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第 1 章 有理数章末复习教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：第 1 章 有理数章末复习
副标题：初中七年级数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：本章知识框架
核心知识树：
有理数的概念：正数、负数、有理数的定义与分类。
数轴：数轴的三要素、有理数与数轴上点的对应关系。
相反数：相反数的定义、几何意义、性质。
绝对值：绝对值的定义、几何意义、性质、求法。
有理数的大小比较：利用数轴比较、利用绝对值比较。
有理数的运算：加法、减法、乘法、除法、乘方的法则与运算律。
科学记数法与近似数：科学记数法的表示方法、近似数的概念与取值。
引入：本章学习了有理数的相关概念和运算，本章复习将系统梳理这些知识，巩固重点内容，解决易错问题，提高综合运用能力。
第 3 页：复习目标
知识目标：回顾有理数的概念，包括正数、负数、有理数的分类；熟练掌握数轴、相反数、绝对值的概念及性质；掌握有理数的各种运算（加、减、乘、除、乘方）的法则和运算律；理解科学记数法和近似数的含义并能正确运用。
能力目标：通过知识梳理和例题练习，提高对有理数知识的综合运用能力；培养运算的准确性和灵活性，提升分析问题和解决问题的能力。
情感目标：感受有理数知识的系统性和逻辑性，体会数学知识的严谨性，增强学习数学的信心。
第 4 页：知识点 1—— 有理数的概念
正数与负数：
正数：大于 0 的数（如 + 3、5.2）。
负数：在正数前面加上 “-” 号的数（如 - 2、-4.5），0 既不是正数也不是负数。
作用：表示具有相反意义的量（如收入与支出、上升与下降）。
有理数的定义：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称为有理数。
有理数的分类：
按定义分：\(\begin{cases} °\begin{cases} ° \\ 0 \\ è °\end{cases} \\ °\begin{cases} ° \\ è °\end{cases}\end{cases}\)
按性质分：\(\begin{cases} °\begin{cases} ° \\ °\end{cases} \\ 0 \\ è °\begin{cases}è ° \\ è °\end{cases}\end{cases}\)
易错点：π 不是有理数（它是无限不循环小数）。
第 5 页：知识点 2—— 数轴
数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。
数轴的画法：先画一条直线，确定原点，规定正方向（通常向右），选取适当的单位长度。
有理数与数轴的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，但数轴上的点不一定都表示有理数（还可以表示无理数，如 π）。
应用：利用数轴表示有理数，直观呈现数的大小关系。
例题：画出数轴，并在数轴上表示出 - 3、0、2.5、-1.5 这几个数。
第 6 页：知识点 3—— 相反数
定义：只有符号不同的两个数互为相反数（如 2 与 - 2，0 的相反数是 0）。
几何意义：在数轴上，互为相反数的两个数对应的点位于原点两侧，且到原点的距离相等。
性质：
互为相反数的两个数的和为 0，即若 a 与 b 互为相反数，则 a + b = 0。
相反数是成对出现的，不能单独存在。
表示方法：数 a 的相反数是 -a。
例题：求 - 5 的相反数、a + 1 的相反数。（答案：5；-a - 1）
第 7 页：知识点 4—— 绝对值
定义：数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 | a|。
几何意义：|a | 表示数 a 到原点的距离，距离是非负的，所以 | a|≥0。
性质：
当 a > 0 时，|a| = a；
当 a = 0 时，|a| = 0；
当 a < 0 时，|a| = -a。
非负性：任何数的绝对值都是非负数，即 | a|≥0；若 | a| + |b| = 0，则 a = 0 且 b = 0。
例题：求 | -3 |、| 0 |、| 2.5 | 的值；若 | x| = 4，求 x 的值。（答案：3；0；2.5；x = ±4）
第 8 页：知识点 5—— 有理数的大小比较
利用数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
利用绝对值比较：
正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。
两个正数比较大小，绝对值大的数大。
两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。
步骤：比较两个有理数大小时，先判断符号，再根据符号特点选择合适的比较方法。
例题：比较 - 3 与 - 5 的大小；比较 - 2、0、1.5 的大小。（答案：-3 > -5；-2 < 0 < 1.5）
第 9 页：知识点 6—— 有理数的加法
法则：
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得 0。
一个数同 0 相加，仍得这个数。
运算律：
加法交换律：a + b = b + a。
加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。
例题：计算（-5） + （-3）；（-7） + 4；3 + （-3）；0 + （-6）。（答案：-8；-3；0；-6）
第 10 页：知识点 7—— 有理数的减法
法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a - b = a + (-b)。
步骤：将减法转化为加法，再按加法法则进行计算。
例题：计算 8 - 12；（-5） - （-3）；0 - 7；（-2） - 5。（答案：-4；-2；-7；-7）
第 11 页：知识点 8—— 有理数的乘法
法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数同 0 相乘，都得 0。
几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。
运算律：
乘法交换律：a×b = b×a。
乘法结合律：(a×b)×c = a×(b×c)。
乘法分配律：a×(b + c) = a×b + a×c。
例题：计算（-4）×（-5）；（-3）×2；（-2）×（-3）×（-4）；0×（-7）×3。（答案：20；-6；-24；0）
第 12 页：知识点 9—— 有理数的除法
法则 1：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即 a÷b = a×\(\frac{1}{b}\)（b≠0）。
法则 2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。
注意：0 不能作除数。
例题：计算 12÷（-3）；（-18）÷（-6）；（-24）÷\(\frac{1}{2}\)；0÷（-5）。（答案：-4；3；-48；0）
第 13 页：知识点 10—— 有理数的乘方
定义：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在\(a^n\)中，a 叫做底数，n 叫做指数，\(a^n\)读作 “a 的 n 次方” 或 “a 的 n 次幂”。
法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是 0。
注意：\(-a^n\)与\((-a)^n\)的区别（如\(-2^4 = -16\)，\((-2)^4 = 16\)）。
例题：计算\(2^3\)；\((-3)^2\)；\(-3^2\)；\(0^5\)。（答案：8；9；-9；0）
第 14 页：知识点 11—— 有理数的混合运算
运算顺序：
先算乘方，再算乘除，最后算加减。
同级运算，从左到右进行。
如有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号的顺序依次计算。
技巧：合理运用运算律简化计算。
例题：计算\(3 + 5 (-2) - (-4)^2 ·(-8)\)。
解析：先算乘方\((-4)^2 = 16\)；再算乘除\(5 (-2) = -10\)，\(16 ·(-8) = -2\)，则原式变为\(3 - 10 - (-2)\)；最后算加减\(3 - 10 + 2 = -5\)。
第 15 页：知识点 12—— 科学记数法与近似数
科学记数法：
定义：把一个大于 10 的数表示成\(a 10^n\)的形式（其中 1≤a < 10，n 是正整数）。
例题：用科学记数法表示 350000；0.000021（补充：小于 1 的数也可表示，n 为负整数）。（答案：\(3.5 10^5\)；\(2.1 10^{-5}\)）
近似数：
定义：接近准确数而不等于准确数的数叫做近似数。
精确度：表示近似数与准确数的接近程度（如精确到十分位、精确到 0.01、精确到千位等）。
例题：将 3.14159 精确到百分位；将 28960 精确到千位。（答案：3.14；\(2.9 10^4\)）
第 16 页：典型例题 1—— 概念辨析
例 1：下列说法正确的是（ ）
A. 有理数包括正数和负数
B. 绝对值等于本身的数是正数
C. 互为相反数的两个数的绝对值相等
D. 倒数等于本身的数是 1
解析：
A 选项错误，有理数包括正数、0 和负数。
B 选项错误，绝对值等于本身的数是正数和 0。
C 选项正确，互为相反数的两个数到原点的距离相等，所以绝对值相等。
D 选项错误，倒数等于本身的数是 1 和 - 1。
答案：C
第 17 页：典型例题 2—— 运算综合
例 2：计算\(-1^4 - (1 - 0.5) \frac{1}{3} [2 - (-3)^2]\)。
解析：
步骤 1：算乘方\(-1^4 = -1\)，\((-3)^2 = 9\)，原式变为\(-1 - 0.5 \frac{1}{3} (2 - 9)\)。
步骤 2：算括号内的\(2 - 9 = -7\)，原式变为\(-1 - 0.5 \frac{1}{3} (-7)\)。
步骤 3：算乘除\(0.5 \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\)，\(\frac{1}{6} (-7) = -\frac{7}{6}\)，原式变为\(-1 - (-\frac{7}{6})\)。
步骤 4：算加减\(-1 + \frac{7}{6} = \frac{1}{6}\)。
答案：\(\frac{1}{6}\)
第 18 页：典型例题 3—— 实际应用
例 3：某粮库一周内粮食进出库的记录如下（运进为正，运出为负）：+35 吨，-20 吨，-30 吨，+25 吨，-24 吨，+50 吨，-15 吨。
（1）一周后粮库的粮食是增多了还是减少了？增多或减少了多少吨？
（2）若进出库的装卸费都是每吨 5 元，求一周的装卸总费用。
解析：
（1）将一周内的进出库记录相加：\(35 - 20 - 30 + 25 - 24 + 50 - 15 = (35 + 25 + 50) + (-20 - 30 - 24 - 15) = 110 - 89 = 21\)（吨），所以粮食增多了，增多了 21 吨。
（2）先求所有记录的绝对值之和：\(|35| + |-20| + |-30| + |25| + |-24| + |50| + |-15| = 35 + 20 + 30 + 25 + 24 + 50 + 15 = 199\)（吨），总费用为\(199 5 = 995\)（元）。
答案：（1）增多了，增多了 21 吨；（2）995 元。
第 19 页：易错点总结
概念类易错点：
混淆相反数、倒数、绝对值的概念，如认为绝对值等于本身的数只有正数（忽略 0）。
对有理数分类不清，误将 π 归为有理数。
分不清\(-a^n\)与\((-a)^n\)的区别，导致计算错误。
运算类易错点：
有理数加减运算时符号错误，尤其是减去负数时忘记变号。
乘除运算中符号判断错误，多个负因数相乘时未正确根据个数判断积的符号。
混合运算时运算顺序错误，先算加减后算乘除。
应用类易错点：
科学记数法中 a 的范围错误（a 必须满足 1≤a < 10）。
近似数的精确度判断错误，如将 3.2 万精确到十分位（实际精确到千位）。
第 20 页：巩固练习 1—— 基础题
练习 1：填空题
（1）-3 的相反数是______，绝对值是______，倒数是______。
（2）比较大小：-|-4|-(-3)；\(-\frac{3}{4}\)\(-\frac{2}{3}\)。
（3）用科学记数法表示 5670000 是______，近似数 3.02×10^5 精确到______位。
练习 2：选择题
（1）下列各数中，既是正数又是分数的是（ ）
A. -3.1 B. 0 C. 2 D. 3.5
（2）下列运算正确的是（ ）
A. \(-2^2 = 4\) B. \(3 (-4) = 12\) C. \((-1)^3 = -1\) D. \(|-5| = -5\)
2025-2026学年湘教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第1章 有理数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
知识结构
负数的引入，
有理数的分类
相关概念
乘方的意义
数轴
有理数
有理数的大小比较
加、减运算
有理数的运算
相反数
绝对值
乘、除运算
乘方运算
混合运算
科学记数法
思考回顾
1.为什么要引入负数？有理数可以如何分类？
为了表示某一问题中具有相反意义的两种量.
有理数
整数
分数
正整数
负整数
0
正分数
负分数
有理数
正有理数
负有理数
正整数
负整数
0
正分数
负分数
2.怎样画一条数轴？怎样用数轴上的点来表示一个有理数？
①画：即画一条水平直线；
②取：即在直线的适当位置取一点作为原点，并在这点处标上 O；
③定：即确定向右的方向为正方向，用箭头表示出来；
④标：即选取适当的长度作为单位长度.
数轴的画法:
在数轴上，原点右边的数是_____，原点左边的数是_____，原点表示的数是_____.
O
0
1
2
3
-1
-2
-3
正数
负数
0
3.如何求一个数的相反数？如何求一个数的绝对值？
任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数.
|a|=
a，a为非负数，
－a，a为负数.
4.怎样比较有理数的大小？
正数大于负数，0大于负数
两个负数，绝对值大的反而____
在以向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.
小
① 利用正负性比较大小
② 利用绝对值比较大小
③ 利用数轴比较大小
5.怎样进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算及混合运算
加法法则：
两个负数相加，结果是____，并且把它们的绝对值_____.
异号两数相加，当它们的绝对值不相等时，取绝对值____的加数的符号，并且用较大的绝对值_____较小的绝对值.
互为相反数的两个数相加得__；一个数与0相加，仍得______.
减法法则：
减去一个数，等于____这个数的相反数.
负数
相加
较大
减去
0
这个数
加上
乘法法则：
异号两数相乘得____，并且把绝对值____.同号两数相乘得_____，并且把绝对值_____.任何数与0相乘，仍得____ .
除法法则：
同号两数相除得____，异号两数相除得____，并把它们的绝对值相除；
0 除以任何一个不等于0的数都得____ .
除以一个不为0的数，等于乘这个数的_____ .
负数
相乘
正数
相乘
0
正数
负数
0
倒数
求 n 个相同因数的乘积的运算，叫做乘方.
在 an 中， a 叫做底数，n 叫做指数.
an
幂
底数
指数
含有有理数的加、减、乘、除、乘方多种运算，称为有理数的混合运算.
有理数的混合运算顺序是:先算乘方,再算乘除,最后算加减;如果有括号,就先进行括号里面的运算(先小括号,再中括号，最后大括号).
6.有理数的运算满足哪些运算律
加法交换律：a+b =b+a
加法结合律：a+b+c =(a+b)+c=a+(b + c)
乘法交换律：a × b = b × a
乘法结合律：(a × b)× c = a ×( b × c )
乘法对加法的分配律：a ×(b + c) = a × b + a× c
有理数加法：
有理数乘法：
1.0既不是正数也不是负数.如绝对值等于本身的数有正数和0,绝对值等于相反数的数有负数和0.
2.数轴是一条直线,由原点、正方向、单位长度三要素确定,三者缺一不可.
3.把一个大于10(小于-10)的数用科学记数法表示成a×10n的形式时，一定要注意a的取值范围,其中n为正整数.
4. 有理数的减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法,乘方实质是求几个相同因数的乘积.
注意事项
考点1 正、负数
1. ［2025长沙雨花区月考］在，，, ,0,
,, 中，负数有( )
B
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
返回
2. 下列说法正确的是( )
D
A. “向东”与“向西 ”不是相反意义的量
B. 若气球上升记作，则 的意义就是下降
C. 若气温下降记作，则 的意义就是气温下降
D. 若将高设为标准，高记作 ，则
所表示的高是
返回
考点2 有理数
3. 下列7个数：-，，，0， ，
（每两个2之间依次多一个6）， ，
其中有理数有( )
C
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
返回
考点3 数轴及其应用
4. 如图，已知北京时间2025年5月25日上午8时对应数轴上的
数字8，多伦多时间2025年5月24日20时对应数轴上的数字 ，
由此推断当纽约时间是2025年5月24日19时时，对应数轴上
的数字是( )
C
A. 9 B. 7 C. D.
【点拨】北京时间2025年5月25日上午8时对应数轴上的数字
8，多伦多时间2025年5月24日20时对应数轴上的数字
，故数轴上的原点表示某地2025年5月25日上
午0时，所以当纽约时间是2025年5月24日19时时，对应数轴
上的数字是 .故选C.
返回
考点4 有理数的大小比较
5. 某药品说明书上贴有如图的标签，若要存放该药品，则下
列温度符合要求的是( )
B
A. 摄氏度 B. 0摄氏度
C. 4.1摄氏度 D. 5摄氏度
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考点5 相反数、绝对值、倒数
6.已知，互为相反数，，互为倒数， 是绝对值最小的
负整数，数轴上数 表示的点到原点的距离为2.5个单位长度，
求 的值.
【解】因为,互为相反数，所以 .
因为，互为倒数，所以 .
因为是绝对值最小的负整数，所以 .
因为数轴上数 表示的点到原点的距离为2.5个单位长度，所
以或 .
当 时，
;
当 时，
.
综上，的值为 或0.5.
返回
考点6 科学记数法
7. 据联合国《世界人口展望2024》报告称，
世界人口将在2080年代中期达到顶峰约103亿,则103亿用科学
记数法表示是___________.
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考点7 有理数的加减运算
8. 计算
，这
个运算应用了( )
C
A. 加法交换律 B. 加法结合律
C. 加法交换律和结合律 D. 以上均不对
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9. 仔细观察资料卡中的信息，可以发现水银
的凝固点比酒精的凝固点高( )
B
A. B.
C. D.
返回
10.计算:
（1） ;
【解】原式
.
（2） .
原式
.
返回
考点8 有理数的乘除运算
11. 如图，数轴上有①，②，③，④四部
分，数轴上的三个点分别表示数，，且， ，
则原点落在( )
C
A. 段① B. 段②
C. 段③ D. 段④
返回
12. ［2025衡阳月考］已知有理数，，满足 ，则
的值为( )
D
A. 3 B. C. 1 D. 或3
【点拨】因为，所以，所以，， 都是正
数或，，中有一正两负.当，， 都是正数时，
;当，， 中有一正两负时，设
，，，则 .所
以的值为3或 .
返回
考点9 有理数的乘方
13. 下列各组数中，不相等的一组是( )
A
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
返回
14.手工拉面是我国的传统面食.制作时，拉面师傅拿一根很
粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复
几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细细的面条，如图所
示.则第六次捏合后可拉出面条____根.
64
【点拨】第一次捏合后有2根面条；第二次捏合后有
（根）面条；第三次捏合后有 （根）面条；…,所以第
六次捏合后有 （根）面条.
返回
考点10 有理数的混合运算
15.计算：
（1） ；
【解】原式
.
（2） ；
原式
.
（3） .
原式
.
返回
16. 根据背景素材，探索解决问题.
周末小明打算去露营基地野餐.
【素材1】路线：家 炸鸡店 面包店 水果店 奶茶店
露营基地；
【素材2】这条路线近似看成东西走向.如果规定向东为正，
向西为负，他这天行车里程单位：如下：， ，
，， ；
【素材3】滴滴车价目表：起步价（不超过 时）车费8元，
超过 时，每千米车费加价2元，消费满10元赠送一张八
折优惠券和一张七折优惠券（每种优惠券只能使用一次）.
【任务1】 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离；
【解】 .
答：露营基地在家的西边 处.
【任务2】 计算炸鸡店到面包店所用的车费；
（元）.
答：炸鸡店到面包店所用的车费为12元.
【任务3】 该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，求
最低总车费.
（元）.
答：水果店到奶茶店用八折券，奶茶店到露营基地用七折券，
总车费最低，最低总车费为52.8元.
返回
思想1 数形结合思想
17. 点，在数轴上的位置如图所示，其对应的数是和 ，
下列判断中，正确的是( )
B
；；； .
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
返回
思想2 分类讨论思想
18. 如图，， 分别为数轴上的两个点，点
表示的数为，点 表示的数为90.
（1）请直接写出到，两点距离相等的点 对应的数.
【解】点 对应的数为40.
【点拨】点在原点左侧，距离原点10个单位长度，点 在原
点右侧，距离原点90个单位长度，故， 两点之间的距离为
（个）单位长度， （个）单位长
度.由题图可知，到，两点距离都等于50个单位长度的点
对应的数为40.
（2）一只电子蚂蚁从点 出发，以3个单位长度/秒的速度
向左运动，同时另一只电子蚂蚁从点 出发，以2个单位长
度/秒的速度向右运动，经过多长时间这两只电子蚂蚁在数轴
上相距35个单位长度？
相遇前，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度时，
（秒）；相遇后，两只电子蚂蚁
在数轴上相距35个单位长度时，
（秒）.综上，经过13秒或27秒这两只电子蚂蚁在数轴上相距
35个单位长度.
返回
思想3 从特殊到一般的思想
19.探索规律并解答问题：
；
；
；
；….
（1） ____；
55
（2）计算： .
【解】原式 .
返回
思想4 转化思想
20.［2025南阳月考］定义新运算： ，
.例如：， .若
，则称有理数， 为一组“魅力数对”.例如：
,,所以 ，所以2，
3就是一组“魅力数对”.
（1）下列各组数中，是“魅力数对”的有______；（填写序号）
，；， ；
， .
【点拨】因为, ，所以
，所以， 是一组“魅力数对”，符合
题意；因为， ，所
以，所以， 不是“魅力数对”，
不符合题意；因为* ，
,所以 *
,所以, 是一组“魅力数对”，
符合题意.
（2）计算： .
【解】原式
.
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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