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2.2 平方根（第 2 课时）
在上一课时，我们初步认识了算术平方根，知道若一个正数\(x\)的平方等于\(a\)，即\(x^2 = a\)，那么这个正数\(x\)就叫做\(a\)的算术平方根，记作 “\(\sqrt{a}\)” 。那除了算术平方根，平方根还有哪些有趣的知识呢？让我们继续深入探究。
一、平方根的完整概念
（一）概念深入剖析
一般地，如果一个数\(x\)的平方等于\(a\)，即\(x^2 = a\)，那么这个数\(x\)就叫做\(a\)的平方根（或二次方根）。例如，因为\((\pm 3)^2 = 9\)，所以\(3\)和\(-3\)都是\(9\)的平方根 。
对比算术平方根，平方根的范围更广。正数\(a\)的算术平方根只是其平方根中的一个正根 。比如\(25\)的算术平方根是\(5\)，而\(25\)的平方根是\(\pm 5\) 。
（二）平方根的表示方法
一个正数\(a\)的平方根可记作 “\(\pm\sqrt{a}\)”，读作 “正负根号\(a\)” 。其中，“\(\sqrt{a}\)” 表示\(a\)的正平方根（即算术平方根），“\(-\sqrt{a}\)” 表示\(a\)的负平方根 。例如，\(16\)的平方根表示为\(\pm\sqrt{16}\)，因为\(\sqrt{16} = 4\)，所以\(16\)的平方根为\(\pm 4\) 。
（三）特殊数的平方根
正数的平方根：一个正数有两个平方根，它们互为相反数 。比如\(49\)，因为\(7^2 = 49\)，\(( - 7)^2 = 49\)，所以\(49\)的平方根是\(\pm 7\) 。这两个平方根一正一负，绝对值相等 。
0 的平方根：\(0\)的平方根是\(0\) 。因为\(0^2 = 0\)，且只有\(0\)自身平方后等于\(0\)，所以\(0\)的平方根具有唯一性 。
负数的平方根：在实数范围内，负数没有平方根 。因为任何实数的平方都不可能是负数，比如不存在一个实数\(x\)，使得\(x^2 = - 9\)成立 。
（四）例题解析
例 1：求下列各数的平方根：
（1）\(121\) ；（2）\(\frac{16}{81}\) ；（3）\(0.04\) 。
解：（1）因为\((\pm 11)^2 = 121\)，所以\(121\)的平方根是\(\pm 11\)，即\(\pm\sqrt{121} = \pm 11\) 。
（2）因为\((\pm\frac{4}{9})^2 = \frac{16}{81}\)，所以\(\frac{16}{81}\)的平方根是\(\pm\frac{4}{9}\)，即\(\pm\sqrt{\frac{16}{81}} = \pm\frac{4}{9}\) 。
（3）因为\((\pm 0.2)^2 = 0.04\)，所以\(0.04\)的平方根是\(\pm 0.2\)，即\(\pm\sqrt{0.04} = \pm 0.2\) 。
二、开平方运算
（一）开平方的定义
求一个数\(a\)的平方根的运算，叫做开平方 。开平方与平方互为逆运算 。例如，我们知道\(6^2 = 36\)，那么通过开平方运算，就可以得到\(36\)的平方根为\(\pm 6\) 。
（二）利用开平方与平方的互逆性解题
例 2：已知\(x^2 = 49\)，求\(x\)的值 。
解：因为\(x^2 = 49\)，求\(x\)就是对\(49\)进行开平方运算 。又因为\((\pm 7)^2 = 49\)，所以\(x = \pm 7\) 。
（三）思考与讨论
思考：对于方程\((x - 3)^2 = 16\)，如何求解\(x\)的值呢？
提示：可以把\((x - 3)\)看作一个整体，先对\(16\)进行开平方运算，得到\(\pm 4\)，即\(x - 3 = \pm 4\) 。然后分情况讨论：
当\(x - 3 = 4\)时，\(x = 4 + 3 = 7\) ；
当\(x - 3 = - 4\)时，\(x = - 4 + 3 = - 1\) 。
所以\(x\)的值为\(7\)或\(-1\) 。
三、平方根与算术平方根的区别和联系
（一）区别
个数不同：正数的平方根有两个，它们互为相反数；而正数的算术平方根只有一个，是正数 。例如，\(100\)的平方根是\(\pm 10\)，算术平方根是\(10\) 。
表示方法不同：平方根用 “\(\pm\sqrt{a}\)” 表示；算术平方根用 “\(\sqrt{a}\)” 表示 。
取值范围不同：平方根中，正数的平方根一正一负；算术平方根中，正数的算术平方根一定是正数，\(0\)的算术平方根是\(0\) 。
（二）联系
包含关系：算术平方根是平方根中的一个，正数\(a\)的正平方根就是它的算术平方根 。
被开方数的取值范围相同：无论是求平方根还是算术平方根，被开方数\(a\)都必须是非负数，即\(a\geq0\) 。因为负数在实数范围内没有平方根和算术平方根 。
（三）例题辨析
例 3：判断下列说法是否正确：
（1）\(5\)是\(25\)的算术平方根，也是\(25\)的平方根 。
（2）\(-6\)是\(36\)的平方根，也是\(36\)的算术平方根 。
（3）\(\sqrt{9}\)的平方根是\(\pm 3\) 。
解：（1）正确。因为\(5^2 = 25\)，所以\(5\)是\(25\)的算术平方根，同时\(25\)的平方根是\(\pm 5\)，所以\(5\)也是\(25\)的平方根 。
（2）错误。\(-6\)是\(36\)的平方根，因为\(( - 6)^2 = 36\)，但\(36\)的算术平方根是\(6\)，不是\(-6\) 。
（3）错误。先计算\(\sqrt{9} = 3\)，\(3\)的平方根是\(\pm\sqrt{3}\)，而不是\(\pm 3\) 。
四、课堂总结
平方根的概念：如果一个数\(x\)的平方等于\(a\)，即\(x^2 = a\)，那么这个数\(x\)叫做\(a\)的平方根 。正数有两个平方根，它们互为相反数；\(0\)的平方根是\(0\)；负数在实数范围内没有平方根 。正数\(a\)的平方根表示为 “\(\pm\sqrt{a}\)” 。
开平方运算：求一个数\(a\)的平方根的运算叫做开平方，它与平方运算是互逆运算 。利用这种互逆关系可以求解一些方程 。
平方根与算术平方根的区别和联系：区别在于个数、表示方法和取值范围；联系在于算术平方根是平方根中的一个，且被开方数都必须是非负数 。
通过这节课的学习，我们对平方根有了更全面的认识 。平方根在后续学习二次根式、一元二次方程等知识中有着重要的应用 。在课后，同学们要多做练习，加深对平方根概念和运算的理解 。
五、课后作业
求下列各数的平方根：
（1）\(225\) ；（2）\(\frac{49}{121}\) ；（3）\(0.64\) ；（4）\(10^{-4}\) 。
已知\((2x - 1)^2 = 81\)，求\(x\)的值 。
填空：
（1）\(144\)的平方根是______，算术平方根是______ 。
（2）\(\sqrt{81}\)的平方根是______，算术平方根是______ 。
（3）若一个数的平方根是\(\pm 5\)，则这个数是______ 。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2 平方根（第2课时）
第二章 实数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.了解平方根、 开平方的概念，明确算术平方根与平方根的区别和联系，发展抽象能力．
2．通过阅读课本，进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系，发展学生的推理能力．
3．通过经历平方根概念的形成过程，让学生不仅掌握概念，还巩固和提高所学知识的应用能力，发展应用意识．
重点
难点
旧识回顾
1．什么是算术平方根？
2．我们已经学习过哪些运算？哪些互为逆运算？
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根
加法、减法、乘法、除法、乘方．加法、减法互逆，乘法、除法互逆
问题 9的算术平方根是3，也就是说3的平方是9，还有其他数，
它的平方等于9吗？
3和-3有什么特征？
由于（-3）2=9 ，所以还有，这个数是-3.因此平方等于9的数有两个，3和-3.
3和-3互为相反数，会不会是巧合呢
知识点 1
平方根的概念和特征
(1) 0.8的平方等于0.64，那么0.64的算术平方根就是_____
(2) 的平方等于，那么的算术平方根就是____
(3) 展厅地面为正方形，其面积是49 m2，则其边长为___m.
0.8
7
探究新知
做一做，想一想
问题 平方等于0.64，，49的数还有吗？
写出左圈和右圈中的“？”表示的数：
-11
11
0.6
0
没有
x2
x
8
-8
？
？
？
？
？
？
？
？
？
？
-4
-0.6
64
121
0.36
0
探究新知
填一填，想一想
-
根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定的数.我们抽象出下述概念：
例如： (±1)2=1，1的平方根为±1.　
探究新知
一般地，如果有一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫作二次方根）.
1. 121的平方根是什么？
2. 0的平方根是什么？
4. -9有没有平方根？为什么？
0
没有，因为一个数的平方不可能是负数.
探究新知
3. 的平方根是什么？
±11
±
通过这些题目的解答，你能发现什么
问题 （1）正数有几个平方根？
（2）0有几个平方根？
（3）负数呢？
有没有一个数的平方是负数？
因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根.
探究新知
探究新知
归纳总结
平方根的性质：
1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.
2.0的平方根还是0.
3.负数没有平方根.
探究新知
根号
被开方数
根指数
可以省略
知识点 2
平方根的读法和表示
非负数a的平方根表示为：
正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根，另一个是-.它们互为相反数.这两个平方根合起来记作±，读作“正、负根号a”.
±
例如
探究新知
5的平方根表示为：
4的平方根表示为：
的平方根表示为：
0的平方根表示为:
规定:
0的平方根为0.
+=0.
-=0
±
±，
±=±
±，
±，±=±2
求下列各数的平方根:
(3) 0.0004
(5) 11
(4)
(2)
(1)64
(2)
探究新知
素养考点 1
求平方根
例
（-25）2
探究新知
（2）因为 ，所以 的平方根是
即 .
（3）因为(±0.02)2=0.0004 ，所以0.0004的平方根是±0.02,即
解: （1） 因为（±8）2=64 ，64的平方根为±8,
即 .
探究新知
（4）因为(±25)2=（-25）2，所以（-25）2的平方根是±25,即 .
（5）11的平方根是 .
求下列各数的平方根：
（1）81； （2） ； （3）0.49;
解：（1）因为 (±9)2=81，
（3）因为(±0.7)2=0.49，
所以0.49的平方根为±0.7．
所以81的平方根为±9．
巩固练习
即 .
（2）因为 ,
所以 的平方根是 ，
即 .
即 .
变式训练
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
平方
已知一个数，求它的平方的运算，叫作平方运算.
知识点 2
平方与开方的关系
探究新知
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
？运算
反之，已知一个数的平方，求这个数的运算是什么？
求一个数的平方根的运算叫作开平方.
探究新知
开平方与平方是什么关系？
a的平方根
底数
幂
被开方数
互为
逆运算
指数
根号
已知底数和指数求幂
已知幂和指数求底数
开平方运算
平方运算
探究新知
开平方与平方的对比填空
正数与零
任何数
幂
平方根
开方
平方
运算符号
适用范围
运算结果名称
性质
正数有 个平方根,它们是 ,零的平方根是 ,
负数 .
正数的平方是 数; 零的平方是 ; 负数的平方是 数.
正
正
0
2
互为相反数
0
没有平方根
探究新知
1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
平方根与算术平方根的联系与区别：
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3. 0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别：
1.个数不同：一个正数有两个平方根，
但只有一个算术平方根.
联系：
探究新知
2.表示法不同：平方根表示为：
而算术平方根表示为 .
例　求下列各式的值：
探究新知
素养考点 1
开平方的有关计算
解：（1） ；
（2） ；
（3） .
（1）
（2）
（3）
探究新知
小结
a
0
-a
(a>0)
(a=0)
(a<0)
不一定相等，只有当a≥0时，它们才相等.
当a<0 时， 没有意义.
之间有什么关系？一定相等吗？
与
知识点1 平方根的定义
1.［2024内江中考］16的平方根是( )
D
A. B.4 C.2 D.
返回
2.36的平方根是 的数学表达式是( )
D
A. B. C. D.
返回
3.下列各数中，没有平方根的是( )
D
A.10 B.0 C. D.
返回
4.下列说法正确的是( )
C
A.7是的平方根 B.40的平方根是
C.是6的一个平方根 D.的一个平方根是
返回
5.平方根等于本身的数是___。
0
返回
知识点2 开平方
6.如果，那么 的值为( )
C
A.3 B. C. D.9
返回
7.化简 的结果是( )
A
A. B. C. D.
返回
8.［2025西安高新区期中］下列化简正确的是( )
A
A. B.
C. D.
返回
9.若一个正数的两个平方根分别为，，则___, ____。
0
返回
平方根
平方根的概念
开平方及相关运算
平方根的性质
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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