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4.3.2.1 角的度量与计算教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：4.3.2.1 角的度量与计算
副标题：初中七年级数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：角的度量单位有哪些？它们之间的换算关系是什么？（度、分、秒；1°=60′，1′=60″。）
问题 2：比较角的大小有哪些方法？（叠合法和度量法。）
问题 3：已知∠AOB=50°，∠BOC=30°，当点 C 在∠AOB 内部时，∠AOC 的度数是多少？（20°。）
引入：上节课我们学习了角的概念、表示方法和大小比较，本节课将重点学习角的度量单位换算和角的和、差、倍、分计算，进一步掌握角的运算技能。
第 3 页：情境引入
展示图片：钟表上 3 时 30 分时针与分针的夹角、地图上两个城市的方位角、机械零件的角度标注等。
提问：这些场景中的角都需要精确度量和计算，比如 3 时 30 分时针与分针的夹角是多少度？如何进行角的精确计算呢？
引导思考：角的度量单位是度、分、秒，它们之间是六十进制关系，计算时需要注意单位的统一和换算。
引入：今天我们就来学习角的度量单位换算和角的各种计算方法。
第 4 页：学习目标
知识目标：熟练进行度、分、秒之间的单位换算；能准确进行角的和、差、倍、分计算；会解决与角的度量相关的实际问题。
能力目标：通过单位换算和角的计算练习，培养运算能力和严谨的思维习惯；在解决实际问题的过程中，提高应用数学知识的能力。
情感目标：体会角的度量与计算在生活和生产中的应用价值，感受数学的精确性和实用性，增强学习数学的信心。
第 5 页：度、分、秒的单位换算（一）—— 高级单位化低级单位
换算原理：因为 1°=60′，1′=60″，所以将度化为分、分化为秒时，需要乘以 60。
换算公式：
度化分：\(n °=n 60 \)
分化秒：\(n =n 60 \)
例题讲解：
例 1：将 3.5° 化为度和分的形式。
解析：0.5°=0.5×60′=30′，所以 3.5°=3°30′。
例 2：将 2°15′化为秒。
解析：2°=2×60′=120′，2°15′=120′+15′=135′，135′=135×60″=8100″，所以 2°15′=8100″。
方法总结：将高级单位化为低级单位时，从度开始，依次乘以 60 转化为分和秒，整数部分保留原单位，小数部分进行换算。
第 6 页：度、分、秒的单位换算（二）—— 低级单位化高级单位
换算原理：因为 1′=（1/60）°，1″=（1/60）′，所以将秒化为分、分化为度时，需要除以 60。
换算公式：
分化度：\(n =(n ·60) °\)
秒化分：\(n =(n ·60) \)
例题讲解：
例 3：将 450′化为度。
解析：450′=450÷60°=7.5°，所以 450′=7.5°。
例 4：将 3630″化为度和分的形式。
解析：3630″=3630÷60′=60.5′，0.5′=0.5×60″=30″（此处修正：应先将秒化分，60.5′中 60′=1°，所以 3630″=60′30″=1°30′）。
方法总结：将低级单位化为高级单位时，从秒开始，依次除以 60 转化为分和度，余数保留原单位，商继续转化。
第 7 页：度、分、秒的单位换算（三）—— 复合单位换算
例题讲解：
例 5：将 5°36′18″化为度。
解析：18″=18÷60′=0.3′，36′+0.3′=36.3′，36.3′=36.3÷60°=0.605°，所以 5°36′18″=5+0.605=5.605°。
例 6：将 8.25° 化为度、分、秒。
解析：0.25°=0.25×60′=15′，所以 8.25°=8°15′0″。
换算步骤：
低级单位化高级单位：秒→分→度，逐步除以 60。
高级单位化低级单位：度→分→秒，逐步乘以 60。
注意事项：换算过程中要注意单位的对应，保留必要的小数位数或余数。
第 8 页：角的和差计算
计算法则：角的和差计算与有理数的加减类似，但要注意度、分、秒分别相加、减，满 60 进 1，不够减时借 1 当 60。
例题讲解：
例 7：计算 35°24′+48°36′。
解析：度：35°+48°=83°，分：24′+36′=60′=1°，所以总和为 83°+1°=84°，即 35°24′+48°36′=84°。
例 8：计算 90°-25°30′。
解析：90°=89°60′，89°60′-25°30′=（89°-25°）+（60′-30′）=64°30′，所以 90°-25°30′=64°30′。
例 9：计算 180°-56°42′36″。
解析：180°=179°59′60″，179°59′60″-56°42′36″=（179°-56°）+（59′-42′）+（60″-36″）=123°17′24″。
第 9 页：角的倍分计算
计算法则：
角的倍数计算：用乘数分别乘以度、分、秒，满 60 进 1。
角的除法计算：用除数分别去除度、分、秒，余数化为下一级单位继续除。
例题讲解：
例 10：计算 25°30′×3。
解析：度：25°×3=75°，分：30′×3=90′=1°30′，总和为 75°+1°30′=76°30′，即 25°30′×3=76°30′。
例 11：计算 120°24′÷4。
解析：度：120°÷4=30°，分：24′÷4=6′，所以 120°24′÷4=30°6′。
例 12：计算 150°÷6。
解析：150°÷6=25°，所以 150°÷6=25°。（若有余数：如 151°÷6，151°=150°+60′，150°÷6=25°，60′÷6=10′，所以 151°÷6=25°10′）。
第 10 页：含角平分线的计算
角平分线定义回顾：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
几何语言：若 OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC=∠COB=1/2∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠COB。
例题讲解：
例 13：已知∠AOB=80°，OC 是∠AOB 的平分线，求∠AOC 的度数。
解析：因为 OC 是∠AOB 的平分线，所以∠AOC=1/2∠AOB=1/2×80°=40°。
例 14：已知∠AOC=35°，OC 是∠AOB 的平分线，求∠AOB 的度数。
解析：因为 OC 是∠AOB 的平分线，所以∠AOB=2∠AOC=2×35°=70°。
第 11 页：复杂角的计算综合例题
例 15：已知∠AOB=120°，OC 在∠AOB 内部，OD 平分∠AOC，OE 平分∠COB，求∠DOE 的度数。
解析：
步骤 1：因为 OD 平分∠AOC，所以∠DOC=1/2∠AOC。
步骤 2：因为 OE 平分∠COB，所以∠COE=1/2∠COB。
步骤 3：∠DOE=∠DOC+∠COE=1/2∠AOC+1/2∠COB=1/2（∠AOC+∠COB）=1/2∠AOB。
步骤 4：代入∠AOB=120°，得∠DOE=1/2×120°=60°。
图形辅助：画出∠AOB，标注 OC、OD、OE 的位置，直观呈现角之间的关系。
第 12 页：实际应用例题 —— 钟表上的角度计算
例 16：计算 3 时整，时针与分针的夹角。
解析：钟表一圈为 360°，共 12 个大格，每个大格的角度为 360°÷12=30°。3 时整，时针指向 3，分针指向 12，中间有 3 个大格，所以夹角为 3×30°=90°。
例 17：计算 4 时 30 分，时针与分针的夹角。
解析：4 时 30 分，分针指向 6，走了 6 个大格，角度为 6×30°=180°。时针在 4 和 5 中间，4 时整时针指向 4，30 分钟时针走了 30°×0.5=15°（因为时针每小时走 30°，每分钟走 0.5°），所以时针位置角度为 4×30°+15°=135°。夹角为 180°-135°=45°。
第 13 页：课堂练习 1—— 单位换算
练习 1：填空题
（1）0.75°=______′，36′=______°。
（2）2°30′=______°，5.2°=°′。
（3）1800″=______′=°，3°15′30″=″。
练习 2：将下列角度按从小到大的顺序排列：38.5°，38°5′，38°30′。
第 14 页：课堂练习 2—— 角的和差倍分计算
练习 3：计算下列各题
（1）32°16′+28°56′；
（2）90°-54°48′；
（3）15°20′×4；
（4）178°30′÷5。
练习 4：已知∠A=50°25′，∠B=39°45′，求∠A+∠B 和∠A-∠B 的度数。
第 15 页：课堂练习 3—— 综合应用
练习 5：已知∠AOB=150°，OC 是∠AOB 的平分线，OD 是∠AOC 的平分线，求∠BOD 的度数。
练习 6：计算 6 时 15 分，时针与分针的夹角是多少度？
第 16 页：易错点提醒
单位换算时忽略六十进制，误按十进制计算，如将 0.5° 直接等于 50′（正确应为 30′）。
角的加减计算中，满 60 未进位或不够减时未借位，如 30°20′+20°50′=50°70′（正确应为 51°10′）。
角的倍数计算时，只乘度而漏乘分和秒，如 20°15′×2=40°15′（正确应为 40°30′）。
角的除法计算时，余数未转化为下一级单位，如 100°÷3=33° 余 1°（正确应将 1° 转化为 60′继续除，得 33°20′）。
解决钟表角度问题时，忽略时针会随分钟转动，直接按整点计算夹角。
第 17 页：课堂小结
本节课学习了度、分、秒的单位换算：高级单位化低级单位乘以 60，低级单位化高级单位除以 60，复合单位换算需逐步进行。
掌握了角的和差计算：度、分、秒分别相加减，满 60 进 1，不够减借 1 当 60。
学会了角的倍分计算：倍数计算分别相乘后进位，除法计算分别相除后余数转化。
能运用角平分线的性质进行角的计算，并解决钟表等实际场景中的角度问题。
第 18 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页练习三十五第 1、2、3 题。
提高作业：
（1）已知∠α=25°42′，∠β=36°18′，求 2∠α+∠β 和∠β-∠α 的度数。
（2）一个角的余角是它的补角的 1/3，求这个角的度数（后续学习余角补角后可做，此处可改为：一个角的 2 倍与它的一半的和是 120°，求这个角）。
拓展作业：观察不同时刻的钟表，记录 3 个时刻并计算时针与分针的夹角，验证计算结果的准确性。
2025-2026学年湘教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.3.2.1角的度量与计算
第4章 图形的认识
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题导入
下面两个钟面上，时针与分针间的夹角谁大谁小呢
具体大多少？
如何去度量？
探索新知
把一个周角（即它的旋转量）分为 360 等份，每一等份叫作 1 度，记作 1°.
1度的概念
如何衡量一个角的大小
用量角器可以量出角的度数，那么、“1度”到底是多大呢
角的分类
周角
平角
直角
锐角
钝角
角度范围 角的名称 相互关系
小于90°
等于90° 大于90° 但小于180° 180° 360° 锐角
直角
钝角
平角
周角
锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角；
1平角=2直角；
1周角=2平角=4直角
角的度量与换算
角的基本度量单位是度、分、秒.
把 1°的角分成 60 等份，每一等份叫作 1 分，记作 1′；
把 1′ 的角分成 60 等份， 每一等份叫作 1 秒， 记作 1″.
读数为25°55′10″
1°=60′
1′=60″
1′=()°
1″=()′
度、分、秒之间的换算是六十进制.
度
分
秒
× 60
×3 600
× 60
÷3 600
÷ 60
÷ 60
度分秒进率关系图
用度、分、秒表示 54.26°.
解 54.26°= 54°+ 0.26°.
又 0.26°= 0.26× 60′
= 15.6′ = 15′ + 0.6′，
而 0.6′ = 0.6 × 60″ = 36″，
因此，54.26°= 54°15′36″.
按1°=60′，1′=60″先把度化成分，再把分化成秒.
（小数化整数）
用度表示 48°25′48″.
解
因此，48°25′48″ = 48.43°.
按1″=(1/60)′，1′= (1/60)°，先把秒化成分，再把分化成度.
(整数化小数)
25′48″ = 25′+48″= 25′+ 0.8′= 25.8′，
计算：
(1) 把25.72°用度、分、秒的形式表示；
(2) 把45°12′30″化成度.
解： (1) ∵0.72°= 0.72× 60′=43.2′，
0.2× 60″=12″，
∴25.72°=25°43′12″
(2) ∵30″= 30× ()′=0.5′，
12.5× ()°≈0. 21°，
∴45°12′30″≈45. 21°
除不尽可以四舍五入取近似值
计算：
(1) 37°28′ + 24°35′； (2) 83°20′- 45°38′20″
解 (1) 37°28′+ 24°35′ = 61°63′ = 62°3′；
(2) 83°20′ - 45°38′20″
= 82°79′60″ - 45°38′20″
= 37°41′40″.
逢“60”进 “1”
不够减，向前一位借“1”
计算：
(1) 20°26′ + 30°54′； (2) 90°- 43°18′.
解 (1) 20°26′+ 35°54′
= 55°80′
= 56°20′；
(2) 90° -43°18′
= 89°60′- 43°18′
= 46°42′.
(1) 把度换算成度、分、秒：从左往右依次进行. 整数度保持不变，把不满 1 度的小数度化为分，再把不满 1 分的小数分化为秒，最后把度、分、秒合写在一起.
(2) 把度、分、秒换算成度：从右往左进行. 先把秒化为分，再把分化为度，最后把原来的度与由分和秒转化成的度相加.
角度单位之间的换算方法：
课堂练习
1. 下列算式正确的是( )
①33.33°=33°3′3″；
②33.33°=33°19′48″；
③50°40′33″=50.43°；
④50°40′30″=50.675°.
A. ①和②
B. ①和③
C. ②和③
D. ②和④
D
【教材P164页 练习第1题】
2. 填空：
(1) 0.65°= ′；
(2) 32.43°= ° ′ ″；
(3) 120°36′54″=　 　°；
(4) 108°42′36″ = °.
39
32
25
48
120.615
108.71
4. 若∠C ＝ 90°，∠A ＝ 25°30′，则 ∠C－∠A 的结果是（ ）
A. 75°30′ B. 74°30′
C. 65°30′ D. 64°30′
D
3. 比较大小：74.45°_______ 74°45′
＜
5. 计算：
(1) 72°12′ + 50°40′30″；
(2) 113°50′40″ - 57°48′42″.
122°52′30″
56°1′58″
【教材P164页 练习第2题】
6. 10 时整，钟表的时针与分针之间所成的角的度数是多少？15 时整呢？
答：10 时整，钟表的时针与分针之间所成的角度数为 60 度，15时整所成的角是 90 度.
【教材P164页 练习第3题】
7. 小红早晨8:30出发，中午12:30到家，则小红出发时时针和分针的夹角为_______，到家时时针和分针的夹角为_______.
75°
165°
解析:与12点整相比，8:30时，
时针转过了 (8+ ）×30°=255°，
分针转过了 30×6°=180°,
所以夹角为255°-180°=75°.
同理12:30时，时针和分针的夹角为165°.
1. 若， ，
，则( )
A
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2. ［2024广东］如图，一把直尺、
两个含 的三角尺拼接在一起，
则 的度数为( )
C
A. B.
C. D.
返回
3. 将与两个角的关系记为 ,下列探索
的大小与两个角的类型之间的关系中正确的是( )
A
A. 当时,若为锐角,则 为锐角
B. 当时,若为钝角，则 为钝角
C. 当时，若为锐角，则 为锐角
D. 当时，若为锐角，则 为钝角
返回
4. 当分针指向12，时针恰好与分针成
角时是( )
D
A. 9点钟 B. 8点钟
C. 4点钟 D. 8点钟或4点钟
【点拨】当分针指向12，与时
针的夹角为 时，有如图
两种情况，此时是8点钟或4点
钟，故选D.
返回
5. 用一副三角板可以画出一些角.在 ， ， ，
， ， ， ， ， ， ，
的角中，能画出的角有( )
A
A. 11个 B. 10个
C. 9个 D. 8个
返回
6.将量角器按如图方式放置，其中角度为 的角是_______
________.
和
（第6题）
返回
7.计算：
（1） ；
【解】 .
（2） ；
.
（3） ；
.
（4） .
.
返回
8. 将一副三角尺按如图方式摆放，使三角尺的一个顶点重
合， ， ，和分别是 和
的平分线.若 ，下列结论错误的是( )
D
A.
B.
C.
D.
9.［2025长沙望城区模拟］如图，是直线上一点， 平
分，平分 .
（1）求出 的度数，你能得出什么结论？
【解】由角平分线的定义可知
， .
再由题图中角的关系得
，
所以 .
结论：的度数恒为 ，和射线 的位置无关.
（2）如果，求 的度数.
由（1）可得 ,所以 .
返回
角的度量与计算
角的分类
角的单位换算
借位
进位
角的和、差计算
大单位化成小单位
小单位化成大单位
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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