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2.2 平方根（第 1 课时）
在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到各种有趣的问题。比如，已知一个正方形花坛的面积是 25 平方米，那它的边长是多少呢？又或者，一个数的平方等于 9，这个数是几？这些看似简单的问题，其实都与我们今天要学习的 “平方根” 知识紧密相关。通过这节课的学习，你将掌握一个全新的数学概念，为解决更多复杂的数学问题打下坚实基础。
一、情景引入
在我们的日常生活中，面积计算是很常见的。假设我们要为一个正方形的房间铺设地砖，已知房间面积为 16 平方米，那么每边地砖的边长应该是多少呢？
我们知道正方形的面积等于边长乘以边长。设边长为\(x\)米，可得\(x^2 = 16\)。因为\(4\times4 = 16\)，所以\(x = 4\)，即这个正方形房间的边长为 4 米。
类似这样，已知一个数的平方，求这个数的问题，在数学中十分常见。这就引出了我们今天要学习的重要概念 —— 平方根。
二、算术平方根的概念
（一）概念讲解
一般地，如果一个正数\(x\)的平方等于\(a\)，即\(x^2 = a\)，那么这个正数\(x\)就叫做\(a\)的算术平方根。记作 “\(\sqrt{a}\)”，读作 “根号\(a\)”。例如，因为\(5^2 = 25\)，所以 25 的算术平方根是 5，可表示为\(\sqrt{25} = 5\)。
特别地，我们规定：0 的算术平方根是 0，即\(\sqrt{0} = 0\) 。
（二）深入理解
被开方数的限制：从算术平方根的定义可以看出，只有非负数才有算术平方根。因为任何数的平方都不可能是负数，所以负数没有算术平方根。例如，在\(x^2 = -4\)中，找不到一个实数\(x\)满足这个等式，所以 -4 没有算术平方根。
唯一性：对于一个确定的非负数\(a\)，它的算术平方根是唯一的。比如，16 的算术平方根只能是 4，不会有其他的正数满足平方后等于 16 。
（三）例题解析
例 1：求下列各数的算术平方根：
（1）36 ；（2）\(\frac{9}{16}\) ；（3）0.25 。
解：（1）因为\(6^2 = 36\)，所以 36 的算术平方根是 6，即\(\sqrt{36} = 6\) 。
（2）因为\((\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}\)，所以\(\frac{9}{16}\)的算术平方根是\(\frac{3}{4}\)，即\(\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}\) 。
（3）因为\(0.5^2 = 0.25\)，所以 0.25 的算术平方根是 0.5，即\(\sqrt{0.25} = 0.5\) 。
三、算术平方根与平方的关系
（一）互逆运算
求一个非负数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算。我们通过平方运算知道\(7^2 = 49\)，那么反过来，49 的算术平方根就是 7，即\(\sqrt{49} = 7\) 。利用这种互逆关系，我们可以求一些非负数的算术平方根。
（二）利用互逆关系解题
例 2：已知\(\sqrt{x} = 9\)，求\(x\)的值。
解：因为求算术平方根与平方互为逆运算，\(\sqrt{x} = 9\)，那么\(x = 9^2 = 81\) 。
（三）思考与讨论
想一想：如果\(a\)的算术平方根是\(\sqrt{a}\)，那么\((\sqrt{a})^2\)等于多少呢？（\(a\geq0\)）
因为\(\sqrt{a}\)是\(a\)的算术平方根，根据算术平方根的定义，\((\sqrt{a})^2 = a\)（\(a\geq0\)） 。例如，\((\sqrt{10})^2 = 10\) 。
四、算术平方根的性质
（一）双重非负性
被开方数非负：在\(\sqrt{a}\)中，\(a\geq0\) 。这是因为前面提到负数没有算术平方根，只有非负数才有算术平方根。
算术平方根非负：\(\sqrt{a}\geq0\) 。也就是说，算术平方根一定是一个非负的数。比如\(\sqrt{25} = 5\gt0\)，\(\sqrt{0} = 0\) 。
（二）例题应用
例 3：已知\(\sqrt{x - 2} + \sqrt{y + 3} = 0\)，求\(x\)，\(y\)的值。
解：因为算术平方根具有非负性，即\(\sqrt{x - 2}\geq0\)，\(\sqrt{y + 3}\geq0\) 。而两个非负数的和为 0，只有当这两个非负数都为 0 时才成立。
所以可得\(\begin{cases}x - 2 = 0 \\ y + 3 = 0 \end{cases}\)
解得\(\begin{cases}x = 2 \\ y = -3 \end{cases}\)
（三）拓展延伸
思考：若\(\sqrt{a - 5} + (b + 2)^2 = 0\)，求\(a + b\)的值。
提示：因为一个数的平方也是非负的，即\((b + 2)^2\geq0\)，再结合算术平方根的非负性，同样可根据两个非负数和为 0 的性质来求解\(a\)，\(b\)的值，进而求出\(a + b\)的值。
五、课堂总结
算术平方根的概念：一般地，如果一个正数\(x\)的平方等于\(a\)，即\(x^2 = a\)，那么这个正数\(x\)就叫做\(a\)的算术平方根，记作 “\(\sqrt{a}\)”，读作 “根号\(a\)”，0 的算术平方根是 0 。
算术平方根与平方的关系：求非负数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆关系可以求非负数的算术平方根 。
算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性，即被开方数\(a\geq0\)，算术平方根\(\sqrt{a}\geq0\) 。
通过这节课的学习，我们对算术平方根有了初步的认识。在后续的学习中，我们还将深入探讨平方根的其他相关知识，以及如何运用平方根解决更多复杂的数学问题和实际生活中的问题。
六、课后作业
求下列各数的算术平方根：
（1）81 ；（2）\(\frac{25}{49}\) ；（3）1.44 ；（4）\(10^6\) 。
若\(\sqrt{x + 1} = 3\)，求\(x\)的值。
已知\(\sqrt{a - 1} + \sqrt{b - 4} = 0\)，求\(a + b\)的值。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2 平方根（第1课时）
第二章 实数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，发展运算能力．
2．会根据平方运算求某些非负数的算术平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维．
3．通过让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力；在合作交流等活动中，发展学生的合作精神和创新意识．
重点
难点
学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？
情境导入
一、请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：
x2= ，
y2= ，
z2= ，
w2= ．
2
3
4
5
知识点 1
算术平方根的概念和性质
x,y,z,w中哪些是有理数？哪些是无理数？你能表示它们吗？
已知一个正数，求这个正数的平方,这是平方运算.
正方形的边长/cm 1 2 0.5
正方形的面积/cm2
1
二、填表：
表1
讨论 你能从表1发现什么共同点吗？
4
0. 25
探究新知
正方形的面积/cm2 1 4 0.36
49
正方形的边长/cm
已知一个正数的平方，求这个正数.
表2
表1和表2中的两种运算有什么关系？
1
2
0.6
7
讨论 你能从表2发现什么共同点吗？
探究新知
规定：0的算术平方根是0，即=0.
探究新知
一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记为,读作“ 根号 a” .
a的算术平方根
互为
逆运算
平方根号
被开方数
读作：根号a
（a≥0）
怎么用符号来表示一个数的算术平方根？
(x≥0)
x2 = a
x =
探究新知
1.一个正数的算术平方根有几个？
0的算术平方根有1个，是0.
2.0的算术平方根有几个？
负数没有算术平方根.
3.-1有算术平方根吗？负数有算术平方根吗
一个正数的算术平方根有1个.
探究新知
解: (1)因为302=900， 所以900的算术平方根是30，即=30;
(2)因为12=1， 所以1的算术平方根是1，即=1；
求下列各数的算术平方根：
非平方数的算术平方根只能用根号表示
探究新知
(3)因为2= ，所以的算术平方根是，即=;
(4)14的算术平方根是.
求一个数的算术平方根
例
素养考点 1
(1) 900； (2) 1； (3) ； (4) 14．
求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）-．
解：（1） =7；
　（2） =；
　（3） =0.3；
　（4） - =-8．
变式训练
巩固练习
自由下落物体的高度h（米）与下落时间t（秒）的关系为h=4.9 t2．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
解:将h=19.6代入公式
h=4.9 t2,
得 t2 =4,所以t =2(秒).
即铁球到达地面需要2秒.
知识点 2
算术平方根的应用
探究新知
例
解:设每块地砖的边长为x m.由题意得
120x2= 10.8,
x2= 0.09
x =
x = 0.3
故每块地板砖的边长是0.3 m.
小明房间的面积是10.8 m2 ，房间地面恰由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？
巩固练习
1. 负数有算术平方根吗？
2. 是什么数？
3. 中的a可以取任何数吗？
也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数.负数不存在算术平方根，即当 a＜0时， 无意义.
知识点 3
算术平方根的双重非负性
的双重非负性
1.被开方数a≥0
2.a的算术平方根≥0
探究新知
例1 下列各式是否有意义，为什么？
（1） ；（2） - ；（3） ；（4） ．
解：
（1）无意义；
（4）有意义．
（3）有意义；
（2）有意义；
素养考点 1
算术平方根有意义的识别
探究新知
解: 因为|m-1| ≥0，≥0，又|m-1|+ =0,
所以 |m-1|=0，=0，所以m=1,n=-3,
所以m+n=1+(-3)=-2.
例2 若|m-1| + =0,求m+n的值.
总结：几个非负数的和为0，则每个数均为0，初中阶段学过的非负数有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根.
素养考点 2
利用非负性求字母的值
探究新知
知识点1 算术平方根的定义及其计算
1.［2025西安铁一中月考］9的算术平方根是( )
C
A. B. C.3 D.
返回
2.“的算术平方根是 ”，用式子表示为( )
C
A. B. C. D.
返回
3.若一个数的算术平方根是5，则这个数是( )
B
A. B.25 C. D.
返回
4.下列说法正确的是( )
A
A.因为 ,所以6是36的算术平方根
B.因为,所以 是36的算术平方根
C.因为,所以6和 都是36的算术平方根
D.以上说法都不对
返回
5.（1） 的算术平方根是__；
（2）［2024广安中考］ ___。
0
返回
6.求下列各数的算术平方根：
（1）0；
解： 。
（2）121；
解： 。
（3）1.96；
解： 。
（4） ；
解： 。
（5）10；
解： 。
（6） 。
解： 。
返回
知识点2 与 的性质
7.［教材P随堂练习T变式］ 计算：___,___,
___。
7
7
7
返回
算术平方根
算术平方根的概念
算术平方根的双重非负性
算术平方根的应用
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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