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3.2.1 等式的基本性质教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：3.2.1 等式的基本性质
副标题：初中七年级数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：什么是整式？（单项式和多项式统称为整式。）
问题 2：整式的加减运算实质是什么？（去括号和合并同类项。）
问题 3：判断下列式子中哪些是代数式：\(3x + 2\)，\(5 = 2 + 3\)，\(a - b\)，\(x > 1\)。（答案：\(3x + 2\)，\(a - b\)是代数式；\(5 = 2 + 3\)，\(x > 1\)不是代数式。）
引入：上节课学习了整式的加减运算，本节课将学习与等式相关的知识 —— 等式的基本性质，它是解方程的重要依据。
第 3 页：情境引入
情境 1：如图，天平两端分别放有质量为\(a\)和\(b\)的物体，天平平衡，说明\(a = b\)。若在天平两端同时各放一个质量为\(c\)的物体，天平仍然平衡，可表示为\(a + c = b + c\)。
情境 2：如果天平两端的物体质量都扩大到原来的\(2\)倍，天平仍然平衡，即若\(a = b\)，则\(2a = 2b\)。
思考：从天平平衡的情境中，你能发现等式的变化规律吗？这些规律就是等式的基本性质，本节课我们将深入学习。
第 4 页：学习目标
知识目标：理解等式的概念；掌握等式的两条基本性质；能运用等式的基本性质进行等式的变形。
能力目标：通过观察、归纳等式的基本性质，培养抽象概括能力；在运用性质变形等式的过程中，提高逻辑推理能力。
情感目标：感受等式基本性质的严谨性和实用性，体会数学与生活的密切联系，激发学习数学的兴趣。
第 5 页：等式的概念
定义内容：用等号 “\(=\)” 表示相等关系的式子叫做等式。
实例说明：
简单等式：\(3 + 2 = 5\)，\(a = b\)，\(x + 1 = 3\)。
复杂等式：\((a + b)c = ac + bc\)，\(x^{2}+2x + 1 = (x + 1)^{2}\)。
注意：等式由左边的式子、等号和右边的式子三部分组成，等式两边可以是数、单项式、多项式等整式。
第 6 页：等式的基本性质 1
性质内容：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式。
符号表示：如果\(a = b\)，那么\(a + c = b + c\)，\(a - c = b - c\)（\(c\)为整式）。
实例说明：
若\(x = 5\)，则\(x + 3 = 5 + 3\)（即\(x + 3 = 8\)）。
若\(m - 2 = n\)，则\(m - 2 + 2 = n + 2\)（即\(m = n + 2\)）。
几何解释：如同天平两端同时添加或拿走相同质量的物体，天平仍然保持平衡。
第 7 页：例题讲解 1—— 应用等式性质 1 变形
例 1：利用等式的基本性质 1，把下列等式变形为左边只含未知数，右边只含常数的形式：
（1）\(x + 5 = 8\)；
（2）\(y - 3 = 4\)；
（3）\(2 + z = 7\) 。
解析：
（1）等式两边同时减去\(5\)：\(x + 5 - 5 = 8 - 5\)，即\(x = 3\) 。
（2）等式两边同时加上\(3\)：\(y - 3 + 3 = 4 + 3\)，即\(y = 7\) 。
（3）等式两边同时减去\(2\)：\(2 + z - 2 = 7 - 2\)，即\(z = 5\) 。
答案总结：（1）\(x = 3\)；（2）\(y = 7\)；（3）\(z = 5\) 。
第 8 页：等式的基本性质 2
性质内容：等式两边同时乘同一个整式（或除以同一个不为\(0\)的整式），所得结果仍是等式。
符号表示：如果\(a = b\)，那么\(ac = bc\)（\(c\)为整式）；如果\(a = b\)，\(c \neq 0\)，那么\(\frac{a}{c}=\frac{b}{c}\)（\(c\)为整式且\(c \neq 0\)）。
实例说明：
若\(2x = 6\)，则\(2x \frac{1}{2}=6 \frac{1}{2}\)（即\(x = 3\)）。
若\(\frac{y}{4}=2\)，则\(\frac{y}{4} 4 = 2 4\)（即\(y = 8\)）。
注意：等式两边同时除以一个整式时，必须保证这个整式不为\(0\)，否则等式无意义（如不能由\(0 3 = 0 5\)推出\(3 = 5\)）。
第 9 页：例题讲解 2—— 应用等式性质 2 变形
例 2：利用等式的基本性质 2，把下列等式变形为未知数的系数为\(1\)的形式：
（1）\(3x = 12\)；
（2）\(\frac{x}{5}=2\)；
（3）\(-2y = 6\) 。
解析：
（1）等式两边同时除以\(3\)：\(\frac{3x}{3}=\frac{12}{3}\)，即\(x = 4\) 。
（2）等式两边同时乘\(5\)：\(\frac{x}{5} 5 = 2 5\)，即\(x = 10\) 。
（3）等式两边同时除以\(-2\)：\(\frac{-2y}{-2}=\frac{6}{-2}\)，即\(y = -3\) 。
答案总结：（1）\(x = 4\)；（2）\(x = 10\)；（3）\(y = -3\) 。
第 10 页：例题讲解 3—— 综合应用等式性质变形
例 3：利用等式的基本性质，解下列方程（将方程变形为\(x = a\)的形式）：
（1）\(2x + 5 = 11\)；
（2）\(3x - 7 = 8\) 。
解析：
（1）步骤 1：利用性质 1，两边同时减去\(5\)：\(2x + 5 - 5 = 11 - 5\)，即\(2x = 6\) 。
步骤 2：利用性质 2，两边同时除以\(2\)：\(\frac{2x}{2}=\frac{6}{2}\)，即\(x = 3\) 。
（2）步骤 1：利用性质 1，两边同时加上\(7\)：\(3x - 7 + 7 = 8 + 7\)，即\(3x = 15\) 。
步骤 2：利用性质 2，两边同时除以\(3\)：\(\frac{3x}{3}=\frac{15}{3}\)，即\(x = 5\) 。
答案总结：（1）\(x = 3\)；（2）\(x = 5\) 。
第 11 页：例题讲解 4—— 等式性质的实际应用
例 4：如图，一个长方体的长为\(x\)，宽和高都是\(2\)，已知长方体的体积为\(16\)，求长方体的长\(x\)。（长方体体积 = 长 × 宽 × 高）
解析：
步骤 1：根据体积公式列等式：\(x 2 2 = 16\)，即\(4x = 16\) 。
步骤 2：利用等式性质 2，两边同时除以\(4\)：\(\frac{4x}{4}=\frac{16}{4}\)，即\(x = 4\) 。
答案总结：长方体的长为\(4\) 。
第 12 页：例题讲解 5—— 判断等式变形是否正确
例 5：下列等式变形是否正确？为什么？
（1）如果\(a = b\)，那么\(a + 2 = b + 2\)；
（2）如果\(a = b\)，那么\(a - c = b - c\)；
（3）如果\(a = b\)，那么\(3a = 3b\)；
（4）如果\(a = b\)，那么\(\frac{a}{c}=\frac{b}{c}\) 。
解析：
（1）正确，根据等式基本性质 1，两边同时加\(2\)，等式仍成立。
（2）正确，根据等式基本性质 1，两边同时减\(c\)，等式仍成立。
（3）正确，根据等式基本性质 2，两边同时乘\(3\)，等式仍成立。
（4）不正确，根据等式基本性质 2，两边同时除以\(c\)时，需满足\(c \neq 0\)，题目中未说明\(c \neq 0\)，所以变形不正确。
答案总结：（1）正确；（2）正确；（3）正确；（4）不正确。
第 13 页：方法总结
等式基本性质 1 的核心：“同加同减，等式不变”，适用于消除等式一边的常数项。
等式基本性质 2 的核心：“同乘同除（除数不为 0），等式不变”，适用于将未知数的系数化为 1。
运用等式性质变形的注意事项：
性质 1 中，两边必须加上或减去同一个整式。
性质 2 中，两边乘同一个整式时无限制；但除以同一个整式时，必须保证这个整式不为 0。
变形过程要步步有据，每一步变形都要明确依据哪条性质。
第 14 页：课堂练习 1
练习 1：利用等式的基本性质，把下列等式变形：
（1）由\(x - 4 = 5\)得\(x = 5 +\)______；
（2）由\(3x = 15\)得\(x = 15\div\)______；
（3）由\(\frac{y}{2}=3\)得\(y = 3\times\)______ 。
练习 2：解下列方程：
（1）\(x + 7 = 10\)；
（2）\(2x = 8\)；
（3）\(3x - 4 = 5\) 。
第 15 页：课堂练习 2
练习 3：下列等式变形正确的是（ ）
A. 如果\(x = y\)，那么\(x + 2 = y - 2\)
B. 如果\(ax = ay\)，那么\(x = y\)
C. 如果\(x = y\)，那么\(-x = -y\)
D. 如果\(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\)，那么\(3x = 2y\) 。
练习 4：已知等式\(3a = 2b + 5\)，利用等式的基本性质，求\(6a - 4b\)的值。
第 16 页：易错点提醒
运用性质 1 时，两边未同时加或减同一个整式（如由\(x + 3 = 5\)错误变形为\(x = 5 + 3\)）。
运用性质 2 时，除以一个整式未考虑其是否为 0（如由\(2x = 2y\)错误推出\(x = y\)时未说明\(2 \neq 0\)，虽然结果正确，但逻辑不严谨）。
等式两边乘或除以的不是同一个整式（如由\(a = b\)错误变形为\(2a = 3b\)）。
对性质 2 中 “除以同一个不为 0 的整式” 理解不清，误认为可以除以 0（如由\(0 x = 0 5\)错误推出\(x = 5\)）。
变形过程中符号错误（如由\(-x = 3\)错误变形为\(x = 3\)，正确应为\(x = -3\)）。
第 17 页：课堂小结
本节课学习了等式的概念：用等号表示相等关系的式子。
掌握了等式的两条基本性质：
性质 1：等式两边同时加（或减）同一个整式，等式仍成立。
性质 2：等式两边同时乘同一个整式（或除以同一个不为 0 的整式），等式仍成立。
学会了运用等式的基本性质进行等式变形，为后续解方程奠定了基础。
理解了运用性质时的注意事项，尤其是性质 2 中除数不能为 0 的要求。
第 18 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页练习十八第 1、2、3 题。
提高作业：利用等式的基本性质解下列方程：
（1）\(5x - 3 = 7\)；
（2）\(\frac{x}{3}+2 = 5\) 。
拓展作业：已知\(2x + 3 = 5\)，利用等式的基本性质求代数式\(4x + 7\)的值。
2025-2026学年湘教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.2.1等式的基本性质
第3章 一次方程（组）
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
复习导入
性质Ⅱ 等式两边都乘同一个数，或除以
同一个不为0的数，等式两边仍然相等
（1）如果 a + 2 = b + 7 ，那么 a =________；
b + 5
（2）如果 3x = 9y，那么 x =________；
3y
在小学，已经学习了等式的基本性质，即：
性质Ⅰ 等式两边都加上或减去同一个数，
等式两边仍然相等
探索新知
（1）方程 5x=4x+2的解是多少？
思 考
设数a是方程 5x=4x+2的解，则5a=4a+2.
5a=4a+2
a= 2
两边同时减去4a
因此，2是方程5x=4x+2的唯一解.
5x=4x+2
x=2
两边都减去4x
等式的基本性质1：
等式两边都加上或减去同一个数（或整式），等式两边仍然相等.
符号语言：
∵a=b
∴a±c=b±c
(c可以为一个数或整式)
（2）方程的解是多少？
思 考
设数b是方程 的解，则 .
两边都乘3
因此，15是方程的唯一解.
x=15
两边同乘3或除以
等式的基本性质2：
等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等.
符号语言：
∵a=b
∴ac=bc 或
(其中d≠0)
填空，并说明理由.
(1)如果 x+2=y+7，那么 x =________；
(2)如果3x=9y，那么 x =________；
(3)如果-x= y，那么3x =________.
(1) 由等式的基本性质1可知，等式两边都减去2，
y+5
得 x+2-2=y+7-2
即 x = y+5 .
解：
例1
(2) 由等式的基本性质2可知，等式两边都除以3，
y+5
即 x = 3y .
3y
得 =
例1
填空，并说明理由.
(1)如果 x+2=y+7，那么 x =________；
(2)如果3x=9y，那么 x =________；
(3)如果-x= y，那么3x =________.
(3) 由等式的基本性质2可知，等式两边都乘 -6，
y+5
即 3x = -2y .
-2y
3y
得 -
例1
填空，并说明理由.
(1)如果 x+2=y+7，那么 x =________；
(2)如果3x=9y，那么 x =________；
(3)如果-x= y，那么3x =________.
请在括号中写出下列等式变形的理由.
(1)如果 x+y=2y+7，那么 x=y+7 ；
(2)如果 3x=2y，那么 x= y；
(3)如果，那么 x=2y；
(4)如果2x+3=3y -1，那么2x-6=3y-10.
练一练
【课本P102 练习 第1题】
（性质1）
（性质2）
（性质2）
（性质1）
例2
判断下列等式变形是否正确，并说明理由.
(1) 如果2m-3n=7，那么2m =7-3n；
(2) 如果 = ，那么5(2x-1)= 4(4x-2).
(1) 错误.
解：
由等式的基本性质1可知，
2m-3n+3n=7+3n
即 2m=7+3n .
等式两边都加上3n，得
例2
判断下列等式变形是否正确，并说明理由.
(1) 如果2m-3n=7，那么2m =7-3n；
(2) 如果 = ，那么5(2x-1)= 4(4x-2).
(2) 正确.
由等式的基本性质2可知，
即 5(2x-1)= 4(4x-2) .
×20 = ×20
等式两边都乘20，得
练一练
【课本P102 练习 第2题】
判断下列等式变形是否正确，并说明理由.
(1)若 x+3=y-1，则 x+3=3y-3 ；
(2)若 2x-6=4y-2，则-x+3=-2y+2.
(1)错误.
解：
由等式的基本性质2可知，
即 x+9=3y-3
(x+3)×3=(y-1)×3
练一练
【课本P102 练习 第2题】
判断下列等式变形是否正确，并说明理由.
(1)若 x+3=y-1，则 x+3=3y-3 ；
(2)若 2x-6=4y-2，则-x+3=-2y+2.
(2)错误.
由等式的基本性质2可知，
即 -x+3=-2y+1
(2x-6)×(-)=(4y-2)×(-)
课堂练习
1.若x=y，则下列各式不一定成立的是( )
(A) x-2=y-2
(B) 2-x=2-y
(C)
(D) -2x+1=-1+2y
D
【课本P102 练习 第3题】
2.下列说法中正确的是( )
(A) 若 ac=bc，则 a=b
(B) 若 ，则 a=-b
(C) 若 x-3=4，则 x=3-4
(D) 若-x=6，则 x=-2
B
3.下列等式变形正确的是 ( )
(A) xz=yz，则x=y
(B) (m-3)a=(m-3)b，则a=b
(C) 2mx=3my，则2x=3y
(D) (a2+1)x=(a2+1)y，则x=y
D
4.已知 x(m-1)= 2(m-1),其中x≠2,则m的值
为_____ .
1
1. 若等式可以变形为 ,则有( )
C
A. B.
C. D. 为任意有理数
2. ［2025衡阳月考］若 ，根据等式的性质，
不能得到的等式为( )
D
A. B.
C. D.
返回
3. 在物理学中，导体中的电流 与导体两端
的电压、导体的电阻之间有以下关系： ，将等式变
形可得 ，那么其变形的依据是_________________.
等式的基本性质2
4.下列变形：①若，则；②如果 ，那
么；③如果，那么；④如果 ，那么
；⑤如果，那么 .其中正确的是_______
_____（填序号）.
①③
④⑤
返回
5. 写出一个方程，使其满足下列条件：
（1）它是关于 的一元一次方程；
（2）该方程的解为 ；
（3）在求解过程中，至少运用一次等式的基本性质进行变
形.则该方程可以是__________________________（写出一个
满足条件的方程即可）.
（答案不唯一）
返回
6. 阅读理解题：
下面是小明将等式 进行变形的过程.
,①
,②
.③
（1）①的依据是_________________.
（2）小明出错的步骤是____（填序号），错误的原因是
____________________________________________.
等式的基本性质1
③
没有确定是否为0，就在等式的两边同时除以
（3）给出正确的解法.
【解】 ，
,
,
,
,
.
返回
7. ［2025南通月考］若且，则 的
值为( )
B
A. 5 B. C. D.
【点拨】因为，所以 ，
所以，所以 .故选B.
返回
等式基本性质2 等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等.
等式基本性质1 等式两边都加上或减去同一个数（或整式），等式两边仍然相等.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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