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3.6.1 代入消元法教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：3.6.1 代入消元法
副标题：初中七年级数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：什么是二元一次方程组？（由两个二元一次方程组成，含有两个未知数的方程组。）
问题 2：二元一次方程组的解的定义是什么？（方程组中各个方程的公共解，需同时满足所有方程。）
问题 3：判断\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 2\end{cases}\)是否是方程组\(\begin{cases}x + y = 5 \\ 2x - y = 4\end{cases}\)的解？（代入检验：\(3 + 2 = 5\)，\(2 3 - 2 = 4\)，是方程组的解。）
引入：上节课学习了二元一次方程组的概念，本节课将学习解二元一次方程组的第一种方法 —— 代入消元法，掌握将二元方程转化为一元方程的解题技巧。
第 3 页：情境引入
情境：篮球比赛问题中列出方程组\(\begin{cases}x + y = 10 \\ 2x + y = 16\end{cases}\)，如何求出\(x\)和\(y\)的值？
分析：方程组中两个方程都含有\(x\)和\(y\)，若能消去一个未知数，转化为一元一次方程即可求解。
思考：方程①中\(y = 10 - x\)，能否将方程②中的\(y\)换成\(10 - x\)？这就是代入消元法的思路。
第 4 页：学习目标
知识目标：理解代入消元法的概念和核心思想；掌握用代入消元法解二元一次方程组的步骤；能熟练运用代入消元法解简单的二元一次方程组。
能力目标：通过将二元一次方程组转化为一元一次方程，体会 “消元” 的数学思想，培养转化能力和运算能力。
情感目标：感受数学知识的逻辑性和连贯性，体验解决问题的成就感，增强学习数学的信心。
第 5 页：代入消元法的概念
定义内容：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
核心思想：消元（将二元化为一元，化未知为已知）。
本质作用：通过代入实现未知数的减少，将新问题转化为已学过的一元一次方程求解问题。
第 6 页：代入消元法的步骤
变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来（如用\(x\)表示\(y\)或用\(y\)表示\(x\)）。
代入：将变形后的式子代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
回代：将求出的未知数的值代入变形后的式子中，求出另一个未知数的值。
检验：将两个未知数的值代入原方程组的两个方程中，检验是否同时成立（可选步骤，但初学建议执行）。
作答：写出方程组的解。
第 7 页：例题讲解 1—— 简单代入求解
例 1：解方程组\(\begin{cases}x + y = 10 \\ 2x + y = 16 \end{cases}\) 。
解析：
步骤 1：变形。由①得：\(y = 10 - x\) ③ 。
步骤 2：代入。将③代入②得：\(2x + (10 - x) = 16\) 。
步骤 3：求解。化简得\(x + 10 = 16\)→\(x = 6\) 。
步骤 4：回代。将\(x = 6\)代入③得：\(y = 10 - 6 = 4\) 。
步骤 5：检验。代入①：\(6 + 4 = 10\)；代入②：\(2 6 + 4 = 16\)，均成立。
步骤 6：作答。方程组的解为\(\begin{cases}x = 6 \\ y = 4\end{cases}\) 。
方法总结：选择系数为 1 或 - 1 的未知数进行变形，可简化计算。
第 8 页：例题讲解 2—— 需化简后变形的方程组
例 2：解方程组\(\begin{cases}3x + 4y = 19 \\ x - y = 4 \end{cases}\) 。
解析：
步骤 1：变形。由②得：\(x = y + 4\) ③ 。
步骤 2：代入。将③代入①得：\(3(y + 4) + 4y = 19\) 。
步骤 3：求解。去括号得\(3y + 12 + 4y = 19\)→\(7y + 12 = 19\)→\(7y = 7\)→\(y = 1\) 。
步骤 4：回代。将\(y = 1\)代入③得：\(x = 1 + 4 = 5\) 。
步骤 5：检验。代入①：\(3 5 + 4 1 = 19\)；代入②：\(5 - 1 = 4\)，均成立。
步骤 6：作答。方程组的解为\(\begin{cases}x = 5 \\ y = 1\end{cases}\) 。
技巧提示：当方程中有未知数的系数为 1 或 - 1 时，优先选择该方程进行变形。
第 9 页：例题讲解 3—— 系数不为 1 的方程组
例 3：解方程组\(\begin{cases}2x - 3y = 1 \\ 4x + y = 9 \end{cases}\) 。
解析：
步骤 1：变形。观察方程②中\(y\)的系数为 1，由②得：\(y = 9 - 4x\) ③ 。
步骤 2：代入。将③代入①得：\(2x - 3(9 - 4x) = 1\) 。
步骤 3：求解。去括号得\(2x - 27 + 12x = 1\)→\(14x = 28\)→\(x = 2\) 。
步骤 4：回代。将\(x = 2\)代入③得：\(y = 9 - 4 2 = 1\) 。
步骤 5：检验。代入①：\(2 2 - 3 1 = 1\)；代入②：\(4 2 + 1 = 9\)，均成立。
步骤 6：作答。方程组的解为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\) 。
第 10 页：例题讲解 4—— 需先化简的方程组
例 4：解方程组\(\begin{cases}3(x - 1) = y + 5 \\ 5(y - 1) = 3(x + 5) \end{cases}\) 。
解析：
步骤 1：化简方程组。
由①得：\(3x - 3 = y + 5\)→\(3x - y = 8\)→\(y = 3x - 8\) ③ 。
由②得：\(5y - 5 = 3x + 15\)→\(-3x + 5y = 20\) ④ 。
步骤 2：代入。将③代入④得：\(-3x + 5(3x - 8) = 20\) 。
步骤 3：求解。去括号得\(-3x + 15x - 40 = 20\)→\(12x = 60\)→\(x = 5\) 。
步骤 4：回代。将\(x = 5\)代入③得：\(y = 3 5 - 8 = 7\) 。
步骤 5：检验。代入原方程组，均成立。
步骤 6：作答。方程组的解为\(\begin{cases}x = 5 \\ y = 7\end{cases}\) 。
注意事项：方程组中有括号时，需先去括号、移项化简，再选择变形方程。
第 11 页：代入消元法的技巧总结
技巧 1：优先选择含未知数系数为 1 或 - 1 的方程进行变形，减少计算量。
技巧 2：若方程组中有一个方程已用含一个未知数的式子表示另一个未知数（如\(y = 2x - 3\)），可直接代入另一个方程。
技巧 3：变形后代入时，需将整个式子代入，若式子含加减运算，需加括号（如将\(y = x - 2\)代入\(2x + y = 5\)时，写成\(2x + (x - 2) = 5\)）。
技巧 4：回代时，代入变形后的简单式子比代入原方程更简便。
第 12 页：例题讲解 5—— 实际问题应用
例 5：买 3 支钢笔和 2 本笔记本共需 19 元，买 2 支钢笔和 3 本笔记本共需 16 元，求每支钢笔和每本笔记本的价格。
解析：
步骤 1：设未知数。设每支钢笔\(x\)元，每本笔记本\(y\)元。
步骤 2：列方程组。\(\begin{cases}3x + 2y = 19 \\ 2x + 3y = 16 \end{cases}\) 。
步骤 3：变形。由①得：\(2y = 19 - 3x\)→\(y = \frac{19 - 3x}{2}\) ③ 。
步骤 4：代入。将③代入②得：\(2x + 3 \frac{19 - 3x}{2}=16\) 。
步骤 5：求解。去分母（乘 2）得\(4x + 57 - 9x = 32\)→\(-5x = -25\)→\(x = 5\) 。
步骤 6：回代。将\(x = 5\)代入③得：\(y = \frac{19 - 15}{2}=2\) 。
步骤 7：检验。符合题意。
步骤 8：作答。每支钢笔 5 元，每本笔记本 2 元。
第 13 页：课堂练习 1
练习 1：用代入法解下列方程组：
（1）\(\begin{cases}y = 2x \\ x + y = 3\end{cases}\)；
（2）\(\begin{cases}x - y = 1 \\ 2x + y = 5\end{cases}\) 。
练习 2：解方程组\(\begin{cases}3x + 2y = 8 \\ x = \frac{y + 3}{2}\end{cases}\) 。
第 14 页：课堂练习 2
练习 3：解方程组\(\begin{cases}2(x + 1) = y + 3 \\ 3(y - 1) = 2x + 5\end{cases}\) 。
练习 4：某停车场停着自行车和汽车共 30 辆，总共有 86 个轮子，求自行车和汽车各有多少辆？（设自行车\(x\)辆，汽车\(y\)辆，列方程组并求解）。
第 15 页：易错点提醒
变形时符号错误，如由\(x - y = 2\)错误得\(y = x + 2\)（正确应为\(y = x - 2\)）。
代入时漏加括号，如将\(y = x - 1\)代入\(2x - y = 3\)错误得\(2x - x - 1 = 3\)（正确应为\(2x - (x - 1) = 3\)）。
代入后计算错误，尤其是去括号和移项时符号出错。
回代时代入原方程而非变形后的式子，增加计算难度。
忘记检验解的正确性，导致解不符合原方程组。
第 16 页：课堂小结
本节课学习了代入消元法解二元一次方程组，核心思想是 “消元”，将二元转化为一元。
掌握了代入消元法的步骤：变形→代入→求解→回代→检验→作答。
学会了选择合适的方程进行变形（优先选系数为 1 或 - 1 的方程），以及代入时的括号处理技巧。
能运用代入消元法解决简单的实际问题，体会方程模型的应用价值。
第 17 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页练习二十六第 1、2、3 题。
提高作业：用代入法解下列方程组：
（1）\(\begin{cases}4x - 3y = 5 \\ 2x - y = 2\end{cases}\)；
（2）\(\begin{cases}\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=1 \\ x + y = 1\end{cases}\) 。
拓展作业：编一道能用代入消元法解决的二元一次方程组应用题，并写出解答过程。
2025-2026学年湘教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.6.1 代入消元法
第3章 一次方程（组）
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
复习导入
1.将方程x-2y=5表示成用含y的代数式表示x，
即___________.
2.若x+3y=3，则2x+6y-5=_______.
3.在上节课中，我们列出二元一次方程组并知道是这个方程组的一个解，这个解是怎样得到的呢？
x=2y+5
1
探索新知
将二元一次方程组中的方程①变形为
再把y的表达式③代入方程②中，得到一元一次方程：
4x+2(35-x)=94 .
思 考
比较：一元一次方程 4x+2(35-x)=94
与二元一次方程组 有什么联系？
①
②
③
y=35-x
4x+2(35-x)=94
解得 x=12 .
①
②
③
y=35-x
将x用12代入③式，得 y=35-12=23 .
经检验，是由方程①和②组成的二元一次方程组的解.
把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后把这个代数式代入另一个方程中，便消去了一个未知数，得到一个一元一次方程.
多元
一元
核心思想
解这个一元一次方程求出其中一个未知数的值，再把求出的未知数的值代入前面的代数式中，就可以求出另一个未知数的值.
这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法.
消元
例1
解二元一次方程组：
①
②
解：将方程①移项，得
两边都除以2，得
把③式代入方程②中，得
解得
把y用1代入③式，得
因此，是原二元一次方程组的解.
2x=4y ，
③
x=2y .
5×2y-7y=3 ，
y=1 .
x=2 .
做一做
用消去未知数y的方法求出例1方程组的解.
①
②
解：将方程①移项，得
两边都除以4，得
把④式代入方程②中，得
解得
把x用2代入③式，得
因此，是原二元一次方程组的解.
4y=2x ，
5x-7x=3 ，
y=x .
④
x=2 .
y=1 .
消哪个未知数简单一点？
解二元一次方程组：
解：将方程①移项、两边都除以2，得
把③式代入方程②中，得
解得
把y用3代入③式，得
因此， 是原二元一次方程组的解.
例2
y=3 .
x=4 .
③
x=y- .
3(y-)+2y=18 ，
代入消元法解方程组的一般步骤：
①选择其中一个方程，用含有一个未知数的式子表示另一个未知数；
②把变形后的方程代入另一个方程中，消元后求出未知数的值；
③把求得的未知数的值代入到变形的方程中，求出另一个未知数的值；
④写出方程组的解.
1.把下列方程改写成为用含x的代数式表示y的形式.
(1) 2x-y=-1 ； (2) x+2y-2=0 .
解：(1)
2x-(-1)=y
y=2x+1
(2) 2y=2-x
y=-x+1
2.用代入消元法解下列二元一次方程组：
(1) (2)
解：(1)将方程①移项，得
将③式代入②式，得
解得
将x的值代入③式，得
因此， 是原二元一次方程组的解.
①
②
x=5 .
y=-3 .
2x-5×(12-3x)=25 .
③
y=12-3x
【课本P122 练习】
2.用代入消元法解下列二元一次方程组：
(1) (2)
(2)将方程②移项，得
将③式代入①式，得
解得
将x的值代入③式，得
因此， 是原二元一次方程组的解.
①
②
x=1 .
y=1 .
3x+2×(2x-1)=5 .
③
y=2x-1
【课本P122 练习】
2.用代入消元法解下列二元一次方程组：
(3) (4)
(3)将方程②移项，得
将③式代入①式，得
解得
将y的值代入③式，得
因此， 是二元一次方程组的解.
①
②
y=-
x=- .
3×(-3-5y) -7y=1
③
x= -3-5y
【课本P122 练习】
(4)将方程①移项，得
将③式代入②式，得
解得
将x的值代入③式，得
因此， 是二元一次方程组的解.
x=
y=-
-2x+3×(1-5x)=-34 .
③
y=1-5x
2.用代入消元法解下列二元一次方程组：
(3) (4)
①
②
【课本P122 练习】
1. 用代入消元法解方程组时，消去,得到关于
的方程是( )
A
A. B.
C. D.
返回
2. 已知，满足方程组则， 恒有的关系式是
( )
A. B.
C. D.
C
返回
3. ［2025郴州期末］如果
，那么与 的值分别为
( )
D
A. B.
C. D.
返回
4. 下面是小颖同学解方程组
的过程：
解：由①，得 ，③第一步
把③代入①，得 ，第二步
即 ，第三步
所以此方程组无解.第四步
其中，开始出现错误的是第____步.
二
返回
5. 下面是小明同学解方程组
的过程的框图表示，请你帮他补充完整：
其中，①为______，②为_______，③为_______.
代入
消去
解得
返回
6.用代入消元法解下列方程组：
（1）
【解】由①得 ,③
将③代入②，得，解得 .
把代入③，解得 .
所以 是原方程组的解.
（2）
整理，得
由①，得 ，③
把③代入②，得，解得 .
把代入③，得.所以 是原方程组的解.
返回
7. 定义一种新运算“ ”，规定
，其中，为常数，且 ，
，则 ( )
B
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【点拨】因为，且， ，
所以解得所以 .所以
.
返回
8. 符号|，●各代表一个数，且满足以下两个等式：|-●
，4（|-●）●，则满足等式的 的值
为( )
D
A. 50.4 B. 40.4
C. 30.4 D. 20.4
代入消元法解方程组的一般步骤：
①选择其中一个方程，用含有一个未知数的式子表示另一个未知数；
②把变形后的方程代入另一个方程中，消元后求出未知数的值；
③把求得的未知数的值代入到变形的方程中，求出另一个未知数的值；
④写出方程组的解.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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