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3.8 三元一次方程组教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：3.8 三元一次方程组
副标题：初中七年级数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：什么是二元一次方程？（含有两个未知数，含未知数的项的次数都是 1 的整式方程。）
问题 2：二元一次方程组的解的定义是什么？（方程组中各个方程的公共解，需同时满足所有方程。）
问题 3：解二元一次方程组的核心思想是什么？常用方法有哪些？（核心思想是消元，常用代入消元法和加减消元法。）
引入：当实际问题中存在三个未知数，且它们之间存在数量关系时，二元一次方程组已无法满足需求。本节课将学习含有三个未知数的方程组 —— 三元一次方程组，以及它的解法。
第 3 页：情境引入
情境 1：某商场购进三种型号的洗衣机共 100 台，其中 A 型洗衣机每台 1500 元，B 型每台 2100 元，C 型每台 2500 元，总进价为 204000 元。已知 B 型洗衣机的数量是 A 型的 2 倍，求三种型号洗衣机各购进多少台？（需设三个未知数表示数量。）
情境 2：一个三位数，个位数字、十位数字、百位数字的和是 12，百位数字比十位数字大 7，个位数字是十位数字的 3 倍，求这个三位数。（需设三个未知数表示各位数字。）
思考：这些问题中存在三个未知数和三个等量关系，如何用数学式子表示这种关系？这就是本节课要学习的三元一次方程和方程组。
第 4 页：学习目标
知识目标：理解三元一次方程的概念；掌握三元一次方程组的定义；认识三元一次方程的解和三元一次方程组的解的含义；能运用消元思想解简单的三元一次方程组。
能力目标：通过将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程，体会 “消元” 思想的延续应用，培养转化能力和逻辑思维能力。
情感目标：感受数学知识的递进关系，体验用方程组解决更复杂问题的成就感，激发学习数学的兴趣。
第 5 页：三元一次方程的概念
定义内容：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程，叫做三元一次方程。
关键词解析：
含有三个未知数（如\(x\)、\(y\)和\(z\)）。
含未知数的项的次数都是 1（未知数的指数为 1，不含未知数的乘积项，如\(xyz\)的次数为 3，不符合要求）。
整式方程（分母中不含未知数）。
标准形式：\(ax + by + cz + d = 0\)（其中\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)是常数，且\(a \neq 0\)，\(b \neq 0\)，\(c \neq 0\)）。
第 6 页：三元一次方程的判断
例题 1：下列方程中，哪些是三元一次方程？
（1）\(x + y + z = 5\)（是，含三个未知数，次数都是 1）；
（2）\(2x + 3y - z = 7\)（是）；
（3）\(x^2 + y + z = 1\)（否，\(x\)的次数是 2）；
（4）\(xy + z = 3\)（否，\(xy\)的次数是 2）；
（5）\(\frac{1}{x}+y + z = 2\)（否，不是整式方程）；
（6）\(x + y = 5\)（否，只含两个未知数）。
方法总结：判断三元一次方程需同时满足三个条件：三个未知数、次数都是 1、整式方程。
第 7 页：三元一次方程的解
定义内容：使三元一次方程两边的值相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程的解。
表示形式：三元一次方程的解通常用一组未知数的值表示，如\(\begin{cases}x = a \\ y = b \\ z = c\end{cases}\)，其中\(a\)、\(b\)、\(c\)是常数。
实例解析：方程\(x + y + z = 6\)的解有：
\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3\end{cases}\)，\(\begin{cases}x = 0 \\ y = 0 \\ z = 6\end{cases}\)，\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 2 \\ z = 2\end{cases}\)等。
解的特征：三元一次方程有无数个解，每一个解是一组未知数的值，且未知数的值相互关联。
第 8 页：三元一次方程组的概念
定义内容：由三个三元一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。
组成特征：
方程组中含有三个未知数。
每个方程都是三元一次方程（或化简后是三元一次方程）。
方程组中方程的个数一般为三个（也可以是多个，但至少三个才能保证解的唯一性）。
标准形式：\(\begin{cases}a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3\end{cases}\)（其中\(a_1\)、\(b_1\)、\(c_1\)等是常数，且每个方程中未知数的系数不同时为 0）。
第 9 页：三元一次方程组的判断
例题 2：下列方程组中，哪些是三元一次方程组？
（1）\(\begin{cases}x + y + z = 3 \\ 2x - y + z = 1 \\ x - 2y - z = 2\end{cases}\)（是，三个三元一次方程，含三个未知数）；
（2）\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3 \\ z = 4\end{cases}\)（是，可看作三元一次方程的简化形式）；
（3）\(\begin{cases}x + y + z = 5 \\ x^2 + y + z = 7 \\ x - y + z = 1\end{cases}\)（否，第二个方程是二次方程）；
（4）\(\begin{cases}x + y + z = 1 \\ x + y = 2 \\ y + z = 3\end{cases}\)（是，虽有方程含两个未知数，但整体含三个未知数且均为一次方程）。
方法总结：判断三元一次方程组需满足：含三个未知数，每个方程都是三元一次方程（或符合三元一次方程特征的简化形式）。
第 10 页：三元一次方程组的解
定义内容：三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做三元一次方程组的解。
含义解析：方程组的解必须同时满足方程组中的每一个方程，即把解代入每个方程后，左右两边都相等。
实例解析：判断\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3\end{cases}\)是否是方程组\(\begin{cases}x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x - y + 2z = 5\end{cases}\)的解。
代入第一个方程：\(1 + 2 + 3 = 6\)，左边 = 右边。
代入第二个方程：\(2 1 - 2 + 3 = 3\)，左边 = 右边。
代入第三个方程：\(1 - 2 + 2 3 = 5\)，左边 = 右边。
结论：是该方程组的解。
解的特征：一般情况下，三元一次方程组有且只有一个解（特殊情况可能无解或有无数个解）。
第 11 页：三元一次方程组的解法思路
核心思想：消元（将三元化为二元，再将二元化为一元，逐步转化为已学知识解决）。
基本步骤：
选元消元：从方程组中选择一个系数较简单的未知数作为消去的目标，利用代入法或加减法，将三元一次方程组转化为二元一次方程组。
解二元方程组：用代入消元法或加减消元法解转化后的二元一次方程组，求出两个未知数的值。
回代求解：将求出的两个未知数的值代入原方程组中的某个方程，求出第三个未知数的值。
检验作答：将三个未知数的值代入原方程组的所有方程，检验是否同时成立，然后写出答案。
第 12 页：例题讲解 1—— 代入消元法解三元方程组
例 1：解方程组\(\begin{cases}x + y + z = 12 \\ x + 2y + 5z = 22 \\ x = 4y \end{cases}\) 。
解析：
步骤 1：消元转化。方程③直接用\(y\)表示\(x\)，代入①和②消去\(x\)。
步骤 2：代入得二元方程组。将③代入①得：\(4y + y + z = 12\)→\(5y + z = 12\) ④；将③代入②得：\(4y + 2y + 5z = 22\)→\(6y + 5z = 22\) ⑤ 。
步骤 3：解二元方程组。④×5 得\(25y + 5z = 60\) ⑥；⑥-⑤得\(19y = 38\)→\(y = 2\)；代入④得\(10 + z = 12\)→\(z = 2\) 。
步骤 4：回代求\(x\)。将\(y = 2\)代入③得\(x = 8\) 。
步骤 5：检验。代入①②③均成立。
步骤 6：作答。方程组的解为\(\begin{cases}x = 8 \\ y = 2 \\ z = 2\end{cases}\) 。
方法总结：有方程直接用一个未知数表示另一个未知数时，优先用代入法消元。
第 13 页：例题讲解 2—— 加减消元法解三元方程组
例 2：解方程组\(\begin{cases}x + y + z = 6 \\ 2x + y - z = 3 \\ 3x - y + z = 8 \end{cases}\) 。
解析：
步骤 1：消元转化。观察发现\(y\)和\(z\)的系数特点，①+②消去\(z\)，②+③消去\(y\)。
步骤 2：加减得二元方程组。①+②得：\(3x + 2y = 9\) ④；②+③得：\(5x = 11\)→\(x = \frac{11}{5}\) ⑤ 。
步骤 3：解二元方程组。将⑤代入④得：\(3 \frac{11}{5} + 2y = 9\)→\(\frac{33}{5} + 2y = \frac{45}{5}\)→\(2y = \frac{12}{5}\)→\(y = \frac{6}{5}\) 。
步骤 4：回代求\(z\)。将\(x = \frac{11}{5}\)，\(y = \frac{6}{5}\)代入①得：\(\frac{11}{5} + \frac{6}{5} + z = 6\)→\(z = 6 - \frac{17}{5} = \frac{13}{5}\) 。
步骤 5：检验。代入①②③均成立。
步骤 6：作答。方程组的解为\(\begin{cases}x = \frac{11}{5} \\ y = \frac{6}{5} \\ z = \frac{13}{5}\end{cases}\) 。
技巧提示：选择系数互为相反数或相等的未知数，用加减法消元更简便。
第 14 页：例题讲解 3—— 先化简再消元
例 3：解方程组\(\begin{cases}3(x - 1) = y + 5 \\ 5(y - 1) = 3(z + 5) \\ 3(z - 1) = x + 2 \end{cases}\) 。
解析：
步骤 1：化简方程组。
①化简：\(3x - y = 8\)→\(y = 3x - 8\) ④ 。
②化简：\(5y - 3z = 20\) ⑤ 。
③化简：\(x - 3z = -5\)→\(x = 3z - 5\) ⑥ 。
步骤 2：消元转化。将⑥代入④得\(y = 3(3z - 5) - 8 = 9z - 23\) ⑦；将⑦代入⑤得二元方程。
步骤 3：解二元方程。\(5(9z - 23) - 3z = 20\)→\(45z - 115 - 3z = 20\)→\(42z = 135\)→\(z = \frac{45}{14}\) 。
步骤 4：回代求解。\(x = 3 \frac{45}{14} - 5 = \frac{135}{14} - \frac{70}{14} = \frac{65}{14}\)；\(y = 9 \frac{45}{14} - 23 = \frac{405}{14} - \frac{322}{14} = \frac{83}{14}\) 。
步骤 5：检验。代入原方程组均成立。
步骤 6：作答。方程组的解为\(\begin{cases}x = \frac{65}{14} \\ y = \frac{83}{14} \\ z = \frac{45}{14}\end{cases}\) 。
注意事项：方程组含括号时，需先去括号、移项化简，再选择消元方法。
第 15 页：消元技巧总结
技巧 1：优先消去系数最简单的未知数（如系数为 1 或 - 1 的未知数），减少计算量。
技巧 2：若方程组中有两个方程缺少同一个未知数，可先消去该未知数，直接得到二元一次方程组。
技巧 3：消元过程中，可灵活交替使用代入法和加减法，根据方程特点选择最优方法。
技巧 4：每次消元后，需检查所得方程是否正确，避免因计算错误导致后续求解出错。
技巧 5：解出一个未知数后，回代时选择化简后的简单方程，提高效率。
第 16 页：例题讲解 4—— 实际问题应用
例 4：情境引入中的三位数问题：一个三位数，个位数字、十位数字、百位数字的和是 12，百位数字比十位数字大 7，个位数字是十位数字的 3 倍，求这个三位数。
解析：
步骤 1：设未知数。设百位数字为\(x\)，十位数字为\(y\)，个位数字为\(z\)。
步骤 2：列方程组。\(\begin{cases}x + y + z = 12 \\ x - y = 7 \\ z = 3y \end{cases}\) 。
步骤 3：解方程组。由②得\(x = y + 7\) ④；将③④代入①得\(y + 7 + y + 3y = 12\)→\(5y = 5\)→\(y = 1\)；则 (x = 8
2025-2026学年湘教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.8 三元一次方程组
第3章 一次方程（组）
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
代入消元法
加减消元法
解一元一次方程
二元一次方
程组的解法
“多元”
“一元”
消元
化归转化的思想
探索新知
含有两个未知数
二元一次方程组
含有三个未知数
？
含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程，叫作三元一次方程.
一般地，三元一次方程组含有三个方程.
含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作三元一次方程组.
已知一个三位数的个位数字是十位数字与百位数字之和的2倍，百位数字是十位数字的3倍，三位数字之和为12.设个位数字x，十位数字为y，百位数字为z，请列出这个方程组.
做一做
x=2(y+z) ，
z=3y ，
x+y+z=12 .
对于未知数为x，y ，z的三元一次方程组，若x ，y ，z分别用数c1， c2， c3代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把(c1， c2， c3)叫作这个方程组的一个解.
习惯上也记作
解二元一次方程组的思路是通过消元将其转化为一元一次方程来求解，这种思路是否适合解三元一次方程组呢？
思 考
以 为例来探究三元一次方程组的解法.
①
②
③
①
②
③
将方程①两边都乘2，得
2x+2y+4z=6 .
④
④+②，得
①-③，得
y+5z=3 .
⑤
-y+6z=8 .
⑥
解由方程⑤和⑥组成的二元一次方程组，得
y=-2，z=1.
把y=-2，z=1代入方程①，得
x=3.
因此，是原三元一次方程组的解.
加减消元法
代入消元法
三元
二元
一元
三元一次方程组
二元一次方程组
先消去一个未知数
一元一次方程组
再消去一个未知数
得出一个未知数的值
得出第二个未知数的值
得出第三个未知数的值
代入所得二元一次方程组中的一个方程
已知的两个数代入所得三元一次方程组中的一个方程
解三元一次方程组的基本思路是什么？
通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
例1
解三元一次方程组：
①
②
③
解：③×5-①，得
因此，是原三元一次方程组的解.
④
y+4z=-10 .
③×3-②，得
2y+7z=-7 .
⑤
④×2-⑤，得
z=-13 .
把z用-13代入方程④，得
y= 42 .
把y用42，z用-13代入方程③，得
x=-31 .
例2
解三元一次方程组：
①
②
③
解：②×3-①，得
④
x+7z=-12 .
②+③，得
5x-2z=-23 .
⑤
④×5-⑤，得
37z=-37 ，
两边都除以37，得
z=-1 .
把z用-1代入方程④，得
x=-5 .
把x用-5， z用-1代入方程②，得
y=-4.
因此，是原三元一次方程组的解.
做一做
自己动手求出本节开篇
“做一做”栏目中的三位数：
x=2(y+z) ，
z=3y ，
x+y+z=12 .
①
②
③
解：③-①，得
④
y+z=4 .
④-②，得
4y=4 .
两边都除以4，得
y=1 .
把y用1代入方程②，得
z=3 .
把z用3，y用1代入方程③，得
x=8 .
因此，这个三位数是318.
1.解下列三元一次方程组：
①
②
③
解：(1) ②+③，得
④-①，得
把y用6代入方程①，得
把x用1代入方程③，得
因此，是原三元一次方程组的解.
x+2y=13.
④
y=6.
x=1.
z=-6.
【课本P132 练习】
1.解下列三元一次方程组：
①
②
③
(2) ③×2-①，得
③×3-②，得
⑤-④，得
把y用-5代入方程④，得
因此，是原三元一次方程组的解.
y+7z=-19.
④
11y+7z=-69.
x=8.
z=-2.
⑤
10y=-50，
两边同时除以10，得
y=-5.
把z用-2，y用-5代入方程③，得
2. 有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年龄之和为15岁，乙、丙的年龄之和为16岁，丙、甲的年龄之和为17岁，则甲、乙、丙三人的年龄分别为多少岁？
解得
解：设甲、乙、丙三人的年龄分别为 x 岁，y 岁，z 岁，
则
答：甲、乙、丙三人的年龄分别为8岁，7岁，9岁.
1. 下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
2. 解方程组 最简便的消元方法是( )
A. 先消去 B. 先消去
C. 先消去 D. 先消去常数项
B
返回
3. ［2025杭州月考］设 ， ， 表示三种不同的物体，如
图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，
右边应放“ ”的个数为( )
B
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.若 是一个三元一次方程，
则___, ___.
1
0
返回
5. 请写出有一个解是 的一个三元
一次方程：____________________________.
6.［2025成都青羊区期末］若方程组 的解满足
，则 的值为___.
（答案不唯一）
3
返回
7.用3.50元买了面值分别为10分、20分、50分的三种邮票共
18枚，其中10分邮票的总价与20分邮票的总价相同，则50分
邮票买了___枚.
3
8. 解方程组:
【解】，得 ，④
，得，解得 .
将代入④中，得，解得 .
将代入②中，得，解得 .
所以方程组的解为
返回
9. 已知多项式中，，，为常数， 的取值与
多项式对应的值如下表：
1 2
7
则 的值为( )
D
A. 15 B. 19 C. 21 D. 23
三元一次方程组
定义
含未知数的项的次数都是 1
含有 3 个未知数
解答思路
化“三元”为“二元”
一般有三个方程
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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