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1.3 勾股定理的应用
勾股定理作为几何学的核心定理之一，不仅揭示了直角三角形的边际关系，更在现实生活中有着广泛的应用。从建筑施工到航海导航，从日常测量到空间计算，勾股定理都发挥着不可替代的作用。本节将通过具体实例，详细介绍勾股定理在不同场景中的应用方法，帮助你掌握将数学知识转化为解决实际问题的能力。
一、直角三角形的边长计算
勾股定理最直接的应用是已知直角三角形的两条边，求第三条边的长度。这类问题在测量、工程等领域极为常见，解题的关键是明确直角边和斜边的关系，灵活运用公式\(a^2 + b^2 = c^2\)及其变形。
1. 已知两条直角边求斜边
例 1：一个直角三角形的两条直角边分别为 5cm 和 12cm，求斜边的长度。
解：根据勾股定理\(a^2 + b^2 = c^2\)，其中\(a = 5\)，\(b = 12\)，则：\(c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\)
因此，\(c = \sqrt{169} = 13\)（cm）。
答：斜边的长度为 13cm。
2. 已知斜边和一条直角边求另一条直角边
例 2：一架梯子靠在墙上，梯子顶端到地面的距离（即一条直角边）为 8m，梯子的长度（斜边）为 10m，求梯子底部到墙的距离。
解：设梯子底部到墙的距离为\(a\)，根据勾股定理变形公式\(a^2 = c^2 - b^2\)，其中\(c = 10\)，\(b = 8\)，则：\(a^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36\)
因此，\(a = \sqrt{36} = 6\)（m）。
答：梯子底部到墙的距离为 6m。
3. 非整数边长的计算
例 3：一个直角三角形的一条直角边为\(3\sqrt{2}\)cm，另一条直角边为\(3\sqrt{2}\)cm，求斜边的长度。
解：根据勾股定理：\(c^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 9 2 + 9 2 = 18 + 18 = 36\)
因此，\(c = \sqrt{36} = 6\)（cm）。
答：斜边的长度为 6cm。
二、最短路径问题
在平面或立体图形中求最短路径时，勾股定理常常是关键工具。这类问题的核心是将曲面或折线转化为直角三角形的边，利用 “两点之间线段最短” 的原理，结合勾股定理计算最短距离。
1. 平面图形中的最短路径
例 4：如图，在一个长为 10m、宽为 6m 的长方形草坪中，A、B 分别是长方形的两个对角顶点，求从 A 到 B 的最短路径长度。
解：长方形的长和宽分别为直角三角形的两条直角边，从 A 到 B 的最短路径为长方形的对角线，即直角三角形的斜边。
根据勾股定理：\(AB^2 = 10^2 + 6^2 = 100 + 36 = 136\)
因此，\(AB = \sqrt{136} = 2\sqrt{34} 11.66\)（m）。
答：从 A 到 B 的最短路径长度约为 11.66m。
2. 立体图形中的最短路径
例 5：如图，有一个圆柱形油罐，底面周长为 12m，高为 5m。一只蚂蚁要从油罐底部的 A 点爬到顶部的 B 点（A、B 在同一母线上），求蚂蚁爬行的最短路径长度。
解：将圆柱侧面沿母线展开为一个长方形，长方形的长为底面周长 12m，宽为圆柱的高 5m。此时，蚂蚁的最短路径为长方形的对角线。
根据勾股定理：
最短路径长度\(l^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169\)
因此，\(l = 13\)（m）。
答：蚂蚁爬行的最短路径长度为 13m。
三、航海与方位问题
在航海、航空等领域，勾股定理常用于计算船只或飞机的航行距离、方位角等。解决这类问题需要先根据方向角确定直角三角形的边，再运用勾股定理计算未知量。
1. 直线航行距离计算
例 6：一艘轮船从港口出发，向正东方向行驶了 15km 后，转向正北方向行驶了 20km，此时轮船与港口的直线距离是多少？
解：轮船的行驶路线构成直角三角形，正东方向的距离和正北方向的距离为两条直角边，轮船与港口的直线距离为斜边。
根据勾股定理：
距离\(d^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625\)
因此，\(d = 25\)（km）。
答：轮船与港口的直线距离是 25km。
2. 方位角与距离综合问题
例 7：一艘渔船在海上作业，先从 A 点向东北方向行驶了\(10\sqrt{2}\)海里到达 B 点，再从 B 点向东南方向行驶了 10 海里到达 C 点，求 A、C 两点之间的距离。
解：东北方向和东南方向的夹角为 90°，因此 AB、BC 为直角三角形的两条直角边。
AB = \(10\sqrt{2}\)海里，BC = 10 海里，根据勾股定理：\(AC^2 = (10\sqrt{2})^2 + 10^2 = 200 + 100 = 300\)
因此，\(AC = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} 17.32\)（海里）。
答：A、C 两点之间的距离约为 17.32 海里。
四、建筑与工程问题
在建筑施工、桥梁设计等工程中，勾股定理常用于测量直角、计算构件长度、验证结构稳定性等。这类问题需要结合实际场景，将复杂结构简化为直角三角形模型。
1. 直角验证与施工定位
例 8：建筑工人在砌墙时，需要确保墙角为直角。他们用一根长 25m 的绳子，按 3:4:5 的比例分成三段，分别为 7.5m、10m、7.5m，如何用这根绳子确定直角？
解：根据勾股数 3、4、5 的比例，7.5m、10m、12.5m（原数据修正：25m 按 3:4:5 分配应为 7.5m、10m、12.5m）满足\(7.5^2 + 10^2 = 56.25 + 100 = 156.25 = 12.5^2\)。
操作方法：将绳子的两个端点固定在墙角的两个点，使两段长度分别为 7.5m 和 10m，拉紧绳子的 12.5m 段，若恰好贴合墙角，则墙角为直角。
2. 高层建筑高度测量
例 9：为测量一座高楼的高度，测量人员在距离楼底 30m 的地方架设测角仪，测角仪的高度为 1.5m，测得楼顶的仰角为 45°（视线与水平线的夹角），求高楼的高度。
解：视线、水平线和高楼构成直角三角形，水平距离为 30m（直角边），视线与高楼的垂直距离等于水平距离（因仰角为 45°），因此高楼高度 = 垂直距离 + 测角仪高度 = 30 + 1.5 = 31.5（m）。
答：高楼的高度为 31.5m。
五、动态与折叠问题
在几何动态问题或图形折叠问题中，勾股定理常用于求解动点运动距离、折叠后线段长度等。这类问题需要抓住图形变化中的不变量，构建直角三角形模型。
1. 折叠问题中的边长计算
例 10：如图，将长方形 ABCD 沿对角线 AC 折叠，点 B 落在点 B' 处，B'C 与 AD 交于点 E。若 AB = 4，BC = 8，求 AE 的长度。
解：设 AE = \(x\)，则 DE = 8 - \(x\)。
由折叠性质知∠B'CA = ∠BCA，又 AD∥BC，∠DAC = ∠BCA，因此∠B'CA = ∠DAC，故 CE = AE = \(x\)。
在 Rt△CDE 中，\(CE^2 = CD^2 + DE^2\)，即\(x^2 = 4^2 + (8 - x)^2\)。
展开得：\(x^2 = 16 + 64 - 16x + x^2\)，化简得 16x = 80，解得\(x = 5\)。
答：AE 的长度为 5。
2. 动点问题中的距离计算
例 11：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，点 P 从点 A 出发沿 AC 向点 C 运动，速度为 1 单位 / 秒，同时点 Q 从点 C 出发沿 CB 向点 B 运动，速度为 2 单位 / 秒。经过多少秒后，PQ 的长度为\(2\sqrt{10}\)？
解：设经过\(t\)秒后，PQ = \(2\sqrt{10}\)。
此时 AP = \(t\)，PC = 6 - \(t\)，CQ = 2\(t\)。
在 Rt△PCQ 中，\(PC^2 + CQ^2 = PQ^2\)，即\((6 - t)^2 + (2t)^2 = (2\sqrt{10})^2\)。
展开得：36 - 12t + \(t^2\) + 4\(t^2\) = 40，化简得 5\(t^2\) - 12t - 4 = 0。
解得\(t = 2\)或\(t = -\frac{2}{5}\)（舍去）。
答：经过 2 秒后，PQ 的长度为\(2\sqrt{10}\)。
六、应用勾股定理的注意事项
1. 明确直角三角形的前提
勾股定理仅适用于直角三角形，在应用前需先确认三角形是否为直角三角形，避免在非直角三角形中盲目套用公式。
2. 准确区分直角边和斜边
在计算时，需明确哪条边是斜边（最长边），哪条边是直角边，避免因边的属性混淆导致公式误用（如将斜边当作直角边代入\(a^2 + b^2\)）。
3. 单位统一与结果合理性
在实际问题中，需确保所有边长的单位统一，计算结果需符合实际场景（如长度为正数、距离不超过最大值等），必要时对结果进行检验。
4. 转化复杂问题为直角三角形模型
面对曲面、折线等复杂图形时，要善于通过展开、分割、构造等方法，将问题转化为直角三角形问题，再运用勾股定理求解。
七、总结
勾股定理的应用贯穿于几何计算和实际问题解决的多个领域，其核心是通过构建直角三角形模型，利用 “两条直角边的平方和等于斜边的平方” 这一关系求解未知量。无论是简单的边长计算、最短路径求解，还是复杂的动态折叠问题，只要抓住直角三角形的边际关系，灵活运用公式变形，就能找到解决问题的突破口。
在应用勾股定理时，需注意明确直角三角形的前提、区分边的属性、统一单位，并注重将实际问题转化为数学模型。通过不断练习和总结，你将能熟练运用勾股定理解决各类问题，体会数学与现实生活的紧密联系。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.3 勾股定理的应用
第一章 勾股定理
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题，发展学生的应用能力．
2．通过观察图形、探索图形间的关系，发展学生的空间观念，在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力，渗透数学建模的思想．教学重难点教学重点,立体图形、平面图形中的最短路径问题，构造直角三角形．
重点
难点
旧识回顾
1．勾股定理的内容是什么？
2．勾股定理的逆定理的内容是什么？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋ b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
问题导入
“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺,引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边。请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
以小组为单位,研究蚂蚁在圆柱体的A点沿侧面爬行到B点的问题.
讨论 1.蚂蚁怎样沿圆柱体侧面从A点爬行到B点？
2.有最短路径吗？若有，哪条最短？你是怎样找到的？
B
A
我要从A点沿侧面爬行到B点，怎么爬呢？大家快帮我想想呀！
知识点 1
利用勾股定理解答最短路径问题
B
A
d
A
B
A'
A
B
B
A
O
想一想
蚂蚁走哪一条路线最近？
A'
蚂蚁A→B的路线
探究新知
若已知圆柱体高为12 cm，底面周长为18 cm，则:
B
A
r
O
12
侧面展开图
12
18÷2
A
B
小结：立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.
A'
A'
AB2=122+(18÷2)2 所以AB=15.
探究新知
例1 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米 (已知油罐的底面半径是2m，高AB是5m，π取3）
A
B
A
B
A'
B'
解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离.
因为AA'=2×3×2=12, A'B'=5m,
所以AB'=13m. 即梯子最短需13米.
素养考点 1
利用勾股定理解决圆柱体的最短路线问题
探究新知
数学思想：
立体图形
平面图形
转化
展开
探究新知
如图所示,一个圆柱体高20cm,底面半径为5cm,在圆柱体下底面的A点处有一只蜘蛛,它想吃到上底面与A点相对的B点处的一只已被粘住的苍蝇,这只蜘蛛从A点出发,沿着圆柱体的侧面爬到B点,最短路程是多少 (π取3)
3　勾股定理的应用
变式训练
巩固练习
解:如图所示,将圆柱侧面沿AC剪开并展平,连接AB,则AB的长即为蜘蛛爬行的最短路程.
根据题意得AC=20 cm,BC=×2×π×5=15(cm).
在△ABC中,∠ACB=90°,由勾股定理得
AB2=BC2+AC2=152+202=252,
所以AB=25 cm,最短路程是25cm.
3　勾股定理的应用
巩固练习
B
牛奶盒
A
例2 学习了最短问题，小明灵机一动，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程吗？
6cm
8cm
10cm
素养考点 2
利用勾股定理解决长方体的最短路线问题
探究新知
长
方
体
爬
行
路
径
A
B
F
E
H
G
A
B
C
D
E
F
G
H
前（后）
上（下）
A
B
C
D
E
F
G
H
B
C
G
F
E
H
A
B
C
D
E
F
G
H
右（左）
上（下）
前（后）
右（左）
B
C
A
E
F
G
分析
探究新知
B
B1
8
A
B2
6
10
B3
AB12=102 +（6+8）2=296
AB22= 82 +（10+6）2=320
AB32= 62 +（10+8）2=360
因为360＞320＞296
所以AB1 最短.
探究新知
A
B
点A和点B分别是棱长为10cm的正方体盒子上相对的两点,一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行,所走最短路程的平方是多少？
前
上
A
B
A
B
左
上
A
B
前
右
变式训练
巩固练习
A
B
C
解:如图所示
在Rt△ABC中,利用勾股定理可得，
AB 2=AC2+BC2
=20 2+102
=500
10
10
10
所以AB2=500.
巩固练习
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.
（1）你能替他想办法完成任务吗？
解:连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可.
AB2+BC2=AC2
△ABC为直角三角形
知识点 2
利用勾股定理的逆定理解答实际问题
探究新知
（2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？
解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，
得∠DAB=90°，AD边垂直于AB边.
探究新知
（3）若随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？
解:在AD上取点M,使AM=9,
在AB上取点N使AN=12,
测量MN是否是15，是，就是垂直；
不是，就是不垂直.
探究新知
例 如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB=DC=8m，AD=BC=6m，AC=9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？
解：因为AB=DC=8m，AD=BC=6m，
所以AB2+BC2=82+62=64+36=100.
又因为AC2=92=81，
所以AB2+BC2≠AC2，∠ABC≠90°，
所以该农民挖的不合格．
素养考点 1
利用勾股定理的逆定理解答测量问题
探究新知
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长.
故滑道AC的长度为5m.
解：设滑道AC的长度为x m，则AB的长也为x m，
AE的长度为（x-1）m.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
由勾股定理得AE2+CE2=AC2，
即（x-1）2+32=x2，
解得x=5.
例
知识点 3
利用勾股定理解答长度问题
探究新知
解：连接BD.
在Rt△ABD中,由勾股定理得 BD2=AB2+AD2，
所以BD=5cm.又因为CD=12cm，BC=13cm,
所以BC2=CD2+BD2，所以△BDC是直角三角形.
所以S四边形ABCD=SRt△BCD-SRt△ABD=BD CD-AB AD
= ×(5×12-3×4)=24 (cm2)．
C
B
A
D
例 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.
素养考点 1
利用勾股定理的逆定理解答面积问题
探究新知
知识点1 勾股定理的应用
（第1题）
1.如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条
长的电缆，则地面固定点到电线杆底部 的距离为
( )
A
A. B. C. D.
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（第2题）
2.［2025西工大附中月考］如图，圆柱形杯子底面直径为
，高为。将一根长 的木棒斜放在杯子中，
设木棒露在杯子外面的长度为，则 的最小值是( )
B
A.9 B.11 C.12 D.14
返回
3.［教材 例题变式］ 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计
算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中 ，
于点，尺，尺。设的长度为 尺，可列
方程为____________________。
返回
4.［教材尝试·思考变式］ 如图，将长方形折叠，使点 与点
重合，折痕为，，，则的长为___ 。
9
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5.［2025西安铁一中月考］如图，小明为了测得学校旗
杆 的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面
点，此时，点到旗杆底部点的距离为 ，他又
将旗绳拉直到旗杆底部点，此时，绳子多出一截 ，
量得多出部分的长度为 ，请你帮他计算出旗杆的高
度。
解：设旗杆的高度为，则 ，
在中，由勾股定理得，解得 。
答：旗杆的高度为 。
返回
勾股定理及逆定理的应用
应用
最短路径问题
方法
认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题
解决不规则图形面积问题
测量问题
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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