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1.2 一定是直角三角形吗
在学习了勾股定理后，我们知道直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。那么反过来，如果一个三角形的三条边满足 “两边的平方和等于第三边的平方”，这个三角形一定是直角三角形吗？本节将围绕这个问题展开，探索直角三角形的判定方法，即勾股定理的逆定理。
一、勾股定理的逆定理
1. 逆定理的内容
勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的重要依据，其内容为：如果一个三角形的三条边长分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，且满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，那么这个三角形是直角三角形，其中边长为\(c\)的边所对的角是直角。
2. 与勾股定理的关系
勾股定理和它的逆定理是互逆的两个命题：
勾股定理：若三角形是直角三角形，则 **\(a^2 + b^2 = c^2\)**（条件是 “直角三角形”，结论是 “边的平方关系”）。
勾股定理的逆定理：若三角形的三边满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，则三角形是直角三角形（条件是 “边的平方关系”，结论是 “直角三角形”）。
两者相辅相成，勾股定理用于直角三角形的边长计算，逆定理用于通过边长关系判定三角形是否为直角三角形。
3. 关键词解读
“满足\(a^2 + b^2 = c^2\)”：这里的\(a\)、\(b\)是三角形中较短的两条边，\(c\)是最长的边（即斜边候选边）。若两条较短边的平方和等于最长边的平方，则可判定为直角三角形。
“边长为\(c\)的边所对的角是直角”：在三角形中，长边对大角，由于\(c\)是最长边，且满足平方关系，因此它所对的角必然是直角（90°）。
二、逆定理的验证
我们可以通过几何推理和动手操作两种方式验证勾股定理逆定理的正确性。
1. 几何推理验证
已知：在△ABC 中，AB = \(c\)，BC = \(a\)，AC = \(b\)，且\(a^2 + b^2 = c^2\)。
求证：△ABC 是直角三角形，且∠C = 90°。
证明：
构造一个直角三角形 A'B'C'，使∠C' = 90°，B'C' = \(a\)，A'C' = \(b\)。
根据勾股定理，在 Rt△A'B'C' 中，A'B'^2 = B'C'^2 + A'C'^2 = \(a^2 + b^2\)。
已知\(a^2 + b^2 = c^2\)，且 AB = \(c\)，因此 A'B' = AB = \(c\)。
在△ABC 和△A'B'C' 中，BC = B'C' = \(a\)，AC = A'C' = \(b\)，AB = A'B' = \(c\)，根据 “SSS”（边边边）全等判定定理，△ABC≌△A'B'C'。
因此∠C = ∠C' = 90°，即△ABC 是直角三角形。
2. 动手操作验证
准备长度分别为 3cm、4cm、5cm 的三根小木棒，尝试拼接成三角形。
测量三角形的最大角，会发现这个角的度数为 90°，且\(3^2 + 4^2 = 5^2\)，符合勾股定理逆定理的条件。
再换一组数据，如 5cm、12cm、13cm，拼接后测量最大角，同样为 90°，且\(5^2 + 12^2 = 13^2\)。
通过多次实验可以发现，只要三边满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，拼接出的三角形一定是直角三角形。
三、直角三角形的判定步骤
使用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形，可按以下步骤进行：
1. 确定三角形的三条边长
明确三角形三条边的长度，分别记为\(a\)、\(b\)、\(c\)，并找出其中最长的边（设为\(c\)）。
2. 计算两条较短边的平方和与最长边的平方
分别计算\(a^2 + b^2\)和\(c^2\)。
3. 比较两者的大小
若\(a^2 + b^2 = c^2\)，则该三角形是直角三角形，最长边\(c\)所对的角是直角。
若\(a^2 + b^2 c^2\)，则该三角形不是直角三角形。
示例
例 1：判断边长分别为 6、8、10 的三角形是否为直角三角形。
解：
最长边为 10，即\(c = 10\)，较短边为\(a = 6\)，\(b = 8\)。
计算\(a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)，\(c^2 = 10^2 = 100\)。
因为\(6^2 + 8^2 = 10^2\)，所以该三角形是直角三角形，最长边 10 所对的角是直角。
例 2：判断边长分别为 5、6、7 的三角形是否为直角三角形。
解：
最长边为 7，即\(c = 7\)，较短边为\(a = 5\)，\(b = 6\)。
计算\(a^2 + b^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61\)，\(c^2 = 7^2 = 49\)。
因为\(61 49\)，即\(5^2 + 6^2 7^2\)，所以该三角形不是直角三角形。
四、勾股数
1. 勾股数的定义
能够构成直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数（或勾股弦数）。勾股数满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，其中\(a\)、\(b\)、\(c\)均为正整数。
2. 常见的勾股数
基本勾股数：3、4、5（\(3^2 + 4^2 = 5^2\)）。
衍生勾股数：将基本勾股数同时乘以一个正整数，所得结果仍为勾股数。例如：
3×2 = 6，4×2 = 8，5×2 = 10（6、8、10）；
3×3 = 9，4×3 = 12，5×3 = 15（9、12、15）。
其他勾股数：5、12、13（\(5^2 + 12^2 = 13^2\)）；7、24、25（\(7^2 + 24^2 = 25^2\)）等。
3. 勾股数的应用
勾股数在实际生活中常用于构造直角，例如建筑施工中确定直角墙角、测量中的直角定位等。利用勾股数可以快速判断一个三角形是否为直角三角形，而无需复杂计算。
五、实际应用场景
1. 测量中的直角判定
例：某测量队在野外测量时，得到一个三角形地块的三边长分别为 9m、12m、15m，他们需要知道这个地块是否为直角三角形，以便计算面积。
解：
最长边为 15m，计算\(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\)，\(15^2 = 225\)。
因为\(9^2 + 12^2 = 15^2\)，所以该三角形是直角三角形，两条直角边为 9m 和 12m。
面积为\(\frac{1}{2} 9 12 = 54\)（平方米）。
2. 工程中的直角构造
在建筑施工中，工人需要确定一个直角来保证墙体垂直。他们可以利用勾股数，选取长度为 3m、4m、5m 的绳子，将 3m 和 4m 的绳子一端固定在同一点，另一端分别固定在地面上，再调整 5m 绳子的位置，使三段绳子恰好构成三角形，此时 3m 和 4m 绳子的夹角即为直角。
3. 几何图形中的判定
例：在四边形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，CD = 12，DA = 13，且∠B = 90°，求四边形 ABCD 的面积。
解：
连接 AC，在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，AB = 3，BC = 4，根据勾股定理，AC^2 = 3^2 + 4^2 = 25，所以 AC = 5。
在△ACD 中，AC = 5，CD = 12，DA = 13，因为\(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\)，所以△ACD 是直角三角形，∠ACD = 90°。
四边形 ABCD 的面积 = Rt△ABC 的面积 + Rt△ACD 的面积 = \(\frac{1}{2} 3 4 + \frac{1}{2} 5 12 = 6 + 30 = 36\)。
六、常见误区
1. 忽略边长大小关系
在应用逆定理时，未先确定最长边，直接随意选取两条边计算平方和，导致判断错误。例如，对边长为 5、12、13 的三角形，若误算\(5^2 + 13^2\)与\(12^2\)的关系，会得出错误结论。正确做法是先找出最长边（13），再计算较短两边（5、12）的平方和。
2. 混淆勾股定理与逆定理的适用场景
误用勾股定理判断三角形是否为直角三角形，或用逆定理计算直角三角形的边长。需明确：勾股定理用于 “已知直角三角形求边长”，逆定理用于 “已知边长判定是否为直角三角形”。
3. 非整数边长的判定错误
认为只有整数边长才能构成直角三角形，忽略非整数边长的情况。例如，边长为\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt{2}\)、2 的三角形，满足\((\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4 = 2^2\)，是直角三角形，但边长并非整数。
4. 误判 “边所对的角”
在判定为直角三角形后，错误认为任意角是直角，而未明确最长边所对的角才是直角。例如，边长为 6、8、10 的三角形中，直角是 10 所对的角，而非 6 或 8 所对的角。
七、总结
勾股定理的逆定理为我们提供了一种通过边长关系判定直角三角形的有效方法，其核心是 “若三角形三边满足\(a^2 + b^2 = c^2\)（\(c\)为最长边），则该三角形是直角三角形”。通过本节的学习，我们掌握了逆定理的内容、验证方法和应用步骤，了解了勾股数的概念及常见类型，并能运用这些知识解决实际问题。
在使用逆定理时，需注意先确定最长边，准确计算平方和，避免因步骤错误导致判断失误。同时，要区分勾股定理与逆定理的不同适用场景，灵活运用它们解决几何问题。直角三角形的判定是几何学习的重要基础，将为后续学习四边形、圆等知识提供有力支持。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.2 一定是直角三角形吗
第一章 勾股定理
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过学习勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念，能根据所给定三角形三边的条件判断三角形是不是直角三角形，发展应用意识．
2．通过经历勾股定理的逆向思维所推出的勾股定理逆定理的理解过程，发展学生的抽象思维能力、归纳能力．
3．通过体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣，发展模型观念．
重点
难点
情境导入
同学们：小红没有量角的工具，只有一把能测量长度的尺，你能不能帮小红判断一个三角形的形状？带着这个问题开始今天的学习之旅吧!
视频导入
请同学们观看有关勾股定理逆定理发源史的视频
　据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角.
这种方法对吗？
知识点 1
勾股定理的逆定理
3
4
5
三边分别为3，4，5，
满足关系：32+42=52，
则该三角形是直角三角形．
探究新知
问题1 用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
是
做一做 下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形(单位：cm).
① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17．
探究新知
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5,12,13满足52+122=132,
② 7,24,25满足72+242=252,
③ 8,15,17满足82+152=172.
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
因为32+42=52，所以满足.
a2+b2=c2
探究新知
我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.
我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.
问题4 据此你有什么猜想呢
由上面几个例子，我们猜想：
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
探究新知
已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，
并且a2+b2=c2.
A
B
b
c
证明：作 A1B1C1
在△ABC和△A1B1C 1中，
C
a
求证：∠C=90°.
使∠C1=90°
根据勾股定理，则有
所以∠C=∠C1
=90°.
B
A
B1C1=a，C1A1=b,
A1B1 2=B1C1 2+C1A1 2=a2+b2
因为a2+b2=c2
所以A1B1 =c，
所以AB=A1B1
≌
所以 ABC
A1B1C1，
a
b
C1
A1
B1
BC=B1C1
CA=C1A1
AB=A1B1
探究新知
符号语言：
在△ABC中，
若a2 + b2 = c2
则△ABC是直角三角形.
提示：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
b
c
C
a
B
A
勾股定理的逆定理：
探究新知
例 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1) a=15，b=20，c=25;
解：(1)因为152+202=625，252=625，所以152+202=252，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.
(2) a=13 ，b=14，c=15.
(2)因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形.
素养考点 1
利用勾股定理的逆定理判断直角三角形
点拨：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
探究新知
下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( )
A. 1,2,3 B. 2,3,4
C. 4,5,6 D. 6,10,8
D
变式训练
巩固练习
一个零件的形状如下图(左)所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如下图(右)所示,这个零件符合要求吗
勾股定理的逆定理的应用
知识点 2
例
探究新知
分析：如果三角形三边之间的关系存在着a2+b2=c2,那么就可以判定是直角三角形.
解:在△ABD中,AB2+AD2=9+16=25=BD2,
所以△ABD是直角三角形,∠A是直角.
在△BCD中,BD2+BC2=25+144=169=CD2,
所以△BCD是直角三角形,∠DBC是直角.
因此,这个零件符合要求.
探究新知
方法点拨
勾股定理与其逆定理的关系:勾股定理是已知直角三角形,得到三边长的关系,它是直角三角形的重要性质之一;而勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系判断一个三角形是不是直角三角形,这是直角三角形的判定,也是判断两直线是否垂直的方法之一.二者的条件和结论刚好相反.
探究新知
如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流.
4
1
2
2
4
3
解:△ABE，△DEF，△FCB
均为直角三角形,
由勾股定理知
BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，
BF2=32+42=25,
所以BE2+EF2=BF2,
所以△BEF是直角三角形.
巩固练习
知识点 3
勾股数
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数：
3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； 10，24，26 等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
探究新知
下列各组数是勾股数的是 ( )
A.3，4，6 B.6，7，8
C.0.3，0.4，0.5 D.5，12，13
D
温馨提示：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
巩固练习
勾股定理
的逆定理
内容
作用
从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形.
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角.
勾股数一定是正整数
勾股数
知识点1 由三边关系确定直角三角形
1.［教材P11随堂练习T1变式］ ［2025西安新城区期末］ 以下列各组
数为边长，其中能构成直角三角形的是( )
C
A.2，3，4 B.6，7，8 C.8，15，17 D.9，24，25
返回
2.［教材习题变式］ 在中，若 ，则
( )
B
A. B.
C. D. 不是直角三角形
返回
3.若的三边长,,满足 ，则
是( )
A
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
返回
（第4题）
4. 为了增强学生的环保意识和生态
意识，某中学在植树节当天组织了植树活动。如
图,为了判断种的小树是否与地面垂直,种好树后,
小明从树干上的处拉了一根 长的绳子，刚
好到距离树的底部处的 处,测得
,则小树与地面______（填“垂直”或
“不垂直”）。
垂直
返回
5.如图，三个正方形的面积分别为，， ，则
分别以它们的一边为边围成的三角形中，____ 。
90
（第5题）
返回
6.如图，点在边长为13的正方形内， ，
，求出图中阴影部分的面积。
解：在中,因为 ,
，所以
,所以是直角三角形， 。所以 。
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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