资源简介

(共29张PPT)
3.6.2 加减消元法教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：3.6.2 加减消元法
副标题：初中七年级数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：代入消元法的核心思想是什么？（消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程。）
问题 2：用代入法解方程组\(\begin{cases}x + y = 5 \\ x - y = 1\end{cases}\)的步骤是什么？（由①得\(x = 5 - y\)，代入②得\(5 - y - y = 1\)，解得\(y = 2\)，回代得\(x = 3\)。）
问题 3：观察方程组\(\begin{cases}2x + y = 7 \\ x + y = 5\end{cases}\)，两个方程中\(y\)的系数有什么关系？（相等，都为 1。）
引入：当方程组中两个方程的某个未知数系数相等或互为相反数时，除了代入法，还可以通过相加或相减消去这个未知数，这就是本节课要学习的加减消元法。
第 3 页：情境引入
情境：食堂购买蔬菜，第一天买了 2 斤白菜和 1 斤萝卜共花 10 元，第二天买了 2 斤白菜和 3 斤萝卜共花 18 元，求每斤白菜和萝卜的价格。
列方程组：设白菜每斤\(x\)元，萝卜每斤\(y\)元，得\(\begin{cases}2x + y = 10 \\ 2x + 3y = 18 \end{cases}\) 。
分析：两个方程中\(x\)的系数相同，若用②-①，可消去\(x\)，直接求出\(y\)的值。
计算：②-①得\(2y = 8\)→\(y = 4\)，代入①得\(2x + 4 = 10\)→\(x = 3\)。这种通过加减消元的方法就是本节课的重点。
第 4 页：学习目标
知识目标：理解加减消元法的概念和适用条件；掌握用加减消元法解二元一次方程组的步骤；能根据方程组特点选择合适的消元方法。
能力目标：通过观察方程组中未知数系数的关系，培养分析问题的能力；在运用加减消元法的过程中，提升运算的准确性和灵活性。
情感目标：体会数学方法的多样性，感受 “消元” 思想在解题中的重要作用，增强学习数学的兴趣和信心。
第 5 页：加减消元法的概念
定义内容：当二元一次方程组中两个方程的某个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
核心思想：消元（通过加减运算消除一个未知数，将二元转化为一元）。
适用条件：方程组中某一未知数的系数相等（相减消元）或互为相反数（相加消元）。
第 6 页：加减消元法的基本步骤
观察：观察方程组中两个方程的未知数系数，确定消去哪个未知数。
加减：若某未知数系数相等，将两个方程相减；若系数互为相反数，将两个方程相加，消去该未知数，得到一元一次方程。
求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值。
回代：将求出的未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出另一个未知数的值。
检验：将两个未知数的值代入原方程组，检验是否同时成立（可选步骤）。
作答：写出方程组的解。
第 7 页：例题讲解 1—— 系数互为相反数
例 1：解方程组\(\begin{cases}x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}\) 。
解析：
步骤 1：观察。\(y\)的系数分别为 1 和 - 1，互为相反数，可相加消去\(y\)。
步骤 2：加减。①+②得：\((x + y) + (x - y) = 5 + 1\)→\(2x = 6\) 。
步骤 3：求解。\(x = 3\) 。
步骤 4：回代。将\(x = 3\)代入①得：\(3 + y = 5\)→\(y = 2\) 。
步骤 5：检验。代入②：\(3 - 2 = 1\)，成立。
步骤 6：作答。方程组的解为\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 2\end{cases}\) 。
方法总结：系数互为相反数时，选择加法消元，消除未知数更简便。
第 8 页：例题讲解 2—— 系数相等
例 2：解方程组\(\begin{cases}2x + y = 7 \\ x + y = 5 \end{cases}\) 。
解析：
步骤 1：观察。\(y\)的系数均为 1，相等，可相减消去\(y\)。
步骤 2：加减。①-②得：\((2x + y) - (x + y) = 7 - 5\)→\(x = 2\) 。
步骤 3：求解。\(x = 2\) 。
步骤 4：回代。将\(x = 2\)代入②得：\(2 + y = 5\)→\(y = 3\) 。
步骤 5：检验。代入①：\(2 2 + 3 = 7\)，成立。
步骤 6：作答。方程组的解为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\) 。
技巧提示：相减时注意符号变化，避免计算错误（可加括号保护原式）。
第 9 页：例题讲解 3—— 需调整系数后加减
例 3：解方程组\(\begin{cases}3x + 2y = 13 \\ 3x - 2y = 5 \end{cases}\) 。
解析：
步骤 1：观察。\(y\)的系数分别为 2 和 - 2，互为相反数，适合加法消元。
步骤 2：加减。①+②得：\(6x = 18\)→\(x = 3\) 。
步骤 3：回代。将\(x = 3\)代入①得：\(9 + 2y = 13\)→\(2y = 4\)→\(y = 2\) 。
步骤 4：检验。代入②：\(9 - 4 = 5\)，成立。
步骤 5：作答。方程组的解为\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 3\end{cases}\) 。
拓展思考：若消去\(x\)，可将①-②得\(4y = 8\)→\(y = 2\)，结果相同，说明可选择任意未知数消元。
第 10 页：例题讲解 4—— 需先化系数相等或相反
例 4：解方程组\(\begin{cases}2x + 3y = 11 \\ 3x - 2y = 4 \end{cases}\) 。
解析：
步骤 1：观察。\(x\)和\(y\)的系数均不相等也不相反，需先化系数。若消去\(x\)，找 2 和 3 的最小公倍数 6。
步骤 2：化系数。①×3 得：\(6x + 9y = 33\) ③ ；②×2 得：\(6x - 4y = 8\) ④ 。
步骤 3：加减。③-④得：\(13y = 25\)→\(y = \frac{25}{13}\) 。
步骤 4：回代。将\(y = \frac{25}{13}\)代入②得：\(3x - 2 \frac{25}{13}=4\)→\(3x = 4 + \frac{50}{13}=\frac{102}{13}\)→\(x = \frac{34}{13}\) 。
步骤 5：检验。代入①：\(2 \frac{34}{13}+3 \frac{25}{13}=\frac{68 + 75}{13}=11\)，成立。
步骤 6：作答。方程组的解为\(\begin{cases}x = \frac{34}{13} \\ y = \frac{25}{13}\end{cases}\) 。
方法总结：系数不满足直接加减时，先乘公倍数化系数相等或相反，再消元。
第 11 页：例题讲解 5—— 先化简再消元
例 5：解方程组\(\begin{cases}\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=2 \\ 3x - 2y = 6 \end{cases}\) 。
解析：
步骤 1：化简。①去分母（乘 6）得：\(3x + 2y = 12\) ③ 。
步骤 2：观察。③和②中\(y\)的系数为 2 和 - 2，互为相反数。
步骤 3：加减。③+②得：\(6x = 18\)→\(x = 3\) 。
步骤 4：回代。将\(x = 3\)代入②得：\(9 - 2y = 6\)→\(y = \frac{3}{2}\) 。
步骤 5：检验。代入①：\(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2\)，成立。
步骤 6：作答。方程组的解为\(\begin{cases}x = 3 \\ y = \frac{3}{2}\end{cases}\) 。
注意事项：方程组含分母时，需先去分母化简，再选择消元方法。
第 12 页：代入法与加减法的选择技巧
方程组特点
优先方法
示例
某未知数系数为 1 或 - 1
代入法
\(\begin{cases}x + 2y = 5 \\ y = x + 1\end{cases}\)
某未知数系数相等或相反
加减法
\(\begin{cases}2x + 3y = 7 \\ 2x - 3y = 1\end{cases}\)
系数均不为 1 且不满足直接加减
先化系数再用加减法
\(\begin{cases}3x + 4y = 10 \\ 5x - 6y = 3\end{cases}\)
含括号或分母
先化简再选择方法
\(\begin{cases}2(x + 1) = y + 3 \\ 3y = 2x + 5\end{cases}\)
第 13 页：课堂练习 1
练习 1：用加减法解下列方程组：
（1）\(\begin{cases}x + y = 10 \\ x - y = 2\end{cases}\)；
（2）\(\begin{cases}3x + 2y = 14 \\ 3x - y = 7\end{cases}\) 。
练习 2：解方程组\(\begin{cases}2x + 5y = 13 \\ 3x - 5y = 7\end{cases}\) 。
第 14 页：课堂练习 2
练习 3：解方程组\(\begin{cases}4x + 3y = 5 \\ 2x - y = -5\end{cases}\)（提示：先化\(x\)系数相等）。
练习 4：某车间有工人 54 人，每人每天生产甲种零件 15 个或乙种零件 24 个，已知 3 个甲种零件和 2 个乙种零件配套，如何分配工人使零件刚好配套？（列方程组并用加减法求解）。
第 15 页：易错点提醒
系数相反时误用减法消元，或系数相等时误用加法消元，导致无法消元。
化系数时漏乘常数项，如将\(2x + y = 3\)乘 2 错误得\(4x + y = 6\)（正确应为\(4x + 2y = 6\)）。
方程相减时符号错误，如①-②时未变号，导致计算结果错误。
回代时选择复杂方程，增加计算难度和出错概率。
结果未写成方程组解的形式，如仅写\(x = 2\)，\(y = 3\)，未写成\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\) 。
第 16 页：课堂小结
本节课学习了加减消元法解二元一次方程组，核心是通过加减运算消除一个未知数。
掌握了加减法的适用条件：某未知数系数相等（相减）或互为相反数（相加）。
学会了 “化系数→加减消元→求解→回代” 的完整步骤，以及含分母、括号的方程组需先化简的处理方法。
明确了代入法与加减法的选择依据，能根据方程组特点灵活选用合适方法。
第 17 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页练习二十七第 1、2、3 题。
提高作业：用加减法解下列方程组：
（1）\(\begin{cases}3x + 4y = 16 \\ 5x - 6y = 33\end{cases}\)；
（2）\(\begin{cases}\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=2 \\ 3x - 4y = -7\end{cases}\) 。
拓展作业：对比代入消元法和加减消元法的优缺点，举例说明何时选择哪种方法更高效。
2025-2026学年湘教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.6.2 加减消元法
第3章 一次方程（组）
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
复习导入
已知二元一次方程组
①
②
(1) 用代数消元法求解.
解：将方程①移项、两边都除以3，得
y=(1-7x)
③
将③式代入方程②，得
2x-3(1-7x)=8
解得
x=1
把x用1代入③式，得
y=-2
因此，是原二元一次方程组的解.
探索新知
已知二元一次方程组
①
②
观 察
(2)上述方程组中未知数y的系数有什么特点？
这对解方程组有什么启发
发现：方程①中y的系数和方程②中y的系数互为相反数.
启发：若把方程①②的左右两边分别相加，就可消去y，
从而得到关于x的一元一次方程.
已知二元一次方程组
①
②
①+②，得
9x=9 ，
两边都除以9，得
x=1 .
把x用1代入方程①，得
7×1+3y=1 ，
y=-2 .
解得
因此，是原二元一次方程组的解.
若f=g，u=v，则f±u=g±v.
该如何选择合适的方法？
只有当方程组的某一方程中某一未知数的系数的绝对值是1时，用代入消元法较简单，其他的用加减消元法较简单.
代入消元法
加减消元法
例3
解二元一次方程组
①
②
解：①-②，得
两边都除以8，得
把y用-1代入方程①，得
解得
因此，是原二元一次方程组的解.
8y=-8 ，
2x+3×(-1)=-1 ，
x=1 .
y=-1 ，
用代入消元法试试，哪种简便？
如果二元一次方程组中两个未知数的系数既不相等也不互为相反数，例如
如何消去某个未知数，使其转化为一个一元一次方程？
①
②
发现：方程①中x的系数的3倍等于方程②中x的系数.
启发：先把方程①的左右两边都乘3，再将得到的方程与方程②左右两边对应相减，便得到关于y的一元一次方程.
思 考
①
②
①×3，得
6x+9y=-33 .
③
③-②，得
(6x+9y)-(6x-5y)=-33-9 ，
去括号，得
6x+9y-=-33-9 ，
合并同类项，得
14y=-42 ，
两边都除以14，得
y=-3 .
把y用-3代入方程①，得
2x+3×(-3) =-11，
解得
x=-1 .
因此， 是原二元一次方程组的解.
对于二元一次方程组，把一个方程进行适当变形后，再加上(或减去)另一个方程，消去其中一个未知数，得到只含另一个未知数的一元一次方程，解这个一元一次方程求出另一个未知数的值，再把这个值代入原二元一次方程组的任意一个方程，就可以求出被消去的未知数的值，从而得到原二元一次方程组的解.
这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法.
变形 加减 求解 回代 写出解
用自己的语言总结解二元一次方程组的基本思路.
消去一个未知数（简称消元），得到一个一元一次方程，然后解这个一元一次方程，求出一个未知数的值，接着再去求另一个未知数的值.
议一议
我国元代数学家朱世杰 (13-14世纪)在《四元玉鉴》中就用到了消元法.
二元一次方程组
一元一次方程
求出一个未知数的值
求出另一个未知数的值
消元
课堂练习
1.用加减消元法解下列二元一次方程组：
①
②
解：(1) ①+②，得
10y=40 ，
解得
y=4 .
把y用4代入①式，得
2x+7×4=22，
解得
x=-3.
因此， 是原二元一次方程组的解.
【课本P124 练习 第1题】
1.用加减消元法解下列二元一次方程组：
①
②
(2) ②-①，得
5x=-15 ，
解得
x=-3 .
把x用-3代入①式，得
-2×(-3)+5y=11，
解得
y=1.
因此， 是原二元一次方程组的解.
【课本P124 练习 第1题】
①
②
(3) ①×2-②，得
9y=63，
解得
y=7 .
把y用7代入①式，得
3x+2×7=8，
解得
x=-2.
因此， 是原二元一次方程组的解.
1.用加减消元法解下列二元一次方程组：
【课本P124 练习 第1题】
①
②
(4) ①+②×2，得
13x=27，
解得
x=.
把x用代入①式，得
3× -4y=7，
解得
y=- .
因此， 是原二元一次方程组的解.
1.用加减消元法解下列二元一次方程组：
【课本P124 练习 第1题】
①
②
2. 解方程组：
③
代入法
加减法
解：由①得
将③代入②，得
代入③，得
解：①×4-② ，得
代入①，得
3.已知关于x，y的二元一次方程组
的解为 求a，b的值.
解：根据题意，得
①
②
②×3-①，得
7b=14 ，
解得
b=2 .
把b用2代入①式，得
3a+2×2=13 ，
解得
a=3 .
所以，a=3，b=2 .
【课本P124 练习 第2题】
4. 已知方程组 的解满足方程 x + y = 8，求 m 的值.
解：①+②，得 5x + 5y = 2m + 2.
又∵x + y = 8，
∴5×8 = 2m + 2.
解得 m = 19.
故 m 的值为 19.
1. 在解二元一次方程组
时，若可直接消去未知数，则和 满足的条件是
( )
C
A. B.
C. D.
返回
2. 用加减消元法解方程组 下列解法正确的
是( )
C
A. 消去 B. 消去
C. 消去 D. 消去
3. 已知, 都是有理数，观察表中的运算，
则 ___.
运算的结果 5 9
3
返回
4.若与互为相反数,则 ____.
返回
5.下面是数学课上小颖同学解方程组 的过程，
老师在旁边标注了步骤，请认真阅读并完成相应的任务.
解：由，得 ，③（第一步）
由，得 ，④（第二步）
，得，第三步
解得 .（第四步）
把代入①，得 .（第五步）
所以原方程组的解为 （第六步）
（1）小颖用______消元法解方程组；（填“代入”或“加减”）
（2）小颖的解答从第____步出现了错误；
加减
二
（3）请直接写出该方程组的解.
【点拨】
由，得 ，③
由，得 ，④
，得，解得 .
把代入①，得.所以原方程组的解为
返回
6.［2025杭州西湖区期末］解下列方程组：
（1）
【解】原方程组整理,得
，得，解得 ，
把代入①，得，解得 ，
所以原方程组的解为
（2）
方程组变形，得
由，得 ，
把代入②,得，解得 ，
所以原方程组的解为
返回
7. 已知关于,的二元一次方程组 下列结论
中正确的是( )
C
①当这个方程组的解,的值互为相反数时， ;②当
时，方程组的解也是方程 的解；③无论
取什么数，的值等于3始终不变；④若用表示 ,则
.
A. ①② B. ②③
C. ①③④ D. ②③④
加减消元法
条件：
步骤：
方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍
变形 加减 求解 回代 写出解
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑