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4.3.2.2 余角和补角教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：4.3.2.2 余角和补角
副标题：初中七年级数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：角的度量单位有哪些？它们之间的换算关系是什么？（度、分、秒；1°=60′，1′=60″。）
问题 2：如何进行角的和差计算？（度、分、秒分别相加减，满 60 进 1，不够减借 1 当 60。）
问题 3：已知∠A=30°，∠B=60°，∠A+∠B 等于多少度？已知∠C=120°，∠D=60°，∠C+∠D 等于多少度？（90°；180°。）
引入：像∠A 和∠B 这样，两个角的和是 90°；∠C 和∠D 这样，两个角的和是 180°，它们之间存在特殊的数量关系。本节课我们将学习具有这种特殊关系的角 —— 余角和补角。
第 3 页：情境引入
展示图片：一副三角尺（其中一个三角尺的两个锐角分别为 30° 和 60°，另一个的两个锐角分别为 45° 和 45°）、平角和直角的示意图。
提问：观察三角尺上的角，30° 角和 60° 角的和是多少？45° 角和 45° 角的和是多少？平角可以看作是哪两个直角组成的？
引导思考：30°+60°=90°，45°+45°=90°，1 个平角（180°）=2 个直角（90°）。在数学中，我们把和为 90° 的两个角称为互余的角，把和为 180° 的两个角称为互补的角。
引入：今天我们就来学习余角和补角的概念、性质及应用。
第 4 页：学习目标
知识目标：理解余角和补角的定义；掌握余角和补角的性质；能运用余角和补角的定义及性质解决实际问题。
能力目标：通过观察、比较和推理，培养逻辑思维能力和分析问题的能力；在解决余角和补角相关问题的过程中，提高运算能力和应用能力。
情感目标：感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会余角和补角在生活中的应用，激发学习数学的兴趣。
第 5 页：余角的定义
定义内容：如果两个角的和等于 90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。其中一个角是另一个角的余角。
几何语言：若∠1+∠2=90°，则∠1 与∠2 互为余角，∠1 是∠2 的余角，∠2 也是∠1 的余角。
图形展示：画出两个角∠1 和∠2，标注∠1+∠2=90°，直观呈现互余关系。
注意事项：
互余是指两个角之间的关系，不能单独说一个角是余角。
两个角的和必须正好是 90°（可以是度、分、秒的组合，如 30°20′+59°40′=90°）。
第 6 页：补角的定义
定义内容：如果两个角的和等于 180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。其中一个角是另一个角的补角。
几何语言：若∠3+∠4=180°，则∠3 与∠4 互为补角，∠3 是∠4 的补角，∠4 也是∠3 的补角。
图形展示：画出两个角∠3 和∠4，标注∠3+∠4=180°，直观呈现互补关系。
注意事项：
互补是指两个角之间的关系，不能单独说一个角是补角。
两个角的和必须正好是 180°（可以是度、分、秒的组合，如 100°30′+79°30′=180°）。
第 7 页：余角和补角的性质（一）—— 数量关系
余角的数量关系：若∠α 与∠β 互余，则∠β=90°-∠α，即一个角的余角等于 90° 减去这个角。
补角的数量关系：若∠α 与∠β 互补，则∠β=180°-∠α，即一个角的补角等于 180° 减去这个角。
例题讲解：
例 1：已知∠α=35°，求∠α 的余角和补角的度数。
解析：∠α 的余角 = 90°-35°=55°；∠α 的补角 = 180°-35°=145°。
例 2：已知∠β 的补角是 120°，求∠β 的度数及其余角的度数。
解析：∠β=180°-120°=60°；∠β 的余角 = 90°-60°=30°。
第 8 页：余角和补角的性质（二）—— 等角的余角相等
性质内容：等角的余角相等。即如果∠1 与∠2 互余，∠3 与∠4 互余，且∠1=∠3，那么∠2=∠4。
推理过程：因为∠1+∠2=90°，所以∠2=90°-∠1；因为∠3+∠4=90°，所以∠4=90°-∠3；又因为∠1=∠3，所以∠2=∠4。
图形展示：画出两组互余的角，其中∠1=∠3，通过标注角度关系，直观呈现∠2=∠4。
拓展：同角的余角相等。即如果∠1 与∠2 互余，∠1 与∠3 互余，那么∠2=∠3（因为∠2=90°-∠1，∠3=90°-∠1，所以∠2=∠3）。
第 9 页：余角和补角的性质（三）—— 等角的补角相等
性质内容：等角的补角相等。即如果∠1 与∠2 互补，∠3 与∠4 互补，且∠1=∠3，那么∠2=∠4。
推理过程：因为∠1+∠2=180°，所以∠2=180°-∠1；因为∠3+∠4=180°，所以∠4=180°-∠3；又因为∠1=∠3，所以∠2=∠4。
图形展示：画出两组互补的角，其中∠1=∠3，通过标注角度关系，直观呈现∠2=∠4。
拓展：同角的补角相等。即如果∠1 与∠2 互补，∠1 与∠3 互补，那么∠2=∠3（因为∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1，所以∠2=∠3）。
第 10 页：例题讲解 1—— 余角和补角的基本计算
例 3：一个角的补角比它的余角的 3 倍还多 10°，求这个角的度数。
解析：
步骤 1：设这个角的度数为\(x\)，则它的余角为\(90 °-x\)，补角为\(180 °-x\)。
步骤 2：根据题意列方程：\(180 °-x = 3(90 °-x)+10 °\)。
步骤 3：解方程：\(180 - x = 270 - 3x + 10\)→\(-x + 3x = 280 - 180\)→\(2x = 100\)→\(x = 50 °\)。
步骤 4：检验：这个角的余角为 40°，补角为 130°，3×40°+10°=130°，符合题意。
结论：这个角的度数为 50°。
第 11 页：例题讲解 2—— 余角和补角的性质应用
例 4：如图所示，点 A、O、B 在同一条直线上，OD 平分∠AOC，OE 平分∠COB，图中哪些角互为余角？
解析：
步骤 1：因为点 A、O、B 在同一条直线上，所以∠AOB=180°，即∠AOC+∠COB=180°。
步骤 2：因为 OD 平分∠AOC，所以∠AOD=∠DOC=1/2∠AOC；OE 平分∠COB，所以∠COE=∠EOB=1/2∠COB。
步骤 3：∠DOC+∠COE=1/2∠AOC+1/2∠COB=1/2（∠AOC+∠COB）=1/2×180°=90°，所以∠DOC 与∠COE 互为余角。
步骤 4：同理，∠DOC 与∠EOB、∠AOD 与∠COE、∠AOD 与∠EOB 也互为余角。
图形辅助：画出直线 AB 和点 O，标注 OD、OE 及各角，清晰呈现角之间的关系。
第 12 页：例题讲解 3—— 综合应用
例 5：已知∠α 和∠β 互为补角，且∠α 比∠β 大 30°，求∠α 和∠β 的度数。
解析：
步骤 1：因为∠α 和∠β 互为补角，所以∠α+∠β=180° ①。
步骤 2：根据∠α 比∠β 大 30°，得∠α-∠β=30° ②。
步骤 3：①+②得：2∠α=210°→∠α=105°。
步骤 4：将∠α=105° 代入①得：105°+∠β=180°→∠β=75°。
步骤 5：检验：105°+75°=180°，105°-75°=30°，符合题意。
结论：∠α=105°，∠β=75°。
第 13 页：课堂练习 1—— 基本概念与计算
练习 1：填空题
（1）若∠A=25°，则∠A 的余角是______°，补角是______°。
（2）一个角的余角是 50°，这个角的度数是______°，它的补角是______°。
（3）若∠1 与∠2 互余，∠2=35°，则∠1=______°；若∠3 与∠4 互补，∠3=110°，则∠4=______°。
练习 2：判断题
（1）90° 的角是余角。（ ）
（2）若∠1+∠2+∠3=180°，则∠1、∠2、∠3 互为补角。（ ）
（3）等角的补角相等。（ ）
第 14 页：课堂练习 2—— 性质应用
练习 3：已知∠1 与∠2 互余，∠3 与∠4 互余，且∠1=∠3，∠2=40°，求∠4 的度数。
练习 4：一个角的补角是它本身的 3 倍，求这个角的度数。
第 15 页：课堂练习 3—— 综合应用
练习 5：如图所示（展示图形），∠AOB=90°，∠COD=90°，∠1=30°，求∠2 的度数，并说明理由。
练习 6：已知一个角的余角比它的补角的 1/3 还小 10°，求这个角的度数。
第 16 页：易错点提醒
对余角和补角的定义理解不清，单独说一个角是余角或补角，忽略 “互为” 的含义（余角和补角是两个角之间的关系）。
计算余角或补角时，误将 90° 或 180° 减去角的度数算反，如求 30° 角的余角时，错误计算为 90°+30°=120°（正确应为 60°）。
混淆余角和补角的性质，错误地认为等角的余角互补或等角的补角互余。
在解决实际问题时，未根据题意正确列出方程，或解方程过程中出现计算错误。
忽略角的度数可能涉及分、秒的换算，如计算 35°20′的余角时，直接用 90°-35°20′=54°40′，但计算过程中未正确进行度分秒的减法。
第 17 页：课堂小结
本节课学习了余角和补角的定义：和为 90° 的两个角互为余角，和为 180° 的两个角互为补角，强调 “互为” 表示两个角之间的关系。
掌握了余角和补角的数量关系：一个角的余角 = 90°- 这个角，一个角的补角 = 180°- 这个角。
理解了余角和补角的性质：等角（或同角）的余角相等，等角（或同角）的补角相等。
能运用余角和补角的定义及性质解决相关的计算和推理问题。
第 18 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页练习三十六第 1、2、3 题。
提高作业：
（1）已知∠α 的余角是∠β 的补角的 1/4，且∠α=3∠β，求∠α 和∠β 的度数。
（2）如图所示（教材图），点 O 在直线 AB 上，OD 是∠AOC 的平分线，OE 是∠COB 的平分线，求证：OD⊥OE（即∠DOE=90°）。
拓展作业：在生活中寻找余角和补角的实例，并用所学知识解释其中的原理。
2025-2026学年湘教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.3.2.2余角和补角
第4章 图形的认识
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
情境导入
如图，将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角.
1
2
3
4
1.∠1和∠2有什么数量关系？
2.∠3和∠4有什么数量关系？
∠1+∠2=90°
∠3+∠4=180°
探索新知
余角和补角的定义
如果两个角的和等于一个直角(90°)，那么就说这两个角互为余角(简称互余)，也说其中一个角是另一个角的余角.
若∠1＋∠2＝ 90°，则∠1 与∠2 互为余角，其中∠1 是∠2 的余角， ∠2 也是∠1的余角.
1
2
几何语言：
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1与∠2互为余角.
如果两个角的和等于一个平角(180°)，那么就说这两个角互为补角(简称互补)，也说其中一个角是另一个角的补角.
若∠3＋∠4 ＝ 180°，则∠3 与∠4 互为补角，其中∠3 是∠4 的补角， ∠4 也是∠3 的补角.
几何语言：
∵∠3+∠4=180°，
∴∠3与∠4互为补角.
3
4
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
5°
45°
60°
77°
81°15′
x° （0＜x＜90）
85°
175°
45°
135°
30°
120°
13°
103°
8°45′
98°45′
(90-x)°
(180-x)°
锐角的补角比它的余角大______.
90°
填表：
判断：
(1) 一个角的余角必为锐角.
(2) 一个角的补角必为钝角.
(3) 同一个锐角的补角比它的余角大90°.
(4) 互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余.
(5) 如果∠1=30°，∠2=25°，∠3=35°，那么∠ 1、 ∠ 2、∠3这三个角互为余角.
( )
( )
( )
( )
( )
√
×
√
×
×
练一练
余角和补角的性质
思 考
∠1 ∠2 ∠3
30° 150° 150°
90° 90° 90°
150° 30° 30°
观察下表，你有什么发现？
∠1 与∠2 互补，∠1 与∠3 互补，
∠2与∠3大小相等.
由于 ∠1 +∠2 = 180°，∠1 +∠3 = 180°，
所以 ∠2 = 180°-∠1，∠3 = 180°-∠1.
因此 ∠2 =∠3（等量代换）.
结论：
同角(或等角)的补角相等.
几何语言：
∵∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°
∴∠2=∠3(同角的补角相等)
等量代换是指“如果a=b且c=b，那么a=c”
试着画一画下表中的图形(顶点相同)，你有什么发现？
∠4 ∠5 ∠6
图① 30° 60° 60°
图② 45° 45° 45°
图③ 60° 30° 30°
∠4 与∠5 互余，∠4 与∠6 互余，
∠5与∠6大小相等.
图①
图②
图③
由于 ∠4 +∠5= 90°，∠4 +∠6 = 90°，
所以 ∠5 = 90°-∠4，∠6 = 90°-∠4.
因此 ∠5 =∠6（等量代换）.
结论：
同角(或等角)的余角相等.
几何语言：
∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°
∴∠2=∠3(同角的余角相等)
如图，已知∠ACB =∠CDB =90°
(1)图中有哪几对互余的角？
(2)图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？
解：(1)∠A+∠B=90°， ∠A+∠ACD=90°，
∠BCD+∠B=90°， ∠BCD+∠ACD=90°，
(2) ∠B=∠ACD(同角的余角相等)
∠A=∠BCD(同角的余角相等)
如图，∠AOB 与∠BOD 互为余角，OC 是
∠BOD 的平分线，∠AOB = 29.66°，求∠COD 的度数.
解 因为∠AOB 与∠BOD 互为余角，
所以∠BOD = 90°-∠AOB
= 90°-29.66°= 60.34°.
又因为 OC 是∠BOD 的平分线，
因此，∠COD 的度数为 30.17°.
所以
已知一个角的余角是这个角的补角的 ，
求这个角的度数.
解 :设这个角为 x°，则这个角的余角为（90-x）°，
　　补角为（180-x）°.
根据题意，得
解得 x = 45 .
因此，这个角为 45°.
方法总结：涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想解决问题.
课堂练习
1. 填空：
（1） 105°26′的补角等于 ；
（2） 28°25′32″的余角等于 .
74°34′
61°34′28″
若一个角的补角是这个角的余角的 4 倍，
则这个角的度数为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.65°
C
2.
【课本P166 练习 第1题】
答：∠AOB 的度数为 56°.
如图，∠BOD = 118°，∠COD 是直角， OC 平分∠AOB， 求∠AOB 的度数.
3．
【课本P166 练习 第2题】
4．已知∠A 与∠B 互余，且∠A 的度数比∠B度数的 3 倍还多30°.求∠B的度数.
解 :设∠B的度数为 x°，则∠A的度数为（3x+30）°.
根据题意，得
解得 x = 15 .
故∠B为 15°.
5. 如图，OC 是∠AOD 的平分线，OE 是∠BOD 的平分线. 若∠BOC = 3∠AOD，∠EOD-∠COD = 30°，求 ∠BOE 的度数.
解: 设∠EOD =x°，则∠COD =(x-30)°.
因为 OE 是 ∠BOD 的平分线，
所以 ∠BOE =∠EOD = x°.
因为 OC 是∠AOD 的平分线，
所以∠AOC =∠COD = (x-30)°.
所以∠AOD = 2 (x-30)°，
∠BOC = 2 ∠EOD +∠COD = (2x)°+(x-30)°.
由∠BOC = 3∠AOD，得 2x+x-30= 3×2(x-30)，
解得 x = 50. 所以∠BOE = 50°.
1. 若 的余角为，则 的补角的度数是( )
C
A. B.
C. D.
2. ［2025长沙望城区期末］一个角的补角比这个角的余角的
3倍少 ，这个角是( )
B
A. B. C. D.
返回
3. ［2025汕头月考］如图，, ,
，下列判断：①射线是 的
角平分线；是的补角；；
的余角有和 .其中正确的是( )
C
A. ①③④ B. ①②③
C. ①②③④ D. ②③④
【点拨】因为，所以射线
是 的角平分线，故①正确；因为
，且的补角是 ，所以
是的补角，故②正确；因为 ，
所以 ，所以
.因为 ，所以
，故③正确；因为
，所以
是的余角，是 的余角.因为
，所以的余角有和 ，
故④正确.综上分析可知，正确的有①②③④.
返回
4.如图，将一副三角尺按不同位置摆放.
与 互补的摆法是____；
与 相等的摆法是______.（填序号）
④
①②
返回
5.一位同学利用如图所示的量角器，采用如图①所示的方法
测量锐角 的度数，其中量角器有两条刻度线分别在射
线，上,则 的度数为____.另外一位同学用同样的
方法，测量的余角 的度数，如图②所示，已知射
线所指示的度数为 ，则射线 所指示的度数为_____
_____.
或
返回
6.如图，点在直线 上，
， .
（1）求 的度数.
【解】因为点在直线 上,所以
.
因为 ，
所以 .
又因为 ，
所以 .
所以 .
（2）图中有哪几对角互为余角？
与，与，与， 与
,这4对角互为余角.
（3）图中有哪几对角互为补角？
与，与,与， 与
，与，与，与 ,这7
对角互为补角.
返回
互余 互补
两角间的 数量关系
对应的图形
性质
∠1+∠2=90°
(90°-∠1=∠2)
∠3+∠4=180°
(180°-∠3=∠4)
同角（或等角）的余角相等
同角（或等角）的补角相等
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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