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第二章 有理数及其运算 章末复习
有理数及其运算是初中数学的基础内容，是后续学习代数式、方程、函数等知识的重要铺垫。本章涵盖了有理数的概念、分类、表示方法以及各种运算规则和运算律等核心内容。通过本章的学习，我们能够建立起对负数的认知，掌握有理数的四则运算及混合运算方法，培养严谨的数学思维和运算能力。本章末复习将对这些知识进行全面梳理，帮助你巩固基础、提升技能。
一、知识框架梳理
有理数及其运算
├── 有理数的基本概念
│ ├── 正数与负数
│ ├── 有理数的定义与分类
│ ├── 数轴
│ ├── 相反数
│ ├── 绝对值
│ └── 有理数的大小比较
├── 有理数的运算
│ ├── 有理数的加法
│ │ ├── 加法法则
│ │ └── 加法运算律（交换律、结合律）
│ ├── 有理数的减法
│ │ └── 减法法则（转化为加法）
│ ├── 有理数的乘法
│ │ ├── 乘法法则
│ │ └── 乘法运算律（交换律、结合律、分配律）
│ ├── 有理数的除法
│ │ └── 除法法则（转化为乘法）
│ ├── 有理数的乘方
│ │ ├── 乘方的定义
│ │ └── 乘方运算的符号法则
│ └── 有理数的混合运算
│ └── 运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号）
└── 有理数的实际应用
├── 用正负数表示相反意义的量
└── 有理数运算在实际问题中的应用
二、核心知识点回顾
1. 有理数的基本概念
正数与负数：
大于 0 的数叫做正数，在正数前面加上 “-”（负号）的数叫做负数。0 既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界点。正数和负数可用于表示具有相反意义的量，如收入与支出、上升与下降等。
有理数的定义与分类：
整数和分数统称为有理数。从不同角度可对有理数进行分类：
按定义分：有理数分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。
按性质分：有理数分为正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。
数轴：
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的点不一定都表示有理数。
相反数：
只有符号不同的两个数互为相反数，0 的相反数是 0。互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称，即分别位于原点两侧且到原点的距离相等。若 a 与 b 互为相反数，则 a + b = 0。
绝对值：
数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 | a|。绝对值的性质：
正数的绝对值是它本身；
负数的绝对值是它的相反数；
0 的绝对值是 0。
即 | a| = \(\begin{cases}a, & a\gt0 \\ 0, & a=0 \\ -a, & a\lt0\end{cases}\)，且绝对值具有非负性，即 | a| ≥ 0。
有理数的大小比较：
在数轴上，右边的数总比左边的数大。
正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。
两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
2. 有理数的运算
有理数的加法：
加法法则：
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得 0。
一个数同 0 相加，仍得这个数。
加法运算律：
交换律：a + b = b + a；
结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。
有理数的减法：
减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a - b = a + (-b)。减法运算可转化为加法运算进行。
有理数的乘法：
乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数同 0 相乘，都得 0。
几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。
乘法运算律：
交换律：a×b = b×a；
结合律：(a×b)×c = a×(b×c)；
分配律：a×(b + c) = a×b + a×c。
有理数的除法：
除法法则：
除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即 a÷b = a×\(\frac{1}{b}\)（b≠0）。
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。
有理数的乘方：
求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在\(a^n\)中，a 叫做底数，n 叫做指数，\(a^n\)读作 “a 的 n 次幂” 或 “a 的 n 次方”。乘方运算的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是 0。
有理数的混合运算：
运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，从左到右依次进行；如有括号，先算括号里面的（按小括号、中括号、大括号的顺序依次计算）。
3. 有理数的实际应用
用正负数表示相反意义的量：在实际生活中，常把某一量的标准记为 0，超过标准的部分用正数表示，不足的部分用负数表示，如海拔高度（以海平面为 0）、温度（以 0℃为标准）等。
有理数运算在实际问题中的应用：通过有理数的加、减、乘、除、乘方等运算，解决实际生活中的收支计算、路程计算、增长率问题等。
三、典型例题解析
例 1：有理数的概念辨析
下列说法正确的是（ ）
A. 有理数就是正数和负数 B. 整数一定是正数
C. 0 是最小的有理数 D. 有理数包括整数和分数
解析：选项 A 错误，有理数包括正数、0 和负数；选项 B 错误，整数包括正整数、0 和负整数，0 和负整数不是正数；选项 C 错误，没有最小的有理数；选项 D 正确，整数和分数统称为有理数。
答案：D
例 2：数轴、相反数与绝对值的应用
已知数轴上点 A 表示的数为 - 3，点 B 与点 A 关于原点对称，点 C 在原点左侧，且到原点的距离是点 B 到原点距离的 2 倍，求点 B 和点 C 表示的数。
解：因为点 B 与点 A（表示 - 3）关于原点对称，所以点 B 表示的数是 3。
点 B 到原点的距离是 | 3| = 3，点 C 到原点的距离是 3×2 = 6。
又因为点 C 在原点左侧，所以点 C 表示的数是 - 6。
答：点 B 表示的数是 3，点 C 表示的数是 - 6。
例 3：有理数的混合运算
计算：\(-1^4 - (1 - 0.5)×\frac{1}{3}×[2 - (-3)^2]\)
解：原式 = \(-1 - 0.5×\frac{1}{3}×(2 - 9)\)
= \(-1 - \frac{1}{2}×\frac{1}{3}×(-7)\)
= \(-1 - (-\frac{7}{6})\)
= \(-1 + \frac{7}{6}\)
= \(\frac{1}{6}\)
例 4：有理数的实际应用
某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负。某天自 A 地出发到收工时所走的路程（单位：km）为：+10，-3，+4，-2，-8，+13，-2，+12，+7，+5。
（1）收工时距 A 地多远？
（2）若每千米耗油 0.2L，从 A 地出发到收工时共耗油多少升？
解：（1）将所有路程相加：
(+10) + (-3) + (+4) + (-2) + (-8) + (+13) + (-2) + (+12) + (+7) + (+5)
= 10 - 3 + 4 - 2 - 8 + 13 - 2 + 12 + 7 + 5
= (10 + 4 + 13 + 12 + 7 + 5) + (-3 - 2 - 8 - 2)
= 51 + (-15)
= 36（km）
所以收工时距 A 地 36km。
（2）计算总路程，即所有路程的绝对值之和：
|+10| + |-3| + |+4| + |-2| + |-8| + |+13| + |-2| + |+12| + |+7| + |+5|
= 10 + 3 + 4 + 2 + 8 + 13 + 2 + 12 + 7 + 5
= 66（km）
总耗油量 = 66×0.2 = 13.2（L）
答：（1）收工时距 A 地 36km；（2）从 A 地出发到收工时共耗油 13.2L。
四、易错点警示
概念混淆：
对有理数的分类理解不清，误将整数等同于正数，忽略 0 和负整数；或混淆正数、负数与正有理数、负有理数的概念。
对相反数和绝对值的概念理解不透彻，如认为只有正数有相反数，或错误计算负数的绝对值（如 | -5 | = -5）。
运算符号错误：
有理数加法中，异号两数相加时，符号判断错误或绝对值计算错误。
有理数乘法和除法中，忽略符号法则，尤其是多个负因数相乘时，符号判断错误（负因数个数为奇数时积为负，偶数时积为正）。
乘方运算误区：
混淆\(-a^n\)与\((-a)^n\)的区别，如\(-2^4 = -(2×2×2×2) = -16\)，而\((-2)^4 = (-2)×(-2)×(-2)×(-2) = 16\)。
对乘方的意义理解错误，如将\(3^2\)理解为 3×2，而非 3×3。
混合运算顺序错误：
不遵循 “先乘方，再乘除，最后加减” 的运算顺序，盲目从左到右计算，如计算\(2 + 3×4\)时，错误计算为\((2 + 3)×4 = 20\)，而正确结果应为\(2 + 12 = 14\)。
忽略括号的作用，或对多层括号的运算顺序处理不当。
实际应用中符号处理错误：
在用正负数表示相反意义的量时，因未明确规定正方向而导致数据符号错误，影响后续计算结果。
五、章末检测题
一、选择题
下列各数中，是负数的是（ ）
A. -(-3) B. | -3 | C. \((-3)^2\) D. -3
下列说法正确的是（ ）
A. 绝对值等于它本身的数是正数 B. 倒数等于它本身的数是 1
C. 相反数等于它本身的数是 0 D. 平方等于它本身的数是 0
在数轴上，与表示 - 2 的点距离为 3 的点所表示的数是（ ）
A. 1 B. -5 C. 1 或 - 5 D. 无法确定
计算\((-1)^{2023} + (-1)^{2024}\)的结果是（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
二、填空题
若上升 5m 记作 + 5m，则下降 3m 记作________。
比较大小：-\(\frac{3}{4}\)________-\(\frac{2}{3}\)（填 “＞”“＜” 或 “=”）。
已知 | a| = 5，|b| = 3，且 a＜b，则 a + b 的值为________。
计算：\((-2)^3×3 + (-3)^2 =\)________。
三、解答题
把下列各数填入相应的集合内：
-5，3.7，0，-\(\frac{3}{4}\)，8，-1.2，\(\frac{22}{7}\)，-0.001。
正数集合：{…}
负数集合：{…}
整数集合：{…}
分数集合：{…}
计算下列各题：
（1）\((-12) + (+11) + (-8) + (+39)\)
（2）\((-2)×(-7)×(+5)×(-\frac{1}{7})\)
（3）\(-1^2 - (1 - 0.5)÷3×[3 - (-3)^2]\)
（4）\((-\frac{1}{6} + \frac{3}{4} - \frac{1}{12})×(-48)\)
某商店一周的收入、支出情况如下表：
| 日期 | 周一 | 周二 | 周三 | 周四 | 周五 | 周六 | 周日 |
|----|----|----|----|----|----|----|----|
| 收入（元）|1500|3000|0|2000|1000|4000|2000|
| 支出（元）|500|1000|1500|1200|1800|500|1000|
（1）该商店这一周总收入多少元？
（2）该商店这一周总支出多少元？
（3）该商店这一周的利润是多少元？
六、参考答案
一、选择题
D 2. C 3. C 4. B
二、填空题
-3m 6. ＜ 7. -2 或 - 8 8. -15
三、解答题
正数集合：{3.7，8，\(\frac{22}{7}\)，…}
负数集合：{-5，-\(\frac{3}{4}\)，-1.2，-0.001，…}
整数集合：{-5，0，8，…}
分数集合：{3.7，-\(\frac{3}{4}\)，-1.2，\(\frac{22}{7}\)，-0.001，…}
（1）原式 = (-12 - 8) + (11 + 39) = -20 + 50 = 30
（2）原式 = -2×7×5×\(\frac{1}{7}\) = -10
（3）原式 = -1 - 0.5÷3×(3 - 9) = -1 - \(\frac{1}{2}\)×\(\frac{1}{3}\)×(-6) = -1 + 1 = 0
（4）原式 = (-\(\frac{1}{6}\))×(-48) + \(\frac{3}{4}\)×(-48) - \(\frac{1}{12}\)×(-48) = 8 - 36 + 4 = -24
（1）总收入 = 1500 +
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.1 探索勾股定理
第一章 勾股定理
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过对勾股定理的学习，理解勾股定理反映的直角三角形三边之间的数量关系，提高推理能力．
2．通过小组讨论，学会运用勾股定理进行简单的计算，提高计算能力和数形结合能力．
3．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情，让学生在探索勾股定理的过程中，感受数学之美，探究之趣．
重点
难点
科学家曾经建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。勾股定理有着悠久的历史，古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系。古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系。
游戏导入
拼图游戏
一千多年前，中国人发明了七巧板，外国人管它叫“中国魔板”、“唐图”。
在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形，分别测量它们的三条边长，并填入下表.看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流.
知识点
勾股定理的探索
做一做
a b c a2,b2,c2之间关系
问题1 你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
探究新知
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
正方形A中含有 个小方格,即A的面积是 个单位面积.
同理:正方形B的面积是 个单位面积.
9
9
9
思考1 用什么办法能求出图1中A, B的面积
数格子
图1
探究新知
分割成若干个直角边为整数的三角形
（单位面积）
思考2 怎样求出C的面积
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
探究新知
S正方形C = 4××3×3 =18
练一练 通过对图1的学习，求出图2正方形A,B,C中面积各是多少
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图 1
图 2
探究新知
解：正方形A的面积是4个单位面积，正方形B的面积是4个单位面积，正方形C的面积是8个单位面积.
（1）观察图3、图4：
（2）填表（每个小正方形的面积为单位1）：
A的面积 B的面积 C的面积
图3
图4
4 9
16 9
？
？
图3
图4
做一做
探究新知
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.
图3
图4
探究新知
“补”
“割”
“拼”
分割为四个直角三角形和一个小正方形
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积
将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形
探究新知
（4）分析填表数据
图4
图3
探究新知
A的面积 B的面积 C的面积
图3
图4
4 9
16 9
13
25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，
等于以斜边为边长的正方形的面积.
问题2 通过以上观察分析，你能发现三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？
探究新知
SA + SB = SC
做一做 如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.　
2.4
1.6

问题4 你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
探究新知
a2 + b2 = c2
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
b
c
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°,
则a2 + b2 = c2.
在西方又称毕达哥拉斯定理
探究新知
a2 + b2 = c2
勾
较短的直角边称为 ，
股
较长的直角边称为 ，
直角三角形中
弦
斜边称为 .
勾2 + 股2 = 弦2
股
勾
弦
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.
趣味小常识
探究新知
2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”，这就是本届大会会徽的图案.
探究新知
素养考点 1
利用勾股定理求直角三角形的边长
方法点拨：已知直角三角形的两边求第三边,关键是先明确所求的边是直角边还是斜边,再应用勾股定理.
例1 如果直角三角形两直角边长分别为 BC=5厘米,AC=12厘米,求斜边AB的长度.
a
b
c
A
C
B
解：在Rt△ABC中根据勾股定理,
AC +BC =AB ，
AC=12，BC=5
所以12 +5 =AB ，
所以AB =12 +5 =169，
所以AB=13厘米.
答：斜边AB的长度为13厘米.
探究新知
1.寻求图形面积之间的关系
素养考点 2
利用勾股定理求面积问题
方法点拨：以直角三角形三边为基础向外作正方形，等腰三角形或半圆，都能形成简单的勾股图，对于勾股图都有相同的结论，即S1=S2+S3（S1是以斜边为基础向外作的图形的面积，S2和S3分别是以直角边基础向外所作图形的面积.
例2 如图，以Rt△ABC的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3=16，则S1的值为（　　）
A．7 B．8
C．9 D．10
探究新知
B
例3 如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求△ABC的面积．
方法点拨：当题目中没有直角三角形时，常作垂线（或作高）构造直角三角形，然后利用勾股定理求得线段的长，进而求面积.
2.求非直角三角形的面积
解：作AD⊥BC于D，
在等腰△ABC中，因为AB=AC=13，BC=10，
所以BD=CD=5，
所以AD2=AB2-BD2 =132-52 =144，AD=12
所以S△ABC= BC AD= ×10×12=60．
探究新知
知识点1 勾股定理
1.在中， ，下列结论正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
2.在一个直角三角形中，若一条直角边长是3，另一条直角边长是4，则
斜边长的平方是( )
D
A.5 B.9 C.16 D.25
返回
3.如图，在中， 。
（第3题）
（1）若，，则 ____；
（2）若，，则 ___；
（3）若，，则 ___。
17
8
7
返回
（第4题）
4. 如图，某农舍的大门是一个木制的长方形
栅栏，它的高为，宽为 ，现需要在相对的顶点间
用一块木板加固，则木板的长为_______。
返回
5.［2025渭南期中］如图，在中，，垂足为，是
边上的中线，，，则的长是____ 。
13
（第5题）
返回
6.［教材习题变式］ 如图，在中，，是 边上
的高。已知，，则 的长为___。
8
（第6题）
返回
7.如图，在中，,垂足为， ,
, 。求：
（1） 的长；
解：因为,所以 。在
中，因为 ，所以
。所以 。
所以 。
（2） 的长。
解：在中,因为 ,所以 。所以
。所以 。所以
。
返回
勾股定理的探索
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么a2+b2=c2
利用勾股定理进行计算
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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