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2.3.3 用计算器开方
在实际计算中，对于复杂的平方根或立方根，仅靠估算难以得到精确结果。此时，计算器成为快速获取准确值的重要工具。本节将学习如何使用计算器进行开方运算，包括平方根和立方根的计算，掌握不同类型计算器的操作方法和注意事项。
一、计算器的基本认识
常见的科学计算器通常具备开方功能，其按键布局虽略有差异，但核心功能键基本一致。与开方相关的常用按键包括：
平方根键：通常标记为 “\(\sqrt{\quad}\)” 或 “\(\sqrt{x}\)”，用于计算一个数的算术平方根。
立方根键：部分计算器直接标记为 “\(\sqrt[3]{\quad}\)” 或 “\(\sqrt[3]{x}\)”；若没有专用键，可能需要通过 “根指数键”（如 “\(x\sqrt{y}\)” 或 “\(\sqrt[y]{x}\)”）配合数字键 “3” 实现。
根指数键：标记为 “\(x\sqrt{y}\)”“\(\sqrt[y]{x}\)” 或 “\(y^x\)” 的逆运算键，用于计算任意次根式，开平方、开立方均可通过它实现（开平方时根指数为 2，开立方时根指数为 3）。
清除键：标记为 “AC” 或 “C”，用于清除当前输入或计算结果，重新开始运算。
二、用计算器求平方根
（一）操作步骤
按下清除键 “AC”，确保计算器处于待机状态。
输入被开方数（非负数，因为负数没有平方根）。
按下平方根键 “\(\sqrt{\quad}\)” 或 “\(\sqrt{x}\)”。
屏幕显示的结果即为该数的算术平方根；若需完整平方根（含正负），则在结果前添加 “\(\pm\)”。
（二）实例演示
例 1：用计算器求\(\sqrt{256}\)的值。
操作过程：
按 “AC” 清除屏幕。
输入 “256”。
按 “\(\sqrt{\quad}\)” 键。
屏幕显示 “16”，即\(\sqrt{256} = 16\)。
例 2：用计算器求\(\sqrt{12.25}\)的值。
操作过程：
按 “AC” 清除屏幕。
输入 “12.25”。
按 “\(\sqrt{\quad}\)” 键。
屏幕显示 “3.5”，即\(\sqrt{12.25} = 3.5\)。
（三）注意事项
输入被开方数时需注意小数点位置，避免因输入错误导致结果偏差。
若输入负数求平方根，计算器通常会显示 “Error”（错误），因为负数在实数范围内没有平方根。
三、用计算器求立方根
（一）直接使用立方根键的操作
若计算器有专用立方根键 “\(\sqrt[3]{\quad}\)”，操作步骤如下：
按 “AC” 清除屏幕。
输入被开方数（可为正数、0 或负数）。
按 “\(\sqrt[3]{\quad}\)” 键。
屏幕显示结果即为该数的立方根。
（二）使用根指数键的操作
若计算器无专用立方根键，需通过根指数键 “\(x\sqrt{y}\)” 或 “\(\sqrt[y]{x}\)” 操作：
按 “AC” 清除屏幕。
输入被开方数。
按根指数键 “\(x\sqrt{y}\)” 或 “\(\sqrt[y]{x}\)”。
输入根指数 “3”。
按 “=” 键，屏幕显示结果。
（三）实例演示
例 3：用计算器求\(\sqrt[3]{216}\)的值。
操作过程（用专用键）：
按 “AC” 清除屏幕。
输入 “216”。
按 “\(\sqrt[3]{\quad}\)” 键。
屏幕显示 “6”，即\(\sqrt[3]{216} = 6\)。
例 4：用计算器求\(\sqrt[3]{-125}\)的值。
操作过程（用根指数键）：
按 “AC” 清除屏幕。
输入 “-125”（注意输入负号 “-”）。
按 “\(x\sqrt{y}\)” 键。
输入 “3”。
按 “=” 键，屏幕显示 “-5”，即\(\sqrt[3]{-125} = -5\)。
四、复杂开方运算的处理
（一）含小数或分数的开方
对于小数或分数的开方，直接输入对应数值即可，计算器会自动处理。
例 5：求\(\sqrt[3]{0.064}\)的值。
操作：输入 “0.064”→按 “\(\sqrt[3]{\quad}\)” 键→显示 “0.4”，即\(\sqrt[3]{0.064} = 0.4\)。
（二）开方与其他运算的结合
若需计算含开方的混合运算（如\(\sqrt{16} + \sqrt[3]{8}\)），按 “先开方后加减” 的顺序操作：
计算\(\sqrt{16} = 4\)，记录结果或暂存于计算器。
计算\(\sqrt[3]{8} = 2\)。
按 “+” 键，输入两个结果相加，得到 “6”。
（三）精确到指定位数
计算器显示的结果可能包含多位小数，需根据题目要求四舍五入到指定精度（如精确到 0.01）。
例 6：用计算器求\(\sqrt{2}\)的值（精确到 0.001）。
操作：输入 “2”→按 “\(\sqrt{\quad}\)” 键→显示 “1.41421356…”，四舍五入后得\(\sqrt{2} 1.414\)。
五、不同类型计算器的操作差异
（一）简易科学计算器
这类计算器功能简单，平方根键和立方根键通常直接标注，操作流程如前文所述。若需计算高次根式（如开 4 次方），需使用根指数键：输入被开方数→按 “\(x\sqrt{y}\)”→输入根指数→按 “=”。
（二）函数计算器（如 CASIO fx-82 系列）
函数计算器支持自然书写格式，输入时可按数学表达式顺序输入（如\(\sqrt{5 + 4}\)可直接输入 “\(\sqrt{(5 + 4)}\)”），更符合书写习惯。操作时注意使用括号 “()” 明确运算顺序。
（三）手机或电脑计算器
手机或电脑自带的计算器切换到 “科学模式” 后，功能与实体科学计算器类似，按键布局更直观，部分还支持语音输入或手写输入，适合快速验证结果。
六、常见操作误区
输入顺序错误：求立方根时，误将根指数 “3” 输入在被开方数之前，导致结果错误。正确顺序应为 “输入被开方数→按根指数键→输入 3→按 = 键”。
忽略负数符号：计算负数的立方根时，忘记输入负号 “-”，得到正数结果。例如，求\(\sqrt[3]{-8}\)时，若输入 “8” 而非 “-8”，会得到错误结果 “2”，正确结果应为 “-2”。
混淆平方根与算术平方根：计算器的 “\(\sqrt{\quad}\)” 键默认输出算术平方根（正数），若需完整平方根需手动添加 “\(\pm\)”。例如，求 4 的平方根时，计算器显示 “2”，完整结果应为 “\(\pm 2\)”。
未清除历史数据：连续计算时未按 “AC” 键清除前一次结果，导致新输入的数值与历史数据叠加，结果错误。例如，前一次计算显示 “5”，未清除直接输入 “3” 并开方，可能误算为 “\(\sqrt{53}\)” 而非 “\(\sqrt{3}\)”。
四舍五入错误：对计算器显示的多位小数进行取舍时，未按 “四舍五入” 规则操作。例如，将 “1.2344” 精确到 0.01 时，误取 “1.235”，正确结果应为 “1.23”。
七、实际应用场景
（一）几何计算
例 7：一个直角三角形的一条直角边为 5cm，斜边为 13cm，用计算器求另一条直角边的长度。
解：设另一条直角边为\(a\)，根据勾股定理\(a^2 + 5^2 = 13^2\)，得\(a^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\)。
用计算器求\(\sqrt{144} = 12\)（cm）。
答：另一条直角边的长度为 12cm。
（二）体积问题
例 8：一个正方体的体积是 729 立方米，用计算器求它的棱长。
解：设棱长为\(x\)，则\(x^3 = 729\)，用计算器求\(\sqrt[3]{729} = 9\)（米）。
答：正方体的棱长为 9 米。
（三）科学计算
在物理或化学计算中，常需精确的开方结果。例如，计算圆的半径时，若面积为\(20 \)平方厘米，半径\(r = \sqrt{\frac{20 }{ }} = \sqrt{20} 4.472\)厘米（用计算器精确到 0.001）。
八、课堂总结
核心功能键：平方根键 “\(\sqrt{\quad}\)” 用于求算术平方根，立方根键 “\(\sqrt[3]{\quad}\)” 或根指数键 “\(x\sqrt{y}\)” 配合 “3” 用于求立方根。
操作步骤：清除屏幕→输入被开方数→按对应开方键→读取结果（必要时四舍五入）。
注意事项：区分平方根与算术平方根，正确输入负数，清除历史数据，按精度要求处理结果。
应用场景：几何计算、体积求解、科学运算等需精确开方结果的场景，计算器可显著提高效率。
通过本节学习，我们掌握了用计算器进行开方运算的方法，能够快速准确地求解平方根和立方根。计算器是辅助工具，但不能替代对开方概念的理解，在使用过程中需结合理论知识验证结果的合理性，避免因操作失误导致错误。
九、课后作业
用计算器求下列各数的算术平方根（精确到 0.001）：
（1）\(3.24\) ；（2）\(7\) ；（3）\(0.0056\) 。
用计算器求下列各数的立方根（精确到 0.01）：
（1）\(125\) ；（2）\(-21.97\) ；（3）\(0.343\) 。
用计算器计算下列各式的值（精确到 0.1）：
（1）\(\sqrt{18} + \sqrt[3]{27}\) ；（2）\(\sqrt{50} - \sqrt[3]{-8}\) 。
一个正方体的表面积是 54 平方分米，用计算器求它的棱长（正方体表面积公式：\(S = 6a^2\)，其中\(a\)为棱长）。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.3.3 用计算器开方
第二章 实数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过阅读课本，会用计算器求平方根和立方根，并比较大小，发展学生的计算能力和应用能力．
2．通过鼓励学生自己探索计算器的用法，经历运用计算器探求数学规律的活动，发展学生的探究能力和合情推理的能力．
3．通过用计算器探索有关规律的过程中，体验数学的规律性，体验数学活动的创造性和趣味性，激发学生的学习兴趣．
重点
难点
情境导入
试着在自己的计算器里输入同样的算式.想一想开方运算要用到哪些键？
问题导入
你能计算吗？
1．开方运算要用到键 和键 .
2．对于开平方运算，按键顺序为：
被开方数
3．对于开立方运算，按键顺序为：
被开方数
提示： (用不同型号的计算器进行开方运算，按键顺序可能有所不同，可以参看说明书．)
探究新知
知识点 1
利用计算器求算术平方根和立方根
SHIFT
例1 用计算器求下列各式的值（结果精确到0.0001）：
(1) ； (2)
探究新知
素养考点 1
利用计算器求算数平方根和立方根
=
解：(1) 依次按键 800
显示：28.28427125．
所以 ．
(2) 依次按键
显示：1.638642541．
所以 ．
=
SHIFT
探究新知
解：(3) 依次按键 0.58
显示：0.761577311
所以 .
=
=
SHIFT
-
(4) 依次按键 0.432
显示：-0.75595263．
所以
用计算器求下列各式的值：
(1) =__________
(2) =______
(3) ( 精确到0.01）≈_______
37
10.06
2.24
巩固练习
变式训练
________(结果精确到0.001)．
(4)
3.050
(5)
________(结果精确到0.01)．
-0.93
利用计算器比较 和 的大小.
解：按键： ，
显示1.442 249 57.
按键： ，
显示1.414 213 562.
所以
SHIFT
=
3
S D
=
2
例2
探究新知
素养考点 2
利用计算器比较大小
注意：用计算器求算术平方根与立方根时,要特别注意计算器的型号和按键顺序.
利用计算器比较 和 的大小．
分析：利用计算器计算出 和 的值，再进行比较，既直观又方便．
解：由计算器得 ≈1.709 975 9，
≈1.732 050 8，
所以 .
巩固练习
变式训练
1.(1)任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开方次数的增加，你发现了什么？
(2)改用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似规律.
答：计算的结果越来越接近1.
答：计算的结果越来越接近1.
任意一个正数，利用计算器对它不断进行开平方运算，其计算的结果越来越接近1.
知识点 2
利用计算器找规律
探究新知
… …
… …
2.利用计算器计算下表中的算术平方根,并将计算结果填在表中,你发现了什么规律 你能说出其中的道理吗
探究新知
2
1
2
1
250
79.06
0.25
0.7906
2.5
7.906
25
规律：被开方数的小数点向右每移动 位,它的算术平方根的小数点就向右移动 位;被开方数的小数点向左每移动 位,它的算术平方根的小数点就向左移动 位.
7.用计算器比较下列各组数的大小：
（1）与 ；
解： 。
（2）与 。
解： 。
返回
8.3，， 的大小关系为( )
C
A. B.
C. D.
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9. 如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，
则大正方形的边长最接近的整数是( )
A
A.4 B.5 C.6 D.7
返回
10.如图，一根旗杆高，旗杆顶部 与地面一固定
点之间要拉一笔直的铁丝（不计损耗），已知固定点
到旗杆底部的距离是，一工人准备了长为 的
铁丝，你认为这根铁丝够用吗？并说明理由。
解：这根铁丝够用。理由：
由题意知,在中, ,， ,则
。
因为,所以 。所以这根铁丝够用。
返回
用计算器开方
使用计算器进行开方运算
用计算器比较两个数的大小
注意第二功能键的用法
弄清按键顺序
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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