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2.3.2 估算
在实际问题中，我们常常不需要知道一个数立方根的精确值，只需要了解它的大致范围或近似值。例如，已知一个正方体的体积是 50 立方米，我们可能只需要知道它的棱长大约是多少米。这就需要用到立方根的估算知识。本节将学习如何估算一个数的立方根，掌握估算的方法和技巧。
一、估算的依据
立方根的估算基于立方运算的单调性：当两个数\(a < b\)时，它们的立方也满足\(a^3 < b^3\)；反之，若\(a^3 < b^3\)，则\(a < b\)。这意味着立方根随着被开方数的增大而增大，是单调递增的。利用这一性质，我们可以通过找到两个已知立方数，将待估算的立方根 “夹” 在它们之间，从而确定其大致范围。
例如，因为\(3^3 = 27\)，\(4^3 = 64\)，而\(27 < 50 < 64\)，所以\(\sqrt[3]{27} < \sqrt[3]{50} < \sqrt[3]{64}\)，即\(3 < \sqrt[3]{50} < 4\)，由此可知\(\sqrt[3]{50}\)在 3 到 4 之间。
二、估算的步骤
（一）确定整数范围
找出与被开方数\(a\)最接近的两个立方数，设较小的立方数为\(m^3\)，较大的立方数为\((m + 1)^3\)，其中\(m\)为整数。
根据立方根的单调性，得到\(m < \sqrt[3]{a} < m + 1\)，从而确定\(\sqrt[3]{a}\)的整数部分是\(m\)。
（二）细化小数范围（可选）
如果需要更精确的估算，可以在整数范围的基础上进一步细化：
假设\(\sqrt[3]{a} = m + n\)，其中\(0 < n < 1\)，通过计算\((m + 0.1)^3\)、\((m + 0.2)^3\)…… 等值，与\(a\)进行比较。
找到两个相邻的小数\(p\)和\(p + 0.1\)，使得\((m + p)^3 < a < (m + p + 0.1)^3\)，则\(m + p < \sqrt[3]{a} < m + p + 0.1\)。
（三）例题解析
例 1：估算\(\sqrt[3]{40}\)的大小（精确到 0.1）。
解：
确定整数范围：因为\(3^3 = 27\)，\(4^3 = 64\)，且\(27 < 40 < 64\)，所以\(3 < \sqrt[3]{40} < 4\)，整数部分是 3。
细化小数范围：
计算\(3.4^3 = 3.4 3.4 3.4 = 11.56 3.4 = 39.304\)；
计算\(3.5^3 = 3.5 3.5 3.5 = 12.25 3.5 = 42.875\)；
因为\(39.304 < 40 < 42.875\)，所以\(3.4 < \sqrt[3]{40} < 3.5\)。
进一步精确：
计算\(3.42^3 = 3.42 3.42 3.42 11.6964 3.42 39.99\)，接近 40；
因此\(\sqrt[3]{40} 3.4\)（精确到 0.1）。
例 2：估算\(\sqrt[3]{-70}\)的大小（精确到整数）。
解：
先估算\(\sqrt[3]{70}\)的范围：因为\(4^3 = 64\)，\(5^3 = 125\)，且\(64 < 70 < 125\)，所以\(4 < \sqrt[3]{70} < 5\)。
根据立方根的性质\(\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}\)，可得\(\sqrt[3]{-70} = -\sqrt[3]{70}\)。
因此\(-5 < \sqrt[3]{-70} < -4\)，精确到整数，\(\sqrt[3]{-70} -4\)。
三、实际应用中的估算
（一）体积问题估算
例 3：一个正方体的包装盒体积是 100 立方厘米，估算这个正方体的棱长大约是多少厘米（精确到 0.1 厘米）。
解：设正方体的棱长为\(x\)厘米，则\(x^3 = 100\)，即\(x = \sqrt[3]{100}\)。
确定范围：\(4^3 = 64\)，\(5^3 = 125\)，所以\(4 < \sqrt[3]{100} < 5\)。
细化估算：
\(4.6^3 = 4.6 4.6 4.6 = 21.16 4.6 = 97.336\)；
\(4.7^3 = 4.7 4.7 4.7 = 22.09 4.7 = 103.823\)；
因为\(97.336 < 100 < 103.823\)，所以\(4.6 < \sqrt[3]{100} < 4.7\)。
进一步计算：\(4.64^3 4.64 4.64 4.64 21.5296 4.64 100.0\)，因此\(x 4.6\)厘米。
答：这个正方体的棱长大约是 4.6 厘米。
（二）判断立方根的取值范围
例 4：若\(n < \sqrt[3]{100} < n + 1\)，其中\(n\)为整数，求\(n\)的值。
解：因为\(4^3 = 64\)，\(5^3 = 125\)，且\(64 < 100 < 125\)，所以\(4 < \sqrt[3]{100} < 5\)。又因为\(n < \sqrt[3]{100} < n + 1\)，所以\(n = 4\)。
四、估算的注意事项
选择合适的参考数：估算时应选择与被开方数最接近的立方数作为参考，参考数越接近被开方数，估算结果越精确。例如，估算\(\sqrt[3]{28}\)时，选择\(3^3 = 27\)比选择\(2^3 = 8\)更合适，因为 27 与 28 更接近。
利用负数的性质：估算负数的立方根时，可先估算其绝对值的立方根，再根据\(\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}\)得到结果，避免符号出错。例如，估算\(\sqrt[3]{-30}\)时，先估算\(\sqrt[3]{30} 3.1\)，则\(\sqrt[3]{-30} -3.1\)。
明确精度要求：根据问题需求确定估算的精度，不需要盲目追求过高的精度。例如，只需判断一个数的立方根在哪两个整数之间时，无需计算小数部分；若要求精确到 0.1，则需要细化到小数点后一位。
验证估算结果：估算后可通过立方运算验证结果的合理性。例如，估算\(\sqrt[3]{50} 3.7\)，验证\(3.7^3 = 50.653\)，与 50 接近，说明估算合理。
五、常见误区
参考数选择不当：选择的立方数与被开方数差距过大，导致估算范围过宽，失去实际意义。例如，估算\(\sqrt[3]{90}\)时，若仅知道\(4^3 = 64\)和\(6^3 = 216\)，得到\(4 < \sqrt[3]{90} < 6\)，范围过宽，应选择更接近的\(4^3 = 64\)和\(5^3 = 125\)。
忽略负数符号：在估算负数的立方根时，错误地将其估算为正数，或符号处理混乱。例如，误算\(\sqrt[3]{-60} 3.9\)，而正确结果应为\(\sqrt[3]{-60} -3.9\)。
精度判断错误：对 “精确到某位” 的概念理解不清，例如将精确到 0.1 的\(\sqrt[3]{40}\)误写为 3.42，而 3.42 精确到了 0.01，超出了精度要求。
单调性应用错误：错误地认为立方根的大小与被开方数的大小关系不明确，导致范围判断错误。例如，误将\(\sqrt[3]{70}\)判断为小于 4，而实际上\(4^3 = 64 < 70\)，所以\(\sqrt[3]{70} > 4\)。
六、课堂总结
估算依据：立方根的单调性，即被开方数越大，立方根越大，反之亦然。
估算步骤：先确定立方根所在的整数范围，再根据需要细化到小数范围，通过与相邻立方数的比较确定近似值。
实际应用：在体积计算、取值范围判断等问题中，通过估算可以快速得到立方根的大致数值，满足实际需求。
注意事项：选择合适的参考数，正确处理负数的立方根，根据精度要求控制估算范围，并验证结果的合理性。
通过本节学习，我们掌握了立方根估算的方法，能够根据被开方数的大小估算出立方根的大致范围或近似值。估算能力是数学应用中的重要技能，它可以帮助我们在不需要精确计算的场景下快速解决问题，提高解题效率。希望同学们通过练习，熟练掌握估算技巧，灵活运用到实际问题中。
七、课后作业
估算下列各数的立方根（精确到 0.1）：
（1）\(\sqrt[3]{20}\) ；（2）\(\sqrt[3]{75}\) ；（3）\(\sqrt[3]{-90}\) 。
若\(k < \sqrt[3]{150} < k + 1\)（\(k\)为整数），求\(k\)的值。
一个正方体的铁块体积是 85 立方分米，估算这个正方体的棱长大约是多少分米（精确到 0.1 分米）。
比较下列各组数的大小：
（1）\(\sqrt[3]{30}\)和 3.2 ；（2）\(\sqrt[3]{-40}\)和 - 3.5 。
2024北师大版数学八年级上册
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2.3.2 估算
第二章 实数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过估算一个无理数的大致范围，会比较两个无理数的大小，会利用估算解决一些简单的实际问题，发展运算能力．
2．通过经历实际问题的解决过程和平方根、立方根的估算过程，发展估算意识和数感．
3．通过体会数学知识的实用价值，激发学生的学习热情，发展应用意识．
重点
难点
某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个以环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000米
1．公园的宽大约是多少？它有1000米吗？
2．如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？
3．该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800米 ，你能估计它的半径吗？（误差小于1米）
情境导入
某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000m2.
(1)公园的宽大约是多少？它有1 000m吗？
1000
2000
S=400000
2000×1000=2000000
>400000
公园的宽没有1 000m.
知识点 1
用估算确定无理数的大小
解:
某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000m2.
(2)如果要求结果精确到10m，它的宽大约是多少？
x
2x
S=400000
x×2x=400000
2x2=400000
x2=200000
探究新知
x=
大约为450m.
解:
(3)该公园中心有一个圆形花园，它的面积是800m2，你能估计它的半径吗？(结果精确到1m)
S=800
r
πr2=800
r2≈254.8
探究新知
解:
大约为16m.
r=
某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000m2.
1.怎样估算无理数 (误差小于0.1)？
夹逼法(逼迫原理)
探究新知
2.怎样估算无理数 (误差小于1)？
夹逼法
探究新知
3.估算无理数 (精确到个位数）？
夹逼法(逼迫原理)
探究新知
议一议
（1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流.
≈
0.66
≈
96
≈
60.4
(2) 你能估算 的大小吗？(结果精确到1）
不正确
不正确
不正确
探究新知
900
9< <10 729<900<1000
9.6< <9.7 884.736<900<912.673
9.65< <9.66 898.632125<900<901.428696
9.654< <9.655 899.750058264<900<900.029686375
… …
探究新知
(2) 你能估算 的大小吗？(结果精确到1）
1.估算无理数大小的方法：
（1）通过利用乘方与开方互为逆运算，采用“夹逼法”，确定真值所在范围；
（2）根据问题中误差允许的范围，在真值的范围内取出近似值.
探究新知
2. “精确到”与“误差小于”意义不同
如精确到1m是四舍五入到个位，答案唯一；
误差小于1m，答案在真值左右1m都符合题意，答案不唯一.
在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位.
例 估算 -3的值 (　　)
A.在1和2之间 B.在2和3之间
C.在3和4之间 D.在4和5之间
A
总结：估计一个有理数的算术平方根的近似值，必须先判断这个有理数位于哪两个数的平方之间.
探究新知
素养考点 1
算术平方根估算数值
解析：因为42<19<52,所以4< <5,所以1< -3<2.
故选A.
1.与 最接近的整数是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
C
巩固练习
2.估算 的值 (　　)
A.在5和6之间 B.在6和7之间
C.在7和8之间 D.在8和9之间
C
变式训练
试比较 与0.5 的大小.
探究新知
提示：比较数的大小，先估计其算术平方根的近似值.
解:
用估算比较两个数的大小
知识点 2
因为
所以
所以
通过估算比较下列各组数的大小：
(1) 与1.9； (2) 与1.5.
解：(1)因为5>4，所以 >2，所以 >1.9.
(2)因为6>4，所以 > 2，所以 > =1.5.
巩固练习
解：
答：当梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到5.6米高的墙头.
探究新知
知识点 3
估算的实际应用
设梯子高x米，则低端离墙 米，根据题意得：
因为5.62=31.36＜32,
所以x2=32
生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子的底端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定.现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6米高的墙头吗？
例
所以
小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来，正在发愁.你能帮小丽用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？Z
巩固练习
解:由题意知正方形纸片的边长为20cm.
设长方形的长为3x cm,则宽为2x cm.则有
3x·2x=300
x2=50
所以长方形的长为
因为50>49，所以
故小丽不能裁出符合要求的纸片.
巩固练习
知识点1 估算无理数的大小
1.［2024天津中考］估算 的值在( )
C
A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间
返回
2.与 最接近的整数是( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
返回
3.［2024资阳中考］若，则整数 的值为( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
返回
知识点2 用估算法比较数的大小
4.［2024山西中考］比较大小：___2（填“ ”“ ”或“ ”）。
返回
5.［教材P随堂练习T 变式］ 通过估算，比较下列各组数的大小：
（1） 与8.5；
解： 。
（2）与 ；
解： 。
（3）与 。
解： 。
返回
知识点3 用计算器进行开方运算
6.用计算器求下列各式的值（结果精确到 ）：
（1） _______；
（2） _________；
（3） _________；
（4） ______。
56.745
0.296
返回
7.用计算器比较下列各组数的大小：
（1）与 ；
解： 。
（2）与 。
解： 。
返回
估算
估算无理数大小的方法
利用估算比较两个数的大小
夹逼的思想
估算的实际应用
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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