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2.1 认识实数
在学习了有理数之后，我们发现有些数无法用有理数表示，比如正方形对角线的长度、圆的周长与直径的比值等。为了描述这些数，我们引入了实数的概念。实数是数学中最基本的数系之一，它包含了有理数和无理数，是解决更复杂数学问题的基础。本节将带你走进实数的世界，了解实数的概念、分类、性质以及实数与数轴的关系。
一、实数的概念
1. 有理数的局限性
我们知道，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，任何一个有理数都可以表示为两个整数的比值，即形如\(\frac{p}{q}\)（\(p\)、\(q\)为整数，\(q 0\)）。然而，在实际生活和数学研究中，我们会遇到一些不能用有理数表示的数。例如：
边长为 1 的正方形，其对角线的长度为\(\sqrt{2}\)，它无法表示为两个整数的比值。
圆的周长与直径的比值 π（圆周率），也不能表示为两个整数的比值。
这些数的发现，说明有理数系存在局限性，需要一个更完善的数系来包含它们，这个数系就是实数系。
2. 无理数的定义
无限不循环小数叫做无理数。无理数的特点是小数部分无限且不循环，它不能表示为两个整数的比值。常见的无理数有：
开方开不尽的数，如\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt{3}\)、\(\sqrt{5}\)等；
特定结构的无限不循环小数，如 0.1010010001…（每两个 1 之间依次多一个 0）；
圆周率 π 以及与 π 相关的数，如 2π、\(\frac{ }{2}\)等。
3. 实数的定义
有理数和无理数统称为实数。也就是说，实数是由所有有理数和无理数组成的数系，它涵盖了我们在初中阶段所学的所有数。
二、实数的分类
实数可以按照不同的标准进行分类，常见的分类方式有两种：按定义分类和按性质分类。
1. 按定义分类
**\(
°\begin{cases}
°\begin{cases}
°\begin{cases}
° \\
0 \\
è °
\end{cases} \\
°\begin{cases}
° \\
è °
\end{cases}
\end{cases} \\
°\begin{cases}
° \\
è °
\end{cases}
\end{cases}
\)
有理数：整数和分数的统称，都可以化为有限小数或无限循环小数。
无理数：无限不循环小数，不能化为分数形式。
2. 按性质分类
**\(
°\begin{cases}
°\begin{cases}
° \\
°
\end{cases} \\
0 \\
è °\begin{cases}
è ° \\
è °
\end{cases}
\end{cases}
\)
正实数：大于 0 的实数，包括正有理数和正无理数。
0：既不是正数也不是负数的实数。
负实数：小于 0 的实数，包括负有理数和负无理数。
3. 分类注意事项
有理数和无理数的根本区别在于是否能化为有限小数或无限循环小数，能化为的是有理数，不能化为的是无理数。
0 是有理数，也是实数中唯一既不是正数也不是负数的数。
所有的有理数都可以表示为分数形式，而无理数则不能。
三、实数的性质
实数具有与有理数类似的一些性质，同时也有其独特的性质，这些性质是我们进行实数运算和研究实数问题的基础。
1. 实数的有序性
实数可以比较大小，对于任意两个实数\(a\)、\(b\)，有且只有以下三种关系之一成立：
\(a > b\)；
\(a = b\)；
\(a < b\)。
比较实数大小的方法与比较有理数大小的方法类似：
正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；
两个正数比较大小，绝对值大的数大；
两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；
对于无理数，可以通过估算其近似值来比较大小，如比较\(\sqrt{2}\)和 1.5，因为\(\sqrt{2} 1.414 < 1.5\)，所以\(\sqrt{2} < 1.5\)。
2. 实数的稠密性
在任意两个不相等的实数之间，都存在着无数个实数，既有有理数也有无理数。这一性质称为实数的稠密性。例如，在 1 和 2 之间，有 1.1、1.2 等有理数，也有\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt{3}\)等无理数。
3. 实数的封闭性
实数对加、减、乘、除（除数不为 0）四则运算具有封闭性，即任意两个实数进行四则运算，其结果仍然是实数。具体来说：
两个实数的和是实数；
两个实数的差是实数；
两个实数的积是实数；
两个实数的商（除数不为 0）是实数。
需要注意的是，无理数的四则运算结果不一定是无理数，例如\(\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0\)，结果是有理数。
4. 实数的绝对值性质
实数的绝对值具有与有理数绝对值相同的性质：
正数的绝对值是它本身；
负数的绝对值是它的相反数；
0 的绝对值是 0。
即对于任意实数\(a\)，有：\(
|a| = \begin{cases}
a, & a > 0 \\
0, & a = 0 \\
-a, & a < 0
\end{cases}
\)
绝对值的非负性：任意实数的绝对值都是非负数，即\(|a| \geq 0\)。当且仅当\(a = 0\)时，\(|a| = 0\)。
四、实数与数轴的关系
1. 实数与数轴上的点一一对应
我们知道，每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的点并不都表示有理数。事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的关系。
这一关系的建立，将抽象的实数与直观的数轴联系起来，为我们研究实数的性质和运算提供了几何直观。例如，实数的大小关系可以通过数轴上对应点的位置关系来体现：数轴上右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。
2. 无理数在数轴上的表示
虽然无理数是无限不循环小数，但我们可以通过几何方法在数轴上找到表示无理数的点。以\(\sqrt{2}\)为例：
作一个边长为 1 的正方形，其对角线的长度为\(\sqrt{2}\)；
以数轴的原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为表示\(\sqrt{2}\)的点。
同样地，我们可以表示出\(\sqrt{3}\)、\(\sqrt{5}\)等无理数在数轴上的位置。
五、实数的运算
实数的运算与有理数的运算类似，遵循相同的运算律和运算法则。
1. 实数的四则运算
加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 0；一个数同 0 相加，仍得这个数。
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即\(a - b = a + (-b)\)。
乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同 0 相乘，都得 0；几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
除法：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即\(a \div b = a \times \frac{1}{b}\)（\(b 0\)）；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。
2. 实数的乘方与开方运算
乘方：求\(n\)个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在\(a^n\)中，\(a\)叫做底数，\(n\)叫做指数，\(a^n\)读作 “\(a\)的\(n\)次幂” 或 “\(a\)的\(n\)次方”。正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是 0。
开方：开方是乘方的逆运算。求一个数的平方根的运算叫做开平方，求一个数的立方根的运算叫做开立方。
平方根：如果一个数的平方等于\(a\)，那么这个数叫做\(a\)的平方根。正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。
立方根：如果一个数的立方等于\(a\)，那么这个数叫做\(a\)的立方根。正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0。
3. 实数的运算律
实数的运算律与有理数的运算律相同，包括：
加法交换律：\(a + b = b + a\)；
加法结合律：\((a + b) + c = a + (b + c)\)；
乘法交换律：\(a \times b = b \times a\)；
乘法结合律：\((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\)；
乘法分配律：\(a \times (b + c) = a \times b + a \times c\)。
这些运算律可以帮助我们简化实数的运算。
六、实数的应用
实数在实际生活中有着广泛的应用，例如：
测量长度、面积、体积等时，常常需要用到实数，如测量一个圆形花坛的直径为 5 米，其半径为 2.5 米，周长为\(5 \)米，面积为\(6.25 \)平方米。
在科学计算中，实数是必不可少的，如计算物体的运动速度、加速度等物理量时，需要用到实数进行精确计算。
在金融领域，实数用于计算利息、汇率等，如银行存款的年利率为 2.75%，存入 10000 元，一年后的利息为\(10000 2.75\% = 275\)元。
七、常见误区
1. 对无理数概念理解不清
误区：认为无限小数都是无理数，或者带根号的数都是无理数。
解析：无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数；带根号的数不一定是无理数，如\(\sqrt{4} = 2\)是有理数，只有开方开不尽的带根号的数才是无理数。
2. 实数与数轴的对应关系理解错误
误区：认为数轴上的点都表示有理数，或者有理数都可以用数轴上的点表示，而无理数不能。
解析：数轴上的点既可以表示有理数，也可以表示无理数，实数与数轴上的点是一一对应的关系，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，数轴上的每一个点也都表示一个实数。
3. 实数运算错误
误区：在进行实数运算时，忽略运算顺序或运算律的应用，导致计算错误。
解析：实数运算应遵循 “先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里面的；同级运算从左到右依次进行” 的顺序，同时合理运用运算律可以简化运算，提高计算的准确性。
八、总结
实数是有理数和无理数的统称，它具有有序性、稠密性、封闭性等性质，与数轴上的点一一对应。实数的运算与有理数的运算类似，遵循相同的运算律和运算法则。通过本节的学习，我们了解了实数的概念、分类、性质以及实数与数轴的关系，掌握了实数的基本运算方法。
实数是数学的基础，在后续的学习中，我们将进一步学习实数的更高级运算和应用，如二次根式的运算、函数等。希望通过对实数的学习，你能建立起对数学数系的完整认识，为今后的数学学习打下坚实的基础。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.1 认识实数
第二章 实数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过阅读课本，了解无理数的概念；会区分有理数与无理数，发展推理能力．
2．通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性，尝试用计算器对无理数进行计算并感知，发展学生的理解能力．
3．通过小组交流讨论与探索活动，充分调动学生参与的积极性，发展合作精神与钻研精神．
重点
难点
旧识回顾
什么叫有理数？
整数(正整数、0、负整数)和分数统称为有理数
把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形
剪一剪 拼一拼
1
1
1
1
探究一: 下面请同学们拿出准备好的两个边长为1的小正方形
探究新知
知识点 1
利用拼图发现非有理数
1
1
方 法 一
探究新知
思考:设大正方形的边长为a,则a满足什么条件
方
法
二
探究新知
a2=2
2.a可能是分数吗？说说你的理由.
探究二：
1.a可能是整数吗？说说你的理由.
探究新知
a2=2
a
因为a2=2，1所以a一定不是整数；
因为×=， ×=，…
所以a一定不是分数.
在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，那么一定不是有理数.
探究新知
即两个相同最简分数的乘积仍是分数.
a2=2
a
归纳总结
有理数包括：整数和分数.
如果一个数既不是整数也不是分数，
那么这个数不是有理数.
在a2=2中，a不是有理数.
探究新知
例 如图，有一个由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪拼成一个正方形．则拼成的正方形的面积是多少？这个正方形的边长是有理数吗？
解：因为小正方形的边长为1，
所以每个小正方形的面积为1，
所以拼成的正方形的面积为 5×1=5.
因为找不到平方等于5的有理数，
所以这个正方形的边长不是有理数．
探究新知
素养考点 1
非有理数的识别
提示：解决本题的关键是理解五个小正方形的面积的和就是拼成的正方形的面积．
(1)如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
(2)设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？b是有理数吗？
解：b2=5.
①因为22=4，32=9，4＜5＜9，所以b不可能是整数.
②没有两个相同的分数相乘得5，故b不可能是分数.
③因为没有一个整数或分数的平方为5，所以b不是有理数.
探究新知
知识点 2
利用勾股定理发现非有理数
解：两条直角边分别为1和2，根据勾股定理，得12+22=5，
所以正方形的面积是5.
例 如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AC=6，AD=5，问：CD可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？
解：在Rt△ACD中，AC为斜边，AC=6，
AD=5，所以CD2=AC2-AD2=11.
因为11是质数，大于1的整数的平方都是合数，所以11不能写成一个整数的平方，所以CD不可能是整数．
因为最简分数的平方仍是分数，所以CD不可能是分数．所以CD不可能是有理数．
素养考点 1
利用勾股定理识别非有理数
探究新知
知识点1 非有理数的发现
1.若,则 为( )
D
A.整数 B.分数 C.有理数 D.以上都不是
返回
2.在中， ，,,所对的边分别为,, 。
（1）①当，时， ___；
②当，时， ____；
③当，时， _____。
3
16
0.64
（2）通过（1）中计算出的的值，我们知道：是整数的是____；
是分数的是____； 既不是整数，也不是分数的是____。（填序号）
②
③
①
返回
知识点2 非有理数的估算
3.小明想了解一个面积是5的正方形的边长 的近似值,首先,他通过计算
得到,，所以的整数部分是___。又因为 ,
,所以他得到____ ____。
2
2.2
2.3
返回
4.已知在中， ，，，则 的值在
( )
B
A.3.0与3.1之间 B.3.1与3.2之间 C.3.2与3.3之间 D.3.3与3.4之间
返回
5.估计面积等于7的正方形的边长 的值（结果精确到十分位）是( )
B
A.2.5 B.2.6 C.2.7 D.2.8
返回
6.［2025西安铁一中月考］下列各数中，不是有理数的是( )
C
A.面积为16的正方形的边长
B.体积为27的正方体的棱长
C.直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长
D.长为4,宽为3的长方形的对角线长
返回
（第7题）
7. ［2025北京丰台区校级期中］ 将相邻边
长分别为3和6的长方形按如图剪开，拼成一个正
方形，则该正方形的边长最接近整数( )
B
A.3 B.4 C.5 D.6
返回
非有理数的发现
拼图发现
首先通过拼图把几个小正方形拼成一个大正方形，然后利用面积发现非有理数
非有理数的识别
利用勾股定理发现非有理数
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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