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3.3.2 一元一次方程的解法 (二) 教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：3.3.2 一元一次方程的解法 (二)
副标题：初中七年级数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：解一元一次方程的基本步骤有哪些？（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。）
问题 2：去括号的法则是什么？（括号前是 “\(+\)” 号，去括号后符号不变；括号前是 “\(-\)” 号，去括号后符号全变；括号前有系数需乘遍括号内每一项。）
问题 3：解下列方程：\(2(x - 3) = 5x - 9\)（去括号得\(2x - 6 = 5x - 9\)，移项合并得\(-3x = -3\)，解得\(x = 1\)）。
引入：上节课学习了不含分母或分母为 1 的一元一次方程解法，本节课将重点学习含分母的一元一次方程的解法，掌握去分母的核心技巧。
第 3 页：情境引入
情境 1：小明读一本书，第一天读了全书的\(\frac{1}{3}\)，第二天读了剩下的\(\frac{1}{2}\)，还剩 20 页未读，设全书共\(x\)页，列方程：\(x - \frac{1}{3}x - \frac{1}{2}(x - \frac{1}{3}x) = 20\)（含分数系数，需去分母求解）。
情境 2：某工程队计划完成一项工程，甲队单独做需\(x\)天，乙队单独做需\(2x\)天，两队合作 3 天完成工程的一半，列方程：\(3(\frac{1}{x}+\frac{1}{2x})=\frac{1}{2}\)（含分母，需去分母转化为整式方程）。
思考：含分母的方程直接移项困难，如何通过去分母简化计算？本节课将解决这一问题。
第 4 页：学习目标
知识目标：掌握含分母的一元一次方程的解法，重点突破 “去分母” 步骤；能准确找到分母的最小公倍数，熟练运用等式性质 2 去分母；规范完成 “去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1” 的完整解题过程。
能力目标：通过解含分母的方程，提高运算的准确性和灵活性；在探究去分母技巧的过程中，培养分析问题和解决问题的能力。
情感目标：体会数学变形的转化思想，感受分步解决复杂问题的成就感，增强学习数学的耐心和兴趣。
第 5 页：含分母的一元一次方程的特征
方程形式：方程中含有分数系数，如\(\frac{x}{2}+1 = 3\)，\(\frac{2x - 1}{3}=\frac{x + 2}{4}\)。
核心难点：分数系数导致直接合并同类项困难，需通过去分母转化为整数系数方程。
转化思路：利用等式的基本性质 2，方程两边同时乘所有分母的最小公倍数，消除分母，将方程转化为已学过的整式方程。
实例对比：
含分母方程：\(\frac{x}{3}-\frac{x - 1}{2}=1\) 。
去分母后：\(2x - 3(x - 1)=6\)（转化为整数系数方程）。
第 6 页：去分母的关键步骤
步骤 1：确定最简公分母。找出方程中所有分母的最小公倍数（若分母是小数，先化为分数再找公分母）。
步骤 2：方程两边同乘公分母。每一项都要乘，包括常数项，确保不遗漏。
步骤 3：化简去分母后的方程。分子是多项式时，去分母后需加括号，再按去括号法则去括号。
实例演示：解方程\(\frac{x + 1}{2}-\frac{2x - 1}{3}=1\) 。
步骤 1：分母 2 和 3 的最小公倍数是 6。
步骤 2：两边乘 6→\(6 \frac{x + 1}{2}-6 \frac{2x - 1}{3}=6 1\) 。
步骤 3：化简→\(3(x + 1)-2(2x - 1)=6\)→去括号得\(3x + 3 - 4x + 2 = 6\) 。
第 7 页：例题讲解 1—— 含两个分母的方程
例 1：解方程：\(\frac{2x - 1}{3}=\frac{x + 2}{4}\) 。
解析：
步骤 1：确定公分母：分母 3 和 4 的最小公倍数是 12。
步骤 2：去分母（两边乘 12）→\(4(2x - 1)=3(x + 2)\) 。
步骤 3：去括号→\(8x - 4 = 3x + 6\) 。
步骤 4：移项→\(8x - 3x = 6 + 4\) 。
步骤 5：合并同类项→\(5x = 10\) 。
步骤 6：系数化为 1→\(x = 2\) 。
检验：左边\(=\frac{2 2 - 1}{3}=1\)，右边\(=\frac{2 + 2}{4}=1\)，等式成立。
答案总结：\(x = 2\) 。
第 8 页：例题讲解 2—— 含多个分母的方程
例 2：解方程：\(\frac{x}{2}-\frac{x - 1}{6}=1+\frac{2x + 1}{3}\) 。
解析：
步骤 1：确定公分母：分母 2、6、3 的最小公倍数是 6。
步骤 2：去分母（两边乘 6）→\(3x-(x - 1)=6 + 2(2x + 1)\) 。
步骤 3：去括号→\(3x - x + 1 = 6 + 4x + 2\) 。
步骤 4：移项→\(3x - x - 4x = 6 + 2 - 1\) 。
步骤 5：合并同类项→\(-2x = 7\) 。
步骤 6：系数化为 1→\(x = -\frac{7}{2}\) 。
方法说明：去分母时，分子是多项式的必须加括号，避免符号错误（如\(-\frac{x - 1}{6}\)乘 6 后为\(-(x - 1)\)）。
答案总结：\(x = -\frac{7}{2}\) 。
第 9 页：例题讲解 3—— 分母是小数的方程
例 3：解方程：\(\frac{0.1x - 0.2}{0.02}-\frac{x + 1}{0.5}=3\) 。
解析：分母是小数时，先利用分数基本性质化为整数分母，再去分母。
步骤 1：化小数分母为整数：
\(\frac{0.1x - 0.2}{0.02}=\frac{10x - 20}{2}\)（分子分母同乘 100）；
\(\frac{x + 1}{0.5}=\frac{10x + 10}{5}\)（分子分母同乘 10）。
步骤 2：原方程化为→\(\frac{10x - 20}{2}-\frac{10x + 10}{5}=3\) 。
步骤 3：去分母（乘 10）→\(5(10x - 20)-2(10x + 10)=30\) 。
步骤 4：去括号→\(50x - 100 - 20x - 20 = 30\) 。
步骤 5：移项合并→\(30x = 150\)→\(x = 5\) 。
答案总结：\(x = 5\) 。
第 10 页：例题讲解 4—— 含分母的实际问题
例 4：一个数的\(\frac{1}{2}\)与这个数的\(\frac{1}{3}\)的和比这个数的\(\frac{1}{4}\)多 5，求这个数。
解析：
步骤 1：设未知数：设这个数为\(x\) 。
步骤 2：列方程：\(\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x=\frac{1}{4}x + 5\) 。
步骤 3：去分母（乘 12）→\(6x + 4x = 3x + 60\) 。
步骤 4：移项→\(6x + 4x - 3x = 60\) 。
步骤 5：合并同类项→\(7x = 60\)→\(x = \frac{60}{7}\) 。
验证：左边\(=\frac{1}{2} \frac{60}{7}+\frac{1}{3} \frac{60}{7}=\frac{30}{7}+\frac{20}{7}=\frac{50}{7}\)；右边\(=\frac{1}{4} \frac{60}{7}+5=\frac{15}{7}+\frac{35}{7}=\frac{50}{7}\)，等式成立。
答案总结：这个数是\(\frac{60}{7}\) 。
第 11 页：解含分母的一元一次方程完整流程
流程图解：
关键提醒：
去分母时每一项都要乘公分母，包括常数项。
分子是多项式时，去分母后必须加括号，再去括号。
去括号后若有同类项可先合并，简化计算。
第 12 页：例题讲解 5—— 综合复杂方程
例 5：解方程：\(\frac{3(x - 1)}{4}-\frac{2(3x + 1)}{5}=1-\frac{5x + 3}{2}\) 。
解析：
步骤 1：公分母是 20，两边乘 20→\(15(x - 1)-8(3x + 1)=20 - 10(5x + 3)\) 。
步骤 2：去括号→\(15x - 15 - 24x - 8 = 20 - 50x - 30\) 。
步骤 3：合并同类项→\(-9x - 23 = -50x - 10\) 。
步骤 4：移项→\(-9x + 50x = -10 + 23\) 。
步骤 5：合并同类项→\(41x = 13\)→\(x = \frac{13}{41}\) 。
答案总结：\(x = \frac{13}{41}\) 。
第 13 页：课堂练习 1
练习 1：解下列方程：
（1）\(\frac{x}{5}=3\)；
（2）\(\frac{2x - 1}{4}=1\)；
（3）\(\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=10\) 。
练习 2：解方程：\(\frac{x - 1}{3}-\frac{x + 2}{6}=\frac{4 - x}{2}\) 。
第 14 页：课堂练习 2
练习 3：解方程：\(\frac{0.3x - 0.1}{0.2}-1=\frac{2x + 1}{3}\) 。
练习 4：某数的\(\frac{1}{4}\)与它的\(\frac{1}{5}\)的差等于 3，求这个数。
第 15 页：易错点提醒
去分母时漏乘常数项（如方程\(\frac{x}{2}+1 = 3\)去分母错误得\(x + 1 = 6\)，正确应为\(x + 2 = 6\)）。
分子是多项式时未加括号，导致符号错误（如\(\frac{x - 1}{2}\)乘 2 错误得\(x - 1\)，若前面有负号则成\(-x - 1\)，正确应为\(-(x - 1)=-x + 1\)）。
最小公倍数计算错误（如分母 3 和 6 的最小公倍数错认为 18，实际应为 6）。
化小数分母时，分子分母未同乘相同的数（如\(\frac{0.1x}{0.2}\)错误化为\(\frac{x}{2}\)，正确应为\(\frac{x}{2}\)（同乘 10），但复杂情况易出错）。
去分母后忘记去括号或去括号错误（如\(2(x + 1)\)错误去括号为\(2x + 1\)）。
第 16 页：课堂小结
本节课重点学习了含分母的一元一次方程的解法，核心是通过去分母将方程转化为整数系数方程。
掌握了去分母的关键步骤：找公分母→两边同乘公分母→分子加括号→去括号。
明确了解含分母方程的完整流程：化小数分母（若有）→去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1。
强调了去分母时 “每一项都要乘公分母” 和 “分子多项式加括号” 的重要性，避免常见错误。
第 17 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页练习二十二第 1、2、3 题。
提高作业：解下列方程：
（1）\(\frac{3x - 1}{5}-\frac{x + 2}{2}=1\)；
（2）\(\frac{0.2x - 0.5}{0.3}+1=\frac{x + 1}{2}\) 。
拓展作业：当\(x\)为何值时，代数式\(\frac{x - 3}{2}\)与\(\frac{2x + 1}{3}\)的值相等？
2025-2026学年湘教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.3.2一元一次方程的解法(二)
第3章 一次方程（组）
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
探索新知
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以7，得
解方程： .
做一做
方程右边为什么要乘10？
5(3x-1)-2(-x+2)=10x ，
15x-5+2x-4=10x ，
15x+2x-10x=5+4 ，
7x=9，
x= .
例3
解方程: 0.2(x-2)-0.1(3x+4)=0.3(x+3).
解 ：去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以 -0.4，得
0.2x-0.4-0.3x-0.4=0.3x+0.9 ，
0.2x-0.3x-0.3x=0.4+0.4+0.9 ，
-0.4x=1.7 ，
还有其他解法吗？
x= .
例3
解方程: 0.2(x-2)-0.1(3x+4)=0.3(x+3)
解 ：两边同乘以10，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以-4，得
解法二：
2(x-2)-(3x+4)=3(x+3) ，
2x-4-3x-4=3x+9 ，
2x-3x-3x=9+4+4 ，
-4x=17 ，
x= .
例4
当x用什么数代入时，多项式的 的值与多项式 的值相等？
分析：本题实际是求一个使 与 的值相等的未知数x的值.
=
即要解方程
例4
= .
解：由题意可知，要解方程：
去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
4(x-10)=3x-8 ，
4x-40=3x-8 ，
x=32 .
故当x用32代入时，多项式的的值与多项式的值相等.
当x用什么数代入时，多项式的 的值与多项式 的值相等？
做一做
结合上述例题，总结解一元一次方程的基本步骤.
解一元一次方程的基本步骤:
一元一次方程
ax=b(a、b是常数，a≠0)
①去分母
②去括号
③移项
④合并同类项
⑤化系数为1
x=
解：(1)去分母，得
去括号，得
移项，得
1. 解下列方程:
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) 50%(3x-1)-20%(-x+2)=x .
10x-3(3x-1)=6
10x-9x+3=6
x=3
【课本P109 练习 第1题】
2(2x+1) +7 (x-1)=28
4x+2+7x-7=28
x=3
(2) 去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以11，得
4x+7x=28-2+7
11x=33
1. 解下列方程:
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) 50%(3x-1)-20%(-x+2)=x .
【课本P109 练习 第1题】
(3) 去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以，得
4(2x-1)-3(5x+1) =24
8x-4-15x-3 =24
8x-15x =24+4+3
-7x =31
x =
1. 解下列方程:
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) 50%(3x-1)-20%(-x+2)=x .
【课本P109 练习 第1题】
15x-5+2x-4=10x
(4) 去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以7，得
5(3x-1)-2(-x+2)=10x
15x+2x-10x=4+5
7x=9
x =
1. 解下列方程:
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) 50%(3x-1)-20%(-x+2)=x .
【课本P109 练习 第1题】
2.当x用什么数代入时，多项式的值与多项式3x-1的值相等？
解：由题意可知，要解方程：
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以11，得
故当用x=代入时，多项式的值与多项式3x-1的值相等.
2(2x-3)+10=5(3x-1)
4x-6+10=15x-5
15x-4x=5+10-6
11x=9
x=
【课本P109 练习 第2题】
1.请将下列解方程 的过程补充完整.
解：原方程可变形为 .
①________，得 .
去括号，得②_____________________.
③______，得④_____________________.（⑤_____________
______）
合并同类项，得⑥__________.
去分母
移项
等式的基本
性质1
系数化为1，得⑦_________.（⑧_________________）
（其中①③填写变形步骤名称，②④⑥⑦填写变形结果，⑤
⑧填写变形依据）
等式的基本性质2
返回
2.若代数式的值比的值大1，则 的值为___.
3.若与互为相反数，则 ____.
2
返回
4.解方程：
（1） ;
【解】整理，得 ,
去分母，得 ,
去括号，得 ,
移项，得 ,
合并同类项，得 .
（2） ;
去分母，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
两边同除以，得 .
（3） .
在方程两边都乘3，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
两边同除以4，得 .
返回
5. 若关于的方程 的解是负整数，
且关于的多项式 是二次三项式，那么所
有满足条件的整数 的值的和是( )
B
A. B. C. D.
【点拨】由，得 .因为方程的
解是负整数，所以或或 .因为多项式
是二次三项式，所以 解得
且，所以满足条件的整数的值为或 ，所
以所有满足条件的整数的值的和为 .
返回
6.有一列方程：
第1个方程是,解为 ;
第2个方程是,解为 ;
第3个方程是,解为 ;
第4个方程是,解为 ;
……
根据以上规律，若第个方程的解为,则
的值为____.
61
返回
7.［2025衡阳月考］已知表示有理数, 的点在数轴上的位置
如图，且,则关于的方程 的
解为 __.
返回
8.已知的取值与代数式 的对应值如表：
… 0 1 2 3 …
… 9 7 5 3 1 …
根据表中信息，得出了如下结论：;②关于 的方程
的解是;; 的值随着
值的增大而减小，其中正确的是________（填序号）.
①②④
解一元一次方程的基本步骤:
一元一次方程
ax=b(a、b是常数，a≠0)
①去分母
②去括号
③移项
④合并同类项
⑤化系数为1
x=
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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