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3.4.2 一元一次方程的应用（二）教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：3.4.2 一元一次方程的应用（二）
副标题：初中七年级数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：列一元一次方程解应用题的基本步骤是什么？（审、设、列、解、验、答。）
问题 2：行程问题中相遇问题的等量关系是什么？（甲路程 + 乙路程 = 总路程。）
问题 3：工程问题中常用的基本关系是什么？（工作总量 = 工作效率 × 工作时间，通常将工作总量看作单位 “1”。）
引入：上节课学习了用一元一次方程解决和差倍分、购物、简单行程等问题，本节课将学习更复杂的实际应用问题，如追及问题、分段计费问题、配套问题等，进一步提升列方程解应用题的能力。
第 3 页：情境引入
情境 1：学校运动会上，小明和小亮进行百米赛跑，小明让小亮先跑 5 米，小明每秒跑 7 米，小亮每秒跑 6 米，小明出发后几秒能追上小亮？（追及问题，需分析速度、时间与路程的关系。）
情境 2：某市出租车收费标准为：3 千米以内（含 3 千米）收费 8 元，超过 3 千米的部分每千米收费 1.5 元，小明乘出租车行驶了\(x\)千米（\(x > 3\)），付费 14 元，求行驶的路程。（分段计费问题，需分阶段计算费用。）
情境 3：某车间生产螺栓和螺母，1 个螺栓配 2 个螺母，每人每天可生产螺栓 12 个或螺母 18 个，现有 28 人，如何分配人力使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？（配套问题，需明确数量比例关系。）
思考：这些复杂问题的等量关系如何确立？本节课将学习解决这类问题的方法。
第 4 页：学习目标
知识目标：掌握追及问题、分段计费问题、配套问题的等量关系确立方法；能运用一元一次方程解决较复杂的实际应用问题；进一步熟练列方程解应用题的基本步骤。
能力目标：通过分析复杂问题中的数量关系，提高逻辑思维能力和数学建模能力；在解决不同类型问题的过程中，培养灵活运用知识的能力。
情感目标：体验用方程解决复杂实际问题的成就感，感受数学的实用性，激发学习数学的兴趣和主动性。
第 5 页：追及问题
问题特征：两个物体同向运动，一个物体追赶另一个物体，通常存在路程差或时间差。
基本等量关系：
同地不同时出发：前者路程 = 后者路程（追赶者行驶路程 = 被追者先行驶路程 + 被追者后行驶路程）。
同时不同地出发：追赶者路程 - 被追者路程 = 初始距离（路程差）。
关键公式：路程 = 速度 × 时间。
图示分析：用线段图表示两者的路程关系，直观呈现追及点的位置和路程差。
第 6 页：例题讲解 1—— 追及问题
例 1：甲、乙两人在同一条路上同向而行，甲的速度是每小时 3 千米，乙的速度是每小时 5 千米，甲在上午 10 点经过 A 地，乙在上午 12 点经过 A 地，乙在下午几点能追上甲？
解析：
步骤 1：审题。甲比乙早 2 小时经过 A 地，乙速度比甲快，追及时两人行驶路程相等。
步骤 2：设未知数。设乙从 A 地出发后\(x\)小时追上甲，则甲从 A 地到被追上共行驶\((x + 2)\)小时。
步骤 3：列方程。乙行驶路程 = 甲行驶路程→\(5x = 3(x + 2)\) 。
步骤 4：解方程。\(5x = 3x + 6\)→\(2x = 6\)→\(x = 3\) 。
步骤 5：检验。乙 3 小时行驶\(5 3 = 15\)千米，甲\(3 + 2 = 5\)小时行驶\(3 5 = 15\)千米，路程相等，符合题意。
步骤 6：作答。乙在上午 12 点出发，3 小时后是下午 3 点，所以乙在下午 3 点能追上甲。
方法总结：追及问题需明确两者的出发时间、地点和速度关系，根据路程相等列方程。
第 7 页：分段计费问题
问题特征：费用计算分不同阶段，各阶段计费标准不同，总费用为各阶段费用之和。
常见类型：出租车计费、水电费、电话费、阶梯票价等。
等量关系：总费用 = 第一阶段费用 + 第二阶段费用 +……+ 第\(n\)阶段费用。
解题关键：明确分段点和各阶段的计费标准，判断所求量处于哪个阶段，或分阶段表示总费用。
第 8 页：例题讲解 2—— 分段计费问题
例 2：某市居民生活用电收费标准如下：每月用电量不超过 100 度的部分，每度 0.5 元；超过 100 度的部分，每度 0.6 元。若某户居民 10 月份电费为 62 元，求该户居民 10 月份用电量。
解析：
步骤 1：审题。电费分两段计费，100 度以内费用为\(100 0.5 = 50\)元，超过部分每度 0.6 元，总电费 62 元超过 50 元，说明用电量超过 100 度。
步骤 2：设未知数。设该户居民 10 月份用电量为\(x\)度（\(x > 100\)）。
步骤 3：列方程。100 度以内费用 + 超过部分费用 = 总电费→\(100 0.5 + 0.6(x - 100)=62\) 。
步骤 4：解方程。\(50 + 0.6x - 60 = 62\)→\(0.6x - 10 = 62\)→\(0.6x = 72\)→\(x = 120\) 。
步骤 5：检验。100 度费用 50 元，超过 20 度费用\(20 0.6 = 12\)元，总费用\(50 + 12 = 62\)元，符合题意。
步骤 6：作答。该户居民 10 月份用电量为 120 度。
方法总结：分段计费问题需先判断总量是否超过分段点，再按对应阶段的计费标准列方程。
第 9 页：配套问题
问题特征：生产或制作过程中，不同部件需按一定比例搭配使用，需合理分配资源使部件刚好配套。
基本等量关系：部件 A 的数量 × 配套比例 = 部件 B 的数量（或部件 A 数量 = 部件 B 数量 × 配套比例）。
常见类型：螺栓与螺母配套、桌面与桌腿配套、上衣与裤子配套等。
解题关键：明确两种部件的配套比例，根据比例关系列方程。
第 10 页：例题讲解 3—— 配套问题
例 3：某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母，1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
解析：
步骤 1：审题。生产螺钉人数 + 生产螺母人数 = 22 人，螺母数量 = 螺钉数量 ×2。
步骤 2：设未知数。设安排\(x\)名工人生产螺钉，则安排\((22 - x)\)名工人生产螺母。
步骤 3：列方程。螺母总产量 = 螺钉总产量 ×2→\(2000(22 - x)=2 1200x\) 。
步骤 4：解方程。\(44000 - 2000x = 2400x\)→\(4400x = 44000\)→\(x = 10\) 。
步骤 5：检验。生产螺钉 10 人，产量\(10 1200 = 12000\)个；生产螺母 12 人，产量\(12 2000 = 24000\)个，\(24000 = 2 12000\)，刚好配套，符合题意。
步骤 6：作答。应安排 10 名工人生产螺钉，12 名工人生产螺母。
方法总结：配套问题需根据 “部件数量 × 配套比例” 的关系列方程，注意表示出两种部件的总产量。
第 11 页：例题讲解 4—— 航行问题
例 4：一艘船在静水中的速度为每小时 15 千米，它从上游甲地开往下游乙地共花了 8 小时，已知水流速度为每小时 3 千米，从乙地返回甲地需要多少小时？
解析：
步骤 1：审题。顺水速度 = 静水速度 + 水流速度，逆水速度 = 静水速度 - 水流速度，甲、乙两地距离不变。
步骤 2：设未知数。设从乙地返回甲地需要\(x\)小时。
步骤 3：列方程。顺水路程 = 逆水路程→\((15 + 3) 8=(15 - 3)x\) 。
步骤 4：解方程。\(18 8 = 12x\)→\(144 = 12x\)→\(x = 12\) 。
步骤 5：检验。顺水速度 18 千米 / 小时，8 小时行驶\(18 8 = 144\)千米；逆水速度 12 千米 / 小时，12 小时行驶\(12 12 = 144\)千米，路程相等，符合题意。
步骤 6：作答。从乙地返回甲地需要 12 小时。
方法总结：航行问题需区分顺水（顺风）和逆水（逆风）速度，利用路程不变列方程。
第 12 页：复杂问题分析方法
方法 1：分层分析法。将复杂问题分解为多个简单部分，分别分析各部分的数量关系，再整合建立等量关系。
方法 2：列表法。将已知量、未知量、相关量分类填入表格，清晰呈现数量关系，便于发现等量关系。
例：追及问题中列表：
物体
速度（千米 / 小时）
时间（小时）
路程（千米）
甲
3
\(x + 2\)
\(3(x + 2)\)
乙
5
\(x\)
\(5x\)
方法 3：图示法。用线段图、示意图等直观表示问题中的数量关系，尤其是行程问题、配套问题等。
第 13 页：课堂练习 1
练习 1：甲以每小时 4 千米的速度步行去学校，乙比甲晚 4 小时骑自行车从同一地点出发去追甲，乙每小时行 12 千米，乙几小时可追上甲？
练习 2：某通讯公司手机话费收费标准为：每月月租费 20 元，通话费每分钟 0.2 元，若某用户某月通话时间为\(x\)分钟，该月话费为 50 元，求通话时间。
第 14 页：课堂练习 2
练习 3：用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身 25 个或制盒底 40 个，1 个盒身与 2 个盒底配成 1 个罐头盒，现有 36 张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底刚好配套？
练习 4：一架飞机在两城之间飞行，顺风时需 5 小时，逆风时需 6 小时，已知风速为每小时 24 千米，求两城之间的距离。
第 15 页：易错点提醒
追及问题中未正确区分出发时间和路程关系，导致等量关系错误（如同地不同时出发时忘记计算先行路程）。
分段计费问题中未判断总量所在阶段，直接按单一标准计算（如超过分段点却按低标准计费）。
配套问题中混淆配套比例，如 “1 配 2” 错误列为部件 A 数量 = 部件 B 数量 ×2（正确应为部件 B 数量 = 部件 A 数量 ×2）。
航行问题中混淆顺水和逆水速度公式（顺水速度 = 静水速度 + 水流速度，逆水速度 = 静水速度 - 水流速度）。
设未知数时未明确单位，或单位换算错误（如速度单位千米 / 小时与时间单位分钟未统一）。
第 16 页：课堂小结
本节课学习了三种复杂实际问题的解法：追及问题、分段计费问题、配套问题，以及航行问题。
掌握了各类问题的等量关系：
追及问题：追赶者路程 = 被追者路程（或路程差 = 初始距离）。
分段计费问题：总费用 = 各阶段费用之和。
配套问题：部件数量 × 配套比例 = 对应部件数量。
航行问题：顺水（逆风）路程 = 逆水（顺风）路程。
进一步巩固了列方程解应用题的基本步骤，学会运用分层分析、列表、图示等方法分析复杂问题。
第 17 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页练习二十四第 1、2、3 题。
提高作业：
（1）一列火车匀速行驶，经过一条长 300 米的隧道需要 20 秒的时间，隧道顶部有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是 10 秒，求火车的长度。
（2）某服装厂要生产一批某种型号的学生服，已知每 3 米长的某种布料可做上衣 2 件或裤子 3 条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用 600 米长的这种布料生产学生服，应分别用多少米布料生产上衣和裤子才能恰好配套？
拓展作业：收集生活中的分段计费实例，编一道应用题并解答。
2025-2026学年湘教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.4.2一元一次方程的应用（二）
第3章 一次方程（组）
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
情境导入
甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲速度为20 km/h，乙速度为30 km/h，出发 x小时后，两人相遇.
那么甲车行了______km，乙车行了______km
A、B两地相距_________km.若A、B两站间的路程为500km，可得方程______________，求得x=____.
20x
30x
20x+30x
20x+30x=500
10
为进一步感悟雷锋胸怀祖国、服务人民的爱国精神，星期日早晨，小楠和小华分别骑自行车从家里同时出发去参观雷锋纪念馆．
探索新知
已知他俩的家到雷锋纪念馆的路程相等，并且小楠每小时骑10km，他在上午10时到达，小华每小时骑15km，他在上午9时30分到达. 他俩的家到雷锋纪念馆的路程是多少？
思 考
小楠家
小华家
雷锋纪念馆
同时出发，距离相等
10 km/h
上午10时到
15 km/h
上午9时30分到
本问题中有什么等量关系？
小楠花的时间－小华花的时间=0.5h
若设他俩的家到雷锋纪念馆的路程为 x km，
则根据等量关系，得
解得 x=15 .
因此，他俩的家到雷锋纪念馆的路程为15 km.
时间=路程÷速度
路程=时间×速度
小楠花的时间－小华花的时间=0.5h
应用一元一次方程解决问题的步骤：
1. 审：审题，分析题目中的数量关系；
2. 设：设适当的未知数，并表示未知量；
3. 列：根据题目中的数量关系列方程；
4. 解：解这个方程；
5. 答：检验并作答.
某人骑自行车去工厂上班，若每小时骑10 km，可早到6 min ；若每小时骑 8 km，就迟到6 min，则他家到工厂的路程是_______.
练一练
8 km
某校七年级甲班有45人，乙班有39人. 现要从甲、乙两班各抽调一些同学去参加“歌唱祖国”歌咏比赛，已知从甲班抽调的人比乙班多1人，此时甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的2倍. 请问：从甲、乙两班各抽调了多少人参加歌咏比赛？
分析：本题中的等量关系：
(1)甲班抽调的人数-乙班抽调的人数=1；
(2)抽调后甲班剩余人数=乙班剩余人数×2 .
例3
解：设从甲班抽调了x人，那么从乙班抽调了(x-1)人.
根据题意，得 45-x=2[39-(x-1)].
解得 x=35 .
于是，x-1=35-1=34 .
答：从甲班抽调了35人，从乙班抽调了34人参加歌咏比赛.
某校七年级甲班有45人，乙班有39人. 现要从甲、乙两班各抽调一些同学去参加“歌唱祖国”歌咏比赛，已知从甲班抽调的人比乙班多1人，此时甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的2倍. 请问：从甲、乙两班各抽调了多少人参加歌咏比赛？
例3
某班部分同学周日到公园游玩，休息时发现路边有若干条长凳，如果每3个同学坐一条长凳，则刚好还剩下一条长凳无人坐；如果每2个同学坐一条长凳，则还剩3个同学没有凳子坐. 路边共有多少条长凳
解：设路边共有x条长凳. 根据题意，得
3(x-1)=2x+3 ，
解得 x=6 .
答：路边共有6条长凳.
练一练
例4
现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧，
公路的两端各栽1棵，并且相邻两棵树的间隔相等.
方案一：如果每隔5m栽1棵，则树苗缺21棵；
方案二：如果每隔5.5m栽1棵，则树苗正好用完.
根据以上方案，请算出原有树苗的棵数和这段路的长度.
观察下面植树示意图，想一想：
相邻两树的间隔长、应植树棵数与路长有怎样的数量关系？
路长=相邻两树的间隔×(种植的树苗数-1)
设原有树苗x棵，由题意可得下表：
方案 间隔/m 种植的树苗数 路长/m
一 5
二 5.5
x+21
5(x+21-1)
x
5.5(x-1)
方案一和方案二的路长相等吗？
设原有树苗x棵，由题意可得下表：
方案 间隔/m 种植的树苗数 路长/m
一 5 x+21 5(x+21-1)
二 5.5 x 5.5(x-1)
解：设原有树苗x棵，根据题意，得
5(x+21-1)=5.5(x-1) .
解得 x = 211.
因此，原有树苗211棵，这段公路长为
5×(211+21-1)=5×231=1155(m) .
答：原有树苗211棵，这段公路长1155m.
相等
练一练
1.在一个圆形花坛的外围种植长春花，若每隔0.5 m种植1株，最后还剩3株；若每隔0.4 m种植1株，还需要购置12株，则原有长春花_____株.
63
2.绿化环境，美化生活. 现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧，要求路的两端各栽1棵.若每隔2m栽1棵，则树苗缺150棵；若每隔3m栽1棵，则树苗多出50棵. 求这段公路的长.
解:设这段公路的长为x m. 根据题意，得
解得 x=1 200.
答:这段公路的长为1200 m.
课堂练习
1.一队学生步行去参加社会公益活动，每小时走4km，学生甲因故推迟30 min 出发，为赶上队伍，甲以6 km/h的速度追赶，试问：甲用多长时间就可追上队伍
解：设甲用t h就可追上队伍，根据等量关系，得
4(0.5+t)=6t
解得 t=1
答：甲用1 h就可追上队伍.
【课本P115 练习 第1题】
2. 某村一条道路一侧装有路灯56盏（两端都有），且相邻两盏灯的距离为30m. 为进一步建设美丽乡村，该村计划将该道路的路灯全部更换为亮度更强的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为25m，则需要安装节能灯多少盏？
路长=相邻两灯的间隔×(路灯的数量-1)
本问题中有什么等量关系？
【课本P115 练习 第2题】
解：设需要安装节能灯x盏，根据等量关系，得
25×(x-1)=30×(56-1)
解得 x=67
答：需要安装节能灯67盏.
路长=相邻两灯的间隔×(路灯的数量-1)
3.甲、乙两列火车从相距480 km的A，B两地同时出发，相向而行，甲火车每小时行驶120 km，乙火车每小时行驶100 km，经过多长时间两列火车相距40 km？
应用1 行程问题
1. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样
一个问题：今有凫起南海，七日至北海.雁起北海，九日至南
海.今凫雁俱起.问：何日相逢？其大意为：野鸭从南海飞到
北海用7天，大雁从北海飞到南海用9天.它们从两地同时起飞，
几天后相遇？设 天后相遇，根据题意可列方程为_________
____.
返回
2. 如图，已知正方形 的边长为4，甲、
乙两动点分别从正方形的顶点，
同时出发，沿正方形的边开始移动，甲以
顺时针方向环行移动，乙以逆时针方向环
行移动，若乙的速度是甲的速度的3倍，
则它们第2 028次相遇时所在的边是( )
A
A. B. C. D.
返回
3.一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道需要 的时
间.隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的
时间是.设火车长 ，解答下列问题.
（1）从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是___
，这段时间内火车的速度是___.（用含 的代数式表示）
（2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是
__________，这段时间内火车的速度是______ .
（用含 的代数式表示）
（3）求这列火车的长度.
【解】根据题意，得 ，
解得 .
答：这列火车的长度是 .
返回
4. 随着人们生活水平的提高，人工智能扫
地机器人成为上班族或现代家庭的常用家电.为了测试两款扫
地机器人的清扫速度，现安排甲、乙两个不同的扫地机器人
从， 两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶清扫
（路途中没有障碍物阻挡），已知出发后经3分钟两个扫地
机器人相遇，相遇后再经2分钟乙到达地，， 两地相距
45米.
（1）甲、乙两个扫地机器人的速度分别是多少？
【解】根据题意，得乙扫地机器人的速度为
（米/分）.
设甲扫地机器人的速度为米/分，则 ，解得
.
答：甲扫地机器人的速度为6米/分，乙扫地机器人的速度为9
米/分.
（2）从， 两地同时出发后，经过多长时间后两个扫地机
器人相距6米？
【解】设经过 分钟后两个扫地机器人相距6米.
当两个扫地机器人相遇前相距6米时，则 ，
解得 ；
当两个扫地机器人相遇后相距6米时，则 ，
解得 .
综上，经过或 分钟后两个扫地机器人相距6米.
返回
应用一元一次方程解决问题的步骤：
1. 审：审题，分析题目中的数量关系；
2. 设：设适当的未知数，并表示未知量；
3. 列：根据题目中的数量关系列方程；
4. 解：解这个方程；
5. 答：检验并作答.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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