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1.1.2 勾股定理的图形验证
勾股定理的魅力不仅在于其简洁的数量关系，更在于它能通过直观的图形构造得到验证。从古至今，数学家们创造了数百种图形验证方法，这些方法以巧妙的构图和严谨的推理，展现了 “数形结合” 的数学思想。本节将详细介绍几种经典的勾股定理图形验证方法，带你感受图形背后的逻辑力量。
一、赵爽弦图：中国古代的智慧结晶
赵爽弦图是我国古代数学家赵爽在《勾股圆方图注》中提出的验证方法，是中国古代数学成就的重要标志，也是迄今为止最著名的勾股定理验证方法之一。
1. 构图步骤
取 4 个全等的直角三角形，设每个直角三角形的两条直角边分别为\(a\)（勾）和\(b\)（股），斜边为\(c\)（弦）。
将这 4 个直角三角形按 “外弦图” 方式摆放：以直角三角形的斜边为外边界，将 4 个三角形的直角顶点向内拼接，形成一个大正方形，中间自然围成一个小正方形。
大正方形的边长为直角三角形的斜边\(c\)，中间小正方形的边长为两条直角边的差\(|b - a|\)（若\(a = b\)，则小正方形退化为一点）。
2. 推理过程
大正方形面积的两种表示：
一方面，大正方形的边长为\(c\)，因此面积为\(c^2\)。
另一方面，大正方形的面积等于 4 个全等直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和。每个直角三角形的面积为\(\frac{1}{2}ab\)，4 个三角形的总面积为\(4 \frac{1}{2}ab = 2ab\)；中间小正方形的边长为\(|b - a|\)，面积为\((b - a)^2\)（因平方后符号不影响，可省略绝对值）。
因此，大正方形面积可表示为\(2ab + (b - a)^2\)。
等式推导：
由两种面积表示方法相等可得：\(
c^2 = 2ab + (b - a)^2
\)
展开右边式子：\(2ab + (b^2 - 2ab + a^2) = a^2 + b^2\)，因此\(c^2 = a^2 + b^2\)，勾股定理得证。
3. 图形意义
赵爽弦图以对称、和谐的构图，将直角三角形与正方形巧妙结合，既体现了中国古代数学的严谨性，又展现了数学的美学价值。2002 年北京国际数学家大会的会徽就采用了赵爽弦图的设计，彰显了这一成果的国际影响力。
二、毕达哥拉斯拼图：西方经典证法
毕达哥拉斯学派的验证方法以 “面积守恒” 为核心，通过拼接不同的正方形和直角三角形，证明勾股定理的成立。
1. 构图步骤
取一个直角三角形，直角边为\(a\)、\(b\)，斜边为\(c\)。
以直角边\(a\)为边长构造正方形\(A\)，以直角边\(b\)为边长构造正方形\(B\)，以斜边\(c\)为边长构造正方形\(C\)。
将正方形\(A\)、\(B\)和直角三角形进行分割，再将分割后的图形重新拼接，恰好能填满正方形\(C\)，且无重叠、无空隙。
2. 推理过程
面积关系：
正方形\(A\)的面积为\(a^2\)，正方形\(B\)的面积为\(b^2\)，两者面积之和为\(a^2 + b^2\)。
由于分割后的图形能完全拼接成正方形\(C\)，根据面积守恒原理，正方形\(A\)与\(B\)的面积之和等于正方形\(C\)的面积，即\(a^2 + b^2 = c^2\)。
3. 图形特点
毕达哥拉斯拼图的核心是 “分割 - 拼接” 的转化思想，通过具体的图形操作直观呈现面积相等关系，无需复杂的代数运算，适合初学者理解。
三、美国总统伽菲尔德的梯形证法：简洁的几何创新
1876 年，美国第 20 任总统伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了一种基于梯形面积的勾股定理证法，以其构思巧妙、步骤简洁而闻名。
1. 构图步骤
取两个全等的直角三角形，直角边为\(a\)、\(b\)（\(a < b\)），斜边为\(c\)，将它们的斜边相对，另一个直角边在同一直线上，拼接成一个直角梯形。
梯形的上底为\(a\)，下底为\(b\)，高为\(a + b\)，梯形内部形成一个等腰直角三角形，其直角边为\(c\)。
2. 推理过程
梯形面积的两种表示：
一方面，梯形面积公式为\(\frac{1}{2} ( + ) é \)，因此该梯形面积为\(\frac{1}{2}(a + b)(a + b) = \frac{1}{2}(a + b)^2\)。
另一方面，梯形面积等于两个直角三角形的面积与中间等腰直角三角形的面积之和。每个直角三角形面积为\(\frac{1}{2}ab\)，两个三角形总面积为\(2 \frac{1}{2}ab = ab\)；中间等腰直角三角形面积为\(\frac{1}{2}c^2\)。因此，梯形面积可表示为\(ab + \frac{1}{2}c^2\)。
等式推导：
由面积相等可得：\(
\frac{1}{2}(a + b)^2 = ab + \frac{1}{2}c^2
\)
两边同乘 2 化简：\((a + b)^2 = 2ab + c^2\)，展开左边得\(a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2\)，消去\(2ab\)后得\(a^2 + b^2 = c^2\)，定理得证。
3. 方法优势
伽菲尔德证法仅通过一个梯形和简单的面积公式推导，就完成了定理验证，体现了 “化繁为简” 的数学智慧，也让我们看到生活中处处有数学创新的可能。
四、青朱出入图：出入相补原理的典范
我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出 “青朱出入图”，利用 “出入相补”（即图形分割后重新拼接，面积不变）的原理验证勾股定理，是中国古代图形证法的另一重要成果。
1. 构图步骤
以直角三角形的勾\(a\)、股\(b\)、弦\(c\)分别构造正方形，其中勾方涂为青色，股方涂为朱色。
将青方和朱方进行分割，得到若干个小图形（如直角三角形、矩形等）。
将分割后的青、朱两色图形全部 “出入相补” 到弦方中，恰好填满整个弦方，无剩余空间。
2. 推理过程
由于青方面积为\(a^2\)，朱方面积为\(b^2\)，两者分割后拼接成弦方（面积\(c^2\)），根据面积守恒，可得\(a^2 + b^2 = c^2\)。
3. 思想核心
“青朱出入图” 不依赖代数运算，完全通过图形的分割与拼接直观验证定理，体现了中国古代数学 “以形证数” 的独特风格。
五、图形验证的共同本质与价值
1. 共同本质
无论是赵爽弦图、毕达哥拉斯拼图，还是其他图形验证方法，核心都围绕 “面积相等” 展开：通过构造包含直角三角形的图形（如正方形、梯形），用两种不同方式表示同一图形的面积，建立等式后化简得到勾股定理的表达式。这种 “数形结合” 的思想是数学中重要的思维方法，贯穿于整个数学学习过程。
2. 教育价值
直观理解：图形验证让抽象的代数公式变得可视化，帮助初学者从感性上理解定理的合理性，避免死记硬背。
思维训练：分析图形的构成、面积关系的转化过程，能培养空间想象能力、逻辑推理能力和创新思维。
文化传承：不同文明的图形证法反映了各自的数学文化特色，学习这些方法有助于了解数学发展的多元历程。
六、动手实践：自制图形验证勾股定理
实践任务
准备 4 个全等的直角三角形纸片（可选用直角边为 3cm、4cm 的直角三角形）和剪刀、直尺，尝试用以下两种方法验证勾股定理：
用赵爽弦图的方法拼接成大正方形，测量并计算大正方形、小正方形和三角形的面积，验证面积关系。
用毕达哥拉斯的分割法，将以 3cm、4cm 为边长的正方形分割后，拼接成以 5cm 为边长的正方形。
注意事项
拼接时确保图形无重叠、无空隙，测量边长时保留准确数据。
记录拼接过程中的发现，思考不同拼接方式与定理验证的关联。
通过动手实践，你将更深刻地体会图形验证的乐趣和逻辑力量，进一步理解勾股定理的本质。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.1.2勾股定理的图形验证
第一章 勾股定理
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 经历运用拼图的方法说明勾股定理的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的能力．
2．通过教师讲解，能熟练运用勾股定理解决实际问题，进一步体会数学与现实生活的紧密联系．教学重难点教学重点,勾股定理的验证．
重点
难点
问题思考
分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗 你是如何做的 与同伴进行交流.
知识点 1
勾股定理的证明
割
小明的证明思路如下图，想一想：小明是怎样对大正方形进行割补的？
你能将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来吗？
探究新知
A
B
C
D
补
a+b
大正方形ABCD的面积可以表示为： 或者___________
可得等式
方法一
探究新知
(a+b)2
4×ab+c2
4×ab+c
=(a+b)2
你能用右图验证勾股定理吗？
验证了勾股定理
探究新知
=c2
S正方形C
所以a2+b2=c2 .
S正方形C
=(a+b)2-ab×4
=a2+b2+2ab-2ab
=a2+b2
小正方形ABCD的面积可以表示为： 或者_______
可得等式
方法二
探究新知
c2
A
B
C
D
4×ab+（b-a）2
4×ab+（b-a）2=c2
你能用右图验证勾股定理吗？
也验证了勾股定理
探究新知
=c2
S正方形ABCD
所以a2+b2=c2 .
=ab×4+（b-a）2
S正方形ABCD
A
B
C
D
=2ab+a2+b2-2ab
=a2+b2
所以a2 + b2 = c2
方法三
c2
a
b
c
a2
b2
探究新知
a
b
c
①
②
③
④
⑤
所以c2 = b2 + a2
方法四
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
探究新知
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
所以a2+b2+2ab=c2+2ab，
证明：因为S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4×ab+c2
=c2+2ab，
探究新知
所以a2+b2=c2 .
a
a
b
b
c
c
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2 =c2.
探究新知
所以a2+b2=c2 .
证明：
因为
S梯形=(a+b)(a+b)
S梯形=ab+ab+c2
=(a2+b2+2ab)
= (2ab+c2)
a
b
c
A
B
C
D
E
F
O
意大利文艺复兴时代的著名画家达·芬奇的证法
探究新知
Ⅰ
Ⅱ
A
a
B
C
b
D
E
F
O
Ⅰ
Ⅱ
A′
B′
C′
D′
E′
F′
请同学们自己写一下证明过程，相信你能行的！
证明：
探究新知
所以a2+b2=c2 .
S多边形ABCDEF
=a2+b2+×ab
S多边形A′B′C′D′E′F′
=c2+×ab
归纳总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，补拼是要求无重叠，叠合是要求无空隙；而用面积法验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的．
探究新知
用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如图所示的图形，则下列结论中正确的是(　　)
A．c2=a2+b2 B．c2=a2+2ab+b2
C．c2=a2-2ab+b2 D．c2=(a+b)2
A
巩固练习
例 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400m,10s后,汽车与他相距500m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗
分析：
勾股定理的应用
知识点 2
探究新知
点A表示小王的位置
点C表示汽车开始位置
点B表示10s后汽车距小王500m
小王距离公路400m，所以∠C是直角
点A、B、C构成直角三角形
A
C
公路
400m
B
500m
例
即它行驶的速度为108 km/h.
总结：在实际问题中，可以根据问题中的条件构造直角三角形，从而利用勾股定理来解答.
解：
由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,
也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.
敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶的距离为
300×6×60=108000(m),
探究新知
例 等腰三角形底边上的高为8cm，周长为32cm，求这个三角形的面积.
8
x
16-x
D
A
B
C
解：设这个三角形为ABC，高为AD，设BD为xcm，
则AB为（16-x）cm，
由勾股定理得：x2+82=(16-x)2
即x2+64=256-32x+x2
所以x=6
素养考点 2
利用勾股定理解答面积问题
探究新知
方法点拨：利用勾股定理解答几何问题，经常用到设未知数列方程的思想
答：这个三角形的面积为48cm2.
S△ABC=BC AD=×2×6×8=48（cm2）
议一议 判断图中三角形的三边是否满足a2+b2=c2.
锐角三角形：
a2+b2 ＞ c2
钝角三角形：
a2+b2 ＜ c2
直角三角形：
a2+b2=c2
提示：用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.
探究新知
知识点1 勾股定理的验证
1.［教材习题 变式］用4个如图①所示的直角三角形可以摆成如图
②所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理。
（1）图②中大正方形的边长为______，里面
小正方形的边长为___；
（2）大正方形的面积可以表示为_________，
也可以表示为__________；
（3）对比这两种表示方法，可得出_________
_____________，整理，得_____________。
返回
知识点2 勾股定理的简单应用
（第2题）
2.［教材习题变式］ 如图，一棵高为 的大树被
台风刮断，若大树在离地面的点 处折断，则树顶端
离树底部( )
A
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 如图①是一块长
方形草坪， 是一条被踩踏的小路，
已知， 。为了
避免行人继续踩踏草坪（走线段
），小梅分别在， 处各挂了
一块图②的牌子，则牌子上“？”处
是( )
D
A.3 B.4 C.5 D.6
返回
（第4题）
4.如图，一轮船以的速度从港口 出发
向东北方向航行，另一轮船以 的速度同
时从港口出发向东南方向航行，离开港口 后，
两船相距( )
D
A. B.
C. D.
返回
（第5题）
5.如图，有两棵树和（都与水平地面 垂
直），树高，树梢到树 的水平距离
的长度为， ，一
只小鸟从树梢飞到树梢 ，则它至少要飞行的距
离为( )
A
A. B. C. D.
返回
6. 陕西省的地势南北高、中
间低，有高原、山地、平原和盆地等多种地形。
如图，某工程队现需穿过某座大山修一条隧道
，为了测量隧道 的长度，在山的另一侧水
平地面上取点，在隧道的延长线上取点 ，测量得知，
，，，请你求出隧道 的
长。
解：因为 ,
,
所以 ,所以在中， ,
即，所以,即隧道的长为 。
返回
验证勾股
定理及应用
拼图验证
首先通过拼图找出面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理．
应用
拼出图形
写出图形面积的表达式
找出相等关系
步骤
恒等变形
导出勾股定理
思路
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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