）\(3a\)与\(2b\)（否，字母不同）；
（2）\(5x^{2}\)与\(5x\)（否，指数不同）；
（3）\(-2xy^{2}\)与\(3y^{2}x\)（是，字母和指数相同）；
（4）\(7\)与\(-\frac{1}{2}\)（是，常数项）。
第 6 页：例题讲解 1—— 识别同类项
例 1：指出多项式\(4x^{2}-3xy + 2x^{2}-xy + 5\)中的同类项。
解析：
观察各项字母及指数：
\(4x^{2}\)与\(2x^{2}\)都含字母\(x\)，且\(x\)的指数都是\(2\)，是同类项。
\(-3xy\)与\(-xy\)都含字母\(x\)和\(y\)，且\(x\)的指数都是\(1\)，\(y\)的指数都是\(1\)，是同类项。
常数项\(5\)没有其他常数项，单独为一类。
答案总结：\(4x^{2}\)与\(2x^{2}\)是同类项；\(-3xy\)与\(-xy\)是同类项。
第 7 页：合并同类项的概念
定义内容：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
核心原理：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
实例说明：合并同类项\(3x + 5x\)，系数相加\(3 + 5 = 8\)，字母和指数不变，结果为\(8x\)；合并同类项\(4a^{2}b - 2a^{2}b\)，系数相加\(4 - 2 = 2\)，结果为\(2a^{2}b\) 。
注意：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项系数的和，字母连同它的指数不变。
第 8 页：合并同类项的法则
法则内容：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。
口诀记忆：“同类项，需判断；两相同，是关键；系数加，字母不变。”
实例演示：合并同类项\(5x^{2}y - 3x^{2}y + 2x^{2}y\) 。
系数相加：\(5 - 3 + 2 = 4\) 。
字母和指数不变：仍为\(x^{2}y\) 。
结果：\(4x^{2}y\) 。
第 9 页：合并同类项的步骤
步骤 1：找出同类项。在多项式中用不同的标记（如横线、波浪线）标出同类项，防止遗漏。
步骤 2：移动同类项。利用加法交换律和结合律，将同类项移到一起（注意移动时连同项的符号一起移动）。
步骤 3：合并同类项。按照法则，将同类项的系数相加，字母和指数不变。
步骤 4：整理结果。合并后若有同类项需再次合并，最终结果按某一字母的升幂或降幂排列（通常按降幂排列）。
实例演示：合并多项式\(3x^{2} + 2x - 5x^{2} + 4x - 1\) 。
步骤 1：同类项为\(3x^{2}\)与\(-5x^{2}\)，\(2x\)与\(4x\)，常数项\(-1\) 。
步骤 2：移动后：\(3x^{2}-5x^{2}+2x + 4x - 1\) 。
步骤 3：合并：\((3 - 5)x^{2}+(2 + 4)x - 1=-2x^{2}+6x - 1\) 。
步骤 4：结果整理为\(-2x^{2}+6x - 1\) 。
第 10 页：例题讲解 2—— 合并同类项
例 2：合并下列多项式中的同类项：
（1）\(7a + 3a^{2}+2a - a^{2}+3\)；
（2）\(4x^{2}y - 2xy^{2}-3x^{2}y + xy^{2}\) 。
解析：
（1）步骤：
找同类项：\(7a\)与\(2a\)，\(3a^{2}\)与\(-a^{2}\)，常数项\(3\) 。
移动合并：\((3a^{2}-a^{2})+(7a + 2a)+3=(3 - 1)a^{2}+(7 + 2)a + 3=2a^{2}+9a + 3\) 。
（2）步骤：
找同类项：\(4x^{2}y\)与\(-3x^{2}y\)，\(-2xy^{2}\)与\(xy^{2}\) 。
移动合并：\((4x^{2}y - 3x^{2}y)+(-2xy^{2}+xy^{2})=(4 - 3)x^{2}y+(-2 + 1)xy^{2}=x^{2}y - xy^{2}\) 。
答案总结：（1）\(2a^{2}+9a + 3\)；（2）\(x^{2}y - xy^{2}\) 。
第 11 页：例题讲解 3—— 复杂多项式的合并同类项
例 3：合并多项式\(3(x + y)-2(x + y)+5(x + y)\)中的同类项。
解析：
把\((x + y)\)看作一个整体（即 “字母”），则\(3(x + y)\)，\(-2(x + y)\)，\(5(x + y)\)是同类项。
合并：\([3 - 2 + 5](x + y)=6(x + y)=6x + 6y\) 。
方法说明：当多项式中出现相同的多项式整体（如\((x + y)\)，\((a - b)\)等）时，可将其视为一个整体进行同类项合并。
答案总结：\(6x + 6y\) 。
第 12 页：例题讲解 4—— 合并同类项的实际应用
例 4：一个三角形的三边长分别为\(2x + 3\)，\(x^{2}-2\)，\(3x - 1\) 。
（1）求这个三角形的周长（用含\(x\)的整式表示）；
（2）当\(x = 2\)时，求周长的值。
解析：
（1）周长\(C=(2x + 3)+(x^{2}-2)+(3x - 1)\) 。
去括号：\(2x + 3 + x^{2}-2 + 3x - 1\) 。
合并同类项：\(x^{2}+(2x + 3x)+(3 - 2 - 1)=x^{2}+5x + 0=x^{2}+5x\) 。
（2）当\(x = 2\)时，周长\(C=2^{2}+5 2=4 + 10=14\) 。
答案总结：（1）周长为\(x^{2}+5x\)；（2）当\(x = 2\)时，周长为\(14\) 。
第 13 页：方法总结
同类项识别的核心：紧扣 “两相同”（字母相同，相同字母指数相同），忽略 “两无关”（系数、顺序）。
合并同类项的关键步骤：
准确找出同类项，做好标记。
移动同类项时，连同符号一起移动，避免符号错误。
合并系数时，注意有理数的加减运算规则（尤其是负数）。
注意事项：
合并同类项后，项的数量可能减少，但字母和指数不变。
若同类项系数互为相反数，合并后该项为\(0\)（如\(2x - 2x = 0\)）。
对于多项式整体作为同类项的情况，可将其视为一个整体处理。
第 14 页：课堂练习 1
练习 1：指出下列多项式中的同类项：
（1）\(3x - 2y + 1 + 5y - 2x - 3\)；
（2）\(5a^{2}b - 3ab^{2}+2a^{2}b - ab^{2}\) 。
练习 2：合并下列多项式中的同类项：
（1）\(4m^{2}-3m + 7 + 3m^{2}-5m - 3\)；
（2）\(6xy - 3x^{2}-4x^{2}y - 5yx + x^{2}\) 。
第 15 页：课堂练习 2
练习 3：合并同类项：\(2(a + b)^{2}-3(a + b)^{2}+5(a + b)^{2}\) 。
练习 4：一个长方形的长为\(3x + 2\)，宽为\(2x - 1\) 。
（1）求这个长方形的周长（用含\(x\)的整式表示）；
（2）当\(x = 3\)时，求周长的值。
第 16 页：易错点提醒
识别同类项时出错，误将字母不同或指数不同的项当作同类项（如将\(3x^{2}\)与\(3x\)合并）。
移动同类项时忘记携带符号，导致系数计算错误（如将\(5x - 3y - 2x\)错误合并为\(5x + 2x - 3y\)）。
合并系数时，有理数加减运算错误（尤其是负数相加，如\(-2 + (-3)\)错误计算为\(1\)）。
忽略常数项的合并（如多项式\(3 + 5 - 2\)未合并为\(6\)）。
对整体同类项合并时，未将多项式整体视为一个字母，导致错误（如\(2(x + y)- (x + y)\)错误合并为\(2x + 2y - x + y\)）。
第 17 页：课堂小结
本节课学习了同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，常数项也是同类项。
掌握了合并同类项的法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
学会了合并同类项的步骤：找同类项→移同类项→合并→整理结果。
理解了合并同类项在简化整式和解决实际问题中的作用，体会到数学的简洁性。
第 18 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页练习十五第 1、2、3 题。
提高作业：合并同类项：
（1）\(3x^{2}y - 4xy^{2}-3 + 5x^{2}y + 2xy^{2}+5\)；
（2）\(2(a^{2}-ab)-3(a^{2}-ab)\) 。
拓展作业：已知多项式\(2x^{2}+ax - y + 6\)与多项式\(2bx^{2}-3x + 5y - 1\)合并同类项后不含\(x^{2}\)项和\(x\)项，求\(a\)，\(b\)的值。
2025-2026学年湘教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.3.2合并同类项
第2章 代数式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
生活中的分类
思考：分类的标准是什么呢？
探索新知
说一说
在多项式 x4-3x2y+5x3+7x2y+4 中，项-3x2y与7x2y中含有的字母相同吗？
相同字母的指数也相同吗？
这两项都只含有相同的字母 x，y，
且x的指数都是2，y的指数都是1.
将下列整式进行分类：
8n
5n
-4y2x
2xy2
-3xy
6xy
x4 -3 x2 y +5 x3 +7 x2 y +4
把所含字母相同并且相同字母的指数也相同的单项式称为同类项.
非零常数也是同类项吗？
同类项的特征：
两相同
所含______相同.
相同字母的______分别相同.
两无关
两者缺一不可
与__________无关.
与__________无关.
字母
系数大小
字母顺序
所有的常数项都是同类项
指数
1.找出下面的同类项：
练一练
【课本P79 练习第1题】
2x3，
xy2，
-5x，
-7xy2，
3x，
-4x3.
0.，
2x3与-4x3是同类项；
xy2与-7xy2是同类项；
-5x与3x是同类项；
与0.是同类项.
2.下列各组中的两项是不是同类项？若不是，说明理由.
(1) xy与2xz; (2) 3xy与 -2yx;
(3) x2yz与xy2z; (4) -8xy2与 -xy;
(5) -0.3与8.
不是，字母不同
是
不是，相同字母指数不同
是
是
x4-3x2y+5x3+7x2y+4
= x4-3x2y+7x2y+5x3+4
= x4+ (-3x2y+7x2y)+5x3+4
= x4+ (-3+7 ) x2y+5x3+4
= x4+ 4x2y+5x3+4
······加法交换律
······加法结合律
一般地，在多项式中，要把同类项的系数相加合并成一项，这叫作合并同类项.
把下列多项式合并同类项：
2x3-9x3+x2-7；
-3x2y2+5xy3-7x2y2-8xy3-10 .
例 2
解： (1) 2x3-9x3+x2-7
= (2-9) x3+x2-7
= -7x3+x2-7 .
(2) -3x2y2+5xy3-7x2y2-8xy3-10
=(-3-7)x2y2 +(5-8) xy3 -10
=-10x2y2 -3xy3 -10 .
三次三项式
四次三项式
“合并同类项”的方法:
一找，找出多项式中的同类项，不同类的同类项用
不同的标记标出;
二移，利用加法的交换律，将不同类的同类项集
中到一起;
三合，将同一括号内的同类项相加即可.
系数相加，字母和字母的指数不变.
1.把下列多项式合并同类项，并指出是几次几项式：
(1) 8x3 +5x3+3x2–4x3+1；
三次三项式
练一练
(2) 2y4+4y3–5y4+3y2–6y3+4；
(3) 3x5y2–2x3y2+5x2y+7x3y2–x2y+xy.
解：(1) 8x3 +5x3+3x2–4x3+1；
= 9x3+3x2+1；
(2) 2y4+4y3–5y4+3y2–6y3+4；
= –3y4–2y3+3y2+4；
四次四项式
1.把下列多项式合并同类项，并指出是几次几项式：
(1) 8x3 +5x3+3x2–4x3+1；
练一练
(2) 2y4+4y3–5y4+3y2–6y3+4；
(3) 3x5y2–2x3y2+5x2y+7x3y2–x2y+xy.
=3x5y2+5x3y2+4x2y+xy.
七次四项式
(3) 3x5y2–2x3y2+5x2y+7x3y2–x2y+xy.
在把多项式合并同类项后，一般要把它的各项按照一定的次序排列：
把只有一个字母的多项式的各项按照该字母的指数由大到小(或由小到大)排列，称为降幂(或升幂)排列.
习惯上，把只有一个字母的多项式按降幂排列.
-x4+5x3-3x2-7x+12
12-7x-3x2+5x3-x4
降幂排列
升幂排列
习惯上，把含有多个字母的多项式按照其中某个字母进行降幂排列.
按 x 降幂排列
3x4y -5x3y2+7x2y4 -xy3+xy+y2-13
你能试着将上述式子按照 y 降幂排列？
7x2y4-xy3-5x3y2+y2+3x4y+xy-13
写出下列多项式的次数和常数项，
并指出它们是不是按x降幂排列，对于不是按x降幂排列的多项式，试着按 x 进行降幂排列:
(1) x5+x4-7x3x+10；
例 3
解 (1) x5+x4-7x3x+10 的次数是 5，常数项是 10，且是按 x 降幂排列.
写出下列多项式的次数和常数项，
并指出它们是不是按x降幂排列，对于不是按x降幂排列的多项式，试着按 x 进行降幂排列:
(2) 5x2y4-2x3y2+6xy3-7y-19 .
例 3
(2) 5x2y4-2x3y2+6xy3-7y-19 的次数是 6，常数项是 -19，它不是按 x 降幂排列，按x 降幂排列应为-2x3y2+5x2y4+6xy3-7y-19 .
1.指出下列多项式是不是按 x 降幂排列，对于不是按 x 降幂排列的多项式，按 x 进行降幂排列：
(1) x4-3x2+5x-1；
(2) x2y3-5x3y+7xy2-6y2-23；
(3) 3xy4-4x4-7x3+6x2-5x+2y-7.
练一练
是
不是
不是
(2) -5x3y+x2y3+7xy2-6y2-23
(3) -4x4-7x3+6x2+3xy4-5x+2y-7
【课本P80 练习第3题】
说一说
分别将多项式 x3-4x2+7x2-2x-5 与多项式x3+3x2-6x+4x-5 合并同类项，你会发现什么
分别将两个多项式合并同类项后，均等于x3+3x2-2x-5 .
两个多项式分别合并同类项后，如果它们的对应项系数都相等，那么称这两个多项式相等.
若多项式ax2+ bxy2-cy与多项式dx2- exy2相等，其中a，b，c，d ，e均为常数，则 a=d， b=-e，-c=0.
1.已知下列两个多项式相等，求常数a，b的值.
x3 – 5x2+3x2 – 7x+2，x3+ax2+bx+2 .
x3 – 5x2+3x2 – 7x+2
= x3 – 2x2 – 7x+2
= x3+ ax2+ bx+2
练一练
解：
所以 a= – 2，b= – 7
【课本P80 练习第4题】
课堂练习
1.下列各式中，与x2y是同类项的是（ ）
A. xy2 B. 2xy C. –x2y D. 3x2y2
C
2.若-5x2ym+3 与xn-1y是同类项，则mn的值为_______.
-8
3.下列各式运算错误的是 ( )
A.5x-2x=3x B.5ab-5ab=0
C.4x2y-5xy2=-x2y D.3x2+2x2=5x2
4.若多项式ax2+2x+3与3x2+5x2+bx+3相等，则常数a=_____;b=_____.
C
8
2
5.把下列多项式合并同类项，并指出它们分别是几次几项式.
(1) 6x4-5x4+7x2-3x4+8；
(2) 8x4y-5x3y-6x4y+2x3y+ 9xy-11.
解：(1) 6x4-5x4+7x2-3x4+8
=-2x4+7x2+8
四次三项式
(2) 8x4y-5x3y-6x4y+2x3y+ 9xy-11.
=2x4y-3x3y+ 9xy-11
五次四项式
【课本P80 练习第2题】
6.已知多项式3x3-x3+5x2-ax2+7+b与2x3-2x2+1相等，求3a+2b的值.
解：3x3-x3+5x2-ax2+7+b=2x3+(5-a) x2+(7+b)
所以5-a=-2，7+b=1
所以a=7，b=-6
即3a+2b=3×7+2×(-6) =9
1. 有下列各式，其中是同类项的有( )
与;与 ;
与;与 .
与；与
C
A. 2组 B. 3组 C. 4组 D. 5组
2. ［2025永州期末］下面计算正确的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
3. 母题教材P81习题 若与 的和为单项式，
则 的值为( )
D
A. 0 B. 0或4 C. D. 0或
【点拨】由题意得，，解得, .
当时，；当 时，
.
返回
4. 如图，从标有单项式的四张卡片中找出所有能合并的同类
项，若它们合并后的结果为，则代数式 的值为
( )
C
A. B. 0 C. 1 D. 2
【点拨】由题意得 ，所以
.
返回
5. 若整式化简后是关于, 的三次
二项式,则 的值为( )
A
A. B. C. 8 D. 16
【点拨】
.因为
化简后是关于, 的三次二项式，
所以，,所以， ,所以
.
返回
6.母题教材P80练习 把多项式 按要
求重新排列：
（1）按 的升幂排列：______________________；
（2）按 的降幂排列：_______________________.
7.若多项式是按字母 的降幂排列
的，则 的值是_________.
2或3或4
【点拨】由题意知，且 为整数，则
的值为4或5或6，故 的值为2或3或4.
返回
8.如果多项式与
（其中,,是常数）相等，则 的值为____.
15
返回
9.合并同类项：
（1） ；
【解】原式
（2） ；
原式 .
（3）,其中 .
原式 .
返回
10. 若是一个五次多项式，是一个四次多项式，则
一定是( )
B
A. 次数不超过五次的多项式
B. 五次多项式或单项式
C. 九次多项式
D. 次数不低于五次的多项式
返回
同 类 项
合并同类项
两个相同
（1）所含字母相同.
（2）相同字母的指数分别相同.
一个相加
两个不变
（1）系数相加作为结果的系数.
（2）字母与字母的指数不变.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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