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3.7.2 二元一次方程组的应用 (二) 教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：3.7.2 二元一次方程组的应用 (二)
副标题：初中七年级数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：列二元一次方程组解应用题的基本步骤是什么？（审、设、列、解、验、答。）
问题 2：和差倍分问题的核心等量关系是什么？（总和或差的关系、倍数关系。）
问题 3：用二元一次方程组解决配套问题时，需重点关注什么？（两种部件的配套比例，如 “1 配 2” 需满足部件 B 数量 = 部件 A 数量 ×2。）
引入：上节课学习了用二元一次方程组解决和差倍分、相遇问题等基础应用，本节课将挑战更复杂的实际问题，如追及问题、航行问题、分段计费问题等，进一步提升解题能力。
第 3 页：情境引入
情境 1：甲、乙两人从同一地点出发，甲骑自行车每小时行 15 千米，乙骑摩托车每小时行 40 千米，甲先出发 2 小时后，乙才出发追赶甲，乙出发后几小时能追上甲？此时两人各行驶了多少千米？（追及问题，需分析路程差与速度差的关系。）
情境 2：一艘轮船顺流航行 360 千米需用 9 小时，逆流航行同样的路程需用 12 小时，求轮船在静水中的速度和水流速度。（航行问题，需区分顺流和逆流速度。）
情境 3：某市自来水收费标准为：每户每月用水不超过 10 吨的部分，每吨 2 元；超过 10 吨的部分，每吨 3 元。某户居民两个月共交水费 54 元，且两个月用水量相差 4 吨，求这两个月的用水量。（分段计费问题，需分阶段计算费用。）
思考：这些复杂问题中存在多个等量关系，如何准确梳理并列出方程组？本节课将学习解决这类问题的方法。
第 4 页：学习目标
知识目标：掌握追及问题、航行问题、分段计费问题的等量关系确立方法；能运用二元一次方程组解决较复杂的实际应用问题；进一步熟练列方程组解应用题的完整流程。
能力目标：通过分析复杂问题中的多层数量关系，培养逻辑推理能力和数学建模能力；在解决不同类型问题的过程中，提高灵活运用知识的能力。
情感目标：体验用方程组解决复杂实际问题的成就感，感受数学的实用性，激发探究数学问题的兴趣。
第 5 页：追及问题
问题特征：两个物体同向运动，一个物体追赶另一个物体，存在路程差或时间差。
核心等量关系：
同地不同时出发：追赶者行驶路程 = 被追者先行路程 + 被追者后行路程。
同时不同地出发：追赶者行驶路程 = 被追者行驶路程 + 初始距离。
关键公式：路程 = 速度 × 时间。
分析技巧：画线段图表示两者的路程关系，明确追及点的位置和路程差。
第 6 页：例题讲解 1—— 追及问题
例 1：甲、乙两人从同一地点出发，甲步行每小时走 5 千米，乙骑自行车每小时行 14 千米，甲先出发 3 小时后，乙才出发沿同路追赶甲，乙出发后几小时能追上甲？追上时甲共走了多少千米？
解析：
步骤 1：审题。等量关系 1：乙行驶路程 = 甲先行路程 + 甲后行路程；等量关系 2：甲后行时间 = 乙行驶时间（设为\(x\)小时）。
步骤 2：设未知数。设乙出发后\(x\)小时追上甲，追上时甲共走了\(y\)千米。
步骤 3：列方程组。\(\begin{cases}y = 5 3 + 5x \\ y = 14x \end{cases}\) 。
步骤 4：解方程组。将②代入①得：\(14x = 15 + 5x\)→\(9x = 15\)→\(x = \frac{5}{3}\)（即 1 小时 40 分钟），代入②得\(y = 14 \frac{5}{3} = \frac{70}{3} \approx 23.33\) 。
步骤 5：检验。甲总路程\(5 (3 + \frac{5}{3}) = 5 \frac{14}{3} = \frac{70}{3}\)千米，乙路程\(14 \frac{5}{3} = \frac{70}{3}\)千米，相等，符合题意。
步骤 6：作答。乙出发后\(\frac{5}{3}\)小时（或 1 小时 40 分钟）能追上甲，追上时甲共走了\(\frac{70}{3}\)千米。
方法总结：追及问题需明确 “路程相等” 这一核心，注意时间差对路程的影响。
第 7 页：航行问题
问题特征：涉及船在水中航行或飞机在风中飞行，速度受水流或风速影响。
核心等量关系：
顺流（顺风）速度 = 静水（无风）速度 + 水流（风速）速度。
逆流（逆风）速度 = 静水（无风）速度 - 水流（风速）速度。
顺流（顺风）路程 = 逆流（逆风）路程（通常航程相同）。
关键公式：路程 = 速度 × 时间。
分析技巧：设静水（无风）速度和水流（风速）为未知数，根据往返路程相等列方程。
第 8 页：例题讲解 2—— 航行问题
例 2：一艘轮船顺流航行 240 千米所用时间与逆流航行 180 千米所用时间相等，已知水流速度为每小时 4 千米，求轮船在静水中的速度。
解析：
步骤 1：审题。等量关系 1：顺流时间 = 逆流时间；等量关系 2：顺流速度 = 静水速度 + 4，逆流速度 = 静水速度 - 4。
步骤 2：设未知数。设轮船在静水中的速度为\(x\)千米 / 小时，顺流（逆流）时间为\(y\)小时。
步骤 3：列方程组。\(\begin{cases}(x + 4)y = 240 \\ (x - 4)y = 180 \end{cases}\) 。
步骤 4：解方程组。由①得\(y = \frac{240}{x + 4}\)，由②得\(y = \frac{180}{x - 4}\)，因此\(\frac{240}{x + 4} = \frac{180}{x - 4}\)，交叉相乘得\(240(x - 4) = 180(x + 4)\)→\(240x - 960 = 180x + 720\)→\(60x = 1680\)→\(x = 28\) 。
步骤 5：检验。顺流速度\(32\)千米 / 小时，时间\(240 ·32 = 7.5\)小时；逆流速度\(24\)千米 / 小时，时间\(180 ·24 = 7.5\)小时，时间相等，符合题意。
步骤 6：作答。轮船在静水中的速度为 28 千米 / 小时。
方法总结：航行问题需通过时间相等或路程相等建立等量关系，注意速度公式的变形应用。
第 9 页：分段计费问题
问题特征：费用计算分不同阶段，各阶段计费标准不同，总费用为各阶段费用之和。
常见类型：水电费、出租车费、话费套餐、阶梯票价等。
核心等量关系：总费用 = 第一阶段费用 + 第二阶段费用 +……+ 第\(n\)阶段费用。
分析技巧：先判断总量是否超过分段点，再分情况表示各阶段费用，或设不同阶段的量为未知数。
第 10 页：例题讲解 3—— 分段计费问题
例 3：某市出租车收费标准为：3 千米以内（含 3 千米）收费 10 元，超过 3 千米的部分每千米收费 2 元（不足 1 千米按 1 千米计算）。小明和小刚分别乘出租车出行，路程分别为\(x\)千米和\(y\)千米（\(x\)、\(y\)均为整数），两人共付费 36 元，且小明的路程比小刚多 4 千米，求两人的乘车路程。
解析：
步骤 1：审题。等量关系 1：小明付费 + 小刚付费 = 36 元；等量关系 2：小明路程 = 小刚路程 + 4 千米（\(x = y + 4\)）。
步骤 2：设未知数。设小刚的路程为\(y\)千米，小明的路程为\(x\)千米（\(x = y + 4\)）。
步骤 3：分析费用。
若\(y \leq 3\)，则小刚付费 10 元，小明路程\(x = y + 4 \geq 7\)，付费\(10 + 2(x - 3)\)元。
列方程：\(10 + [10 + 2(x - 3)] = 36\)→\(20 + 2x - 6 = 36\)→\(2x = 22\)→\(x = 11\)，则\(y = 7\)（与\(y \leq 3\)矛盾，舍去）。
若\(y > 3\)，则两人付费均为\(10 + 2(è· ¨ - 3)\)元。
列方程组：\(\begin{cases}x = y + 4 \\ [10 + 2(x - 3)] + [10 + 2(y - 3)] = 36\end{cases}\) 。
步骤 4：解方程组。化简第二个方程：\(20 + 2x - 6 + 2y - 6 = 36\)→\(2x + 2y = 28\)→\(x + y = 14\)，代入\(x = y + 4\)得\(y + 4 + y = 14\)→\(y = 5\)，则\(x = 9\) 。
步骤 5：检验。小刚付费\(10 + 2 (5 - 3) = 14\)元，小明付费\(10 + 2 (9 - 3) = 22\)元，总费用\(14 + 22 = 36\)元，符合题意。
步骤 6：作答。小明的乘车路程为 9 千米，小刚的乘车路程为 5 千米。
方法总结：分段计费问题需分类讨论总量所在阶段，避免漏解，检验时需验证是否符合假设条件。
第 11 页：例题讲解 4—— 工程问题
例 4：一项工程，甲队单独做需 10 天完成，乙队单独做需 15 天完成，现甲队先做若干天后，由乙队接替甲队完成剩余工程，两队共用 12 天完成，求甲、乙两队各工作了多少天？
解析：
步骤 1：审题。等量关系 1：甲工作天数 + 乙工作天数 = 12 天；等量关系 2：甲完成工作量 + 乙完成工作量 = 总工作量 1（设总工作量为 1）。
步骤 2：设未知数。设甲队工作了\(x\)天，乙队工作了\(y\)天。
步骤 3：列方程组。\(\begin{cases}x + y = 12 \\ \frac{x}{10} + \frac{y}{15} = 1 \end{cases}\) 。
步骤 4：解方程组。②×30 得\(3x + 2y = 30\) ③；①×2 得\(2x + 2y = 24\) ④；③-④得\(x = 6\)，代入①得\(y = 6\) 。
步骤 5：检验。甲完成\(\frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)，乙完成\(\frac{6}{15} = \frac{2}{5}\)，总和为 1，符合题意。
步骤 6：作答。甲队工作了 6 天，乙队工作了 6 天。
方法总结：工程问题常把总工作量看作 1，工作效率 = 1÷ 工作时间，根据工作量之和为 1 列方程。
第 12 页：复杂问题分析策略
策略 1：分层拆解。将复杂问题分解为多个简单子问题，逐一分析各子问题的数量关系。
策略 2：列表梳理。用表格记录已知量、未知量及相关量（如速度、时间、路程），清晰呈现关系。
例：追及问题列表：
物体
速度（千米 / 小时）
时间（小时）
路程（千米）
甲
5
\(3 + x\)
\(5(3 + x)\)
乙
14
\(x\)
\(14x\)
策略 3：假设验证。对分段计费等需分类讨论的问题，先假设总量所在阶段，列出方程后检验是否符合假设。
策略 4：逆向思维。从问题出发倒推所需条件，明确需设的未知数和需找的等量关系。
第 13 页：课堂练习 1
练习 1：甲、乙两车从 A 地开往 B 地，甲车每小时行 60 千米，乙车每小时行 80 千米，甲车先出发 1 小时，乙车出发后几小时能追上甲车？此时两车行驶了多少千米？
练习 2：一架飞机顺风飞行 1380 千米和逆风飞行 1020 千米所用时间相等，已知风速为每小时 30 千米，求飞机在无风时的速度。
第 14 页：课堂练习 2
练习 3：某城市居民用电收费标准为：每月用电量不超过 50 度的部分，每度 0.5 元；超过 50 度的部分，每度 0.6 元。某户居民两个月用电量共 120 度，两个月电费共 62 元，求这两个月的用电量。
练习 4：一项工程，甲、乙两队合作需 6 天完成，若甲队单独做需 10 天完成，乙队单独做需多少天完成？若甲队先做 3 天，剩下的由乙队完成，还需多少天？
第 15 页：易错点提醒
追及问题中忽略先行路程，错误认为 “速度差 × 时间 = 总路程”（正确应为 “速度差 × 时间 = 先行路程”）。
航行问题中混淆顺流与逆流速度公式，如错误写成 “逆流速度 = 静水速度 + 水流速度”。
分段计费问题未分类讨论，直接按单一阶段计算，导致漏解或错解。
工程问题中未将总工作量设为 1，或错误计算工作效率（如甲队效率应为\(\frac{1}{10}\)而非 10）。
解方程组后未检验解是否符合实际意义（如时间、路程为负数，或与分段假设矛盾）。
第 16 页：课堂小结
本节课学习了四类复杂实际问题的解法：追及问题、航行问题、分段计费问题、工程问题。
掌握了各类问题的核心等量关系：
追及问题：追赶者路程 = 被追者先行路程 + 被追者后行路程。
航行问题：顺流速度 = 静水速度 + 水流速度，逆流速度 = 静水速度 - 水流速度。
分段计费问题：总费用 = 各阶段费用之和（需分类讨论）。
工程问题：甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量 1。
学会了复杂问题的分析策略：分层拆解、列表梳理、假设验证、逆向思维。
进一步巩固了列二元一次方程组解应用题的步骤，提升了处理复杂问题的能力。
第 17 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页练习二十九第 1、2、3 题。
提高作业：
（1）甲、乙两人相距 30 千米，甲先出发 1 小时后乙才出发，甲每小时行 5 千米，乙每小时
2025-2026学年湘教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.7.2二元一次方程组的应用(二)
第3章 一次方程（组）
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
复习导入
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
审
弄清题意和题目中的数量关系，找出能够表达应用题全部含义的两个等量关系；
设
根据问题设出两个未知数；
列
根据等量关系，列出需要的代数式，从而列出方程组；
解
解这个方程组，得出未知数的值；
验
检验所求的未知数的值是否符合题意，是否符合实际情况；
写出答.
答
探索新知
小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路. 假设他始终保持上坡路每分钟走40m，平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，则他从家里到学校需15min，从学校到家里需10min. 试问：小华家离学校多远
思 考
15min
10 min
40m/min
60m/min
60m/min
80m/min
通过图示，你有什么发现？
小华家向家所走的下坡路上等于小华去学校所走的上坡路长.
根据图示，你能找到其中得等量关系吗？
本问题中的等量关系：
走上坡路的时间+走平路的时间=15min
走平路的时间+走下坡路的时间=10min
设小华家到学校的上坡路长 x m，平路长 y m，则
根据等量关系，得
___________
___________
解得
于是，上坡路与平路的长度之和为 x+y=400+300=700 (m).
因此，小华家离学校700m.
练一练
小李骑电动自行车，预计用相同的时间往返于甲、乙两地，去时电动自行车的车速是18 km/h，结果早到20 min；返回时，以15 km/h 的速度行进，结果晚到4 min. 求预计时间和甲、乙两地间的距离．
例3
某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂，分两次租用了某汽车运输公司的甲、乙两种货车，具体信息如下表所示：
第一次 第二次
甲种货车辆数 2 5
乙种货车辆数 3 6
累计运货量/t 26 56
该果园第三次打算继续租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车，可一次刚好运完这批水果.如果每吨运费为30元，果园三次总共应付运费多少元
甲、乙两种货车每辆次能运多少吨水果？
第一次 第二次
甲种货车辆数 2 5
乙种货车辆数 3 6
累计运货量/t 26 56
本问题中的等量关系：
2辆甲种货车运货量+3辆乙种货车运货量=26 t
5辆甲种货车运货量+6辆乙种货车运货量=56 t
2辆甲种货车运货量+3辆乙种货车运货量=26 t
5辆甲种货车运货量+6辆乙种货车运货量=56 t
解：设甲、乙两种货车每辆次分别可运水果 x t，y t.
根据题意，得
解得
因此，甲种货车每辆次分别可运水果4 t，
乙种货车每辆次分别可运水果6 t.
该果园第三次打算继续租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车，可一次刚好运完这批水果.如果每吨运费为30元，果园三次总共应付运费多少元
第3次运输了
3×4+5×6=42 (t)
因而合计运输了水果
26+56+42=124 (t)
3次总共应付运费
124×30=3720 (元)
答：该果园三次总共应付运费3720元.
星期日，小军与小明所在年级分别有同学去颐和园和圆明园参观，其参观人数和门票花费如下表：
练一练
问：颐和园和圆明园的门票各多少元？
本问题中的等量关系：
颐和园门票×参观人数+圆明园门票×参观人数=门票总费用
解：设颐和园和圆明园的门票各为x元、y元.
30x＋30y=750，
30x＋20y=650
根据题意，得
解得
x＝15，
y＝10.
答：颐和园和圆明园的门票各15元、10元.
例4
对于多项式kx+b(其中k，b为常数)，若x分别用1，-1代入时， kx＋b的值分别为-1，3，求k和b的值.
解：根据题意，得
解得
故所求k和b的值分别为-2和1.
练一练
对于多项式kx＋b(k，b为常数)，若x分别用2，6 代入时，kx＋b的值分别为30，10，求k和b的值.
解：根据题意，得
解得
故所求k和b的值分别为-5和40.
【课本P132 练习 第2题】
1.春节前夕，某服装专卖店按标价打折销售. 茗茗去该专卖店买了两件衣服，第一件打七折，第二件打五折，共付260元. 付款后，收银员发现结算时不小心把两件衣服的标价计算反了，又找给茗茗40元. 这两件衣服的原标价分别是( )
A.100元、300元 B.100元、200元
C.200元、300元 D.150元、200元
A
课堂练习
2.已知制作如图所示的甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等，现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个
本问题中的等量关系：
甲纸盒需要正方形硬纸片+乙纸盒需要正方形硬纸片=150张
甲纸盒需要长方形硬纸片+乙纸盒需要长方形硬纸片=300张
【课本P132 练习 第1题】
甲种纸盒
乙种纸盒
甲纸盒需要正方形硬纸片+乙纸盒需要正方形硬纸片=150张
甲纸盒需要长方形硬纸片+乙纸盒需要长方形硬纸片=300张
解：设制作甲、乙两种纸盒各x个，y 个.
根据题意，得
解得
答：可制作甲、乙两种纸盒各30个、60 个.
甲种纸盒
乙种纸盒
应用1 配套问题
用如图①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，
做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒.现在仓库里
有500张正方形纸板和800张长方形纸板，问两种纸
盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？设做竖式纸盒个，横式纸盒 个，
恰好将库存的纸板用完，则可列方程组是( )
B.
C. D.
D
返回
2.某机械厂加工车间有34名工人，平均每名工人每天加工大
齿轮20个或小齿轮15个.已知3个大齿轮和2个小齿轮配成一套，
则每天安排多少名工人加工大齿轮，才能刚好配套？
【解】设每天安排名工人加工大齿轮，每天安排 名工人加
工小齿轮，
根据题意，得
解得
答：每天安排18名工人加工大齿轮，才能刚好配套.
返回
3.某工厂加工圆柱形的茶叶盒，
购买了 块相同的金属板材，已
知每块金属板材可以有，，
三种裁剪方式，如图， 方式：裁剪成6个圆形底面和1个侧
面.方式：裁剪成3个侧面. 方式：裁剪成9个圆形底面.已知
2个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，且要求圆形
底面与侧面恰好配套.现已有2块金属板材按 方式裁剪，其余
都按， 两种方式裁剪.
（1）设有块金属板材按方式裁剪，块金属板材按 方式
裁剪.
①可以裁剪出圆形底面共__________个，侧面共_________个.
②当 时，最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？
【解】根据题意，得
解得
所以 .
答：当 时，最多能加工36个圆柱形茶叶盒.
（2）现将 块相同的金属板材全部裁剪完，为了使加工成的
圆形底面与侧面恰好配套，则的值可以是____________
其中 .
40或45或50
【点拨】根据题意，得
，
所以 .所以
.
因为，均为整数，且 ,
所以 的值可取21,24,27，
当时， ；
当 时， ；
当 时， .
综上， 的值可以是40或45或50.
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列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
审
弄清题意和题目中的数量关系，找出能够表达应用题全部含义的两个等量关系；
设
根据问题设出两个未知数；
列
根据等量关系，列出需要的代数式，从而列出方程组；
解
解这个方程组，得出未知数的值；
验
检验所求的未知数的值是否符合题意，是否符合实际情况；
写出答.
答
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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