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2.3 立方根
在学方根之后，我们自然会思考：对于立方运算，是否也存在类似的逆运算呢？比如，已知一个正方体的体积是 8 立方米，如何求出它的棱长？这就需要用到我们今天要学习的 “立方根” 知识。立方根与平方根既有联系又有区别，通过本节的学习，我们将全面认识立方根的概念、性质和运算。
一、立方根的概念
（一）概念引入
我们知道，正方体的体积公式为 “体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长”。如果一个正方体的体积是 27 立方米，设它的棱长为\(x\)米，那么可得\(x^3 = 27\)。因为\(3 3 3 = 27\)，所以这个正方体的棱长是 3 米。这里的 3 就是 27 的立方根。
（二）定义讲解
一般地，如果一个数\(x\)的立方等于\(a\)，即\(x^3 = a\)，那么这个数\(x\)就叫做\(a\)的立方根（或三次方根）。例如，因为\(4^3 = 64\)，所以 4 是 64 的立方根；因为\((-2)^3 = -8\)，所以 - 2 是 - 8 的立方根。
（三）表示方法
一个数\(a\)的立方根记作 “\(\sqrt[3]{a}\)”，读作 “三次根号\(a\)”，其中\(a\)叫做被开方数，3 叫做根指数。例如，27 的立方根记作\(\sqrt[3]{27}\)，因为\(3^3 = 27\)，所以\(\sqrt[3]{27} = 3\)；-8 的立方根记作\(\sqrt[3]{-8}\)，因为\((-2)^3 = -8\)，所以\(\sqrt[3]{-8} = -2\)。
需要注意的是，平方根的根指数是 2，通常可以省略不写（如\(\sqrt{a}\)），但立方根的根指数是 3，不能省略。
二、立方根的性质
（一）正数的立方根
正数的立方根是正数。因为正数的立方是正数，所以正数有且只有一个正的立方根。例如，125 的立方根是 5，因为\(5^3 = 125\)，且不存在其他数的立方等于 125。
（二）0 的立方根
0 的立方根是 0。因为\(0^3 = 0\)，所以\(\sqrt[3]{0} = 0\)，0 的立方根只有一个，就是它本身。
（三）负数的立方根
负数的立方根是负数。在实数范围内，负数没有平方根，但负数有立方根，且立方根是负数。例如，-64 的立方根是 - 4，因为\((-4)^3 = -64\)。这是立方根与平方根的重要区别之一。
（四）唯一性
与平方根不同，任何一个实数都有且只有一个立方根。无论是正数、0 还是负数，它们的立方根都是唯一的。这是立方根的一个重要特性。
（五）例题解析
例 1：求下列各数的立方根：
（1）64 ；（2）\(-\frac{1}{8}\) ；（3）0.008 。
解：（1）因为\(4^3 = 64\)，所以 64 的立方根是 4，即\(\sqrt[3]{64} = 4\) 。
（2）因为\((-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8}\)，所以\(-\frac{1}{8}\)的立方根是\(-\frac{1}{2}\)，即\(\sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\frac{1}{2}\) 。
（3）因为\(0.2^3 = 0.008\)，所以 0.008 的立方根是 0.2，即\(\sqrt[3]{0.008} = 0.2\) 。
三、开立方运算
（一）开立方的定义
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算，就像开平方与平方互为逆运算一样。例如，因为\(3^3 = 27\)，所以对 27 进行开立方运算，结果是 3；反之，对 3 进行立方运算，结果是 27。
（二）利用互逆性解题
例 2：已知\(x^3 = -125\)，求\(x\)的值。
解：求\(x\)的值，就是对\(-125\)进行开立方运算。因为\((-5)^3 = -125\)，所以\(x = \sqrt[3]{-125} = -5\) 。
例 3：若\(\sqrt[3]{x} = 4\)，求\(x\)的值。
解：因为开立方与立方互为逆运算，\(\sqrt[3]{x} = 4\)，所以\(x = 4^3 = 64\) 。
（三）特殊关系
对于任意实数\(a\)，有\(\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}\)。这是因为\((-x)^3 = -x^3\)，如果\(x\)是\(a\)的立方根，即\(x^3 = a\)，那么\((-x)^3 = -a\)，所以\(-x\)是\(-a\)的立方根，即\(\sqrt[3]{-a} = -x = -\sqrt[3]{a}\)。例如，\(\sqrt[3]{-8} = -\sqrt[3]{8} = -2\)，这一性质简化了负数立方根的计算。
四、立方根与平方根的区别和联系
（一）区别
定义不同：平方根是若\(x^2 = a\)，则\(x\)是\(a\)的平方根；立方根是若\(x^3 = a\)，则\(x\)是\(a\)的立方根。
表示方法不同：平方根记作\(\pm\sqrt{a}\)（根指数 2 可省略）；立方根记作\(\sqrt[3]{a}\)（根指数 3 不能省略）。
个数不同：正数有两个平方根（互为相反数），0 有一个平方根（0），负数没有平方根；任何实数都有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数。
被开方数范围不同：平方根的被开方数必须是非负数（\(a\geq0\)）；立方根的被开方数可以是任意实数（正数、0、负数均可）。
（二）联系
都是逆运算：开平方是平方的逆运算，开立方是立方的逆运算。
表示形式相似：都用根号表示，根号内是被开方数，根号左上角标注根指数（平方根根指数可省略）。
（三）对比表格
项目
平方根
立方根
定义依据
\(x^2 = a\)
\(x^3 = a\)
表示符号
\(\pm\sqrt{a}\)（根指数 2 省略）
\(\sqrt[3]{a}\)（根指数 3 不可省略）
正数的情况
两个，互为相反数
一个，正数
0 的情况
一个，0
一个，0
负数的情况
没有平方根
一个，负数
被开方数范围
\(a\geq0\)
任意实数
五、实际应用
（一）体积相关问题
例 4：一个正方体的木箱，体积是 343 立方分米，求这个木箱的棱长。
解：设木箱的棱长为\(x\)分米，根据正方体体积公式可得\(x^3 = 343\)。因为\(7^3 = 343\)，所以\(x = \sqrt[3]{343} = 7\)（分米）。
答：这个木箱的棱长是 7 分米。
（二）方程求解
例 5：解方程\((x - 2)^3 = 27\)。
解：将\((x - 2)\)看作一个整体，对等式两边进行开立方运算，可得\(x - 2 = \sqrt[3]{27} = 3\)。解得\(x = 3 + 2 = 5\)。
六、常见误区
混淆根指数：在表示立方根时遗漏根指数 3，误将\(\sqrt[3]{a}\)写成\(\sqrt{a}\)，导致与平方根混淆。例如，将 8 的立方根误写成\(\sqrt{8}\)，而正确表示应为\(\sqrt[3]{8}\)。
负数立方根计算错误：错误地认为负数没有立方根，或计算负数立方根时符号出错。例如，误算\(\sqrt[3]{-27} = 3\)，而正确结果应为\(-3\)。
被开方数范围误解：认为立方根的被开方数必须是非负数，忽略负数也有立方根。实际上，立方根的被开方数可以是任意实数。
运算顺序错误：在计算形如\(\sqrt[3]{a^3}\)时出现错误，正确结果应为\(a\)（因为开立方与立方互为逆运算）。例如，\(\sqrt[3]{(-5)^3} = -5\)，而不是 5。
七、课堂总结
立方根的概念：若\(x^3 = a\)，则\(x\)叫做\(a\)的立方根，记作\(\sqrt[3]{a}\)，根指数 3 不能省略。
立方根的性质：正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数；任何实数都有且只有一个立方根；\(\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}\)。
开立方运算：开立方是立方的逆运算，利用这一关系可求一个数的立方根或解简单的立方方程。
与平方根的区别：重点区分两者在个数、被开方数范围、表示方法等方面的不同，避免混淆。
通过本节学习，我们掌握了立方根的核心知识，能够运用立方根解决体积计算、方程求解等实际问题。立方根作为实数的重要组成部分，将在后续的数学学习中发挥重要作用，希望同学们通过练习加深理解，熟练运用。
八、课后作业
求下列各数的立方根：
（1）216 ；（2）\(-\frac{27}{64}\) ；（3）0.125 ；（4）\(-10^6\) 。
解方程：
（1）\(x^3 = -64\) ；（2）\((2x + 1)^3 = 125\) 。
填空：
（1）\(\sqrt[3]{64}\)的平方根是______ 。
（2）若一个数的立方根是它本身，则这个数是______ 。
（3）已知\(\sqrt[3]{x} = -2\)，则\(x = \)______ 。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.3.1 立方根
第二章 实数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算，发展运算能力．
2．通过对立方根性质的探究，发展学生的逆向思维能力和分类讨论的意识．
3．通过对立方根概念、符号、运算及性质的探究，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神，发展应用意识．
重点
难点
如果某种植物细胞可以近似看作是棱长为1的正方体，那么当它的体积增大1倍时，这个正方体的棱长是多少？
解：棱长为1的正方体体积是1，
体积增大一倍体积为2.
设体积为2的正方体的棱长为x
那么x3 = 2
情境导入
1
1
1
知识点 1
立方根的概念和性质
视频导入
不同阶的魔方体积不同，如视频中魔方阶数越高体积越大，若已知魔方体积为a,如何求边长？
观察探究
二阶魔方由几个小立方体构成_______
8个
三阶魔方由几个小立方体构成_______
四阶魔方由几个小立方体构成_______
27个
64个
探究新知
探究新知
如果一个魔方由27个小立方体构成,它应该是几阶魔方
解:设这个魔方为x阶,则:
x 3 =27,
因为 33 =27,
所以 x =3.
即这个魔方为 3 阶魔方.
什么数的立方等于-27
想一想
因为3的立方等于27,那么3就叫做27的立方根.
因为-3的立方等于-27,那么-3就叫做-27的立方根.
（-3）3=-27
探究新知
探究新知
立方根的定义
1.如何表示一个数的立方根
一个数a的立方根可以表示为:
根指数
被开方数
读作:三次根号 a
其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略.
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3 = a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根．记作　 　.
( )3=1 ( )3=8 ( )3=
( )3=0 ( )3=-64
数a
1
2
1
a的立方根
8
填一填
0
-64
64
27
64
27
0
-4
0
-4
1
2
4
3
4
3
解：
探究新知
小结
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根，
零的立方根是零.
立方根是它本身的数有1, -1, 0；
平方根是它本身的数只有0.
探究新知
(1)正数有几个立方根？(2)0有几个立方根？
(3)负数有几个立方根？
议一议
类似开平方运算，求一个数的立方根的运算叫作“开立方”.
提示：“开立方”与“立方”互为逆运算.
探究新知
立方
开立方
+3
-3
+5
-5
27
-27
125
-125
求下列各数的立方根.
(1) -27；　 (2) ； (3) 0.216； (4) -5.
素养考点 1
求一个数的立方根
探究新知
例
（3）因为0.63=0.216，所以0.216的立方根是0.6，
即 .
（2）因为 ，所以 的立方根是 ，
探究新知
（4）-5的立方根是 .
即 .
解：（1）因为(-3)3=-27，所以-27的立方根是-3，
即 .
你能从上述问题中总结出互为相反数的两个数a与-a的立方根的关系吗
a
3
-a
3
=
-2
-2
=
-3
-3
互为相反数的数的立方根也互为相反数
探究新知
因为 =
,
=
所以
因为
=
,
=
猜一猜:
所以
知识点 2
立方根的有关计算
规律：对于任何数a都有
规律：对于任何数a都有
2
-2
-3
4
0
8
-8
27
-27
0
探究新知
求下列各式的值.
（3） .
（2） ；
（1） ；
解：
（1）
（3）
探究新知
立方根的有关计算
素养考点 1
例
（2）
知识点1 立方根的定义
1.（1）因为（___） ，所以125的立方根是___，用数学式子表
示为__________；
（2）因为（____），所以 的立方根是____，用数学式
子表示为_____________；
（3）0的立方根是___。
5
5
0
返回
2. 的立方根是____。
返回
3.下列说法正确的是( )
D
A.是的立方根 B.64的立方根是
C.是的立方根 D.的立方根是
返回
4.体积为4的正方体的棱长是( )
C
A.4的平方 B.4的平方根
C.4的立方根 D.4的算术平方根
返回
5.下列说法正确的是( )
D
A.一个数的立方根有两个,它们互为相反数
B.一个数的立方根不是正数就是负数
C.负数没有立方根
D.如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数一定是 或0或1
返回
知识点2 开立方
6.计算： ( )
B
A.3 B. C.9 D.
返回
7.下列计算中，错误的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
8.［教材 例5变式］ 求下列各数的立方根：
（1） ；
解： 。
（2） ；
解： 。
（3）0.512；
解： 。
平方根 立方根
性 质 正数
0
负数
表示方法
被开方数的范围
两个，互为相反数
一个，为正数
0
0
没有平方根
一个，为负数
平方根与立方根的区别和联系
可以为任何数
非负数
探究新知
性质
定义
正数的立方根是正数，
负数的立方根是负数；
0的立方根是0.
立方根的有关计算
立方根
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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