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3.7.1 二元一次方程组的应用 (一) 教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：3.7.1 二元一次方程组的应用 (一)
副标题：初中七年级数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：解二元一次方程组的常用方法有哪些？（代入消元法和加减消元法。）
问题 2：用加减消元法解方程组\(\begin{cases}2x + y = 7 \\ x + y = 5\end{cases}\)的步骤是什么？（①-②得\(x = 2\)，代入②得\(y = 3\)，解为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)。）
问题 3：列一元一次方程解应用题的基本步骤是什么？（审、设、列、解、验、答。）
引入：上节课学习了加减消元法解方程组，本节课将运用二元一次方程组解决实际问题，体会方程组在处理含两个未知数问题时的优势。
第 3 页：情境引入
情境 1：学校组织七年级学生参加社会实践活动，原计划租用 45 座客车若干辆，但有 15 人没有座位；如果改租同样数量的 60 座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满。七年级有多少学生？原计划租用多少辆 45 座客车？（需同时求学生人数和车的数量，适合用方程组解决。）
情境 2：某商场购进甲、乙两种商品共 50 件，甲种商品每件进价 35 元，利润率 20%；乙种商品每件进价 20 元，利润率 15%，共获利 278 元。甲、乙两种商品各购进多少件？（含两个未知数和两个等量关系，需列方程组求解。）
思考：这些问题中存在两个未知数和两个等量关系，如何用二元一次方程组表示并解决？本节课将学习列二元一次方程组解应用题的方法。
第 4 页：学习目标
知识目标：掌握列二元一次方程组解应用题的基本步骤；能分析实际问题中的数量关系，找出两个等量关系；能运用二元一次方程组解决和差倍分问题、行程问题等简单实际问题。
能力目标：通过将实际问题转化为数学模型，培养数学建模能力和分析问题的能力；在列方程组解决问题的过程中，提高运算能力和逻辑思维能力。
情感目标：感受数学与生活的密切联系，体会方程组解决问题的便捷性，增强应用数学的意识和信心。
第 5 页：列二元一次方程组解应用题的基本步骤
审：审题。认真阅读题目，明确已知条件和所求问题，找出题目中的两个等量关系。
设：设未知数。设出两个未知数（通常用\(x\)和\(y\)表示），明确未知数的含义及单位。
列：列方程组。根据找到的两个等量关系，分别列出两个二元一次方程，组成方程组。
解：解方程组。运用代入消元法或加减消元法求出方程组的解。
验：检验。检验方程组的解是否符合原方程组，同时是否符合实际意义（如人数、数量为正整数等）。
答：作答。写出答案，回答题目中的问题，注意单位完整。
第 6 页：例题讲解 1—— 和差倍分问题
例 1：某班共有学生 54 人，其中男生人数比女生人数的 2 倍少 6 人，求该班男生和女生各有多少人？
解析：
步骤 1：审题。等量关系 1：男生人数 + 女生人数 = 总人数 54 人；等量关系 2：男生人数 = 女生人数 ×2 - 6。
步骤 2：设未知数。设女生人数为\(x\)人，男生人数为\(y\)人。
步骤 3：列方程组。\(\begin{cases}x + y = 54 \\ y = 2x - 6 \end{cases}\) 。
步骤 4：解方程组。将②代入①得：\(x + 2x - 6 = 54\)→\(3x = 60\)→\(x = 20\)，代入②得\(y = 34\) 。
步骤 5：检验。\(20 + 34 = 54\)，\(34 = 2 20 - 6\)，符合题意。
步骤 6：作答。该班男生有 34 人，女生有 20 人。
方法总结：和差倍分问题需找出两个数量关系，一个表示总和（或差），一个表示倍数关系。
第 7 页：例题讲解 2—— 行程问题（相遇问题）
例 2：甲、乙两地相距 360 千米，一辆快车从甲地开往乙地，每小时行 70 千米；一辆慢车从乙地开往甲地，每小时行 50 千米。两车同时出发，几小时后相遇？相遇时快车行驶了多少千米？
解析：
步骤 1：审题。等量关系 1：快车行驶路程 + 慢车行驶路程 = 总路程 360 千米；等量关系 2：两车行驶时间相同（设为\(x\)小时），快车路程 = 70x，慢车路程 = 50x。
步骤 2：设未知数。设两车出发后\(x\)小时相遇，相遇时快车行驶了\(y\)千米。
步骤 3：列方程组。\(\begin{cases}y + 50x = 360 \\ y = 70x \end{cases}\) 。
步骤 4：解方程组。将②代入①得：\(70x + 50x = 360\)→\(120x = 360\)→\(x = 3\)，代入②得\(y = 210\) 。
步骤 5：检验。\(210 + 50 3 = 360\)，符合题意。
步骤 6：作答。两车出发后 3 小时相遇，相遇时快车行驶了 210 千米。
方法总结：行程问题中相遇问题的基本等量关系是 “路程和 = 速度和 × 时间”，可根据路程或时间设未知数。
第 8 页：例题讲解 3—— 购物问题
例 3：小明在文具店买了 5 支钢笔和 3 本笔记本，共支付 50 元；小红买了同样的 3 支钢笔和 2 本笔记本，共支付 31 元。求每支钢笔和每本笔记本的价格。
解析：
步骤 1：审题。等量关系 1：5 支钢笔费用 + 3 本笔记本费用 = 50 元；等量关系 2：3 支钢笔费用 + 2 本笔记本费用 = 31 元。
步骤 2：设未知数。设每支钢笔\(x\)元，每本笔记本\(y\)元。
步骤 3：列方程组。\(\begin{cases}5x + 3y = 50 \\ 3x + 2y = 31 \end{cases}\) 。
步骤 4：解方程组。①×2 得\(10x + 6y = 100\) ③；②×3 得\(9x + 6y = 93\) ④；③-④得\(x = 7\)，代入②得\(21 + 2y = 31\)→\(y = 5\) 。
步骤 5：检验。\(5 7 + 3 5 = 50\)，\(3 7 + 2 5 = 31\)，符合题意。
步骤 6：作答。每支钢笔 7 元，每本笔记本 5 元。
方法总结：购物问题的等量关系是 “总费用 = 单价 × 数量”，需根据不同购买方案列出方程组。
第 9 页：例题讲解 4—— 配套问题
例 4：某车间有 28 名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓 12 个或螺母 18 个，已知 1 个螺栓要配 2 个螺母，问如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？
解析：
步骤 1：审题。等量关系 1：生产螺栓人数 + 生产螺母人数 = 28 人；等量关系 2：螺母总数 = 螺栓总数 ×2。
步骤 2：设未知数。设生产螺栓的工人有\(x\)人，生产螺母的工人有\(y\)人。
步骤 3：列方程组。\(\begin{cases}x + y = 28 \\ 18y = 2 12x \end{cases}\) 。
步骤 4：解方程组。化简②得\(18y = 24x\)→\(3y = 4x\)→\(y = \frac{4}{3}x\) ③；将③代入①得\(x + \frac{4}{3}x = 28\)→\(\frac{7}{3}x = 28\)→\(x = 12\)，则\(y = 16\) 。
步骤 5：检验。螺栓总数\(12 12 = 144\)个，螺母总数\(16 18 = 288\)个，\(288 = 2 144\)，配套，符合题意。
步骤 6：作答。应分配 12 名工人生产螺栓，16 名工人生产螺母。
方法总结：配套问题需明确两种部件的配套比例，根据 “数量 × 比例” 列等量关系。
第 10 页：找等量关系的常用方法
方法 1：抓住关键词。如 “和”“差”“倍”“分”“共”“多”“少” 等，直接体现等量关系。
例：“A 与 B 的和为 100”→\(A + B = 100\)；“A 比 B 的 3 倍少 5”→\(A = 3B - 5\)。
方法 2：利用基本公式。如行程问题（路程 = 速度 × 时间）、工程问题（工作量 = 工作效率 × 时间）、购物问题（总价 = 单价 × 数量）等。
例：“路程和 = 速度和 × 相遇时间”。
方法 3：分析实际意义。结合生活常识或问题背景，找出隐含的等量关系。
例：配套问题中 “部件数量比等于配套比例”；人数分配问题中 “各部分人数和 = 总人数”。
方法 4：借助图表。用线段图表示行程问题中的路程关系，用表格梳理数量关系，使等量关系更直观。
第 11 页：例题讲解 5—— 百分比问题
例 5：某商店购进甲、乙两种商品，甲商品的进价比乙商品的进价每件多 10 元，若用 3000 元购进甲商品的数量与用 2400 元购进乙商品的数量相同，求甲、乙两种商品的进价各是多少元？
解析：
步骤 1：审题。等量关系 1：甲进价 = 乙进价 + 10 元；等量关系 2：3000 元购进甲的数量 = 2400 元购进乙的数量（数量 = 总价 ÷ 单价）。
步骤 2：设未知数。设乙商品的进价为\(x\)元 / 件，则甲商品的进价为\(y\)元 / 件。
步骤 3：列方程组。\(\begin{cases}y = x + 10 \\ \frac{3000}{y} = \frac{2400}{x} \end{cases}\) 。
步骤 4：解方程组。将①代入②得\(\frac{3000}{x + 10} = \frac{2400}{x}\)，交叉相乘得\(3000x = 2400(x + 10)\)→\(3000x = 2400x + 24000\)→\(600x = 24000\)→\(x = 40\)，则\(y = 50\) 。
步骤 5：检验。甲数量\(3000 ·50 = 60\)件，乙数量\(2400 ·40 = 60\)件，数量相同，符合题意。
步骤 6：作答。甲商品的进价为 50 元 / 件，乙商品的进价为 40 元 / 件。
方法总结：百分比或分式关系的问题，需根据 “数量相等”“比例相等” 等列方程，注意验根（确保分母不为 0）。
第 12 页：课堂练习 1
练习 1：某中学七年级学生参加义务劳动，其中男生人数比女生人数的 2 倍少 30 人，且男生人数与女生人数的和是 120 人，求参加义务劳动的男生和女生各有多少人？
练习 2：甲、乙两人从相距 20 千米的两地同时出发，相向而行，甲每小时走 6 千米，乙每小时走 4 千米，几小时后两人相遇？相遇时甲走了多少千米？
第 13 页：课堂练习 2
练习 3：某商场用 3600 元购进 A、B 两种商品，A 种商品每件进价 20 元，B 种商品每件进价 30 元，购进 A 种商品的数量比 B 种商品多 20 件，求购进 A、B 两种商品各多少件？
练习 4：用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身 25 个或制盒底 40 个，1 个盒身与 2 个盒底配成 1 个罐头盒，现有 36 张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底刚好配套？
第 14 页：易错点提醒
审题不清，遗漏关键信息，导致等量关系找错或不完整（如配套问题忘记比例关系）。
设未知数时未明确单位，或单位不统一（如速度单位千米 / 小时与时间单位分钟未统一）。
列方程组时方程列错，如将 “甲比乙多 5” 写成\(x + 5 = y\)（正确应为\(x = y + 5\)）。
解方程组过程出错，尤其是加减消元时符号错误或代入时漏乘。
检验环节缺失，未验证解是否符合实际意义（如人数为负数或小数）。
作答不完整，未回答题目中的所有问题（如问题求两个量只答一个）。
第 15 页：课堂小结
本节课学习了列二元一次方程组解应用题的基本步骤：审、设、列、解、验、答。
掌握了几种常见实际问题的解法：和差倍分问题、行程问题（相遇）、购物问题、配套问题、百分比问题。
学会了找等量关系的方法：抓关键词、用基本公式、分析实际意义、借助图表。
明确了列二元一次方程组解决问题的优势：能更直接地表示两个未知数的关系，避免复杂的代数式转化。
第 16 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页练习二十八第 1、2、3 题。
提高作业：
（1）某校组织学生参加社会实践活动，原计划租用 45 座客车若干辆，但有 15 人没有座位；如果改租 60 座客车，可少租一辆，且刚好坐满。求原计划租用 45 座客车的数量和参加社会实践活动的学生人数。
（2）甲、乙两种商品的进价之和为 500 元，商店老板为获取利润，决定将甲商品按 50% 的利润定价，乙商品按 40% 的利润定价。在实际销售时，应顾客要求，两种商品均按 9 折出售，这样商店共获利 157 元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元？
拓展作业：从生活中选取一个适合用二元一次方程组解决的实际问题，列出方程组并求解。
2025-2026学年湘教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.7.1二元一次方程组的应用(一)
第3章 一次方程（组）
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
复习导入
2. 解二元一次方程组目前学习了哪几种方法？
①代入消元法；
②加减消元法。
1. 列方程最关键的步骤是什么？
关键在于找到问题的等量关系.
探索新知
小楠收集的中国邮票和外国邮票共有335张，其中中国邮票的张数比外国邮票的张数的3倍少17.小楠收集的中国邮票和外国邮票各有多少张？
思 考
中国邮票的张数+外国邮票的张数=335
中国邮票的张数=3×外国邮票的张数-17
本问题涉及的等量关系：
中国邮票的张数+外国邮票的张数=335
中国邮票的张数=3×外国邮票的张数-17
设小楠有中国邮票x张，外国邮票y张，根据等量关系，得
解得
因此，小楠收集了中国邮票247张，外国邮票88张.
1. 现在父亲的年龄是儿子的年龄的 3 倍，7 年前父亲的年龄是儿子的年龄的 5 倍，问父亲、儿子现在的年龄分别是（ ）
A. 42 岁，14 岁 B. 48 岁，16 岁
C. 36 岁，12 岁 D. 39 岁，13 岁
A
练一练
某业余运动员针对自行车和长跑项目进行专项训练. 某次训练中，他骑自行车的平均速度为10 m/s，跑步的平均速度为 m/s，自行车路段和长跑路段共5 km，
共用时 15 min. 求自行车路段和长跑路段的长度.
例1
5km
15 min
自行车路段
长跑路段
平均速度10 m/s
平均速度 m/s
5km
15 min
自行车路段
长跑路段
平均速度10 m/s
平均速度 m/s
自行车路段的长度+长跑路段的长度=5 km
骑自行车的时间+长跑时间=15 min
本问题涉及的等量关系：
注意
单位
解：设自行车路段的长度为 x m，
长跑路段的长度为 y m，则
解得
答：自行车路段的长度为3000m，长跑路段的长度为2000m.
甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人 0.5 h 后相遇，试问两人的速度各是多少？
练一练
解 设甲、乙的速度分别是 x km/h，y km/h.根据题意，得
2x – 2y = 4，
x + y = 4.
1
2
1
2
解得
x = 5，
x = 3.
答：甲的速度是 5 km/h，乙的速度是 3 km/h.
甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场
变化，甲商品降价15%，乙商品提价10%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和降低了5%. 求甲、乙两种商品原来的单价.
例2
分析：设甲商品原来的单价为x元，乙商品原来的单价为y元.
甲商品降价15%，单价变成 x-15%x=(1-15%) x (元) .
乙商品提价10%，单价变成 y+10%x=(1+10%) y (元) .
调价后的单价和为 100-100×5%=100× (1-5%) (元) .
甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场
变化，甲商品降价15%，乙商品提价10%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和降低了5%. 求甲、乙两种商品原来的单价.
例2
甲商品原单价+乙商品原单价=100元
调价后甲商品单价+调价后乙商品单价=100×(1－5%) 元
本问题涉及的等量关系：
解：设甲商品原来的单价为x元，乙商品原来的单价为y元.
根据题意，得
解得
答：甲商品原来的单价为60元，乙商品原来的单价为40元.
用含药 30% 和 75% 的两种防腐药水，配制含药 50% 的防腐药水 18 kg，两种药水各需多少千克？
练一练
解：设需含药 30% 的药水 x kg，含药 75% 的药水 y kg.
由题意，得
解得
答：两种药水各需 10 kg，8 kg.
用流程图表示利用二元一次方程组解决有关实际问题的思路.
检查解是否符合实际问题的需要，如果符合，它就是实际问题的解
实际问题
解方程组
列出二元一次方程组
找出两个等量关系
分析题意
做一做
列二元一次方程组解应用题的般步骤：
审
弄清题意和题目中的数量关系，找出能够表达应用题全部含义的两个等量关系；
设
根据问题设出两个未知数；
列
根据等量关系，列出需要的代数式，从而列出方程组；
解
解这个方程组，得出未知数的值；
验
检验所求的未知数的值是否符合题意，是否符合实际情况；
写出答.
答
1. 蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀，现这两种小虫共有腿 108 条和 20对翅膀，则蜻蜓有____只，蝉有_____只.
2
16
2.有甲、乙两种铜和银的合金，甲种合金含银25%，乙种合金含银37.5%. 现在要熔制含银30%的合金100 kg，甲、乙两种合金应各取多少千克？(不计过程中的损耗)
分析：本问题涉及的等量关系：
甲种合金+乙种合金=100kg，
甲种合金含银量+乙种合金含银量=(100×30%) kg=30kg.
【课本P130 练习 第1题】
解：设甲种合金应取 x kg，乙种合金应取 y kg.
根据题意，得
解得
答:甲种合金应取60kg，乙种合金应取40 kg.
2.有甲、乙两种铜和银的合金，甲种合金含银25%，乙种合金含银37.5%. 现在要熔制含银30%的合金100 kg，甲、乙两种合金应各取多少千克？(不计过程中的损耗)
【课本P130 练习 第1题】
3.甲、乙两人从相距36 km的两地相向而行. 如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇. 设甲、乙两人的速度分别是x km/h，y km/h，填写下表并求x，y的值.
甲行走的路程/km 乙行走的路程/km 甲、乙两人行走的路程之和/km
第一种情况 （甲先走2h）
第二种情况 （乙先走2h）
(2+2.5)x
2.5y
36
3x
(2+3)y
36
【课本P130 练习 第2题】
解：根据题意，得
解得
因此，甲、乙两人的速度分别是6km/h，3.6km/h.
3.甲、乙两人从相距36 km的两地相向而行. 如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇. 设甲、乙两人的速度分别是x km/h，y km/h，填写下表并求x，y的值.
【课本P130 练习 第2题】
应用1 行程问题
1. 我国古典文学名著《西游记》讲述了孙
悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，
历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事.现请
你欣赏下面描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，
千里只用四分钟；归时四分行六百，试问风速是多少？题目
的意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风， 里只用
了4分钟；回来时逆风，4分钟只走了600里，则风的速度为
____里/分钟.
50
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2.一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车
的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们
相向而行，则两车从相遇到完全分开只需 秒.若动车组长度
为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是
__________，动车组的速度是________.
25米/秒
50米/秒
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3.［2025武汉月考］如图，从至 ，
步行走粗线道 需要35分钟，坐车
走细线道 需要22.5
分钟，车沿 行驶的距离是由
25
至步行距离的3倍，车沿行驶的距离是由至
步行距离的5倍，已知车速是步行速度的6倍，那么先从至
步行，再沿 坐车所需要的总时间是____分钟.
【点拨】设步行速度为 米/分，则车
速为米/分，设米，
米，根据题意，得
解得
则从步行至，再沿 坐车所需总时间为
（分钟）.
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4.［2025怀化期末］甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、
平路和下坡.一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，
停留30分钟后从乙地出发，下午6点48分返回甲地.已知汽车
在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡
每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、
下坡分别是多少千米？
【解】从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到下
午6点48分共2.8小时.
设甲地到乙地的行驶过程中平路是千米，上坡路是 千米，
则下坡路是 千米，
根据题意，得
整理，得解得
所以 .
答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡是16千米，
下坡是28千米.
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利用二元一次方程组解决实际问题的思路.
检查解是否符合实际问题的需要，如果符合，它就是实际问题的解
实际问题
解方程组
列出二元一次方程组
找出两个等量关系
分析题意
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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