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3.5 认识二元一次方程组教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：3.5 认识二元一次方程组
副标题：初中七年级数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：什么是一元一次方程？（只含有一个未知数，未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程。）
问题 2：一元一次方程的解的定义是什么？（使方程左右两边相等的未知数的值。）
问题 3：列一元一次方程解应用题的关键是什么？（找到题目中的等量关系，设未知数并列出方程。）
引入：在实际问题中，有时需要解决含有两个未知数的问题，仅用一元一次方程难以表达等量关系。本节课将学习含有两个未知数的方程 —— 二元一次方程，以及由它们组成的方程组。
第 3 页：情境引入
情境 1：篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分。某队在 10 场比赛中得到 16 分，那么这个队胜了多少场？负了多少场？（需同时求胜场数和负场数两个未知数。）
情境 2：妈妈买了 3 斤苹果和 2 斤香蕉，共花了 20 元，已知苹果每斤 4 元，香蕉每斤多少元？若苹果和香蕉的单价都未知，如何表示它们的数量关系？（需设两个未知数表示单价。）
思考：这些问题中存在两个未知数，且未知数之间存在数量关系，如何用数学式子表示这种关系？这就是本节课要学习的二元一次方程和方程组。
第 4 页：学习目标
知识目标：理解二元一次方程的概念；掌握二元一次方程组的定义；认识二元一次方程的解和二元一次方程组的解的含义；能判断一个方程是否为二元一次方程，一个方程组是否为二元一次方程组。
能力目标：通过对比一元一次方程与二元一次方程，培养类比推理能力；在分析实际问题中的数量关系时，提高抽象概括能力。
情感目标：感受数学与生活的密切联系，体会引入新方程类型的必要性，激发学习数学的兴趣。
第 5 页：二元一次方程的概念
定义内容：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程，叫做二元一次方程。
关键词解析：
含有两个未知数（如\(x\)和\(y\)，\(a\)和\(b\)等）。
含未知数的项的次数都是 1（未知数的指数为 1，且不含有未知数的乘积项，如\(xy\)的次数为 2，不符合要求）。
整式方程（分母中不含未知数）。
标准形式：\(ax + by + c = 0\)（其中\(a\)、\(b\)、\(c\)是常数，且\(a \neq 0\)，\(b \neq 0\)）。
第 6 页：二元一次方程的判断
例题 1：下列方程中，哪些是二元一次方程？
（1）\(x + y = 5\)（是，含两个未知数，次数都是 1）；
（2）\(3x + 2y = 7\)（是）；
（3）\(x^2 + y = 1\)（否，\(x\)的次数是 2）；
（4）\(xy = 3\)（否，\(xy\)的次数是 2）；
（5）\(\frac{1}{x}+y = 2\)（否，不是整式方程）；
（6）\(x + 2 = 5\)（否，只含一个未知数）。
方法总结：判断二元一次方程需同时满足三个条件：两个未知数、次数都是 1、整式方程。
第 7 页：二元一次方程的解
定义内容：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
表示形式：二元一次方程的解通常用一对未知数的值表示，如\(\begin{cases}x = a \\ y = b\end{cases}\)，其中\(a\)、\(b\)是常数。
实例解析：方程\(x + y = 5\)的解有：
\(\begin{cases}x = 0 \\ y = 5\end{cases}\)，\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 4\end{cases}\)，\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)等。
解的特征：二元一次方程有无数个解，每一个解是一对未知数的值，且未知数的值相互关联。
第 8 页：二元一次方程组的概念
定义内容：由两个二元一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。
组成特征：
方程组中含有两个未知数。
每个方程都是二元一次方程（或化简后是二元一次方程）。
方程组中方程的个数一般为两个（也可以是多个，但初中阶段主要学习两个方程的方程组）。
标准形式：\(\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2\end{cases}\)（其中\(a_1\)、\(b_1\)、\(c_1\)、\(a_2\)、\(b_2\)、\(c_2\)是常数，且\(a_1\)与\(b_1\)不同时为 0，\(a_2\)与\(b_2\)不同时为 0）。
第 9 页：二元一次方程组的判断
例题 2：下列方程组中，哪些是二元一次方程组？
（1）\(\begin{cases}x + y = 3 \\ 2x - y = 1\end{cases}\)（是，两个二元一次方程，含两个未知数）；
（2）\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)（是，可看作\(\begin{cases}x + 0y = 2 \\ 0x + y = 3\end{cases}\)，符合定义）；
（3）\(\begin{cases}x + y = 5 \\ x^2 + y = 7\end{cases}\)（否，第二个方程是二次方程）；
（4）\(\begin{cases}x + y = 1 \\ z + y = 2\end{cases}\)（否，含有三个未知数）。
方法总结：判断二元一次方程组需满足：含两个未知数，每个方程都是二元一次方程（或符合二元一次方程特征的简化形式）。
第 10 页：二元一次方程组的解
定义内容：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
含义解析：方程组的解必须同时满足方程组中的每一个方程，即把解代入每个方程后，左右两边都相等。
实例解析：判断\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)是否是方程组\(\begin{cases}x + y = 5 \\ 2x - y = 1\end{cases}\)的解。
代入第一个方程：\(2 + 3 = 5\)，左边 = 右边。
代入第二个方程：\(2 2 - 3 = 1\)，左边 = 右边。
结论：是该方程组的解。
解的特征：一般情况下，二元一次方程组有且只有一个解（特殊情况可能无解或有无数个解，后续将学习）。
第 11 页：例题讲解 1—— 列二元一次方程
例 1：根据下列问题，列出二元一次方程：
（1）设甲数为\(x\)，乙数为\(y\)，甲数的 2 倍与乙数的 3 倍的和是 10。
（2）购买 5 支铅笔和 3 块橡皮共花了 12 元，设铅笔每支\(x\)元，橡皮每块\(y\)元。
解析：
（1）根据 “甲数的 2 倍 + 乙数的 3 倍 = 10”，列方程：\(2x + 3y = 10\) 。
（2）根据 “5 支铅笔的费用 + 3 块橡皮的费用 = 12 元”，列方程：\(5x + 3y = 12\) 。
方法总结：列二元一次方程需找出问题中的等量关系，用两个未知数分别表示相关量，再根据等量关系列出方程。
第 12 页：例题讲解 2—— 列二元一次方程组
例 2：根据情境引入中的篮球比赛问题，列出二元一次方程组。
解析：
步骤 1：设未知数。设这个队胜了\(x\)场，负了\(y\)场。
步骤 2：找等量关系。
等量关系 1：胜场数 + 负场数 = 总场数→\(x + y = 10\) 。
等量关系 2：胜场得分 + 负场得分 = 总得分→\(2x + y = 16\) 。
步骤 3：列方程组。\(\begin{cases}x + y = 10 \\ 2x + y = 16\end{cases}\) 。
方法总结：列二元一次方程组需找出两个不同的等量关系，分别列出二元一次方程，再组成方程组。
第 13 页：例题讲解 3—— 检验方程组的解
例 3：下列各组数中，哪些是方程组\(\begin{cases}x + 2y = 5 \\ 2x - y = 1\end{cases}\)的解？
（1）\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 2\end{cases}\)；
（2）\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1.5\end{cases}\) 。
解析：
（1）代入第一个方程：\(1 + 2 2 = 5\)，左边 = 右边；代入第二个方程：\(2 1 - 2 = 0 \neq 1\)，不是方程组的解。
（2）代入第一个方程：\(2 + 2 1.5 = 5\)，左边 = 右边；代入第二个方程：\(2 2 - 1.5 = 2.5 \neq 1\)，不是方程组的解。
补充：方程组的解为\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 2\end{cases}\)代入第二个方程不成立，正确解可通过后续方法求出，此处仅演示检验过程。
第 14 页：一元一次方程与二元一次方程的对比
类型
未知数个数
解的个数
解的形式
实例
一元一次方程
1 个
1 个（或无解）
单个数值（如\(x = 3\)）
\(2x + 5 = 11\)
二元一次方程
2 个
无数个
一对数值（如\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)）
\(x + y = 5\)
第 15 页：课堂练习 1
练习 1：下列方程中，哪些是二元一次方程？
（1）\(3x - y = 1\)；
（2）\(x + \frac{1}{y} = 2\)；
（3）\(x^2 + y = 5\)；
（4）\(2x + 3y = 6\) 。
练习 2：写出方程\(2x + y = 7\)的三个解。
第 16 页：课堂练习 2
练习 3：下列方程组中，哪些是二元一次方程组？
（1）\(\begin{cases}x + y = 3 \\ x - y = 1\end{cases}\)；
（2）\(\begin{cases}x = 1 \\ 2x + y = 5\end{cases}\)；
（3）\(\begin{cases}x + y = 2 \\ xy = 3\end{cases}\) 。
练习 4：检验\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 2\end{cases}\)是否是方程组\(\begin{cases}x + y = 5 \\ 3x - 2y = 5\end{cases}\)的解。
第 17 页：易错点提醒
混淆 “项的次数” 和 “未知数的次数”，认为方程\(xy = 2\)是二元一次方程（实际\(xy\)的项的次数是 2）。
忽略二元一次方程是整式方程的条件，误将\(\frac{1}{x}+y = 3\)当作二元一次方程。
二元一次方程组的解只满足一个方程就判定为解，未检验是否满足所有方程。
列方程时遗漏未知数或等量关系，导致方程不符合题意。
第 18 页：课堂小结
本节课学习了二元一次方程的概念：含有两个未知数，含未知数的项的次数都是 1 的整式方程。
掌握了二元一次方程组的定义：由两个二元一次方程组成，含两个未知数的方程组。
理解了二元一次方程的解（无数个，一对未知数的值）和方程组的解（公共解，需满足所有方程）的含义。
学会了判断二元一次方程和方程组，以及检验方程组的解是否正确。
第 19 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页练习二十五第 1、2、3 题。
提高作业：
（1）根据 “一个数比另一个数的 2 倍多 3”，设这两个数分别为\(x\)和\(y\)，列出二元一次方程。
（2）某校七年级学生参加社会实践活动，原计划租用 45 座客车若干辆，但有 15 人没有座位；如果改租同样数量的 60 座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满。设原计划租用 45 座客车\(x\)辆，七年级学生有\(y\)人，列出二元一次方程组。
拓展作业：收集生活中需要用两个未知数表示数量关系的实例，尝试列出二元一次方程或方程组。
2025-2026学年湘教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.5 认识二元一次方程组
第3章 一次方程（组）
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
情境导入
足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 某队在某次比赛中共踢14场球，负了5场，共得19分. 问：该队共胜多少场？
解：设该队共胜x场，则平了(14-5-x) 场.
根据题意，得 3x+(14-5-x)=19
解得 x=5
于是，平了 14-5-5=4 (场)
假设剩下的场次全踢平
14-5=9(场) 19-9=10(分)
胜了：10÷(3-1)=5（场）
平了：14-5-5=4(场)
方法一：
方法二:
探索新知
有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚.
思 考
解：设兔有x 只，则鸡有(35－ x)只.
根据题意，得
4x + 2(35－x) = 94
兔的只数＋鸡的只数＝35
兔的脚数＋鸡的脚数＝94
等量关系：
解得 x=12
于是，鸡有 35-12=23(只)
有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚.
兔的只数＋鸡的只数＝35
兔的脚数＋鸡的脚数＝94
若设兔有x只，鸡有y只.
你能根据两个等量关系列出两个方程吗？
x+y=35 ，
4x+2y=94 .
x+y=35 ，
4x+2y=94 .
列出的两个方程还是一元一次方程吗？
x+y=35 ，
4x+2y=94 .
含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作二元一次方程.
这两个方程和一元一次方程有什么不同吗？
注意
“一次”是指含未知数的项的次数是1，而不是未知数的次数；
方程的左右两边都是整式.
练一练
1.判断下列方程是不是二元一次方程？
(1) x+y=11
(2) m+1=2
(3) x2+y=5
(4) 3x-π=11
(5) -5x=4y+2
(6)7+a=2b+11c
(7) 7x+ =13
(8) 4xy+5=0
2.若x2m-1+5y3n-2m=7是二元一次方程，则m=________, n=________.
1
1
只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组.
未知数x，y必须同时满足上述两个方程，于是将两个方程联立，得
①
②
练一练
①
②
③
④
下列方程组属于二元一次方程组的有_______.(填序号)
x
y
(1) 把满足方程①，且符合问题的实际意义的x，y的值填入下表：
如果不考虑实际意义，x，y还能取什么值满足方程①？
1
34
2
33
3
32
4
31
5
30
6
29
7
28
8
27
为什么代入的都是整数？
···
···
x=-1，y=36 /x=0.5，y=34.5 /···
9
26
10
25
11
24
12
23
13
22
做一做
一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
一般地，一个二元一次方程有无数组解.
(2)上表中存在哪对x，y的值满足方程②吗？若有，请指出.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ···
y 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 ···
x=12，y=23既满足满足方程①，又满足方程②.
x=12，y=23是方程①与方程②的公共解.
写成(12，23)的形式
，它就是上述方程组一个解.
一般地，对于未知数为x，y的二元一次方程组，若x，y分别用数c1，c2代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把(c1，c2)叫作这个方程组的一个解.
习惯上记作
求解方程组的解的过程叫作解方程组.
C
练一练
的解是( )
A.
B.
C.
D. 有无数个
例
小玲在文具店买了3本练习本，2支圆珠笔，共花去17元，其中购买练习本比圆珠笔多花1元.
设练习本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，
试列出相应的二元一次方程组.
分析：本题等量关系：
购买练习本所花的钱+购买圆珠笔所花的钱=17元，
购买练习本所花的钱-购买圆珠笔所花的钱=1元.
例
解：(1) 根据等量关系，得
①
②
设练习本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，
试列出相应的二元一次方程组.
小玲在文具店买了3本练习本，2支圆珠笔，共花去17元，其中购买练习本比圆珠笔多花1元.
例
①
②
(2) 是列出的二元一次方程组的一个解吗？
解：把x用3，y用4分别代入方程①②可得：
方程①左边的值是3×3+2×4=17，方程①右边的值也是17；
方程②左边的值为3×3-2×4=1，方程②右边的值也是 1.
因此，列出的二元一次方程组的一个解.
小玲在文具店买了3本练习本，2支圆珠笔，共花去17元，其中购买练习本比圆珠笔多花1元.
1.一艘轮船顺流航行的速度为24km/h，逆流航行的速度为18 km/h. 它在静水中的速度为x km/h，水的流速为y km/h，请列出相应的二元一次方程组.
解：根据题意，得
分析：
静水中的速度+水流的速度=顺流航行的速度；
静水中的速度－水流的速度=逆流航行的速度.
【课本P119 练习 第1题】
2.若一个二元一次方程组的解为则这个方程
组可以是_________ （只要求写一个）.
【课本P119 练习 第2题】
3. 是二元一次方程组的解吗？
解：
方程①左边的值是3×2-4×1=2，方程①右边的值也是2；
方程②左边的值是4×2-3×1=5，方程②右边的值是 6.
因此，该二元一次方程组的一个解.
把x用2，y用1分别代入方程①②可得：
①
②
左边=右边.
左边≠右边.
【课本P119 练习 第3题】
1. 有下列方程：;; ;
;;; .
其中，二元一次方程有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
2. ［2025邵阳月考］若方程组 是二元一次方程组，
则“…”可以是( )
A. B.
C. D.
A
返回
3. 嫦娥六号成功着陆在月球背面南极-艾特
肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的
样品采集任务.嫦娥六号采用了钻取和表取两种方式共采集样
品约1 935克，表取比钻取的4倍还多310克.若设钻取样品 克，
表取样品 克，则可列方程组为( )
B
A. B.
C. D.
返回
4. 如果是关于， 的二元一
次方程，则 的值为____.
5. 写出二元一次方程 的一组整
数解：_ _____________________.
（答案不唯一）
返回
6.已知是方程的解，则式子 的
值为___.
1
【点拨】将代入，可得 ,则
.
返回
一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.
一般地，对于未知数为x，y的二元一次方程组，若x，y分别用数c1，c2代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把(c1，c2)叫作这个方程组的一个解.
习惯上记作
求解方程组的解的过程叫作解方程组.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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